人教版八年级数学上册第13章同步测试题及答案

最新人教版八年级数学上册第 13 章同步测试题及答案 13.1 轴对称 1．在以下四个标志中，是轴对称图形的是( )． 2．下列说法中错误的是( )． A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 B．关于某条直线对称的两个图形全等 C．全等的三角形一定关于某条直线对称 D．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称 3．如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B 的度数为( )． （第 3 题图） A．48° B．54° C．74° D．78° 4.如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ） A．AB 与 CD 互相垂直平分 B．CD 垂直平分 AB C．AB 垂直平分 CD D．CD 平分∠ACB （第 4 题图） 5.如图所示，已知 AB=AC，∠A=40°，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则∠DBC 的度数为（ ） A．40° B．70° C．30° D．50° （第 5 题图） 6.如图，在△ABC 中，AB 的中垂线交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，若△ADC 的周长为 16cm，AC=4cm，则 BC 的 长为（ ） A．22cm B．12cm C．10cm D．7cm （第 6 题图） 7．我国的文字非常讲究对称美，分析如图四个图案，图案________有别于其余三个图案( )． 8．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打 3 个洞，则纸片展开后的图是( )． （第 8 题图） 9．(创新应用题)如图，把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移， 我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量的存在这种图形变换(如图甲)．结 合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图乙)的对应点 所具有的性质是( )． （第 9 题图） A．对应点连线与对称轴垂直 B．对应点连线被对称轴平分 C．对应点连线被对称轴垂直平分 D．对应点连线互相平行 10．从商场试衣镜中看到某件名牌服装标签上的后 5 位编码是 ，则该编码实际上是__________． 11．如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线 DE 交边 BC 于点 D，交边 AB 于点 E.若△EDC 的周长为 24， △ABC 与四边形 AEDC 的周长之差为 12，则线段 DE 的长为__________． （第 11 题图） 12.如图所示，在△ABC 中，∠BAC=106°，EF，MN 分别是 AB，AC 的垂直平分线，点 E，N 在 BC 上，则∠ EAN= . （第 12 题图） 13.如图，点 P 为∠AOB 内一点，分别作出点 P 关于 OA，OB 的对称点 F，E，连接 EF 交 OA 于点 N，交 OB 于 点 M，EF＝15，求△PMN 的周长． （第 13 题图） 14．如图，将一张正六边形纸沿虚线对折 3 次，得到一个多层的 60°角的三角形纸．用剪刀在折叠好的纸 上随意剪出一条线． （第 14 题图） (1)猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？ (2)这个图形有几条对称轴？ (3)如果想得到一个含有五条对称轴的图形，你应该取什么形状的纸？应该如何折叠？ 15．如图，在△ABC 中，BC＝7，AB 的垂直平分线分别交 AB，BC 于点 D，E，AC 的垂直平分线分别交 AC， BC 于点 F，G.求△AEG 的周长． （第 15 题图） 16.如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 的中点，点 F 是 BC 延长线上一点，连接 DF，交 AC 于点 E，连接 BE，∠ A=∠ABE． （1）求证：DF 是线段 AB 的垂直平分线. （2）当 AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC 及∠F 的度数. （第 16 题图） 参考答案 1．A 分析：只有 A 图沿中间竖直的一条直线折叠，左右两边能够重合，故选 A. 2．C 分析：虽然关于某条直线对称的两三角形全等，但全等的两三角形不一定关于某条直线对称，因而 选 C. 3．