人教版八年级数学上册第12章全等三角形

第十二章 全等三角形 12.1 全等三角形 同一张底片洗出的照片是能够完全重合的 像这样能够完全重合的两个图形叫做全等形 学习目标 新知学习 巩固练习 课堂小结 达标测试 全等三角形 学习目标 1、知道全等三角形的概念，并能说出它们的对应 元素。 2、会按对应元素表示两个三角形全等。 3、记住全等三角形对应边相等、对应角相等的 性质。 1、观察上图中的全等三角形应表示为： ≌ 。 2、根椐全等三角形的定义试想它们的对应边、对应角有什 么关系？ 请完成下面填空： ∵ △ ABC ≌ △ DEF（已知） ∴AB DE，BC EF，AC DF ∠A ∠D，∠B ∠E，∠C ∠F。 3、由此可得全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等、对应角相等 △ ABC △ DEF ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ A’ B’ C’ A B C 另外我们还可以根据边或角的大小来判断对应边与对应 角 （如上图） 。即最大边（角）是对应边（角）；最小 边（角）是对应边（角）。 一、请指出下列全等三角形的对应边和对应角 如上图，△ ABD ≌ △CDB则AB= ；AD= ； BD= ； ∠ABD= ； ∠ADB= ； ∠A= . CD BC DB ∠BDC ∠DBC ∠C 找出下列全等三角形的对应边和对应角 △ ABC ≌ △ DEF 找出下列全等三角形的对应边和对应角 △ ABC ≌ △DCB 二、请指出下列全等三角形的对应边和对应角 1、 △ ABE ≌ △ ACF 对应角是： ∠A和∠A、 ∠ABE和 ∠ACF、 ∠AEB和∠AFC；对应边 是AB和AC、AE和AF、BE和CF。 2、 △ BCE ≌ △ CBF 对应角是： ∠BCE和 ∠CBF、 ∠BEC和∠CFB、 ∠CBE和 ∠BCF。对应边是：CB和BC、 CE和BF、BE和CF。 3、 △ BOF ≌ △ COE 对应角是: ∠BOF和∠COE、 ∠BFO 和∠CEO、 ∠ FBO 和∠ECO。对应边是：OF和 OE、OB和OC、BF和CE。 例 如图,已知△ AOC ≌ △BOD.求证：AC∥BD. 课堂小结 1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2、全等三角形的对应边相等、对应角相等. 3、全等三角形用符号“≌ ”表示，且一般对应顶点 写在对应位置上. 4、在找全等三角形的对应元素时一般有以下规律： 在全等三角形中：有公共边的公共边是对应边；有公 共角的公共角是对应角；有对顶角的对顶角是对应角； 最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应 边（角）；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的 角是对应角；对应角所对的边是对应边；对应角所夹 的边是对应边。 第2课时 三角形全等的判定“边角边” 1.掌握“边角边”条件的内容． 2.能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等． 一、复习引入 1.什么是全等三角形？ 2.全等三角形有哪些性质？ 3.“SSS”具体内容是什么？ 二、新知探究 已知△ABC，画一个△A′B′C′，使AB＝A′B′，∠B＝∠B′， BC＝B′C′. 教师画一个三角形△ABC. 先让学生按要求讨论画法，再给出正确的画法． 操作： (1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一 起吗？ (2)上面的探究说明什么规律？ 总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分 别 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等 ， 简 写 成 “ 边 角 边 ” 或 “SAS”． 三、举例分析 多媒体出示教材例2. 例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先 在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A 和B.连接AC并延长到点D，使CD＝CA.连接BC并延长到点 E，使CE＝CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离， 为什么？ 四、课堂练习 如图，已知AB＝AC，点D，E分别是AB和AC上的点， 且DB＝EC.求证：∠B＝∠C. 学生先独立思考，然后讨论交流，用规范的书写完成 证明过程． 第3课时 三角形全等的判定“角边角”“角角边” 1.掌握“角边角”及“角角边”条件的内容． 2.能初步应用“角边角”及“角角边”条件判定两 个三角形全等． 一、复习导入 1.复习旧知： (1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？ 三个角、三个边、两边一角、两角一边． (2)到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法 有几种？各是什么？ 2.在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们 研究了三种，我们接着探究已知两角一边是否可以判 定两三角形全等． 二、探究新知 1.在三角形中，已知两角一边有几种可能？ (1)两角和它们的夹边； (2)两角和其中一角的对边． 做一做： 三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm， 你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪 下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？ 学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律． 教师活动：检查指导，帮助有困难的同学． 活动结果展示： 以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合， 这说明这些三角形全等． 提炼规律： 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．(可以简 写成“角边角”或“ASA”) 例 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C. 求证：AD＝AE. 2.出示探究问题： 如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝ EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角定理证明你的 结论吗？ 四、课堂小结 有五种判定两个三角形全等的方法： 1.全等三角形的定义 2.边边边(SSS) 3.边角边(SAS) 4.角边角(ASA) 5.角角边(AAS) 推导两个三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们 对应相等的元素，这样有利于获得解题途径． 第4课时 直角三角形全等的判定“斜边、直角边” 1.探索和了解直角三角形全等的条件：“斜边、 直角边”． 2.会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形 全等． 