第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
1、如果一个正方形的边长为5，那这个正方形的面积为什么？
2、如果一个正方体的边长为4，那么这个正方体的表面积
为多少？
5s
96446 s
22.1 二次函数的图象和性质 性质
3、如果一个正方体的边长为 ，这个正方体的表面积为y，
你可以列出y关于x的表达式吗？
26 xy
问题1： n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛
的场次数 与球队数 有什么关系？
(1)每个队要与其他的队比赛多少场？怎么用 来表示？n
每个队要与其他（n-1）个队比赛，所以每队应该是比
（n-1） 场。
(2)把每个队要比赛的场次数相加，是不是就是总场数？有
重复场次吗？
现在你能得出什么关系式吗？ )1(2
1 nnm
nnm 2
1
2
1 2
26xy nnm 2
1
2
1 2 204020 2 xxy
你能看出这三个式子又什么特点吗？
这三个式子都是等式，最高次是2次，有两个未知数，
并且其中一个未知数随另一个未知数变化而变化。
观察
一般地，形如
)0,,(2 acbacbxaxy 是常数，
的函数，叫做二次函数。
这些式子和一次函数有什么区别和联系呢？仿照一次函数，
你能给这样的式子下个定义吗？
（1）在这个二次函数中，哪个是自变量，哪个是函数？
的函数是是自变量， xyx
（2）你能说出二次项系数，一次项系数，常数项吗？
cba 常数项是，一次项系数是二次项系数是 ,
（3）二次项系数、一次项系数和常数项能为0吗？
二次项系数不能为0，否则就是一次函数了，一次项
系数和常数项可以为0。
一个长方形的周长为36，其中一边长为 x ，写出函数 y 与 x
的关系式，并说出二次项系数，一次项系数，常数项。
0181-
18
),18(
-18
2
，常数项是，一次项系数是它的二次项系数是
整理得：
系式：这样就可以列出函数关
），，那另一边长是（分析：其中一边长为
xxy
xxy
xx
的值是二次函数，求的函数关于 mxmyx mm 2
)1(
0
1,010
.102
2
2
m
mm
mmmm
由此
，，即二次项系数不能为
或，解得即
次，为二次函数，所以最高次分析：因为所给式子为
拓展
(1) 一次函数的图象是一条_____，反比例函数的图
象是________.
(2) 通常怎样画一个函数的图象？
直线
双曲线
(3) 二次函数的图象是什么形状呢？
列表、描点、连线
结合图象讨论性质是数形结合的研究
函数的重要方法．我们得从最简单的二次
函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的
图象和性质．
二次函数 y=ax2 的图象和性质
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y =
x2 ··· ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
－3 3
3
6
9
0 1 4 9149
3. 如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就
得到y = x2 的图象．
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中
所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2
－3 3
3
6
9
二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下．一般地，
二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫
做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交
点（0，0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低
点．
函数 的图象与函数 y=x2 的图象相比，有什么
共同点和不同点？
相同点：开口都向上，顶点是原
点而且是抛物线的最低点，对称
轴是 y 轴
不同点：a 要越大，抛物线的开
口越小．
观察
你画出的图象与图中相同吗？
探究
画出函数 的图象，并考虑这
些抛物线有什么共同点和不同点．
222 2,2
1, xyxyxy
－2 2
－2
－4
－6
4－4
－8
对比抛物线，y=x2和
y=－x2.它们关于x轴
对称吗？一般地，抛
物线y=ax2和y=－ax2
呢？
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
根据图形填下表：
2xy
2xy
抛物线 y=x2 y =-x2
顶点坐标 （0，0） （0，0）
对称轴 y轴 y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方(除顶点外)
开口方向 向上 向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x
的增大而减小. 在对
称轴的右侧, y随着x
的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x
的增大而增大. 在对称轴
的右侧, y随着x的增大而
减小
最值 当x=0时,最小值为0 当x=0时,最大值为0.
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是y轴，顶点是原点．
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物
线的开口越小，在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右
侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a0时，函数y=a(x-h)2的图象可由
y=ax2的图象向左平移 h 个单位得到，
当h0向左平移h个单位，当h0时，向上移k个单位，当k0时, 开口向上;
当a0开口向上，对称轴为x=－3，顶点坐标为（－3，5）;
（2）a=－30开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3,7）;
（4）a=－50
b2-4ac 0
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 排球运动员从地面竖直向上抛 出排球，排球的高度 h（单位：m） 与排球的运动时间 t（单位：s）之 间的关系式是h= 20t - 5t 2 （0≤t≤4）．排球的运动时间是多 少时，排球最高？排球运动中的最 大高度是多少？ 问题 0 h t4 22.3 实际问题与二次函数 变式1：现要用60米长的篱笆围成一个矩形场地（ 一边靠墙且墙长40米）。应怎样围才能使矩形的面 积s最大？最大是多少？ 牛刀小试 变式2 现要用60米长的篱笆围成一个矩形场地（一边 靠墙且墙长28米）。应怎样围才能使矩形的面积s最大？ 最大是多少？ （1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的 实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或 通过配方求出二次函数的最大值或最小值。 问题: 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的 高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t （单位：s）之间的关系是 h=30t-5t² （0≤t≤6）. 小球运动的时间是多少时，小 球最高？小球运动中的最大高度是多少？ （1）图中抛物线的顶点在哪里？ （2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的 最高点？ （3）小球运动至最高点的时间是什么时间？ （4）通过前面的学习，你认为小球运行轨 迹的顶点坐标是什么？ h=30t-5t²（0≤t≤6）3 45 小球运动的时间是 3 s 时，小球最高． 小球运动中的最大高度是 45 m． 30 32 2 5 bt a （ ） ， 2 24 30 454 4 5 ac bh a （ ） ． 问题: 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 h（单 位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系 是 h=30t-5t²（0≤t≤6）. 小球运动的时间是多少时， 小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点， 当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小 （大） 值 2 bx a 24 4 ac by a 如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？ 用总长为 60 m 的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化. （1）你能求出S与L之间的函数关系吗？ 答：S= l（30- l ）=- l ²+ 30 l （0< l
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