第二章 整式的加减
2.1 整式
本节课学习是在学习了用字母表示数、简单的列式
表示实际问题中的数量关系和简易方程的基础上，进一
步研究用含有字母的式子(整式)表示实际问题中的数量
关系.理解字母表示数的意义，正确分析实际问题中的
数量关系，并用整式表示出来，是后续学习一元一次方
程的直接基础.
青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的
冻土地段．列车在冻土地段的行驶速度是100 km/h．列
车在冻土地段行驶时，根据已知数据求出列车行驶的路
程.
（2）字母 t 表示时间有什么意义?
如果用 v 表示速度，列车行驶的路程是多少？
（3）回顾以前所学的知识，你还能举出用字母表示
数或数量关系的例子吗？
（1）2 h行驶多少千米？3 h呢？8 h呢？t h呢？
（1）苹果原价是每千克p元，按8折优惠出售，用式子表
示现价；
（2）某产品前年的产量是n件，去年的产量是前年产量
的m倍，用式子表示去年的产量；
（3）一个长方体包装盒的长和宽都是a cm，高是h cm，
用式子表示它的体积；
例 1
答案：（1） ；（2） ；（3） 0.8 p mn ha 2
（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度
是 v km/h，用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行
驶时的速度.
（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个
足球需要 z 元，用式子表示买 3个篮球、5个排球、2个足
球共需要的钱数.
例 2
（3）如左下图（图中长度单位：cm），用式子表示三角尺的
面积；
（4）右下图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m），
用式子表示这所住宅的建筑面积.
解：
（2）买3个篮球、5个排球、2个足球共需要
元．)253( zyx
（1）船在这条河中顺水行驶的速度是
km/h，逆水行驶的速度是 km/h．
)5.2( v
)5.2( v
（3）这所住宅的建筑面积（单位：m2）是
．1822 xx
列式就是把实际问题中与数量有关的语句，用
含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是把
文字语言转化为符号语言．
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们
之间的关系，如和、差、积、商及大、小、
多、少、倍、分、倒数、相反数等；
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
归纳：
列式时：
①数与字母、字母与字母相乘省略乘号；
②数与字母相乘时数字在前；
③式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写；
④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数；
⑤带单位时，适当加括号.
归纳：
（1）观察下列各式： ， ， ， ，… ，
按此规律，第 个式子是 。
33xx 22x 44x
拓展
nnxn
（2）测得一种树苗的高度与树苗生长的年数的有关数
据如下表（树苗原高100cm），根据表格思考下面问题：
年数 高度/cm
1 100+5
2 100+10
3 100+15
4 100+20
…… ……
前四年树苗高度的变化与年数有什么关系？假设以后
各年树苗高度的变化与年数保持上述关系，用式子表示生
长了n年的树苗的高度.
100+5×1
100+5×3
100+5×2
100+5×4
100+5×n
（3）礼堂第1排有20个座位，后面每排都比前一排多
一个座位．用式子表示第 n 排的座位数.
用整式表示实际问题中的数量关系和变化规律，
可以从特殊值入手，借助表格等分析，由特殊到一般，
由个体到整体地观察、分析问题，发现规律，并用含有
字母的式子表示一般的结论，这体现了抽象的数学思
想．
)1(20 n
用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，
可以用式子把数量关系简明地表示出来.
练习
（1）某种商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m 袋，用
式子表示在这个月内销售这种商品的收入.
（2）圆柱体的底面半径、高分别是 r，h，用式子表示圆柱体
的体积.
（3）有两片棉田，一片有m hm2 (公顷，1 hm2 ＝104 m2 )，平
均每公顷产棉花a kg；另一片有n hm2 ，平均每公顷产棉花b
kg，用式子表示两片棉田上棉花的总产量.
（4）在一个大正方形铁片中挖去一个小正方形铁片，大正方
形的边长是a mm，小正方形的边长是b mm，用式子表示剩余
部分的面积.