一、情境引入 (显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人 员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有 一条直角边被花盆遮住无法测量． (1)你能帮他想个办法吗？ (2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 方法一：测量斜边和一组对应的锐角(AAS)； 方法二：测量没遮住的一条直角边和一组对应的锐角 (ASA或AAS)． 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边， 发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全 等的”．你相信他的结论吗？ 二、探究新知 多媒体出示教材探究5. 任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°，再画一个 Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画 好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？ 画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.想 一想，怎样画呢？ 按照下面的步骤作一作： (1)作∠MC′N＝90°； (2)在射线C′M上截取线段B′C′＝BC； (3)以B′为圆心，AB长为半径画弧，交射线C′N于点A′； (4)连接A′B′. △A′B′C′就是所求作的三角形吗？ 学生把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC上，观察这两个 三角形是否全等． 由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简 写成“斜边、直角边”或“HL”． 多媒体出示教材例5 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝ BD.求证：BC＝AD. 想一想： 你能用几种方法判定两个直角三角形全等？ 因为直角三角形是特殊的三角形，所以不但可以使用一般 三角形判定全等的方法：SAS，ASA，AAS，SSS，而且 可以使用直角三角形判定全等的方法——“HL”． 三、巩固练习 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一 端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的 距离相等吗？请说明你的理由． 学生独立思考完成．教师点评． 第十二章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定 第1课时 三角形全等的判定“边边边” 1.掌握“边边边”条件的内容． 2.能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等． 3.会作一个角等于已知角． 一、复习导入 多媒体展示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质， 从而得出结论：全等三角形的对应边相等，对应角相 等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定 全等． 思考：三角形的六个元素分别相等，这样的两个三角形一 定全等吗？ 二、探究新知 根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需 要六个条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分，是否 也能保证两个三角形全等呢？ 出示探究1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使 △ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个．你画出 的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？ (1)三角形的两个角分别是30°，50°. (2)三角形的两条边分别是4 cm，6 cm. (3)三角形的一个角为30°，一条边为3 cm. 学生剪下按不同要求画出的三角形，比较三角形能否和原三 角形重合． 引导学生按条件画三角形，再通过画一画，剪一剪，比一比 的方式得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所 画出的三角形一定全等． 出示探究2：先任意画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝ BC，C′A′＝CA.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们 能重合吗？ 让学生充分交流后，教师明确已知三边画三角形的方法， 并作出△A′B′C′，通过比较得出结论：三边分别相等的 两个三角形全等． 强调在应用时的简写方法：“边边边”或“SSS”． 实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的 大小和形状是固定不变的． 明确：三角形的稳定性． 三、举例分析 例1 如图，△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与 BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD. 引导学生应用条件分析结论，寻找两个三角形的已有条件， 学会观察隐含条件． 让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程． 教师引导学生作图． 已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB. 讨论尺规作图法，作一个角等于已知角的理论依据是什么？ 教师归纳：(1)什么是尺规作图；(2)作一个角等于已知角 的依据是“边边边”． 第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 角的平分线的性质（第1课时）  A O B C 活 动 1 （对折） 情景问题 1 、 如 图 ， 是 一 个 角 平 分 仪 ， 其 中 AB=AD,BC=DC。 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的 两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角 平分线，你能说明它的道理吗? 活 动 2 A D B C E 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等无法 折的角，又该怎么办呢？ 证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义） A D B C E 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？ （不用角平分仪或量角器） O A B C E 活 动 3 N O M C E N M 新知探究 1〉平分平角∠AOB 2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得 到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ 3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过 直线上一点作这条直线的垂线的方法。 