人教版七年级数学上册第一章有理数

第一章 有理数 1.1 正数与负数 在生活、生产、科研中，经常遇到数的表示与数的运 算的问题．例如： 1、天气预报2007年11月某天北京的温度为-3~ 3°C，它 的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？ 这天的最高温度是零上3°C，最低温度是零下3°C， 温差是6°C． 2、有三个队参加的足球比赛中，红队胜黄队（4：1）， 黄队胜蓝队（1：0），蓝队胜红队（1：0），如何确定三个 队的净胜球数与排名顺序？ 3、某机器零件的长度设计为100mm,加工图纸标注的 尺寸为100 0.5（mm），这里的 0.5代表什么意思？合 格产品的长度范围是多少 ？  4、纳米是一种非常小的长度单位,它与长度单 位“米”的关系为1纳米= 米，应怎样理解这种 记数法的表示？ 910 纳米冰箱生产线 这里出现了一种新数： -3 表示零下3摄氏度， -2 表示净输2球， -0.5 表示小于设计尺寸0.5mm 而： 3 表示零上3摄氏度， 2 表示净胜2球， +0.5 表示大于设计尺寸0.5mm 像-3，-2, -0.5, …这样的数（即以前学过的0以 外的数前面加上负号“-”的数叫做负数． 而在小学学过的除“0”以外的数都叫正数． 为了突出数的符号,可以在正数的前面加“+” 号，如+5, + ，+1.2, … 1 2 我们常常用正数和负数表示一些意义相反的量! 0既不是正数,也不是负数. 观察下图，试着说明它们的海拔高度． 珠穆朗玛峰的海拔高度为8848米，吐鲁番盆 地的海拔高度为-155米． 0 （1）一个月内，小明体重增加2 kg，小华体重减少 1 kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值； 例题 解：（1）这个月小明体重增长2 kg，小华体重增长 -1 kg，小强体重增长0 kg． （2）2006年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情 况是： 美国减少6.4%， 德国增长1.3%， 法国减少2.4%， 英国减少3.5%， 意大利增长0.2%，中国增长7.5%． 写出这些国家2006年商品进出口总额的增长率． 解：六个国家2006年商品出口总额的增长率： 美国 -6.4%， 德国 1.3%， 法国 -2.4%， 英国 -3.5%， 意大利 0.2%， 中国 7.5%． （1）如果零上5°C记作+5 °C，那么零下 3°C记作什么？ （2）东、西为两个相反方向，如果- 4米表 示一个物体向西运动4米，那么+2米表示什么？ 物体原地不动记为什么？ （3）某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5吨, 那么运出3.8吨应记作什么? 课堂练习 解:（1）零下3°C记作-3°C． （2）+2米表示一个物体向东运动2米； 物体原地不动记为0米． （3）运出3.8吨应记作- 3.8吨． 课堂练习  １．(1) 在知识竞赛中，如果用+10分表示 加10分，那么扣20分怎样表示？ (2) 某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时 针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈 怎样表示？ (3) 在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超 出标准质量0.02克记作+0.02，那么-0.03克 表示什么? 课堂小测 2．读下列各数，并指出哪些是正数？哪些是负数？ 99,14.3,02.0 ,14.3,2 12,2 13,0,2,8   温度的表示方法 1 2 3 0 1 2 0 ℃ 零上2 ℃ 零下2℃ +2 ℃ - 2 ℃ 0只表示没有吗? 引入正负数后，0不再简简单单的只表示没有。它具 有丰富的意义,是正负数的基准。 0既不正数，也不是负数。 1.空罐中的金币数量; 2.温度中的0℃; 3.海平面的高度; 4.标准水位。 1、正数：以前学过的数中，除0外的数叫做正数。如：+5， +0.23, 8818，… 2、负数：在正数前面加上“-”号的数叫做负数。如：-5， -0.54，… 3、0既不是正数，也不是负数。 4、可以用正数与负数表示具有相反意义的量。 5、一个数前面的“+”，“-”号叫做它的符号。 