4.8 元m
2πr h
(kg)am bn
2 2 2(mm )－a b
学习目标：
(1)理解单项式、单项式的系数和次数的概念．
(2)会用单项式表示简单的数量关系．
(3)经历单项式概念的形成过程，从中体会抽象的
数学思想，提高观察、分析、归纳、概括能力.
字母表示数有什么意义？
, 和 这三个式子的运算
含义是什么？
0.8 p 2a h100t
观察式子 ， ， ， ， ，
这些式子有什么特点？
0.8 p mn 2a h n100t
2a h n100t
（1）你能举出一个单项式的例子，并说出它
的系数和次数吗？
（2）请你写出一个单项式，并使它的系数是
－2，次数是4，那么该单项式可以是 .
练习1 下列各式中哪些是单项式？
答案：
3 2, 0 2, 0.72 , , π, +1, .3 3
a xyx a aa
， ，
2, 0 2, 0.72 , π, +1, .3 3
， ，a xyx a a
练习2 填表：
单项式
系数
次数
22a 1.2h 2xy 2t 2
3
vt 3 22 x y π 22 ab
2
2
－1.2
1
1
3
－1
2 2
2
3
32
3
2π
3
（1） 每包书有12册，n包书有 册；
（2） 底边长为 a cm，高为 h cm的三角形的面积
是 cm2；
（3） 棱长为 a cm的正方体的体积是 cm3 ；
（4）一台电视机原价 a 元，现按原价的9折出售，
这台电视机现在的售价是 元；
（5）一个长方形的长是0.9 m，宽是a m ，这个长方
形的面积是 m2.
例 用单项式填空，并指出它们的系数和次数:
n12（1） ，它的系数是12，次数是1；解：
ah2
1（2） ，它的系数是 ，次数是2；
2
1
3a（3） ，它的系数是1，次数是3；
a（4）0.9 ，它的系数是0.9，次数是１；
a（5）0.9 ，它的系数是0.9，次数是１．
你能赋予0.9a一个含义吗？
用字母表示数后，同一个式子可以
表示不同的含义．
活动：“人人来当老师”
以小组为单位，每个小组学生说出一个单
项式，然后请另一个小组的学生回答出所说单
项式的系数和次数，看哪一组题目出得正确，
看哪一组回答得快且准.
若 是关于 x，y 的一个
四次单项式，求m，n应满足的条件？
2( 2) nm x y
2, 2m n 答案：
（1）本节课学了哪些主要内容？
（2）请你举例说明单项式的概念、单项式的
系数和次数的概念.
学习目标：
(1)理解多项式、多项式的项和次数、整式的概念．
(2)会用多项式表示简单的数量关系，并根据多项式中
字母的值求多项式的值．
（1）对于单项式，我们学习了哪些内容？
（2）请举例说明单项式、单项式的系数
和次数的概念．
21 π2 ab r
2.5v 2.5v 3 5 2x y z
2 2 18x x
， ， ，
， ．
（1）观察式子
它们有什么共同特点？与单项式有什么联系？
多项式x2+2x+18的项是x2，2x与18，其中18是常数
项．
多项式v－2.5的项是v与－2.5，其中－2.5是常数
项．
5.2v v 如多项式 中次数最高项是一次项 ，
这个多项式的次数是１．
多项式 中次数最高项是二次
项 ，这个多项式的次数是２．
1822 xx
2x
21 π2 ab r2.5v 3 5 2x y z ， ， （2）
的项分别是什么？次数分别是多少？
（1）你能举出一个多项式的例子，并说出它的项
和次数吗？
（2）请你写出一个二次三项式，并使它的二次
项系数是－2，一次项系数是3，常数项是5，那么这
个多项式可以是 .