B 分析：因为关于某直线对称的两图形全等，所以∠A＝∠A′＝78°，∠C′＝∠C＝48°，所以∠B ＝54°，故选 B. 4.C 5.C 分析：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=70.∵MN 是 AB 的垂直平分线，∴DA=DB.∴∠DBA=∠A=40°， ∴∠DBC=30°.故选 C. 6.B 分析：∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴DA=DB.∵△ADC 的周长为 16cm， ∴AD+AC+CD=BD+CD+AC=BC+AC=16cm.∵AC=4cm，∴BC=12cm.故选 B. 7．D 分析：都是轴对称图形，但图案 D 有两条对称轴，其余三个图案都只有一条对称轴． 8．D 分析：解决此类问题的基本方法是，根据“折叠后的图形再展开，则所得的整个图形应该是轴对称 图形”，从所给的最后图形作轴对称，题目折叠几次，就作几次轴对称，沿两条对角线所在直线画对称轴， 只有 D 适合，故选 D. 9．B 分析：因为对称且平移，所以原有的性质已有变化，A、C、D 都已不成立，只有 B 选项正确，故选 B. 10．BA629 分析：假定最左侧或右侧有一条直线为对称轴，沿此直线折叠都会得到 BA629，或将此图案从 反面观察，也可得到 BA629. 11．6 分析：由△ABC 与四边形 AEDC 的周长之差为 12，可知 BE＋BD－DE＝12①.由△EDC 的周长为 24 可 知 CE＋CD＋DE＝24.由 DE 是 BC 边上的垂直平分线可知BE＝CE，BD＝CD，所以 BE＋BD＋DE＝24②. ②－①， 得 2DE＝12，所以 DE＝6. 12. 32° 13．解：∵点 P 与点 E 关于 OB 轴对称， ∴CE＝CP，MC⊥PE. ∴∠MCE＝∠MCP＝90°. 在△MCE 和△MCP 中， ∵ , , , CE CP MCE MCP CM CM       ∴△MCE≌△MCP. ∴MP＝ME，同理 NP＝NF. ∴MP＋MN＋NP＝ME＋MN＋NF＝EF＝15， 即△PMN 的周长是 15. 14．解：(1)轴对称图形． (2)至少有 3 条对称轴． (3)取一张正十边形的纸，沿它的通过中心的五条对角线折叠 5 次，得到一个多层的 36°角的图形，用剪 刀在叠好的纸上任意剪出一条线，打开就可以得到一个至少含五条对称轴的图形． 15．解：∵DE、GF 分别是 AB、AC 的垂直平分线， ∴BE＝AE，CG＝AG. ∴△AEG 的周长为 AE＋EG＋AG＝BE＋EG＋CG＝BC＝7. 16. （1）证明：∵∠A=∠ABE，∴EA=EB. ∵AD=DB，∴DF 是线段 AB 的垂直平分线. （2）解：∵∠A=46°，∴∠ABE=∠A=46°. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67°，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=21°，∠F=90°-∠ABC=23°. 13.2 画轴对称图形 基础巩固 1．下列说法正确的是( )． A．全等的两个图形可以由其中一个经过轴对称变换得到 B．轴对称变换得到的图形与原图形全等 C．轴对称变换得到的图形可以由原图形经过一次平移得到 D．轴对称变换中的两个图形，每一对对应点所连线段都被这两个图形之间的直线垂直平分 2．下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中是轴对称图形的有( )． （第 2 题图） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．点 M(1,2)关于 x 轴对称的点的坐标为( )． A．(－1，－2) B．(－1,2) C．(1，－2) D．(2，－1) 4．如图，将正方形纸片对折两次，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是( )． （第 4 题图） 5．已知点 P(a＋1,3)、Q(－2,2a＋b)关于 y 轴对称，则 a＝__________，b＝__________；若关于 x 对称， 则 a＝__________，b＝__________. 6．如图，四边形 ABCD 的顶点坐标为 A(－5,1)，B(－1,1)，C(－1,6)，D(－5,4)，请作出四边形 ABCD 关 于 x 轴及 y 轴的对称图形，并写出各对称图形的顶点坐标． （第 6 题图） 能力提升 7．李芳同学球衣上的号码是 253，当她把镜子放在号码的正左边时，镜子中的号码是( )． （第 7 题图） 8．若|3a－2|＋|b－3|＝0，则 P(－a，b)关于 y 轴的对称点 P′的坐标是__________． 9．