具有相反意 义的两个量 规定其中一个为正 用正数表示 分界点为零 则另一个为负 用负数表示 第一章 有理数 1.2 有理数 我们学过的数： 正整数，如：1，2，3，… 零，0 负整数，如：-1，-2，-3 ，… 正分数，如： ， ，0.1，5.32，… 负分数，如： ，- 0.5，-150.32，… 整 数 分 数 2 1 正整数、零、负整数统称为整数。 正分数、负分数统称为分数。 整数和分数统称为有理数。 有理数可以怎样分类呢？ 有 理 数 整数 分数 正整数 零 负整数 正分数 负分数 有理数 正有理数 零 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 如果按性质（正数、负数）来分类，又该怎样来 分呢？ 把下列各数填入它所属于的集合的圈内: 15, ，-5, , , 0.1, -5.32 , -80, 123, + 2.33 正数集合 正分数集合 整数集合 负分数集合 … … … … 在下表适当的空格里画上“√”号 有理数 整数 分数 正整数 负分数 自然数 -9 -2.35 0 +5 3 2 1、观察温度计，体会数、形对应。 学生观察温度计后回答下列 问题： -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 ①零上5℃怎样表示？ ②零下10℃怎样表示？ ③0℃怎样表示？ 2、画情境图，体会方向与距离。 在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和 7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分 别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境。 汽 车 站 0 1 3 7.5-3-4.8 3、对比观察，引入课题。 1、画一条水平直线，在直线上任取一点0,叫原点 2、规定直线上向右的方向为正方向， 3、选取适当的长度作为单位长度。 画数轴 （1）画直线，取原点 （2）标正方向 （3）选取单位长度，标数 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a在原 点的____边，与原点的距离是____个单位长度；表示数 -a的点在原点的____边，与原点的距离是____个单位长 度。 观察数轴上的有理数排列？ 0 1 2 3-1-2-3 a左 a右 0 1 2 3-1-3-4 4 -1.5 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示;但 数轴上的点不全都表示有理数。 例1：在数轴上表示下列各数 +3，-4，，-1.5 -2 +3-4 0 1 2 3 -1 -2 A D C B 解：点A表示 -2；点B表示2； 点C表示0；点D表示- 1。 例2: 指出数轴上A，B，C，D各点分别表示什么数。 复习巩固： 1.什么是数轴？他的三要素是什么？ 2.数5和–5到原点的距离各有多少个单位长度？ 问题1：在数轴上，画出表示5与－5的点，并观察这两 个点具有怎样的特征？ 在数轴上， 5与－5所对应的点位于原点两侧，且与原 点的距离相等。 问题2：举出几组具有这种特点的两个数？ 如：2和－2, 1.5和－1.5 思考 数轴上与原点距离是2 的点有____个，这些点表示的 数是________；与原点的距离是5 的点有____个，这些 点表示的数是________。 0 2-2 两 2和-2 5和-5 两 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是 a的点有_____个，它们分别在原点的______，表示 _______，我们说这两点________________。 注意：a和-a到原点的距离相等。 归纳： 两 左右 -a和a 关于原点对称 观察这两个数，有什么相同和不同？ 5.3 5.3 数字相同 符号不同 像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫 做互为相反数；特别地，0的相反数是0。 即：一般地，a和_____互为相反数；特别地，0 的相反数是____。0 -a 数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系？ 1.互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）； 2.互为相反数的两个数到原点的距离相等。 1. 判断： （1）－5是5的相反数（ ）; （2）－5是相反数（ ）; （3） 与 互为相反数（ ）; （4）－5和5互为相反数（ ）. 