15.1.1 从分数到分式
有关分数的问题
1.分数是怎么得来的?
2.分数的分母应是什么样的数?
3.分数在什么情况下等于0?
用字母表示:
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含
有字母，那么式子 就叫做分式。
分式的定义:
B
A
（1）当x 时，分式 有意义；
（2）当x 时，分式 有意义；
（3）当b 时，分式 有意义；
（4）当x、y 满足关系 时，分式 有意
义。
例1: x3
2
1x
x
b35
1
yx
yx
分母 3x≠0 即 x≠0
分母 x－1≠0 即 x≠1
分母 x－y≠0 即 x≠y
分母 5－3b≠0 即 b≠ 3
5
2x
x
14
1
x
x
3||
2
x
x
4
1
2x
x
4
1
14
1
x
x
3||
2
x
x
,52
2
x
x .42
2-||
x
x(1) (2)
52
2
x
x
42
2-||
x
x
小结:
1、分式的定义
2、分式有意义的条件
3、分式的值为0的条件
15.1.2 分式的基本性质
教学目标
•知识与能力：理解分式的基本性质
•过程与方法：运用分式的基本性质解决与之
有关的问题．
•情感态度与价值观：感受类比思想，捕捉变
化灵感．
观察:
由分数的基本性质可知，如果数c≠0，那么
c
c
3
2
3
2
5
4
5
4
c
c
一般地，对于任意一个分数 有：b
a
cb
ca
b
a
cb
ca
b
a
（c≠0） 其中a , b , c是数.
思考:
类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？
分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分
式的值不变.
上述性质可以用式子表示为：
CB
CA
B
A
CB
CA
B
A
（C≠0） 其中A , B , C是整式.
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1) 02 2
a ac cb bc
.
0c
2 2 2
a a c ac
b b c bc
3 2x x
xy y
(2)
(2)
解: (1)由 ,
知
由
知
3 3 2
0,
.
x
x x x x
xy xy x y
例2 填空:
baab
ba
2
baa
ba
22
2
yx
x
xyx
2
2
222 xxx
x
ba
aba
baa
baa
2
2)(
ba
bab
ba
bab
2
2
2
2)2(
x
yx
xx
xxyx
2
2 )(
2
1
)2( 2
xxxx
xx
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
y
x
5
2
b7
a3
n3
m10
例3
04.0x3.0
5x01.0
b5
2a7.0
b3
5a6.0
5 1
6 5 ,5 1
6 5
x y
x y
例4
32
1,23
12,1
3
222
xx
x
xx
x
x
x
例5.不改变分式的值，使下列各式的分子与分母中的多
项式按 的降幂排列,且首项的系数是正数.x
解： 2 22
3 3 3
1 11
x x x
x xx
2 2 2
2 12 1 2 1
3 2 3 2 3 2
xx x
x x x x x x
2 22
11 1
2 3 2 32 3
xx x
x x x xx x
约分的步骤
（1）找出公因式
（2）约去系数的最大公约数
（3）约去分子、分母相同因式的最低次幂
当分子、分母是多项式的时候，先进行分解因式，再约分
约分
2
2
2
2
9
3)6(
12
1)5(
m
mm
xx
x
6
34)7( 2
2
xx
xx
2
2
49
7)8( x
xx
m
mm
1
122
4
33
a
a
xy
xyyx
2
22
yxa
xya
27
12 23
（1）
（2）
（3）
（4）
课堂小结
1.什么是分式的约分？怎样进行分式的约分？
什么是最简分式？
2.什么是分式的通分？怎样进行分式的通分？
什么是最简公分母？
3.本节课你还有哪些疑惑？
第十五章 分式
15.2 分式的运算
15
8
53
42
5
4
3
2)1(
63
10
97
25
9
2
7
5)2(
6
5
12
10
43
52
4
5
3
2
5
4
3
2)3(
14
45
27
95
2
9
7
5
9
2
7
5)4(
?)1(
d
c
b
a ?)2(
d
c
b
a
bd
ac
d
c
b
a )1(
bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a )2(
db
ca
d
c
b
a
cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a
323
4
x
y
y
x
cd
ba
c
ab
4
3
2
22
2
2
3
4
3 2
x y
y x
g
g
23 3
2
6
4
xyx
xy
222
2
3
4
2 ba
cd
c
ab
222
2
32
4
bac
cdab
ac
d
3
2
aab
ba