点 A(－2a，a－1)在 x 轴上，则 A 点的坐标是__________，A 点关于 y 轴的对称点的坐标是__________． 10．小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间 是________． （第 10 题图） 11．作图题：在方格纸中，画出△ABC 关于直线 MN 对称的△A1B1C1. （第 11 题图） 参考答案 1．B 分析：由轴对称的概念及性质进行判断，知 B 正确，D 错误，这两个图形之间的直线不一定是对称 轴，又因为成轴对称的两个图形不仅全等还与位置有关故 A、C 错误． 2．B 分析：由图形的特征，结合轴对称的概念，可以判断只有第一个和第三个中的图形都是轴对称图形， 故有 2 个，应选 B. 3．C 分析：关于 x 轴对称的点的坐标变化特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数，故选 C. 4．C 分析：本题是将正方形两次翻折后剪裁，且剪裁位置在折叠后图形的正中间，因而将所给最后图形 作两次轴对称展开，得到图形 C. 5．1 1 －3 3 分析：若点 P(a＋1,3)、Q(－2,2a＋b)关于 y 轴对称，则 a＋1＝2,2a＋b＝3，解得 a ＝1，b＝1；同样若点 P(a＋1,3)、Q(－2，2a＋b)关于 x 轴对称，则 a＋1＝－2,2a＋b＝－3，解得 a＝－3， b＝3. 6．解：(1)如图所示，四边形 A′B′C′D′和四边形 A″B″C″D″即为所求． （第 6 题答图） (2) 四边形 ABCD 关于 y 轴对称的四边形 A′B′C′D′各顶点的坐标分别是A′(5,1)，B′(1,1)，C′(1,6)， D′(5,4)；四边形 ABCD 关于 x 轴对称的四边形 A″B″C″D″各顶点的坐标分别是 A″(－5，－1)，B″(－ 1，－1)，C″(－1，－6)，D″(－5，－4)． 7．A 分析：把球衣上 253 的号码向左翻折 180°，得到的图案即是镜子中的号码． 8． 2( ,3)3 9．(－2,0) (2,0) 分析：因为点 A 在 x 轴上，所以 a－1＝0，所以 a＝1，A 点的坐标就是(－2,0)，关 于 y 轴的对称点的坐标是(2,0)． 10．10 时 45 分 11．解：分别作出点 A，B，C 关于直线 MN 的对称点 A′，B′，C′，再依次连接即得到图形。如图所示． （第 11 题答图） 13.3 等腰三角形 基础巩固 1．若等腰三角形底角为 72°，则顶角为 ( )． A．108° B．72° C．54° D．36° 2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，则∠C＝( )． （第 2 题图） A．72° B．60° C．75° D．45° 3．下列三角形：①有两个角等于 60°的三角形；②有一个角等于 60°的等腰三角形；③三个外角(每个 顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三 角形的有( )． A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 4．如图所示，已知∠1＝∠2，要使 BD＝CD，还应增加的条件是( )． ①AB＝AC； ②∠B＝∠C；③AD⊥BC；④AB＝BC. A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ （第 4 题图） 5．如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB 于点 D，若 AD＝2，则 AB＝__________. （第 5 题图） 能力提升 6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 和 CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，EF 过 D 点，且 EF∥BC，图中等 腰三角形共有( )． （第 6 题图） A．2 个 B．3 个 C． 4 个 D．5 个 7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 A，B 是两格点，如果 C 也是图中的格点，且 使得△ABC 为等腰三角形，则点 C 的个数是( )． （第 7 题图） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，D 是△ABC 中 BC 边上一点，AB＝AC＝BD，则∠1 和∠2 的关系是( )． （第 8 题图） A．∠1＝2∠2 B．∠1＋∠2＝90° C．180°－∠1＝3∠2 D．180°＋∠2＝3∠1 9．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA 于点 A，BC＝4.2 cm，则 AD＝__________. （第 9 题图） 10．