2 12 2 1 （5） 相反数等于它本身的数只有0 ﹙ ﹚ （6） 符号不同的两个数互为相反数﹙ ﹚ × √ × √ √ × a 的相反数是-a ， a可表示任意数。 求任意一个数的相反数，就可以在这个数前加一个“－”号． -（＋1.1）表示什么？-（-7）呢？ -（-9.8）呢？它们的结果应是多少？ 问题：若把 a分别换成＋5，-7，0时，这些数的相反数怎样 表示？ a = +5， - a = -（+5） a = -7， - a = -（-7） a = 0， - a = 0 在一个数前面加上“－”号表示求这个数的相反 数，如果在这些数前面加上“＋”号呢？ 在一个数前面加上“＋”仍表示这个数，“＋”号 可省略． 课堂小结 1.相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相 反数；特别地，0的相反数是0。 2． 表示求 的相反数。a a 0 1 2-1-2 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 规定：0的相反数是0。 0 1 2 3 4-1-2-3 大象距原点 多远? 两只小狗分别距 原点多远? 例如：大象在数轴上+4点，距离原点4个单位长度， 即 +4的绝对值等于4。 0 6-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 BA │－５│＝５ │４│＝４ 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a 的绝对值.用“| |”表示,记作 |a|（这里的数a可以是 正数、负数和0） 绝对值： 两只小狗呢? 记作│+ 3│＝3 │－3│＝3 如果一个数为-5，则它的绝对值呢? 求下列各组相反数的绝对值。 (1)9,-9;(2)0.6,-0.6;(3) 1 1;8 8  解: （1）|9|=9 | -9 |= 9 （2）|0.6|=0.6 |-0.6|=0.6 | |= |- |=1 8 1 8 1 8 1 8 （3） 例1. 互为相反数的两个数的绝对值有什么关系? 0-4 -3 -2 -1 321 原点 -3到原点的距离是3 +3到原点的距离是3 互为相反数的两个数的绝对值相等. |－4|=4|－2|=2 |0|=0|2|=2|4|=4 观察数轴上的点所对应的数，它们的绝对值分别是 多少？一个数的绝对值与它们本身又有什么关系呢？ 0 2 4－2－4 6－6 ABCDE 1.正数的绝对值是它本身; 2.负数的绝对值是它的相反数; 3.0的绝对值是0. 性质 因为正数可用a＞0表示，负数可用a＜0表示，所以 上述三条可表述成：             0a而且 (3)如果a＝0，那么|a|＝______ (2)如果a＜0，那么|a|＝______ (1)如果a＞0，那么|a|＝______a -a 0 (1)绝对值是3的整数有几个？各是什么？ (2)绝对值是0的数有几个？它是什么？ (3)是否存在绝对值是－2的数？若存在，请说出来？ 绝对值小于3的整数一共有5个，它们分 别是－2，－1，0，1，2。 绝对值是0的数有一个，就是0。 没有绝对值是－2的数。因为 0 ≥|a| 做一做 (1)在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小. -1.5 ，-3 ，-1 ，-5 ; (2)求出（1）中各数的绝对值，并比较绝对值的大小. (3)完成(1)(2)你发现了什么？ 第一章 有理数 1.3 有理数的加减法 有理数的加法 1.3 有理数的加减法 知识目标:了解有理数加法的意义,会根据有理数 加法法则进行有理数的加法运算. 教学重点：了解有理数加法的意义，会根据有理数 加法法则进行有理数的加法运算。 教学难点：有理数加法中的异号两数如何进行加法 运算。 一只可爱的小企鹅，在一条东西走向的笔直公路上蹒跚 而行。现规定向东为正，向西为负。 如果小企鹅先向东行走3米，再继续向东行走4米，则小 企鹅两次一共向哪个方向行走了多少米？ 0 3 4 5 6 7 8-1 1 2 东 答: 小企鹅两次一共向东行走了7米. 规定向东为正,写成算式为： （+3）+（+4）= + 7 如果小企鹅先向西行走3米，再继续向西行走5米， 则小企鹅两次一共向哪个方向行走了多少米？ -7 -4 -3 -2 -1 0 1-8 -6 -5 东 答：小企鹅两次行走一共向西行走了8 米. 规定向东为正,写成算式为： (- 3)+(- 5) = - 8 你能从上面的两个算式中发现什么？ 