3
4
94
163
2
axyxa
xy
yxa
xy
10
3
85
12
8
1
5
12
22
y
x
y
xxy
y
xxy 2
3
2
3
23
2
22
29
16
4
3
a
b
b
a yxa
xy 285
12 x
yxy
223
2
6 33 2
x b b
b x x
； 4 24 .3 2 3
x a
a x
1 1b a
a b
； 2 b a ba
； 2
b
a
3
x
2
2
8
3
x
a
4
1
12
44)1( 22
2
a
a
aa
aa
)2)(2(
1
)1(
)2(
2
2
aa
a
a
a
)2)(2()1(
)1()2(
2
2
aaa
aa
)2)(1(
2
aa
a
mmm 7
1
49
1)2( 22
1
7
49
1 2
2
mm
m
1
)7(
)7)(7(
1 mm
mm
)7)(7(
)7(
mm
mm
m
m
7
整式与分式 运
算时，可以把整
式看成分母是1的
分式．
xx
xx
xx
x
2
2
2
2 23
34
4
2334
4
2
2
2
2
xx
xx
xx
x
)2)(1(
)1(
)1)(3(
)2)(2(
xx
xx
xx
xx
)1)(3(
)2(
xx
xx
32
2
2
2
xx
xx
35925
3
35
2
2 x
x
xx
x
353
925
35
2 2
x
xx
x
x
353
)35)(35(
35
2
x
xxx
x
x
)35)(35(3
)35)(35(2
xx
xxxx
3
2 2x
)3(
)2)(3(
3
1
2
)3-(2
2
x
xx
xx
x
2
2
x
x
xxx
xx
x
3
6)3(
44
6-2 2
2
)3(
6
3
1
44
6-2 2
2
x
xx
xxx
x
b
a ?)( 2
b
a ?)( 3
b
a ?)( 10
b
a
bb
aa
b
a
b
a
b
a
2
2
2)(
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
3
3
3)(
b
a
b
a
10
10
10)(
b
a
b
a
b
a
b
a n )( n
n
b
a
bbb
aaa
即： n
n
n
b
a
b
a )(
2
2
)3
2)(1( c
ba 2
3
3
3
2
2
2)2(
a
c
d
a
cd
ba
2
2
)3
2)(1( c
ba
2
22
)3(
)2(
c
ba
2
24
9
4
c
ba
2
3
3
3
2
2
2)2(
a
c
d
a
cd
ba
2
23
93
36
42 a
c
a
d
dc
ba
6
33
8cd
ba
2
23
33
32
)2(2)(
)(
a
c
a
d
cd
ba
课堂小结
1.同分母分式相加减，分母不变，只需将分子作加减
运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．
2.对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一
个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分．
3.异分母分式的加减运算，首先观察每个分式是否为
最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通
分，这样可使运算简化．
4.作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式．
一、复习引入
回忆：我们已经学习了分式的哪些运算？
1.分式的乘除运算主要是通过( )进行的，分式
的加减运算主要是通过( )进行的．
2.分数的混合运算法则是( )，类似的，分式的
混合运算法则是先算( )，再算( )，最
后算( )，有括号的先算( )里面的．
分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点：
(1)一般按分式的运算顺序法则进行计算，但恰当地使用
运算律会使运算简便．
(2)要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备
约分或通分时用，可避免运算烦琐．
(3)注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”．
(4)结果要化为最简分式．
强化练习，引导学生及时纠正在例题中出现的错误，进
一步提高运算能力．
2.例3(教材例10) 纳米(nm)是非常小的长度单位，
1 nm＝10－9 m，把1 nm3的物体放到乒乓球上，就
如同把乒乓球放到地球上.1 mm3的空间可以放多少
个 1 nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计)？
[分析] 这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学
记数法表示小于1的数．
3.用科学记数法表示下列各数：
0．00 04，－0.034，0.000 000 45，0.003 009.
