人教版九年级数学上册第24章同步测试题及答案

最新人教版九年级数学上册第 24 章同步测试题及答案 第二十四章 圆 24.1.1 圆的有关性质 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 过圆心的线段是直径 D. 圆心相同半径相同的两个圆是同心圆 2. 如图，在⊙O 中，点 B、O、C 和点 A、O、D 分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 过圆内一点可以做圆的最长弦（ ） A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 4. 顺次连接圆内两条相交直径的 4 个端点,围成的四边形一定是( ) A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 5. 如图,AB 是☉O 的直径,AC 是弦,D 是 AC 的中点,若 OD=4,则 BC=_____. 6. 已知:如图,OA,OB 为☉O 的半径,C,D 分别为 OA,OB 的中点,求证:AD=BC. 7. 如图所示,BD,CE 是△ABC 的高,求证:E,B,C,D 四点在同一个圆上. 8. 下列说法中,正确的是( ) A. 两个半圆是等弧 B. 同圆中优弧与半圆的差必是劣弧 C. 长度相等的弧是等弧 D. 同圆中优弧与劣弧的差必是优弧 9. 等于圆周的弧为( ) A. 劣弧 B. 半圆 C. 优弧 D. 圆 10. 如图,☉O 中,点 A,O,D 以及点 B,O,C 分别在一直线上,图中弦的条数为_____. 11. 如图,圆中以 A 为一个端点的优弧有_____条,劣弧有_____条. 12. 如图,在☉O 中,线段 AB 为其直径,为什么直径 AB 是☉O 中最长的弦? 13. 若☉O 的半径是 12cm,OP=8cm,求点 P 到圆上各点的距离中最短距离和最长距离. 14. 【错在哪？】作业错例 课堂实拍 若☉O 的半径为 4,点 P 到☉O 上一点的最短距离为 2,求点 P 到☉O 上一点的最长距离. (1)错因: . (2)纠错: . 答案 1. 【答案】D 【解析】过圆心的弦是直径，不是所有的弦都是直径，故 A 选项错误；圆上任意两点间的部分是弧，故半 圆是弧，故 B 正确；过圆心的弦是直径，故 C 选项错误；圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，故 D 错 误，所以本题选 B. 考点：圆的有关定义. 2. 【答案】B 【解析】根据弦的概念，AB、BC、EC 为圆的弦，共有 3 条弦.故选：B. 3.【答案】A 【解析】圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可 以作出圆的最长弦的条数为一条.故选：A. 4.【答案】C 【解析】根据直径所对的圆周角是直角，可知所围成的四边形四个角都是直角，根据有三个角是直角的四 边形是矩形，可判断此四边形是矩形，所以选 C. 考点：特殊四边形的判定. 5. 【答案】8 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，D 是 AC 的中点，∴AD=CD，OA=OB，即 OD 是△ABC 的中位线， ∴BC=2OD=2×4=8.故答案为：8. 6. 【答案】证明见解析. 【解析】已知 OA，OB 为⊙O 的半径．且有公共角∠O，则可以利用 SAS 证明△AOD≌△BOC，根据全等三角 形的对应边相等得到 AD=BC． 证明：∵OA，OB 为⊙O 的半径，C，D 分别为 OA，OB 的中点，∴OA=OB，OC=OD． 在△AOD 与△BOC 中， OA＝OB ∠O＝∠O OD＝OC ， ∴△AOD≌△BOC（SAS）． ∴AD=BC． 考点: 全乖三角形的判定与性质. 7. 【答案】证明见解析. 【解析】求证 E，B，C，D 四点在同一个圆上，△BCD 是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上， 因而只要再证明 F 到 BC 得中点的距离等于 BC 的一半就可以． 证明：取 BC 的中点 F,连接 DF,EF. ∵BD,CE 是△ABC 的高, ∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形. ∴DF,EF 分别为 Rt△BCD 和 Rt△BCE 斜边上的中线, ∴DF=EF=BF=CF. ∴E,B,C,D 四点在以点 F 为圆心，1 2 BC 为半径的圆上. 8. 【答案】B 【解析】A.两个半圆的半径不一定相等，故错误；B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；C.长度相等 的弧是等弧，错误；D.同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，故选：B. 9. 【答案】C 【解析】大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，直径所对的两条弧是半圆，等于圆周的弧叫做圆. 故选：D. 10. 【答案】2 【解析】弦是连接圆上任意两点的线段，由图可知，点 A. B. E. C 是⊙O 上的点，图中的弦有 AB、BC、 CE，一共 3 条.故答案为：2. 11. 【答案】 (1). 3 (2). 3 【解析】根据优弧、劣弧的概念，优弧有：AEC、AEB、ABC，共 3 条；劣弧有：AB、AC、AE，共 3 条. 故答案为：3；3. 12. 【答案】理由见解析. 【解析】根据圆的有关概念辨析可得，如图，CD 为⊙O 中非直径的任意一条弦，连接 OC，OD，则 OC+OD>CD， 而 OC，OD 为⊙O 的半径，所以直径>CD，即直径 AB 为⊙O 中最长的弦. 解：如图,CD 为⊙O 中非直径的任意一条弦,连接 OC,OD,则 OC+OD>CD,而 OC,OD 为⊙O 的半径, ∴直径>CD,即直径 AB 为⊙O 中最长的弦. 