人教版八年级数学上册第13章轴对称

第十三章 轴对称 13.1 轴对称 A B C M N P A′ B′ C′ A B C M N P A′ B′ C′ A B l A′ B′ (一)线段的垂直平分线的性质 教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发 现？ 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点， 分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什 么发现？ 学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线 段两个端点的距离相等． 性质的证明： 教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用 数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB 的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一 点，连接PA，PB，我们要证明的是PA＝PB. 教师分析证明思路：图中有两个直角三角形， △APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证 得PA＝PB. 教师要求学生自己写已知，求证，证明过程．学 生证明完后教师板书证明过程供学生对照． 已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN 上任意一点．求证：PA＝PB. 证明：在△APC和△BPC中， ∵PC＝PC(公共边)，∠PCA＝∠PCB(垂直的定义)， AC＝BC(已知)， ∴△APC≌△BPC(SAS)． ∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)． 因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂 直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． (二)线段的垂直平分线的判定 你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个 命题不是“如果…那么…”的形式，要写出它的逆命题，需 分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的 形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结 论． 原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”， 结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”． 此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段 两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分 线上．” 写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，那么需 证明它；如果假，那么需用反例说明．请同学们自行在练 习册上完成． 学生给出了如下的四种证法． 已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB. 求证：P点在线段AB的垂直平分线上． 证法一 过点P作已知线段AB的垂线PC.∵PA＝PB，PC ＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P点在 AB的垂直平分线上． 证法二 取AB的中点C，过P，C作直线．∵PA＝PB，PC＝ PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)． ∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即 PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上． 证法三 过P点作∠APB的平分线． ∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)． ∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应边相等、对 应角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P 点在线段AB的垂直平分线上． 从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆 命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定． 要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条 线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那 么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能 确定已知线段的垂直平分线． 下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步 的依据． 例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的 垂线． 已知：直线AB和AB外一点C.(如下图) 求作：AB的垂线，使它经过点C. 师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作 的垂线？与同伴进行交流． 生：从作法的第(2)(3)步可知CD＝CE，DF＝EF， ∴C，F都在线段DE的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定)． ∴CF就是线段DE的垂直平分线(两点确定一条直线)． 师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平 分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线 的交点就是线段的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点． 2.如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是 ，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点． 3.如图，在△ABC中，AC＝16 cm，DE为AB的垂直平分 线，△BCE的周长为26 cm.求BC的长． 4.有A，B，C三个村庄(如图)，现准备建一所学校，要 求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置． 第十三章 轴对称 13.2 画轴对称图形 一、问题导入 我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性 质．如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直 线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法． 二、探究新知 [活动] 在一张半透明的纸的左边部分，画一只左脚印，把这张 纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时， 右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴， 并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请 你再将一个图形做一做，看看能否得到同样的结论． 认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？(成轴对称) 对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP′是 什么关系？(直线l垂直平分线段PP′) [思考1] 如何画一个点的对称图形？ 例1 画出点A关于直线l的对称点A′. 画法：(1)过点A作对称轴l的垂线，垂足为B； (2)延长AB到A′，使得BA′＝AB.