人教版九年级数学上册第21章一元二次方程

第二十一章 一元二次方程 21.1一元二次方程 分别指出下面的方程叫做什么方程？ (l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；(3) 34 3 5  xx 解：（1）一元一次方程； （2）二元一次方程； （3）分式方程. 一、新课导入 理解一元二次方程的概念及它的一般形式; 会判断一元二次方程的二次项系数、一次项 系数和常数项；理解一元二次方程的解的概念. 1 2 二、学习目标 三、研读课文 认真阅读课本上的内容，完成练习并体验知识点的 形成过程. 知 识 点 一 引言中的方程 ① 0422  xx 请问方程是什么方程呢？ 如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm， 在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将 四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如 果要制作的无盖方盒的底面积为3600,则铁皮各 角应切去多大的正方形？ 问题1 设切去的正方形的边长为xcm， 则盒底的长为___________, 宽为___________, 得方程___________________. 整理得_______________② (100-2x)cm (50-2x)cm (100-2x)(50-2x)=3600 x2-75x+350=0 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之 间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛 程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组 织者应邀请多少个队参赛？ 问题 2 设应邀请x个队参赛，每个队要与其他 ____个队 各比赛一场，可列方程 ______________ 整理得________③ 观察 方程①②③的共同点： （1）这些方程的两边都是_____； （2）都只含______未知数x； （3）它们的最高次数都是____次的。 28)1(2 1 xx x-1 x2-x=56 整式 一个 2 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一 个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程叫做 一元二次方程． 一元二次方程的概念 练 一 练 下列方程是一元二次方程的是_____（填序 号）. ①3x2+7=0 ②3x-4=5x+6 ③(x-2)(x+5)=x2-1 ④3x2- =05 x ① 一元二次方程一般的形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经 过 整 理 ， 都 能 化 成 如 下 形 式 a x 2 + b x + c = 0 （a≠0）．这种形式叫做一元二次方的一般形 式． 因为当a=0时，二次项就不存在了，方程就不 再是一元二次方程了，所以规定a≠0. 一元二次方程一般的形式 根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列 方程化成一元二次方程的一般形式: (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求 正方形的边长x； 解：所列方程为：______,化成一元二次方程 的一般形式为：_______. 4x2=25 4x2-25=0 练 一 练 （2)一个矩形的长比宽多2，面积是100， 求矩形的长x； 解：所列方程为：__________ ，化成一 元二次方程的一般形式为 ：__________ 。 x(x-2)=100 x2-2x-100=0 练 一 练 （3)把长为1的木条分成两段，使较短一段 的长与全长的积，等于较长一段的长的平方， 求较短一段的长x. 解：所列方程为：_______,化成一元二次 方程的一般形式为：___________. x=(1-x)2 x2+3x-1=0 练 一 练 一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2 是二次项, a是二次项系数；bx是一次项, b是 一次项系数; c是常数项。 二次项、一次项和常数项 例 题 例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、 一次项系数及常数项． 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10，移项，合 并同类项，得 3x2-8x-10=0，其中二次项系数 为 3 ，一次项系数为 -8 ，常数项为-10 . 将下列方程化成一般形式，并写出其中的二 次项系数、一次项系数、常数项： 4x(x+2)=25 (3x-2)(x+1)=8x-3 814 2 c xx 415 2  练 一 练 (2) 把 814 2 c 化为一般形式 4c2-81=0，二次项 系数为 4，一次项系数 0 ，常数项 -81． (3) 4x(x+2)=25 把 化为一般形式4x2+8x-25=0，二次 项系数为4，一次项系数为8，常数项 -25． (4) (3x-2)(x+1)=8x-3 把 化为一般形式 3x2-7x+1=0， 二次项系数为 3，一次项系数为 -7 ，常数项 为1． 练 一 练 (1) 把 化为一般形式 5x2-4x-1=0， 二次项系数为 5，一次项系数为 -4 ，常数项为-1． xx 415 2  使方程左右两边相等的未知数的值，叫做一 元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 一元二次方程的解（根） 下面那些数是方程 x2-x-6=0 的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4. 解：因为 -2 和 3 能使方程 x2-x-6=0 的左右 两边相等，所以 -2 和 3 是方程 x2-x-6=0 的 根. 练 一 练 4、学习反思：________________________. 