同号两数相加,取相同的符号，并把绝对值相 加. （+3）+（+4）= +7 (- 3 ) + ( - 5 ) = - 8 加数 加数 和 如果小企鹅先向东行走2米，接着向西行走6米，则 小企鹅两次行走一共向( )走了( )米.西 4 -4 -1 0 1 2 3 4-5 -3 -2 东 (+2)+(-6) = 规定向东为正,写成算式为: - 4 如果小企鹅先向西行走3米，接着向东行走5米，则小 企鹅两次行走一共向( )走了( )米.东 2 -4 -1 0 1 2 3 4-5 -3 -2 东 规定向东为正,写成算式为： (-3)+(+5)= +2 从以上两个算式你能从中发现什么? 异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号，并用较大 的绝对值减去较小的绝对值. (+2)+(- 6)= - 4 (-3)+(+5)= +2 加数 和加数 (2) (+ 2) + (- 2) =___; (1) (- 4) + (+ 4)=___;0 0 (4) ( +4 ) + 0 =___.(3) ( - 3 ) + 0 =____;- 3 +4 由此,你又能发现有理数相加有哪些运算规律吗？ 一个数同零相加，仍得这个数。 互为相反数的两个数相加，和为零。 你能模仿小企鹅的运动方法，完成下列算式吗？ 有理数的加法法则 一、同号两数相加： 二、绝对值不相等的异号两数相加： 三、互为相反数的两个数相加： 四、一个数同零相加： 取相同的符号，并把绝对值相加. 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对 值减去较小的绝对值. 得零. 仍得这个数. 通过有理数加法法则的学习，同 学们，你们认为如何进行有理数加 法运算呢？ 赶快动脑筋，说 说自己的想法？ 1、先判断类型（同号、异号等）； 2、再确定和的符号； 3、最后进行绝对值的加减运算。 发挥你的聪明才 智,若回答问题 正确,则可打开 一扇门. 1.计算: （1）(+5)+(+3) (-5)+(-3) (-11)+(-6) = 8 = -8 = -17 （2）(+5)+(-3) (-5)+(+3) (-11)+(+6) = 2 = - 2 =-5 变换题型了 （1）（__5）+( __5）＝0 （2）（ __7 ）+（-5）＝-12 _ _ + （3）（-10）+（ __11）＝ 1   （4）（__2.5）+（__2.5 ）=-5_ + _ 打开这一扇门,你会有所 发现你发财了，你获得了 最宝贵的财富—知识。 有理数的加法 口 答 下 列 各 式 1 . ( ＋ 1 1 ) ＋ ( ＋ 9 ) = 2 . ( － 8 ) ＋ ( － 2 ) ＝ 3 . ( － 1 2 ) ＋ ( ＋ 4 ) ＝ 4 . ( ＋ 7 ) ＋ ( － 6 ) ＝ 5 . ( ＋ 1 0 0 ) ＋ ( － 1 0 0 ) ＝ 6 . ( － 1 8 ) ＋ 0 ＝ 利 用 有 理 数 加 法 解 决 下 列 实 际 问 题 1 、 一 人 一 个 月 工 资 可 得 8 0 0 元 ， 奖 金 可 得 5 0 0 元 ， 这 个 人 一 个 月 收 入 多 少 元 ？ 2 、 一 个 人 向 东 走 了 2 0 0 米 ， 又 向 西 走 了 3 0 0 米 ， 结 果 他 是 向 东 走 还 是 向 西 走 ， 向 东 或 向 西 走 了 多 少 米 ？ 数扩展到有理数之后,下面的结论还成立吗?请说明理 由(如果认为结论不成立,请举例说明): (1)若两个数的和是0,则这两个数都是0. (2)任意的两个数相加,和不小于任何一个加数. 有些语句还正确吗? 小结 1、有理数的加法法则； 2、一个有理数由符号和绝对值两个部分组成的， 在进行同号或异号两个有理数相加，首先判断加法 类型，再确定和的符号，最后确定绝对值是和还是 差。 有理数的减法 新知引入 问题1：某天当地中午12时的气温为20 ℃ ，傍 晚18时下降了8 ℃ ，那么傍晚的气温是多少？ 如何计算？ 20 - 8 = 12 ℃ 大 小- 问题2：某天当地下午17时的气温为3 ℃ ，晚上22 时下 降了6 ℃ ，那么晚上22时的气温是多少？ 3–6 = ? 小–大 = ? 问题3：据襄樊市气象台预报：2012年2月7日，我市最 高气温,4 ℃ ，最低气温–3 ℃ ， 请问这天的温差是 多少？你是怎样算的？ 4–(–3)= ? 正数–负数 = ? 问题2：某天当地下午17时的气温为3 ℃ ，晚上22时下降 了6 ℃ ，那么晚上22时的气温是多少？ 