4.计算：
(1)(3×10－8)×(4×103)；(2)(2×10－3)2÷(10－3)3.
三、课堂小结
1.引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到
了全体整数，幂的性质仍然成立．
2.科学记数法不仅可以表示一个值大于10的数，也
可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意
a必须满足1≤|a|＜10，其中n是正整数．
第十五章 分式
15.3 分式方程
解分式方程的步骤：
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一
个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不
适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因
此，在解分式方程时必须进行验根．
3.可能产生“增根”的原因在哪里呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式
子(最简公分母)．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式
方程，它的解v＝6.当v＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是
说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得
整式方程的解与①的解相同．
方程②两边乘(x－5)(x＋5)，得到整式方程，它的解x＝5.
当x＝5时，(x－5)(x＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两
边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出
现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．
4.验根的方法：
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程
的根是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为
了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分
母)，看它的值是否为零．如果为零，即为增根．
如例1中的x＝5，代入x2－25＝0，可知x＝5是原分
式方程的增根．
四、课堂小结
1.分式方程：分母中含有未知数的方程．
2.解分式方程的一般步骤如下：
3.解分式方程容易犯的错误有：
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时， 没有添括号．
(分数线有括号的作用）
(3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0，
不舍掉.
拓展练习： 关于x的方程 无解,求k的值.
【解】方程的两边同乘(x+3)(x-3)得
x+3+kx-3k=k+3
整理得(k+1)x=4k
因为方程无解,所以x=3或x=-3.
当x=3时,(k+1) ·3=4k,k=3;
当x=-3时,(k+1)(-3)=4k, .
所以当k=3或 时,原分式方程无解.
2
1 k 3+k+ =x-3 x+3 x -9
3k= 7
3k= 7
例1 某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销，
他用8 000元购进一批衬衫，很快销售一空．再进货
时，他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4 元/件，
他用17 600元购进2 倍于第一次进货量的这种衬衫
．问第一次购进多少件衬衫？
列分式方程解决实际问题
8000
x
进货数量
（单位：件）
进货总价
（单位：元）
进货单价
（单位：元/件）
第一次
第二次
x
2x
8 000
17 600
分析：
17600
2x
17600 8000 42
- = .
x x
方程两边都乘2x，约去分母得，
17 600-16 000 =8x，
解得 x =200.
解：设第一次购进x件衬衫，由题意得，
检验：当x =200时，2x =400≠0，
所以，x =200是原分式方程的解，且符合题意.
答：第一次购进200件衬衫.
列分式方程解决实际问题的步骤
练习 商场用50 000元从外地采购回一批T恤衫，
由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一
次多两倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12
元．求第一次购进多少件T恤衫．
解得 x =1 000.
检验：当x =1 000时，3x =3 000≠0，所以，
x =1 000是原分式方程的解，且符合题意.
答：第一次购进1 000件T恤衫.
解：设第一次购进x 件T恤衫.由题意得，
186000 50000 123
- = .
x x
方程两边都乘3x，约去分母得，
186 000 -150 000 =36x，
八年级学生去距学校s km的博物馆参观，一部分
学生骑自行车先走，过了t h后，其余学生乘汽车
出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是学生
骑车速度的2倍，求学生骑车的速度。
拓展提高
检验：由于s，t 都是正数， x = 时，2x≠0，2
s
t
所以，x = 是原分式方程的解，且符合题意.2
s
t
答：学生骑车的速度是 km/h． 2
s
t
解：设学生骑车的速度是x km/h，由题意得，
2
- = .s s tx x
方程两边同乘2x，得 2s -s =2tx.
解得 x = ． 2
s
t
课堂小结
列分式方程解应用题的一般步骤：
(1)审：审清题意；
(2)设：设未知数(要有单位)；
(3)列：根据题目中的数量关系找出相等关系，列出方程；
(4)解：解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；
(5)答：写出答案(要有单位)．
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