8
, 5353
项，次数为
是它的和abbaabba
22 3 5x x
如图所示，用式子表示圆环的面积．
当 cm， cm时，求圆环的面积
（ 取 ）．
15R 10r
π 3.14
解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环
的面积，所以圆环的面积是 ．2 2π πR r
2 2 2 2π π 3.14 15 3.14 10R r
392.5
这个圆环的面积是 392.5 cm2 ．
当 cm ， cm 时，圆环的面积
（单位：cm2）是
15R 10r
下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？
是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项
和次数：
练习
4 2
2 2 2 3
2 3 4
1 , , 1, , 32 ,2 7
π , 3 1, 2 .3
m na b x y x t
x y xy x x y
－
－ ＋3 －
21
2 a b－
4 2
7
m n x 32t3 π
3
1
2
－ 1
7
1 32
1 3 063
2 1x y２＋ － 2 33x y y x４－ ＋3x ＋ －1 x y2 ＋
2 1x y２, ,－ 2 3 43 1x y xy x, ,3 , － 2x y,
142
填空：
（2） ， 分别表示梯形的上底和下底， 表示
梯形的高，则梯形面积 ＝ ，当
＝2 cm， ＝4 cm， ＝5 cm时，＝ cm 2 ．
hb
s
a
a b h s
（1） ， 分别表示长方形的长和宽，则长方形的
周长 ＝ ，面积 ＝ ，当 ＝2 cm，
＝3 cm时， ＝ cm ， ＝ cm 2 ；l
l a
ba
b s
s2( )a b ab
10 6
1 ( )2 a b h
15
3个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都
与其他所有的队各赛一场），总的比赛场数是多少？4
个队呢？5个队呢？n个队呢？
练习
答案：3，6，10， 1
2
n n
（1）本节课学了哪些主要内容？
（2）请你举例说明多项式的概念、多项式的
项和次数的概念.
（3）请你举例说明整式的概念.
第二章 整式的加减
2.2 整式的加减
学习目标:
(1)理解同类项的概念；
(2)掌握合并同类项的方法；
(3)通过类比数的运算探究合并同类项的法则，从
中体会数式通性和类比的数学思想．
引入
问题1 在西宁到拉萨路段，列车在冻土地段的行驶速度是100
km/h，在非冻土地段的行驶速度是120 km/h，列车通过非冻土地
段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍 ，如果通过冻土地段
需要t h，你能用含t 的式子表示这段铁路的全长吗？
100t＋120×2.1t＝100t＋252t
类比探究，学习新知
（1）运用有理数的运算律计算.
100×2+252×2= ；
100×(-2)+252×(-2)= .
（ 1 ） 运 用 有 理 数 的 运 算 律 计 算
1 0 0 × 2 + 2 5 2 × 2
= ( 1 0 0 + 2 5 2 ) × 2 = 3 5 2 × 2 = 7 0 4 ；
1 0 0 × ( - 2 ) + 2 5 2 × ( - 2 )
= ( 1 0 0 + 2 5 2 ) × ( - 2 ) = 3 5 2 × ( - 2 ) = - 7 0 4 .
（ 2 ） 类 比 式 子 的 运 算 ， 化 简 下 列 式 子 ：
①
②
③
2 23 2x x
100 252t t
2 23 4ab ab
问 题 3
观 察 多 项 式 ， ，
（ 1 ） 上 述 各 多 项 式 的 项 有 什 么 共 同 特 点 ？
（ 2 ） 上 述 多 项 式 的 运 算 有 什 么 共 同 特 点 ?
你 能 从 中 得 出 什 么 规 律 ?
2 23 2x x 2 23 4ab ab100 252t t
（ 1 ） 上 述 各 多 项 式 的 项 有 什 么 共 同 特 点 ？
① 每 个 式 子 的 项 含 有 相 同 的 字 母 ；
② 并 且 相 同 字 母 的 指 数 也 相 同 .
（ 2 ） 上 述 多 项 式 的 运 算 有 什 么 共 同 特 点 ?
① 根 据 分 配 律 把 多 项 式 各 项 的 系 数 相 加 ；
② 字 母 部 分 保 持 不 变 .
定 义 和 法 则 ：
（ 1 ） 所 含 字 母 相 同 ， 并 且 相 同 字 母 的 指 数 也
相 同 的 项 叫 做 同 类 项 . 几 个 常 数 项 也 是 同 类 项 .