1、等号两边都是____，只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是 ___的方程，叫做一元二次方 程. 2、一元二次方程的一般形式是：______________. 3、使方程____________的未知数的值，叫做一元 二次方程的解，也叫做_______________. 四、归纳总结 Thank you! 第二十一章 一元二次方程 21.2解一元二次方程 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油 漆恰好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全部外表面， 你能算出盒子的棱长吗？ 创设情景 明确目标 这个一元二次方程有什么特点？ 怎样解这个一元二次方程？ 1．体会解一元二次方程降次的转化思想． 2．会利用直接开平方法解形如x 2＝p或 (mx ＋n)2＝p( p≥0)的一元二次方程． 探究点一 合作探究 达成目标 二元、三元一 次方程组 一元一次方程 一元二次方程 消元 降次 例1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油 漆恰好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你 能算出盒子的棱长吗？ 10×6x2=1500 由此可得 x2=25 即 x1=5，x2=－5 可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm． 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为 6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 ① 合作探究 达成目标 等量关系：10个正方体盒子的表面积＝油漆可刷的总面积 平方根的意义 形如x 2 = p(p≥0)的方程可用什么方法求解？ 【针对练一】 解得： 【答案】 （2）对于常数p，为什么要限定条件p≥0？ 一般地，对于x 2＝p 当p＞0时，方程有两个不相等的实数根，即： 当p＜0时，方程无实数根. 当p=0时，方程有两个相等的实数根，即： 探究点二 5)12)(1( 2 x 296)2( 2  xx 22 )34()43)(3(  xx 例2：解方程 【思考】 ①方程（1）与x 2=25这个方程有什么不同？可以直接开平方 吗？ ②方程（2）与方程（1）有什么不同？怎样将方程 (2)转化 为方程（1）的形式？ ③方程（3）左右两边有什么特点？怎样达到降次的目的？ 对于可化为(mx ＋n)2＝p(p≥0)或（ax +b）2=(cx +d)2的方 程，可以用直接开平方发求解吗？ pnmx  1.当方程的一边容易变形为含未知数的完全平方式，另一边 是非负数时，可以用直接开平方法求解， 即：对于(mx ＋n)2＝p(p≥0)，得： )( dcxbax  2.若两边都是完全平方式， 即：（ax +b）2=(cx +d)2，得 【针对练二】 5.方程（2x -1)2=(x +2)2的解为： x1=3, x2= DD 1/5 D 1. 降次的实质：将一个二次方程转化为两个一次 方程； 降次的方法：直接开平方法； 降次体现了：转化思想； 2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式，右 边是非负数的形式，再利用平方根的定义求解. 总结梳理 内化目标 达标检测 反思目标 可以 可以 可以 不可以 可以 达标检测 反思目标 2. 3. 4. -1 -5 解： 达标检测 反思目标 2)1( 22  kx 3x5.已知方程 的一个根是 , 求k的值和方程的另一个根。 2)13( 22  k 3x 2)1( 22  kx解：把 代入 得： 2k解得： 4)1( 2 x原方程为： 1,3 21  xx所以方程的根为： 即方程的另一个根为-1 第二十一章 一元二次方程 21.2解一元二次方程 一元二次方程根与系数的关系 创设情景 明确目标 • 1．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由 已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系 数． • 2．在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形 后）含有两根和与两根积的代数式的值，并从中体会 整体代换的思想． 探究点一 一元二次方程的根与系数的关系的推导 合作探究 达成目标 - -1 a acbbx 2 42 1  a acbbx 2 42 2  x1+x2= a acbb 2 42  a acbb 2 42 + = a b 2 2 = - x1x2= · a acbb 2 42  a acbb 2 42  = 24 2)42(2)( a acbb  = 24 4 a ac = 一元二次方程根与系数的关系 (韦达定理） 推 论 1 【针对训练1】 -3 1 D 例1. 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程 两根 的和与积.1 2,x x       2 2 2 1 6 15 0 2 3 7 9 0 3 5 1 4 x x x x x x         合作探究 达成目标 探究点二 一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)方程（3）与方程（1）（2）在形式上有何区 别 ？ u【小组讨论2】 (1)在求两根的和与积时，必须将方程怎样处理 ？ 【针对训练2】 A C 4.已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实 数根分别为x1＝－2，x2＝4，则m＋n的值是（ ） A．－10 B．10 C．－ 6 D． 2 5.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2，则另一个 根为：（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【针对训练2】 C 总结梳理 内化目标 达标检测 反思目标 D 0 3 -2 第二十一章 一元二次方程 21.2解一元二次方程 第3课时 公式法 创设情景 明确目标 请用配方法解方程：x2-x-1=0 1．理解一元二次方程求根公式的推导． 2．会用求根公式解简单数字系数的一元二次方 程． 