点A′就是点A关于直线l 的对称点． [思考2] 如何画一条直线的对称图形？ 例2 已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段． 画法：(1)画出点A关于直线l的对称点A′. (2)画出点B关于直线l的对称点B′. (3)连接点A′和点B′成线段A′B′.线段A′B′即为所求． [思考3] 如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关 于这条直线对称的图形呢？ 例3 如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的 图形． 画法：(1)过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′ ＝OA，A′就是点A关于直线l的对称点． (2)同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′. (3)连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求． 三、课堂练习 1.教材第68页练习第1，2题. 2.下列图形，点P与P′关于直线MN对称的图形是( D ) 1、前面我们学过了平面直角坐标系是有两条 重合并且相互 的数轴构成的。 2、对于坐标平面上的点我们可以用有序的数对来 表示，通常我们写这种有序数对时，把 写在前面， 写在后面。 3、我们怎么确定坐标平面内的点的坐标？ 过这个点分别作x轴和y轴的垂线段，垂足对应的数值 分别就是这个点的横坐标和纵坐标，记做（x，y）。 原点 垂直 横坐标 纵坐标 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 0 1 2 3 4 5-4 -3 -2 -1 · A (2,3) y x A′(2,-3) 作出点A关于x轴的对称点，并说出它的坐标。 · 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 0 1 2 3 4 5-4 -3 -2 -1 A (2,3)· x y ·A′′(-2,3) 作出点A关于y轴的对称点，并说出它的坐标。   如图，如果以天安门为原 点，分别以长安街和中轴线为 x轴和y 轴建立平面直角坐标 系，对应于东直门的坐标，你 能找到西直门的位置，说出西 直门的坐标吗？   探究并归纳已知点关于坐标轴对称的点的坐标变化规律 (-3.5,4) x y 1 1 O A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ x y 1 1 O 2 3 4 0-6 5-1 -2   在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于x 轴对称的 点，把它们的坐标填入表格中． -12 1 关于x 轴对称的每对对称点的横坐标 相等，纵坐标互为相反数。 关于x 轴对称的每对对称点 的坐标变化规律： x y 1 1 O A B C D E A′ B′ C′ D′ E′即点（x，y）关于x 轴对 称的点的坐标为 （___，____） x -y x y 1 1 O A B C D E A〞 B〞 C〞 D〞E〞 1 2-2 - 3 6 - 5 -4 0   在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于y 轴对称的 点，把它们的坐标填入表格中． 12 1- x y 1 1 O A B C D E A〞 B〞 C〞 D〞E〞 关于y 轴对称的每对对称点 的坐标变化规律：   关于y 轴对称的每对 对称点的纵坐标相等，横 坐标互为相反数。 即点（x，y）关于y 轴 对称 的点的坐标为 （___，____） -x y   练习1 分别写出下列各点关于x 轴和y 轴对称的点的坐标： （-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）   解：关于x 轴对称的点的坐标： （-2， -6），（1，2），（-1， -3），（-4，2），（1，0）     关于y 轴对称的点的坐标： （2，6），（-1，-2），（1，3），（4，-2），（-1，0） ． 课堂练习   练习2 已知点P（2a+b，-3a）与点P′（8，b+2） 若点P、点P′关于x 轴对称，则a = ，b= ； 若点P、点P′关于y 轴对称，则a = ，b=______. 课堂练习 4 -20 2 6 运用变化规律作图   例2 如图，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（-5，1），B（-2，1）， C（-2，5），D（-5，4）， 分别画出与四边形ABCD 关 于x 轴和y 轴对称的图形． x y 1 1 O A B C D x y 1 1 O A B C D   解：点（x，y）关于y 轴对称的点的坐标为 （-x，y），因此四边形 ABCD 的顶点A，B，C， D 关于y 轴对称的点分别 为： A′（ ， ）， B′（ ， ）， C′（ ， ）， D′（ ， ）， 2 5 5 1 2 1 5 4 A′B′ C′ D′ x y 1 1 O A B C D 依次连接 , , , , 就可得到与四边形ABCD 关于y轴对称的四边形 ．A′B′C′D′ A′B′ B′C′ C′D′ D′A′ A′B′ C′ D′ A〞 D〞 C〞 B〞   请在图上画出四边 形ABCD 关于x 轴对称 的图形． 例2 A（-5，1），B（-2，1）， C（-2，5），D（-5，4） 总 结 （1）求出已知图形中一些特殊点（多边形的顶点） 的对称点的坐标。 （2）描出这些点。 （3）连线。 步骤简述为： （1）求特殊点的对称点的坐标； （2）描点； （3）连线． 画一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形的方法和步骤： 课堂练习   练习3 分别写出下列各点关于x 轴和y 轴对称的点 的坐标． （3，6）、（-7，9）、（6，-1）、（0，10）    解：关于y轴对称的点的坐标： （-3，6），（7， 9），（-6，-1），（0，10）     关于x 轴对称的点的坐标： （3，-6），（-7，-9），（6，1），（0，-10） 课堂练习   练习4 以正方形ABCD 的中心为原点建立平面直角坐标 系．点A 的坐标为（1，1），写出点B，C，D 的坐标． A （1，1） BC D O y x 1、在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的点的坐标有什 么变化规律？如何判断两个点是否关于x 轴对称？ 2、在平面直角坐标系中，关于y 轴对称的点的坐标有什么变 化规律？如何判断两个点是否关于y轴对称？ 课堂小结   关于x 轴对称的每对对称点的横坐标相等，纵坐标互 为相反数。   关于y 轴对称的每对对称点的纵坐标相等，横坐标互为相 反数。 点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为（___，____） 点（x，y）关于y 轴对称的点的坐标为（___，____） x -y - x y 3、说一说画一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形的 方法和步骤． 课堂小结 （1）求特殊点的对称点的坐标； （2）描点； （3）连线． 第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 13.3.1 等腰三角形 1、等腰三角形的定义. A B CD 2、等腰三角形是不是轴对称图形? 探究 如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,将三角形 部分剪下展开,得到的三角形有什么特点? 腰—相等的两边 底—除腰外的一边 顶角—两腰的夹角 底角—腰与底的夹角 有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 (如AB=AC， △ABC为等腰三角形) 概念： 想一想 1、上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？ 2、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出 其中重合的线段和角。 3、由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角 形的哪些性质呢？说一说你的猜想。 A B CD 重合的角： 重合的边： ∠B= ∠C， ∠BAD=∠ CAD， ∠ADB=∠ADC AB=AC，BD=CD 性质1： 等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等 角”）。 