13.【答案】4cm，20cm. 【解析】依据题意画出图形，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定. 解：如图， 点 P 到圆上各点的距离中最短距离为:12-8=4(cm); 最长距离为:12+8=20(cm). 点睛：本题考查了点与圆的位置关系，正确进行讨论是关键. 14. 【答案】(1)漏掉了点在圆外的情况;(2)当点在☉O 的外部时,点 P 到圆上一点的最长距离为 4×2+2=10 【解析】（1）本题是有关点与圆的位置关系的问题，牢记点与圆的位置关系是解题关（2）根据点 P 在圆 内，和圆外，分两种情况画出图形，进行计算即可. 解：（1）漏掉了点在圆外的情况； （2）①点 P 在圆内；如图 1， ∵AP=2，∴AB=4×2=8，∴BP=6. ②点 P 在圆外；如图 2， ∵AP=2，∴AB=4×2=8， ∴BP=10. ∴点 P 到⊙O 的最长距离是 6 或 10. 24.1.2 垂直于弦的直径 一、选择题 1. 如果 AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，那么下列结论中，错误的是（ ）． A. CE=DE B. C. ∠BAC=∠BAD D. AC>AD 2. ⊙O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 3. 在⊙O 中，P 是弦 AB 的中点，CD 是过点 P 的直径，则下列结论中不正确的是（ ） A. AB⊥CD B. ∠AOB=4∠ACD C. AD=BD D. PO=PD 4. 下面四个判断中正确的是（ ）. A. 过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦 B. 过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦 C. 过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦 D. 过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦 5. 下列命题中，不正确的命题是（ ） A. 平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧 C. 在⊙O 中，AB、CD 是弦，则 AB CD D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 直径是弦，弦是直径 B. 半圆是弧 C. 无论过圆内哪一点，只能作一条直径 D. 在同圆中直径的长度是半径的 2 倍 7. 如图，⊙O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的一个动点，则线段 OM 长的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 过⊙O 内一点 M 的最长弦为 10cm，最短弦长为 8cm，则 OM 的长为（ ） A. 9cm B. 6cm C. 3cm D. 41cm 9. 将半径为 4cm 的圆折叠后圆弧正好经过圆心，问折痕长（ ） A. 4 3cm B. 2 3cm C. 3cm D. 2cm 10. 如图， 的直径 垂直弦 于 ，且 是半径 的中点， ，则直径 的长是（ ）. A. 2 3cm B. 3 2cm C. 4 2cm D. 4 3cm 11. 下列命题中，正确的是（ ）. A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径. B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦. C. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心. D. 在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心. 12. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为( ) A. 5 米 B. 8 米 C. 7 米 D. 5 3米 13. ⊙O 的半径为 5cm，弦 AB//CD ， 且 AB=8cm,CD=6cm,则 AB 与 CD 之间的距离为( ) A. 1 cm B. 7cm C. 3 cm 或 4 cm D. 1cm 或 7cm 14. 已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为 5 的⊙O 上，如果底边 BC 的长为 8，那么 BC 边上的高为 ( ) A. 2 B. 8 C. 2 或 8 D. 3 二、填空题 15. 已知 AB 是⊙O 的弦，AB＝8cm，OC⊥AB 与 C，OC=3cm，则⊙O 的半径为________cm 16. 在直径为 10cm 的圆中，弦 AB 的长为 8cm，则它的弦心距为________cm. 17. 在半径为 10 的圆中有一条长为 16 的弦，那么这条弦的弦心距等于 ________. 18. 已知 AB 是⊙O 的弦，AB＝8cm，OC⊥AB 与 C，OC=3cm，则⊙O 的直径________cm. 19. 如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD ， 垂足为 E ， 若∠COD＝120°，OE＝3 厘米，则 CD＝________ 厘米. 20. 半径为 6cm 的圆中，垂直平分半径 OA 的弦长为________cm. 三、解答题 21. 已知⊙O 的弦 AB 长为 10，半径长 R 为 7，OC 是弦 AB 的弦心距，求 OC 的长 22. 已知⊙O 的半径长为 50cm，弦 AB 长 50cm.求：点 O 到 AB 的距离 23. 如图，直径是 50cm 圆柱形油槽装入油后，油深 CD 为 15cm，求油面宽度 AB。 