（ 2 ） 把 多 项 式 中 的 同 类 项 合 并 成 一 项 ， 叫 做
合 并 同 类 项
（ 3 ） 合 并 同 类 项 后 ， 所 得 项 的 系 数 是 合 并 前
各 同 类 项 的 系 数 的 和 ， 且 字 母 部 分 不 变 .
问 题 5
化 简 多 项 式 的 一 般 步 骤 是 什 么 呢 ？
例 题 :
找 出 多 项 式
中 的 同 类 项 并 进 行 合 并 ， 思 考 下 面 问 题 ：
每 一 步 运 算 的 依 据 是 什 么 ？ 注 意 什 么 ？
2 24 2 7 3 8 2x x x x
2 24 2 7 3 8 2x x x x
2 24 2 7 3 8 2x x x x
2 24 8 2 3 7 2x x x x
2 2(4 8 ) (2 3 ) (7 2)x x x x
2(4 8) (2 3) (7 2)x x
24 5 5x x
归纳步骤：
（1）找出同类项并做标记；
（2）运用交换律、结合律将多项式的同类项结合；
（3）合并同类项；
（4）按同一个字母的降幂（或升幂排列）．
合并下列各式的同类项:
（1）
（2）
（3）
2 21
5xy xy
2 2 2 23 2 3 2x y x y xy xy
2 2 2 24 3 2 4 4a b ab a b
2
2 2
2
4(1) 5
(2)
(3)2
xy
xy x y
ab b
（1）求多项式
的值，其中
23452 222 xxxxx
2
1x
（2）求多项式
的值，其中
22
3
133
13 cacabca
3,2,6
1 cba
（1）水库水位第一天连续下降了a h，每小时平均下降2
cm；第二天连续上升了a h，每小时平均上升0.5 cm，
这两天水位总的变化情况如何？
（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x kg，上午卖出3
袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有
大米多少千克？
解：由题意得2a-0.5a=1.5a，所以这两天水位总的下降了1.5a
解：由题意得：5x-3x+4x=6x，所以进货后这个商店有
大米6x千克。
归纳小结
（ 1 ） 本 节 课 学 了 哪 些 主 要 内 容 ？
（ 2 ） 你 能 举 例 说 明 同 类 项 的 概 念 吗 ？
（ 3 ） 举 例 说 明 合 并 同 类 项 的 方 法 .
（ 4 ） 本 节 课 主 要 运 用 了 什 么 思 想 方 法 研 究 问 题 ？
(1) 2( )
(2) 3( )
(3) 4( )
(4) 5( )
a b
a b
a b
a b
2 2
3 3
4( ) 4( )
5( ) 5
a b
a b
a b
a b
用分配律计算
在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段需要u
h，那么通过非冻土地段的时间是（u-0.5）h.于是，
冻土地段的路程是100u km，非冻土地段的路程是
120（u-0.5）km. 因此，这段铁路的全长（单位：
km）是100u+120(u-0.5)
冻土地段与非冻土地段相差：100u-120(u-0.5)
上面的两个式子都带有括号，类比数的运算，它们应
如何化简？
利用分配律，可以先去括号，再合并同类项，得
100u+120(u-0.5)=100u+120u-60=220u-60
100u-120(u-0.5)=100u-120u+60=-20u+60
即：+120(u-0.5)=+120u-60
-120(u-0.5)= -120u+60
比较上面两式，你能发现去括号时符号变化的规律嘛？
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项
的符号与原来的符号相同.
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项
的符号与原来的符号相反.
顺口溜：
去括号，看符号：
是“+”号，不变号；
是“-”号，全变号;
原来的符号和括号都扔掉.
例：为下面的式子去括号
= +（3a-3b+3c）
= 3a-3b+3c = -3a+3b-3c
= -（3a-3b+3c）
= +[3（a-b+c）] = -[3（a-b+c）]
(1) +3（a - b+c） (2)- 3（a - b+c）
结论：
括号外面的因数不是1或-1时，把符号留在外面，把因
数的绝对值按分配率乘进去，最后再去括号.