3．理解一元二次方程的根的判别式，并会用它判 别一元二次方程根的情况． 任何一元二次方程都可以写成一般形式 2 0 0ax bx c a   （ ）. 2 .ax bx c   2 .b cx xa a    2 2 2 ,2 2 b b c bx xa a a a               你能否也用配方法得出①的解呢？ 二次项系数化为1，得 配方 即 2 2 2 4 .2 4 b b acx a a      ① ② 移项，得 探究点一 一元二次方程根的判别式的应用 因为a≠0,4a2>0,当b2－4ac＞0时，所以方程有两个不相等的实数 根 2 4 .2 2 b b acx a a    2 4 .2 b b acx a    2 2 1 2 4 4, .2 2 b b ac b b acx xa a        由②式得 当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根 a bxx 221  当b2－4ac＜0时，方程没有实数根 （1）一元二次方程根的判别式与根的情况有何关系？ （2）如何用根的判别式不解方程判断方程根的情况？ Ø 活动二：交流思考下面的问题 ： 当      时，方程有两个不相等的实根；   当      时，方程有两个相等的实根；   当      时，方程没有实根. b 2 - 4ac＞0 b 2 - 4ac = 0 b 2 - 4ac＜0 u【小组讨论1】 一元二次方程根的判别式在使用时应注意什么 ？ 【针对训练1】 A 2 -1 1.（2015重庆）已知一元二次方程 则该方程根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两个根都是自然数 D．无实数根 （2015青岛）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求m的取值范围. 一元二次方程 2 0 0ax bx c a   （ ）. 的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程 时，可以先将方程化为一般形式 ，当 2 4 0b ac  2 0 ax bx c   2 4 2 b b acx a    就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式， 利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知， 一元二次方程最多有两个实数根． 时，将a，b，c 代入式子 探究点二 用公式法解一元二次方程 例2：用公式法解下列方程 ： 探究点二 用公式法解一元二次方程 u【小组讨论2】 用公式法解一元二次方程的前提条件是什么 ？ 【针对训练2】 C (2)（2015大连）x2－6x－4=0 . 总结梳理 内化目标 达标检测 反思目标 A D 4 -3 -5 a≥-1 解： 第二十一章 一元二次方程 21.2解一元二次方程 第2课时 用配方法解一元二次方程 1.解下列方程： (1)2x²=8 (2)(x+3)²-25=0 (3)9x²+6x+1=4 2.你能解这个方程吗？ x²+6x+4=0 直接开 平方法 1．理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二 次方程． 2．经历探索利用配方法解一元二次方程的过程， 体会转化的数学思想． 回顾与复习 因式分解的完全平方式，你还记得吗? .2 ;2 )( )( 222 222 baba baba ab ab     完全平方式 ___)( ___)( ___)( ___)( 22 22 22 22 ____2 1)4( _____5)3( _____8)2( _____2)1(         yy yy xx xx y y x x 它们之间有什么关系? 25 2      21 4      5 2 1 4 (1)x²+10x+ =(x+ )² (2)x²-12x+ =(x- )² (3)x²+5x+ =(x+ )² (4)x²- x+ =(x- )² (5)4x²+4x+ =(2x+ )² 3 2 6² 55² 6 1² 1 移项 两边加上32,使左边配成完全平方式 左边写成完全平方的形式 开平方 变成了(x+h)2=k的 形式 想一想如何解方程？ 以上解法中,为什么在方程 两边加9?加其他数 行吗? 像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元 二次方程的方法,叫做配方法. 这个方程怎样 解？ 变 形 为 的形式．（ａ为非负常数） 变形为x2－8x＋1＝0 (x－4)2=15 x2-8x+16=-1+16 Ø活动一： 探究点一 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 （1）解答过程都有哪些步骤？ （1）移项:把常数项移到方程的右边 （2）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 （3）开方:根据平方根意义,方程两边开平方 （4）求解:解一元一次方程 （5）定解:写出原方程的解 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤: （1）把常数项移到方程右边后，两边加上的常数和一次项 系数有何关系？ （2）左边的平方式中的符号与一次项系数的符号有什么关 系？ 【针对练一】 36 6 4 2 16 4 （2015随州）用配方法解一元二次方程x2－6x－4=0，下列变 形正确的是（   ） A．(x－6)2=－4+36 B．(x－6)2=4+36 C．(x－3)2=－4+9 D．(x－3)2=4+9 D 解： 探究点二 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 (1)这两个小题与活动一中的方程有什么不同？如何 将此例方程转化为活动一中方程的情形？ u配方法解一元二次方程应注意些什么 ？ 在用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，通 常是先让方程的各项除以二次项系数，即把这类方程转 化为例1中的方程类型； 解一元二次方程的基本思路 把原方程变为(x+n)2＝p的形式 (其中n、p是常数） 当p≥0时，两边同时开平方，这样原方程就转化为 两个一元一次方程 二次方程 一次方程 当p