人教版八年级数学上册第11章三角形

11.1.1 三角形的边 读一读 • 什么样的图形叫三角形？ • 什么是三角形的边、顶点、内角？ • 如何用符号语言表示一个三角形？ 你认识三角形了吗？ 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的 图形，叫做三角形。 注意： （1）三条线段 （2）不在同一直线上 （3）首尾顺次相接 A CB 1.线段AB、BC、CA叫做三角形的边。 2.点A、B、C叫做三角形的顶点。 3.∠ A、 ∠ B、 ∠ C叫做三角形的内角， 简称三角形的角。 三角形ABC的三边,有时也用a、b、c来表示. 一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作 b,顶点C所对的边记作c a bc A B C 三角形用符号“△”表示 记作“△ ABC”读作“三角形ABC” 除此△ ABC还可记作△BCA, △ CAB, △ ACB等 A D CB E 1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。 2.以AB为边的三角形有哪些？ △ABC、△ABE 3.以E为顶点的三角形有哪些？ △ ABE 、△BCE、 △CDE 试一试 4.以∠D为角的三角形有哪些？ △ BCD、 △DEC ΔABE ΔABC ΔBEC ΔBCD ΔECD 5.说出ΔBCD的三个角. ∠BCD 、 ∠CBD 、∠D 想一想 •三角形按照角的大小可以怎样分类呢？（独立思考） （锐角三角形 、直角三角形、 钝角三角形） •三角形按照三边的大小关系又可以怎样分类呢？（独立思考） （等边三角形 、 等腰三角形（底边与腰不相等） 、 不等边 三角形） •思考：等腰三角形与等边三角形有什么共同之处？ •三角形按边怎样进行分类更准确呢？（与同伴交流） 在等腰三角形中，相等的两条边都叫腰，另一边叫做 底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 腰 腰 底 顶 角 底角底角 按角分 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 按边分 不等边三角形 等腰三角形 三角形的分类 底边和腰不相等的等腰三 角形 等边三角形 议一议   如图，在三角形ABC中，假设有一只小虫要从 点B出发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线 可以选择？各条路线的长一样吗？A B C 路线1:由点B到点C。 路线2:由点B到点A，再由点A到点C。 两条路线长分别是BC,AB+AC. 由“两点之间，线段最短”可以得到AB+AC>BC 同理可得：AC+BC>AB,AB+BC>AC 三角形的三边有这样的关系： 三角形任意两边的和大于第三边 结 论 •通过移项我们还可发现： 三角形任意两边之差小于第三边 • 某村庄和学校分别位于两条交叉的大路边 （如图）。可是，每年冬天麦田总会走出一 条小路来。你说学生为什么会这样走呢？ 村庄 学校 麦 田 学习目标 •认识三角形，了解三角形的定义，认识三角形的 边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。 •能从不同角度对三角形进行分类。 •掌握三角形三边的不等关系，并能运用三角形三 边的不等关系解决生活实际问题。 11.1.2 三角形的高、中线与角 平分线 11.1.3 三角形的稳定性 • 1.掌握三角形的高、中线、角平分线、重心的定 义中体现出来的性质． • 2.会画三角形的高、中线、角平分线． • 3.了解三角形的稳定性． 重点 了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会 用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线， 了解三角形具有稳定性这一性质． 难点 1.三角形的角平分线与角的平分线的区别，三 角形的高与垂线的区别． 2.钝角三角形的高的画法． 3.不同的三角形的三条高的位置关系． 一、情境导入 生活实例演示： 人字型屋顶钢架、风筝骨架，并从中抽象出数 学图形，引出三角形中的特殊线段． 二、探究新知 (一)三角形的高 问题1：如何求三角形的面积？ 问题2：什么是三角形的高，怎样画三角形的高？教 师首先提出问题1，学生举手回答，然后教师进一步提 出问题2.引入本节课的第一个概念． 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．如图，AD是 △ABC的边BC上的高． 想一想，一个三角形有几条高？ 教师要求学生举手画三个不同的三角形，即锐角三角形、 直角三角形、钝角三角形，并作出它们的高，然后同学间进 行交流． 观察：每一个三角形的三条高有什么位置关系？ 三条高交于一点． 教师提出问题：各三角形的高都分别交于一点吗？ 学生讨论交流，归纳结果． 练习：教材第5页练习第1题． 学生独立观察，然后交流，归纳． (二)三角形的中线与角平分线的概念及画法 1.三角形的中线及其画法． 2.三角形的角平分线及其画法． 教师指出三角形的中线的定义及角平分线的定义，然后仿 照三角形的高的教学过程，安排学生画一画，并相应地提 出类似的问题． 学生动手操作，然后交流，探讨，师生共同归纳总结． 三角形的三条中线都在三角形的内部，且它们相交于一点 ．三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心． 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且它们相交 于一点． 三角形的三条高不一定在三角形的内部，它们也相交于 一点． 三角形的高、中线、角平分线都是线段． (三)三角形的稳定性 教师利用折尺让学生先折成三角形的样子，然后拆成四 边形的样子，认识三角形的稳定性． 学生认识到三角形的稳定性以后，让学生找出几个生活 中利用三角形的稳定性的例子，并完成教材第7页练习． 三、练习巩固 练习：教材第5页练习第2题． 