（1）去括号时应先判断括号前面是“+”号还是“-”号。
（2）去括号后，括号内各项符号要么全变号，要么全不
变。
（3）括号前面是“－”号时，去掉括号后，括号内的各
项符号都要变成相反，不能只改变第一项或前几项的符号。
（4）括号内原有几项，去掉括号后仍有几项，不能丢项。
（5）去括号法则的依据是分配律，计算时不能出现有些项漏
乘的情况。
化简下列各式
2
(1)8a+2b+ 5a-b
(2) 5a-3b -3 a -2b
ba
baba
baba
13
528
)5(281）解（
baa
baba
baba
353
63(35
)2(3)35)(2(
2
2
2
解
两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆
水，两船在静水中的速度都是50 km/h，水流速度是a km/h.
（1）2h后两船相距多远？
（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？
解（1）由题意得：甲船2h行驶了2(50+a) km，乙船2 h行
驶了2(50-a) km，所以两船相距 ：
2(50+a)+2(50-a)=200 km。
（2）由（1）可知，2h后甲船比乙船多航行了
2(50+a)-2(50-a)=4a km。
（1）找出同类项并做标记；
（2）运用交换律、结合律将多项式的同类项结合；
（3）合并同类项；
（4）按同一个字母的降幂（或升幂排列）．
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内
各项的符号与原来的符号相同.
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各
项的符号与原来的符号相反.
)45()32)(1( yxyx
)54()78)(2( baba
合并同类项、去括号都是进行整式加减运算的基础。
例6 计算
分析：第（1）题是计算多项式与多项式的和，
第（2）题是计算多项式与多项式的差。
yx
yxyx
yxyx
7
4532
)45()32)(1(
ba
baba
baba
24
5478
)54()78)(2(
解：
笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，小红买3
本笔记本，2支圆珠笔，小明买4本笔记本，3支圆珠
笔，买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花了多
少钱？
解法1：小红买笔记本和圆珠笔共花费（3x+2y）元，
小明买笔记本和圆柱笔共花费（4x+3y）元，小红和小
明一共花费（单位：元）
（3x+2y）+（4x+3y）
=3x+2y+4x+3y
=7x+5y
解法2：小红和小明买笔记本共花费（3x+4x）元，
买圆珠笔共花费（2y+3y）元，小红和小明一共
花费：（单位：元）
（3x+4x）+（2y+3y）
=7x+5y
做大小两个长方体纸盒，尺寸如下：
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
（2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？
（单位：cm）
22 2 2ab bc ca cm 小纸盒的表面积是（ ）
2686 cmcabcab ）大纸盒的表面积是（
cabcab
cabcabcabcab
cabcabcabcab
8108
686222
686222
)1(
）（）（
做这两个纸盒共用料
解：
cabcab
cabcabcabcab
cabcabcabcab
464
222686
222686
)2(
）（）（
用料做大纸盒比做小纸盒多
通过上面的学习，我们可以得到证实加减的运算
法则：
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先
去括号，然后再合并同类项。
解：
）的值（）（求 22
3
1
2
3
3
122
1 yxyxx
3
22 yx ，其中
2
22
22
3
3
1
2
3
3
222
1
3
1
2
3
3
122
1
yx
yxyxx
yxyxx
）（）（解：
9
469
463
22-3-
3
22
2
）（）（）（原式
时，当 yx
注意：
进行此类题的解答时，需先将式子化简，再代入数
值进行计算，这样会使计算比较简便。
)2(431
.1
xyxyxy ）（
计算：
)3
2(3
1
4
1
3
1)2( 22 abaaab
)634()52(1
.2
22 xxxx ）（
计算：
)724()73)(2( 22 abaaba
3
1,2
1
),3()35
.3
2222
ba
baababba
其中
（
先化简下式，再求值
2
2 2
2 2
1 11. (1) (2)12 3
2.(1)6 7 2 (2)7a 3
3.
12 6 .
2.3
xy a ab
x x ab
a b ab
a bd
参考答案：
原式化简得：
代入 ， 的值得
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