活 动 4 AB O C D (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角 形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折 叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 活 动 5 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE. 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） P A O B C E D 12 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D， PE⊥OB于点E. 求证:PD=PE. 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） 角平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在角平分线上； （3）距离。 定理的作用： 证明线段相等。 应用定理的书写格式： OP 是 的平分线AOB OAPD  OBPE  PD = PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵ 推理的理由有三个， 必须写全，不能少了 任何一个。 A O B D P E ∴ ∴ 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P在∠AOB的平分线上的点，PE⊥OA， PF⊥OB，则PE=PF.（√） （2）如图2，P是∠AOB的平分线上的点，E、F分别在OA 、OB上，则PE=PF.（╳） （3）如图3，在∠AOB的平分线上任取一点P，若P到OA的 距离为3 cm，则P到OB的距离也为3cm.（√）A O B P E F 图2 图3 A O B P EA O B P E F图1 如图：在△ABC中，∠C=90°， AD是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF.求证：CF=EB. A C D E B F 分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们 所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件 ? DC=DE (角平分线的性质) 再用HL证明. 实践应用 知识小结： 本节课学习了哪些知识？有哪些运用？你学会了吗？ 做了吗？用了吗？ 1.角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的 两边的距离相等. 2.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途 径. 角的平分线的性质（第2课时）  学习目标：  1．探索并证明角的平分线的性质定理的逆定理.  2．会运用角的平分线的性质定理的逆定理解决问题． §学习重点： 角的平分线的性质定理的逆定理． P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 几何语言：∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD= PE 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 角的平分线的性质： 不必再证全等O D E P A C B 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在 这个角的平分线上呢？ P 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、 E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上. P C 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝ PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． ∴ ∠ POD＝∠POE ∴点P在∠AOB的平分线上 P C 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 用数学语言表示为： 角平分线的性质定理的逆定理（角平分线的判定） 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路 的距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集 贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20 000） 思考 D C S 解：作公路与铁路的夹角的 平分线OC， 截取OD=2.5cm , D即为所求。 证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H， FM⊥BC于M. G H M ∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC， ∴FG=FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上，      FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM=FH. ∴FG=FH，∴点F在∠DAE的平分线上.    如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点 F. 求证：点F在∠DAE的平分线上． 课堂练习 如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个 货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有 几处? 画出它们的位置. l1 l3 l2 课堂练习 P1 P2 P3 P4 l1 l2l3 A B C E F D 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别是E、F，且BE＝CF.求证：AD是△ABC的角平分线. 课堂练习 在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC ，DE⊥AB， DF⊥AC， 下面给出三个结论： (1)DA平分∠EDF; (2)AE=AF; (3)AD上的点到B、C两点的距离相等， 其中正确的结论有( 3个 ). 课堂练习 A B C E F D 已知：如图,在△ABC中， BD＝CD, ∠1= ∠2. 求证：AD平分∠BAC. D A B C 1 2 课堂练习 •已知:BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD,CE相交于点F,CF=BF, •求证:点F在∠A的平分线上. D E F C A 课堂练习 B 如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠C=90°，M是BC的中点， DM平分∠ ADC。 求证：AM平分∠DAB. D A B C M 拓展提高 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 1、角平分线的判定： 2、三角形的角平分线的交点： 三角形的三条角平分线交于一点. 3、角的平分线的辅助线的作法： 见角平分线就作角两边的垂线段.