0 ℃ 3 ℃ -3 ℃ 下降6℃ 3 - 6 = - 3 3 +(-6) = - 3 ① ② 3- 6 = 3 + ( -6 ) 由①②得： ③ 4 –(– 3) = 7(℃) 0 ℃ 4 ℃ -3 ℃ 温差为7 4 + 3 = 7(℃) ④ 由④⑤得： 4 –(– 3) = 4 + 3 ⑤ ⑥ 问题3：据襄樊市气象台预报：2012年2月7日，我市最 高气温,4 ℃ ，最低气温–3 ℃ ，请问这天的温差是 多少？你是怎样算的？ 3 - 6 = 3 + ( - 6 ) ③ • 由③⑥可知： 有理数的减法可以转化为加法来计算。 4 –(– 3) = 4 + 3 ⑥ 总结归纳 • 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这 个数的相反数。 注意：有理数减法在运算时有2个要素要发生变化。 例1：计算下列各题： （1）(-3) -（-5） (2) 7.2-(-4.8) （3）0–7 （2）原式=（7.2)-(-4.8） =-3.4 解:（1）原式= (-3) + 5=-2 减去-4.8等于加上-4.8的 相反数。 （3）原式=0+（-7）=-7 减去（-5）等于加上-5的 相反数。 一个数同0相加，仍得这个 数。 练习：计算： （1） 18－(－3)   （2） (－3)－18 （3） (－18)－(－3) （4） (－1.3)－ (－2.1)    =18+(+3) =18+3 =21 =(-3)+(-18) = -(18+3) = -21 =(-18)+(3) = -15 =(-1.3)+(2.1) =0.8 爱，责任，梦想！ 87 l 如图，有一只蜗牛沿直线 l 爬行，它现在的位置恰 好在l 上的一点O O 为区分方向，我们记向右为正，向左为负， 为区分时间，我们记现在后为正，现在前为负. O 2 4 6 8 其结果可表示为 问题一：如果蜗牛一直以每分2 cm的速度从O点向右 爬行，3分钟后它在点O的 边 cm 处？右 6 （+2）×（+3）= +6 问题二：如果蜗牛一直以每分2cm的速度从O点向左爬行， 3分钟后它在点O的 边 cm 处？ O-8 -6 -4 -2 左 6 其结果可表示为 （-2）×（+3）= -6 问题三：如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行， 现在蜗牛在点O处,那么3分钟前它在点O的 边 cm 处. O-8 -6 -4 -2 左 6 其结果可表示为 （+2）×（－3）=－6 问题四:如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，现在 蜗牛在点O处,3分钟前它在点O 边 cm处？ O 2 4 6 8 右 6 其结果可表示为 （－2）×（－3）=+6 (1) (＋2)×(＋3)=+(2×3)=＋6 (2) (－2) ×(＋3)=－(2×3)=－6 (3) (＋2) ×(－3)=－(2×3)=－6 (4) (－2)×(－3)= ＋(2×3)=＋6 总结：两有理数相乘,积的绝对值等于各乘数的绝对 值的积. 问题五：如果蜗牛一直以每分钟 0cm的速度向左爬行， 3分钟前它在什么位置？ O-8 -6 -4 -2 其结果可以表示为： 0×（－3）= 0 有理数乘法法则 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值 相乘. 任何数同0相乘,都得0. 1 2 例1 计算： （1）（－3）×9 （2）（－ ）×（－2） 解：（1）（－3）×9 =－27 （2）(－ ) ×(－2) =1 1 2 1×1= 1 -1×(-1)= ×3= - ×(-3)= 1 3 1 3 总结：乘积是1的两个数互为倒数。 即：若ab=1，则a和b互为倒数。 1的倒数为 -1的倒数为 的倒数为3 1 - 的倒数为3 1 5的倒数为 -5 的倒数为 1 -1 3 -3 思考：互为倒数的两个数是同号吗？ 1 5 1 5  的倒数为3 2 - 的倒数为3 2 2 3 2 3 例2: 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为 负，登山队攀登一座山峰，每登高1km，气温的变化量 为－60C，攀登3km后，气温有什么变化？ 解：（- 6）×3 = -18 答：气温下降18 0C 商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件后， 与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变 化？ 解：（－5）×60 =－300 答：销售额减少300元。 小练习 能力提升 (1) 若 ab>0，则必有 ( ) A. a>0，b>0 B. a0或a