如图，若 B、D、F 在 AN 上，C、E 在 AM 上，且 AB＝BC＝CD，EC＝ED＝EF，∠A＝20°，则∠FED＝__________. （第 10 题图） 11．如图，点 E，F 在 BC 上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF 与 DE 相交于点 O. (1)求证：AB＝DC. (2)试判断△OEF 的形状，并说明理由． （第 11 题图） 12．(综合应用)如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若 PC＝4，求 PD 的长． （第 12 题图） 13．如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，点 E 在 CA 的延长线上，且∠AEF＝∠AFE.求证：EF⊥BC. (第 13 题图) 14．如图，在△ABC 中，∠ACB＝45°，∠A＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，CH⊥BD，交 BD 的延长线于 H， 求证：BD＝2CH. (第 14 题图) 15．(实际应用题)如图，某船上午 11 时 30 分在 A 处观测岛 B 在东偏北 30°，该船以 10 海里/时的速度 向东航行到 C 处，再观测海岛在东偏北 60°，且船距海岛 40 海里． (1)求船到达 C 点的时间； (2)若该船从 C 点继续向东航行，何时到达 B 岛正南的 D 处？ （第 15 题图） 参考答案 1．D 分析：等腰三角形两底角相等，所以顶角为 36°，故选 D. 2．A 分析：设∠A＝x，由已知可知，∠BDC＝∠C＝∠ABC＝2∠A＝2x. 因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，所以 x＋2x＋2x＝180°.解得 x＝36°，所以∠C＝72°，故选 A. 3．D 分析：①②为判定定理，③每个外角都相等，则都是 120°，所以每个内角都是 60°，④一腰上的 中线也是这条腰上的高，说明这条线段所在的直线是这条腰的垂直平分线，所以腰等于底，也是等边三角 形，四个都成立，故选 D. 4．C 分析：①②说明△ABC 为等腰三角形，由“三线合一”可知 BD＝CD，由③能得到△ABD≌△ACD，所 以 BD＝CD，④不能得到 BD＝CD，故选 C. 5．8 分析：由题意可知，在 Rt△ACD 和 Rt△ABC 中，∠ACD＝∠B＝30°，所以 AC＝2AD，AB＝2AC.所以 AB＝4AD＝4×2＝8. 6．D 分析：由题意知，AB＝AC，AE＝AF，BE＝DE，CF＝DF，BD＝CD，所以所有的三角形都是等腰三角形， 共有 5 个，故选 D. 7．C 分析：如图，共有 8 个格点．注意 3 和 8 也是，故选 C. 8．D 分析：因为 AB＝BD，所以∠B＝180°－2∠1，∠C＝∠1－∠2. 因为 AB＝AC，所以∠B＝∠C.所以 180°－2∠1＝∠1－∠2，整理得 180°＋∠2＝3∠1，故选 D. 9．1.4 cm 分析：由已知可以推出∠B＝∠CAD＝∠C＝30°，AD＝DC，∠C＝30°，DA⊥BA 于 A，所以 BD ＝2AD.所以 BC＝3DC＝3AD＝4.2 (cm)．所以 AD＝1.4 cm. 10．20° 分析：运用一个外角等于和它不相邻的内角及等腰三角形两底角相等可求出∠FED＝20°. 11．(1)证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF，即 BF＝CE. 又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△ABF≌△DCE(AAS)． ∴AB＝DC. (2)解：△OEF 为等腰三角形. 理由如下： ∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB＝∠DEC.∴OE＝OF. ∴△OEF 为等腰三角形． 12．解：如图，过 P 作 PE⊥OB，垂足为 E. （第 12 题图） ∵∠AOP＝∠BOP＝15°，PD⊥OA， ∴PD＝PE. ∵PC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP＝15°. ∴∠BCP＝∠BOP＋∠CPO＝30°， 在 Rt△CPE 中，∠BCP＝30°， ∴PE＝ 1 1 4 2.2 2PC    . ∴PD＝PE＝2. 13．证明：如图，过 A 作 AD⊥BC，垂足为 D. （第 13 题图） ∵AB＝AC， ∴∠BAD＝ 1 2 BAC . ∵∠AEF＝∠AFE， ∠BAC＝∠AEF＋∠AFE， ∴∠EFA＝ 1 2 BAC . ∴∠EFA＝∠BAD. ∴EF∥AD，∴EF⊥BC. 14．