思考：如图，AD是△ABC的边BC上的中线， △ABD和△ADC的面积有何关系，为什么？ 教师布置练习，学生独立完成，然后举手回答． 教师利用投影出示思考题，学生进行讨论后，再进 行归纳． 归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两 部分． 思考：高和角平分线是否也有这样的性质呢？    四、小结与作业 小结：谈谈你对三角形的高、中线、角平分线的认识． 教师引导学生归纳三角形的高、中线、角平分线的相关 性质． 布置作业：习题11.1第3，4，8题，选做题：第9题． 第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 三角形的内角与外角: 内角的定义:三角形两边组成的夹角,叫做三角形的内角。 外角的定义:三角形的一边与另一边的延长线形成的角,叫做 三角形的外角.       ACB B A 三角形的内角 ACD三角形的外角： 注意:三角形有3个内角,3对外角 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于1800 三角形的外角和等于3600 )2(202 )1(1803 1802 220 180 0 0 0 0 0      BC CB CBC CABA CBA ，即 ，， ，解题思路： 例1.在△ABC中,若∠A-∠B=200,∠A=2∠C,则 ∠A= .∠B= .∠C= .800 600 400 ， ，得： 0 0 40 2005)2()1(   C C .6080 00  BA ， 三角形外角的性质： (1)三角形任一外角等于与它不相邻的两个内角和. (2)三角形任一外角大于与它不相邻的两个内角中 的一个. BAACD ACDACB ACBBA    0 0 180 180 BACDAACD  或 5 0360541  中，在 DBF ACDDCE  53中，在 0 0 0 180325 218053 2180   DCE 0 00 0 5404321 1803241360 413605    例2.如图,∠1+∠2+∠3+∠4的度数为多少？ 例3.如图,BD、CE是△ABC的角平分线,相交于O,若 ∠BOC=1320,求∠A的度数. 1 2 ACBABC ACBCEABCBD   2 12,2 11 , 平分平分解： AACBABC ACBABCA ABC    0 0 180 180 中在 BOC BOC OBC    0 0 18021 18021 中在 000 4813218021  0 00 00 0 84 96180 18096 1802212     A A A 例4.如图,在△ABC中,D是AC边上一点,∠A=∠ABD, ∠BDC=∠C,∠ABC=630,求∠DBC的度数. ABDBDC ABDA ABDABDC ABD     2  中解：在 ABDC CBDC   2  ABDDBC DBCABDABD DBCBDCC BCD     4180 18022 180 0 0 0 中在 ABDDBC CBDABD CBDABDABC    0 0 63 63  0 0 00 39 1173 418063    ABD ABD ABDABD 000 243963  CBD 例5.如图,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=400,并且 ∠ADE=∠AED.求∠CDE的度数． CDECADE ADEAED CDECAED CDE      中解：在 CDEADEBADB CDEADEADC BADBADC ABD      中在 CDECDECB  040 0 0 20 402    CDE CDE CB 例6.如图,在△ABC中,∠C=700,∠B=400,AD⊥BC于D,AE 平分∠BAC,求∠EAD的度数. 0 000 0 70 4070180 180     BAC BACCB ABC  中解：在 0352 1   BACBAE BACAE平分 000 753540    AED BAEBAED ABE  中在 000 0 0 157590 90 90     AEDEAD AEDEAD BCAD 1.如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=500,将其折叠,使点A落在 边CB上A'处,折痕为CD,则∠A'DB=（ ） A.40° B.30° C.20° D.10° 课堂同步练习 000 0 000 0 104050' 50'' 405090 90     BDA DCABDAB B BA   解题思路： D 2.如图,在△ABC中,BD⊥AC于D,若∠A:∠ABC:∠ACB= 7:5:6,则∠ABD= . 0 0 0 0 10 18018 180657 180 5,6,7      x x xxx CABCA xABCxCxA  设 0 0 20 70   ABD A 200 3.如图,在△ABC中,∠C=900,∠CAB,∠CBA的平分线相交 于点D,BD的延长线交AC于E,则∠ADE的度数是________. 000 00 45135180 1352 190   ADE CADB 450 4.请阅读下列情境，回答问题.          )3(40 )2(2 1 1180 0 0 BA CBA CBA ）（ 解：由题意可知 0 0 120 1802 3   C C      0 0 40 60 BA BA 0 0 50 1002   A A 010 B 第十一章 三角形 11.3 多边形及其内角和 问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少吗？ 其他四边形的内角和是多少？ 问题1：你还记得三角形内角和是多少度吗？ （三角形的内角和等于 180°） （都是360°） 想一想 1. 