性质2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高相互重合（简称为“三线合一”）。 我们可以发现等腰三角形的性质: 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. A B CD 1 2 证明：作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中， AB=AC（已知） ∠1=∠2（辅助线作法） AD=AD（公共边） ∴△BAD≌△CAD（SAS） ∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等） 你还有其他的方法吗？ 定理证明 第二种 第三种 A B CD A B CD ┌ 作△ABC的高线 AD。 作△ABC的中线AD。 ∵AB=AC ∴∠B=∠C 等腰三角形的 两个底角相等。 1、文字语言 2、符号语言 3、图形语言 B C A 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高相互重合. 性质2 (三线合一) ∴BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°. A B CD 1 2 证明：作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中, AB=AC, ∠1=∠2, AD=AD, ∴△BAD≌△CAD . 根据等腰三角形的性质定理 和推论，在△ABC中，AB=AC. (1)∵AD⊥BC, ∴∠ =∠ , = ; (2)∵AD是中线， ∴ ⊥ ， ∠ =∠ ； （3）∵AD是角平分线， ∴ ⊥ ， = 。 A B CD BAD CAD BD CD BAD CAD AD BC AD BC BD CD 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD. 求△ABC各角的度数. 解：∵AB=AC， BD=BC=AD, ∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x, 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC中， 有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°. 在△ABC中，∠A=36°, ∠ABC=∠C=72°. 练一练 1、等腰三角形的一个角是40°，它的另外两个 角的度数是多少呢？ 2、等腰三角形的一个角是100°，它的另外两个 角的度数是多少呢？ 3、等腰三角形的底边长为7 cm，一腰长的中线把周 长分为两部分，其差为3 cm，则等腰三角形的腰长 为多少？ 概念：有两条边相等的三角形是等腰 三角形 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线 （或底边上的中线或底边上的高）所在 直线是它的对称轴 1. 等腰三角形 2. 能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三角形的边长、周长 及已知一角求其他两角. 小结 第2课时 等腰三角形的判定 1.理解并掌握等腰三角形的判定方法． 2.运用等腰三角形的判定进行证明和计算． 一、提出问题 出示教材第77页“思考”． 学生思考，回答后教师提问： 在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所 对的边有什么关系？ 学生猜想它们所对的边相等． 即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所 对的边也相等． 如何证明？ 二、解决问题 教师引导提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、 求证． 已知：在△ABC中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC. 与学生一起回顾等腰三角形中常添加的辅助线：底边上 的高、顶角平分线、底边上的中线．让学生逐一尝试， 发现可以作AD⊥BC，或AD平分∠BAC，但不能作BC 边上的中线． 学生口头证明后，选一种方法写出证明过程． 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，作△ABC的角平分线 AD. 三、应用举例 1.出示教材例2. 引导学生根据命题画出图形，利用角平分线的性质及 “等角对等边”来证明． 学生讨论后，自己完成证明过程． 例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形 的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC(如图 所示). 求证：AB＝AC. 分析：要证明AB＝AC.可先证明∠B＝ ∠C.因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B， ∠C与∠1，∠2的关系． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1＝∠B(______________________)， ∠2＝∠C(______________________)． 而已知∠1＝∠2，所以 ∠B＝∠C. ∴AB＝AC(______________)． 2.出示教材例3. 让学生自学例3. 例3 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求 作这个等腰三角形． 作法：(1)作线段AB＝a. (2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D. (3)在MN上取一点C，使DC＝h. (4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形． 四、课堂小结 1.等腰三角形的判定方法是什么？ 2.等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你 能总结一下吗？ 第1课时 等边三角形的性质和判定 13.3.2 等边三角形 1.掌握等边三角形的定义． 2.理解等边三角形的性质与判定． 一、问题引入 在等腰三角形中，如果底边与腰相等，会得到什么结论？ 三条边都相等． 二、自主探究 1.等边三角形的定义. 底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形． 2.思考：一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三 角形？ 三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 3.在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA吗？为什 么？ 你从中能得到什么结论？ 三个角都相等的三角形是等边三角形． 4.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°. (1)求证：△ABC是等边三角形. (2)如果把∠A＝60°改为∠B＝60°或∠C＝60°，那么结论还成立 吗？ (3)根据以上结论，你可以得到什么结论？ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 三、应用举例 1.教材例4. 例4 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB， AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形． 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C. ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等边三角形． 2.归纳：在判定三角形是等边三角形时： (1)若三角形是一般三角形，只要找三个角相等或三 条边相等； (2)若三角形是等腰三角形，一般找一个角等于60°. 四、巩固练习 教材第80页练习第1，2题． 补充题：1.如图，已知等边△ABC，点D，E，F分别是各边 上的一点，且AD＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形． 2.如图，已知等边△ABC，点D是AC的中点，且CE＝CD， DF⊥BE.