证明：如图，延长 CH、BA 相交于点 E. （第 14 题图） ∵CH⊥BD，BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠CHB＝∠EHB＝90°，∠CBH＝∠EBH. 又∵BH＝BH，∴△CBH≌△EBH. ∴CH＝EH.∴CE＝2CH. ∵∠ACB＝45°，∠CAB＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB. ∵∠CAB＝∠CAE＝90°， ∴∠E＋∠ECA＝90°. ∵CH⊥BD，∴∠E＋∠EBH＝90°. ∴∠ECA＝∠EBH.∴△ECA≌△DBA. ∴CE＝BD.∴BD＝2CH. 15．解：(1)∵∠A＝30°，∠BCD＝60°， ∴∠ABC＝30°.∴∠A＝∠ABC. ∴AC＝BC＝40(海里),40÷10＝4(时)． 答：船到达 C 点的时间是 15 时 30 分． (2)在 Rt△BCD 中，∠CBD＝30°， ∴CD＝ 1 1 2 2BC  ×40＝20(海里),20÷10＝2(时)． 答：该船在 17 时 30 分到达 D 处． 13.4 课题学习 最短路径问题 一、选择题 1. 如图，等边△ABC 的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 边上的动点，E 是 AC 边上一点，若 AE＝2，当 EF＋CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为（ ）． （第 1 题图） A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° 2. 如图，∠AOB＝30°，内有一点 P 且 OP＝ ，若 M、N 为边 OA、OB 上两动点，那么△PMN 的周长最小为 （ ）． （第 2 题图） A. B. 6 C. D. 3. 已知∠AOB 的大小为α，P 是∠AOB 内部的一个定点，且 OP＝2，点 E、F 分别是 OA、OB 上的动点，若 △PEF 的周长的最小值等于 2，则α＝（ ）． （第 3 题图） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4. 直线 L 是一条河，P，Q 是两个村庄．欲在 L 上的某处修建一个水泵站，向 P，Q 两地供水，现有如下四 种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在锐角△ABC 中，AB＝4 ，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM＋MN 的最小值是（ ）． （第 5 题图） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 加油站 A 和商店 B 在马路 MN 的同一侧（如图），A 到 MN 的距离大于 B 到 MN 的距离，AB＝7 米，一个行 人 P 在马路 MN 上行走，问：当 P 到 A 的距离与 P 到 B 的距离之差最大时，这个差等于（ ）米． （第 6 题图） A. 8 B. 9 C. 6 D. 7 7. 如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC＝4，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，在 CD 上找一点 P，使 PA＋PE 最小， 则这个最小值是（ ）． M （第 7 题图） A. B. 4 C. D. 5 二、填空题 8. 已知如图所示，∠MON＝40°，P 为∠MON 内一点，A 为 OM 上一点，B 为 ON 上一点，则当△PAB 的周长 取最小值时，∠APB 的度数为_____． （第 8 题图） 9.如图，在锐角三角形 ABC 中，AB=4，△ABC 的面积为 10，BD 平分∠ABC，若 M、N 分别是 BD、BC 上的动 点，则 CM+MN 的最小值为 . （第 9 题图） 10.如图所示：∠AOB 的内部有一点 P，到顶点 O 的距离为 5cm，M、N 分别是射线 OA、OB 上的动点．若∠ AOB=30°，则△PMN 的周长的最小值为 . （第 10 题图） 三、解答题 11. 已知：如图，在∠POQ 内部有两点 M、N，∠MOP＝∠NOQ． （1）画图并简要说明画法：在射线 OP 上取一点 A，使点 A 到点 M 和点 N 的距离和最小；在射线 OQ 上取一 点 B，使点 B 到点 M 和点 N 的距离和最小； （2）直接写出 AM＋AN 与 BM＋BN 的大小关系． （第 11 题图） 12. 