从n边形的一个顶点可以引＿＿＿＿＿条对角线， 将n边形分成了________个三角形. 2. n边形的对角线一共有＿＿＿＿__ 条. （n-3） （n-2） ( 3 ) 2 n n  温故知新 A B C D 问题3：在探究四边形的内角和时，有的 同学不是用量角器度量计算得到，而是 按 照如图所示，利用辅助线将四边形分割成 两个三角形的方法，利用三角形的内角和 等于180°，得到四边形的内角和等于 360°。你能说明它的合理性吗？并且启发 你能否借助辅助线找到不同的分割方法呢？ 想一想 P A B C D 图 1 如图1，在四边形内任取一点P,连 接PA、PB、PC、PD将四边形变 成有一个公共顶点的四个三角形， 四边形的内角和等于180°×4 － 360°= 360° P A B DC 图 2 如图2，在四边形的一边上任取一点P, 连接PB、PC，将四边形变成有一个公 共顶点的三个三角形，四边形的内角 和等于180° ×3－ 180° = 360° P A B C D 图 3 如图3，在四边形外任取一点P,连接 PA、PB、PC、PD.将四边形变成有 一个公共顶点的四个三角形，四边形 的内角和等于180° ×3－ 180° = 360° 学一学 四边形的内角和为360° B A C D E 五边形的内角和为3×180°＝540° A B C D E F 180° × 4 – 180° = 540° E A B C D O 180°× 5 – 360°= 540° A B C D E 4 × 180°－180 °=540° O 学一学 四边形的内角和 （4－2）× 180° = 360° 五边形的内角和 （5－2）× 180° =540° 六边形的内角和 （6－2）× 180°=720° 七边形的内角和 （7－2）× 180° = 900° B A C D G F E n边形的内角和为(n－2) ·180° 2.如果一个多边形的内角和是1440°，那么这是几边形。 解析：由多边形的内角和公式可得（n - 2）· 180 = 1 440，n - 2 = 8，n =10，∴这是十边形。 3.已知一个多边形每个内角都等于 108° ，求这个多边形 的边数？ 1.八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？ 解：设这个多边形的边数为n，根据题意得： (n－2) ×180=108n 解得n=5 答：这个多边形是五边形。 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么 关系？ A B C D 解： 如图，在四边形ABCD中， ∠A+ ∠C =180° ∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 ° 因为 ∠B＋∠D = 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =180° 即如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补． 所以 例1 ： 如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两 个角的关系是__________.互补 1.十二边形的内角和是（ ）. 2.当一个多边形的边数增加1时，它的内角和增加 （ ）. 3.一个多边形的内角和是720º，则此多边形共有 （ ）个内角. 4. 如果一个多边形的内角和是1440°，那么这是 （ ）边形. 1 800º 180º 6 十 【例2】如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角， 这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和 等于多少？ 6 E B C D 1 2 3 4 5 A 五边形的外角和 =5个平角－五边形的内角和 =5×180°－(5－2) ×180° =360 ° 结论：五边形的外角和等于360°. 6 E B C D 1 2 3 4 5 A 【例2】如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角， 这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等 于多少？ 例3 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些 外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多 少？ 1 2 3 4 A B C D E F 5 6 探究 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角 的和叫做n边形的外角和． n边形的外角和 =n个平角-n边形的内角和 = n×180 °－(n－2) × 180°=360 ° 结论：n边形的外角和等于360°. A1 E B C D 2 3 5F n n边形的外角和是多少度? 4 正n边形的每个内角的度数是  2 180n n    正n边形的每个外角的度数是 360 n  (1)若十二边形的每个内角都相等,那么每个内角是______°. (2)已知多边形的每个内角都是135°,则这个多边形是_______. (3)如果某个多边形的内角和等于它的外角和,那么这个多边 形的边数是________. 150 八边形 4 练习2： 已知一个多边形，它的内角和等于外角和 的2倍，求这个多边形的边数. 解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n－2)·180°， 外角和等于360º， ∴ (n－2)·180°=2× 360º. 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6. 今天的收获 1、n边形的内角和等于（n－2）×180°. 3、利用类比归纳、转化的学习方法，可以把多边形问题 转化为三角形问题来解决; 外角问题转化为内角来解决. 4、方程思想在几何中有重要的作用.  本节课你学会哪些知识？学会了哪些解决问题的方法？你 还有哪些疑问？ 2、n边形的外角和等于360°.