人教版九年级数学上册教案教学设计

最新人教版九年级数学上册教案教学设计 21．1 一元二次方程 第一课时 教学内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念． 教学目标 了解一元二次方程的概念；一般式 ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解 决一些简单题目． 1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．态度、情感、价值观. 5．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点关键 1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元 二次方程的概念． 教学过程 一、复习引入 学生活动：列方程． 问题如图，如果 AC CB AB AC  ，那么点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点． B C A www.czsx.com.cn如果假设 AB=1，AC=x，那么 BC=________，根据题意，得：________． 整理得：_________． 问题（3）有一面积为 54m2 的长方形，将它的一边剪短 5m，另一边剪短 2m，恰好变成一个正方形，那 么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为 x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______． 整理，得：________． 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理． 二、探索新知 学生活动：请口答下面问题． （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 老师点评： （1）都只含一个未知数 x； （2）它们的最高次数都是 2 次的； （3）都有等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次） 的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ax2+bx+c=0（a≠0）．这 种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是 一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 例 1．将方程（8-2x）（5-2x）=18 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项 系数及常数项． 分析：一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18 必须运用 整式运算进行整理，包括去括号、移项等． 解：去括号，得： 40-16x-10x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0 其中二次项系数为 4，一次项系数为-26，常数项为 22． 例 2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1 化成一元二次方 程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1 化成 ax2+bx+c=0（a≠0）的形式． 解：去括号，得： x2+2x+1+x2-4=1 移项，合并得：2x2+2x-4=0 其中：二次项 2x2，二次项系数 2；一次项 2x，一次项系数 2；常数项-4． 三、巩固练习 教材练习 1、2 四、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课要掌握： （1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系 数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用． 五、布置作业 1．教材复习巩固 1-3 题 2．选用作业设计． 作业设计 一、选择题 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- 5 x =0 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．方程 2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）． A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p 为任意实数 二、填空题 1．方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为______，一次项系数为_______，常数项为_________． 2．一元二次方程的一般形式是__________． 3．关于 x 的方程（a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是________． 三、综合提高题 1．a 满足什么条件时，关于 x 的方程 a（x2+x）= 3 x-（x+1）是一元二次方程？ 2．关于 x 的方程（2m2+m）xm+1+3x=6 可能是一元二次方程吗？为什么？ 21．1 一元二次方程 第二课时 教学内容 1．一元二次方程根的概念； 2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问 题． 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由 根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2．难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题． 问题 1．如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m，那么梯子的底端 距墙多少米？ 10 8 设梯子底端距墙为 xm，那么， 根据题意，可得方程为___________．整理，得_________． 列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 问题 2．一个面积为 120m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2m，苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为 xm，则长为_______m． 根据题意，得________．整理，得________． 列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 老师点评（略） 二、探索新知 提问：（1）问题 1 中一元二次方程的解是多少？问题 2中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题 1 中还有其它解吗？问题 2 呢？ 老师点评：（1）问题 1 中 x=6 是 x2-36=0 的解，问题 2 中，x=10 是 x2+2x-120=0 的解． （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有 x=-6 的解；问题 2 中还有 x=-12 的解． 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称： 一元二次方程的解叫做一元二次方程的根． 回过头来看：x2-36=0 有两个根，一个是 6，另一个是－6，但-6 不满足题意；同理，问题 2 中的 x=-12 的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是 否确实是实际问题的解． 例 1．下面哪些数是方程 2x2+10x+12=0 的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 解：将上面的这些数代入后，只有-2 和-3 满足方程的等式，所以 x=-2 或 x=-3 是一元二次方程 2x2+10x+12=0 的两根． 例 2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义． 解：（1）移项得 x2=64 根据平方根的意义，得：x=±8 即 x1=8，x2=-8 （2）移项、整理，得 x2=2 根据平方根的意义，得 x=± 2 即 x1= 2 ，x2=- 2 （3）因为 x2-3x=x（x-3） 所以 x2-3x=0，就是 x（x-3）=0 所以 x=0 或 x-3=0 即 x1=0，x2=3 三、巩固练习 教材思考题 练习 1、2． 四、应用拓展 例 3．要剪一块面积为 150cm2 的长方形铁片，使它的长比宽多 5cm，这块铁片应该怎样剪？ 设长为 xcm，则宽为（x-5）cm 列方程 x（x-5）=150，即 x2-5x-150=0 请根据列方程回答以下问题： （1）x 可能小于 5 吗？可能等于 10 吗？说说你的理由． （2）完成下表： x 10 11 12 13 14 15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长 x 是多少吗？ 分析：x2-5x-150=0 与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因 式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根． 解：（1）x 不可能小于 5．理由：如果 x0.2)找出系数 a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算 b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果 为非负数，代入求根公式，算出结果。 （4）初步了解一元二次方程根的情况． 六、布置作业 教材 复习巩固 5． 判别一元二次方程根的情况 教学内容 用 b2-4ac 大于、等于 0、小于 0 判别 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用． 教学目标 掌握 b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0） 有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac0、b2-4ac=0、b2-4ac0  一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0  一元二次方程有两个相等的实 数；b2-4ac0，有两个不相等的实根；（2）b2-4ac=12-12=0， 有两个相等的实根；（3）b2-4ac=│-4×4×1│=0（0 时，根据平方根的意义， 2 4b ac 等于一个具体数， 所以一元一次方程的 x1= 2 4 2 b b ac a    ≠x1= 2 4 2 b b ac a    ，即有两个不相等的实根．当 b2-4ac=0 时， 根据平方根的意义 2 4b ac =0，所以 x1=x2= 2 b a  ，即有两个相等的实根；当 b2-4ac0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即 x1= 2 4 2 b b ac a    ，x2= 2 4 2 b b ac a    ． （2）当 b-4ac=0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即 x1=x2= 2 b a  ． （3）当 b2-4ac0 的解集，就是求 ax>-3 的解集，那么就转化为要判定 a 的值是正、负或 0．因为一 元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0 没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）0  一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0  一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac0时,抛物线的开口 向上 ,顶点是抛物 线的最 低 点,a 越大,抛物线的开口 越小 ,在对称轴的左侧,y 随 x 的增大而 减小 ,在对称轴的右 侧,y 随 x 的增大而 增大 .当 a0,把抛物线 y=ax2 向 上 平移 k 个单位,可得 y=ax2+k;当 k0 时,开口向上,对称轴是 y 轴,顶点(0,k),最小值为 k. a0 时,向 右平移 h 个单位,当 h0,开口 向上 ,当 x= h 时,函数 y 有最 小 值= 0 ,在对称轴的左侧,y 随 x 的增大而 减 小 ,在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而 增大 . 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