求证：BF＝EF. 第2题图 第1题图 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 掌握含30°角的直角三角形的性质与应用． 一、情境导入 将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图 形，找出Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的关系吗？ 二、探究新知 由题意可判定△ABD是等边三角形，且AC为边BD上的高，可 得BC＝CD＝ AB. 教师归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的一半． 你能证明这一结论吗？ 2 1 课堂练习 ①在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB， AB＝4，则BC＝________，∠BCD＝________，BD＝ ________． ②小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走 了200 m，求山的高度． 三、举例分析 出示教材例5. 例5 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中 点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝ 30°.立柱BC，DE要多长. 1.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BD 平分∠ABC，求证：AD＝2DC. 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°， AB⊥AD，AD＝2 cm，求BC的长． 第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题 【学习目标】 能利用轴对称和平移的知识解决路径最短的问 题。   引言：  前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中， 线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们 为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最 短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史 中著名的“将军饮马问题”． 引入新知 探究一 将军饮马问题   问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：   从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？ 探索新知 B A l   精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称 的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军 饮马问题”．   你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 探索新知 B A l   追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？   将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线． 探索新知 B· ·A l （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连 接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再 回到B 地的路程之和； 探索新知   追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把 它抽象为数学问题吗？ 探索新知   追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短 的直线l上的点．设C 为直线l上的一个动点，上面的问题 就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最 小（如图）． B A lC   追问1 对于问题2，如何 将点B“移”到l 的另一侧B′ 处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持CB 与CB′的长度 相等？ 探索新知   问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · l A ·   追问2 你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B′吗？ 探索新知   问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · l A ·   作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求． 探索新知   问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · l A · B′ C 探索新知   问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ B · l A · B′ C   证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′． 探索新知   问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ B · l A · B′ C C′ 探索新知   问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ B · l A · B′ C C′   证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′．   即 AC +BC 最短．   若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小． 探索新知 B · l A · B′ C C′   追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 探索新知   追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？ B · l A · B′ C C′ 运用新知   练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径． A B C P Q 山 河岸 大桥 运用新知   基本思路：   由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”． A B C P Q 山 河岸 大桥 a b N A B A' M' N' M 探究2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现 要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。） 分析：由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时， AM+MN+NB最小，这样，问题就进一步转化为：当点N在 直线b的什么位置时，AM+NB最小？可以通过将AM沿与河 岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A’，则 AA’＝MN，AM+NB＝A’N+NB，当A’B在一条直线上 时，根据“两点之间，线段最短”，可得A’N+NB的值最小， 则路径AMNB最短。 解：在直线a上取任意一点M’，作M’N’⊥b于点N’，平 移AM，使点M’移动到点N’的位置，点A移动到点A’的 位置，连接A’B交直线b于点N，过点N作MN⊥a于点M， 则路径AMNB最短。 理由如下：如图，点M’为直线a上任意一点（不与点M重 合）， ∵线段A’N’是线段AM’平移得到的， ∴AA’＝M’N’，A’N’＝AM’, ∴AM’+M’N’+BN’＝A’N’+AA’+BN’. ∵MN//AA’且MN＝AA’, ∴MN可以看作是AA’经过平移得到的, ∴A’N＝AM,∴AM+NB＝A’N+NB. 根据两点之间线段最短，得A’N+NB＝ A’B