某大型农场拟在公路 L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地 A、B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置 C，使 A、B 两地到 加工厂 C 的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （第 12 题图） 13. 如图，△ABC 的边 AB、AC 上分别有定点 M、N，请在 BC 边上找一点 P，使得△PMN 的周长最短． （写 出作法，保留作图痕迹） （第 13 题图） 14. 在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从 A 处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河 饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在 N 上任意一点即可牧马，M 上任意一点即可饮马．）（保留作 图痕迹，需要证明） （第 14 题图） 参考答案 1.C 2.D 3.A 4.D 5.B 6.D 7.C 8. 100° 分析：如图,作出 P 点关于 OM,ON 的对称点 P1,P2 交 OM,ON 于 A,B 两点,此时△PAB 的周长最小, 根据题意可知: ∠P1PP2=180°－∠MON=180°－40°=140,所以∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°－∠ P1PP2=40°,所以∠APB=140°－40°=100°. （第 8 题答图） 9. 5 分析：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 M，过点 M 作 MN⊥BC 于 N.∵BD 平分∠ABC，ME⊥AB 于点 E，MN⊥BC 于 N，∴MN=ME，∴CE=CM+ME=CM+MN 的最小值．∵三角形 ABC 的面积为 10，AB=4，∴ 2 1 ×4•CE=10， ∴CE= 4 102 ＝5．即 CM+MN 的最小值为 5． （第 9 题答图） 10. 5 cm 分析：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、OB 于点 M、N，连接 OP、 OC、OD、PM、PN．∵点 P 关于 OA 的对称点为 C，关于 OB 的对称点为 D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA. ∵点 P 关于 OB 的对称点为 D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=5cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠ POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD 是等边三角形，∴CD=OC=OD=5cm．∴△PMN 的周长的最 小值为 PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5cm． （第 10 题答图） 11.解：（1）如图所示． 画法：①作点 M 关于射线 OP 的对称点 M'； ②连接 M'N 交 OP 于点 A； ③作点 N 关于射线 OQ 的对称点 N'； ④连接 N'M 交 OQ 于点 B． （2）AM＋AN 与 BM＋BN 的大小关系是：AM＋AN＝BM＋BN． （第 11 题答图） 12.解：作点 A 关于直线 l 的对称点 E,连接 BE.根据对称的性质可知,BE 的长即为 AC+BC 的最短距离,BE 与 直线 l 的交点 C 即是所求的点.如图, （第 12 题答图） 13.解：作点 N 关于 BC 的对称点 N′，连接 MN′交 BC 于点 P，由两点之间线段最短可知 P 点即为所求点． 14.证明:作点 A 关于草地所在直线的对称点 E,作点 B 关于小河所在直线的对称点 F,连接 EF,交河流所在直 线于点 D,交草地所在直线于点 C,连接 AC,CD,DB,根据轴对称性质,AC+CD+DB 的最小值即为 EF 的长.在 ON 上任意取一点 T,在 OM 上任意取一点 R,连接 FR,BR,RT,ET,AT, ∵A,E 关于 ON 对称,∴AC＝EC. 同理 BD＝FD,FR＝BR,AT＝ET, ∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF,AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR. ∵ET＋TR＋FR＞EF,∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR,即沿 AC－CD－DB 路线走是最短的路线, （第 14 题图）