24. 如图，已知⊙O 的半径长为 R=5，弦 AB 与弦 CD 平行，他们之间距离为 7，AB=6 求：弦 CD 的长． 25. 如图，已知 AB 是⊙O 的直径 ， CD⊥AB ， 垂足为点 E，如果 BE=OE ， AB=12，求△ACD 的周长 答案 一、选择题 1. 【答案】D 【解析】AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 垂足为 E，则 AB 是垂直于弦 CD 的直径，就满足垂径定理．因而 CE=DE， 弧 BC=弧 BD，BC=BD，∠BAC=∠BAD 都是正确的．根据条件可以得到 AB 是 CD 的垂直平分线，因而 AC=AD．所 以 D 是错误的．故选 D． 2. 【答案】D 【解析】连接 OA，∵⊙O 的直径为 10， ∴OA=5， ∵圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3， 由垂径定理知， 点 M 是 AB 的中 AB 点，，AM=1 2 AB 由勾股定理可得，AM=4，所以 AB=8． 故选 D． 考点：1.垂径定理；2.勾股定理． 3. 【答案】D 【解析】∵P 是弦 AB 的中点，CD 是过点 P 的直径，∴AB⊥CD，弧 AD=弧 BD，△AOB 是等腰三角形， ∴∠AOB=2∠AOP，∵∠AOP=2∠ACD，∴∠AOB=2∠AOP=2×2∠ACD=4∠ACD．故选 D． 点睛：本题主要利用平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧的性质选择． 4. 【答案】C 【解析】若是圆心则 C 中最长的弦与最短的弦是同一条，所以只有 C 正确．故选 C． 5. 【答案】C 【解析】A．平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦，正确；B．平分弦的直径垂直于弦，并平分弦 所对的弧，正确；C．在⊙O 中，AB、CD 是弦，若 BD=AC，则 AB∥CD，错误；D．圆是轴对称图形，对称轴 是圆的每一条直径所在的直线，正确．故选 C． 6. 【答案】D 【解析】A．直径是圆中特殊的弦，但弦不一定是直径，所以错误；B．半圆是弧，故错误；C．过圆心有 无数条直径，故错误；D．直径的长度是同一个圆的半径的 2 倍，故正确．故选 D． 7. 【答案】B 【解析】根据垂线段最短可知，当 时，线段 OM 的值最小,此时，连接 OA，由垂径定理可知， ,在 考点：垂径定理；垂线段最短 点评：本题中，根据垂线段最短，明确当 时，线段 OM 的值最小是本题的关键。进而利用垂径 定理及勾股定理求出 OM 的值 8.【答案】C 【解析】由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径 ED⊥AB 于点 M，则 ED=10cm，AB=8cm，由垂径定理知：点 M 为 AB 中点，∴AM=4cm，∵半径 OA=5cm,∴ =25-16=9， ∴OM=3cm．故选 C． 考点：①垂径定理；②勾股定理． 9. 【答案】A 【解析】如图所示，连接 AO.过 O 作 OD⊥AB，交弧 AB 于点 D，交弦 AB 于点 E.∵弧 AB 折叠后恰好经过圆 心，∴OE=DE.∵⊙O 的半径是 4，∴OE= 1 2 OD= 1 2 ×4=2.∵OD⊥AB，∴AE= 1 2 AB.在 Rt△AOE 中，AE= 2 2 2 24 2 2 3OA OE    .∴AB=2AE= 4 3 .故选 A． 点睛：本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用及翻折变换的性质，根据题意画出图形，作出辅助线利 用数形结合解答． 10. 【答案】D 【解析】利用垂径定理可知，DP=CP=3，∵P 是半径 OB 的中点，∴AP=3BP，AB=4BP，利用相交弦的定理可 知：BP•3BP=3×3，解得 BP= 3，即 AB=4 3．故选 D． 11.【答案】D 【解析】A．两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误；B．平分一条弧的直径垂直于这条弧所对 的弦，故本选项错误；C．弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误；D．在一个圆内平 分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确．故选 D． 点睛：本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关 键． 12. 【答案】B 【解析】延长 CD 到 O，使得 OC=OA，则 O 为圆心，因为跨度 AB=24m，拱所在圆半径为 13m，则 AD= 则 OA=13 米，在 Rt△AOD 中，DO= ，所以拱高 CD=CO-DO=13-5=8 米．故选：B． 考点：1.垂径定理;2.勾股定理. 13. 【答案】B 【解析】分两种情况：当弦 A 和 CD 在圆心同侧时，如图①，过点 O 作 OF⊥CD，垂足为 F，交 AB 于点 E， 连接 OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm， OF=4cm，∴EF=OF-OE=1cm；当弦 A 和 CD 在圆心异侧时，如图②，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，反向延长 OE 交 AD 于点 F，连接 OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，∵OA=OC=5cm， ∴EO=3cm，OF=4cm，∴EF=OF+OE=7cm．故选：D． 考点：1、垂径定理；2、勾股定理. 14.【答案】C 【解析】分为两种情况：①如图 1，当圆心在三角形的内部时，连接 AO 并延长交 BC 于 D 点，连接 OB.∵ AB=AC，弧 AB=弧 AC，根据垂径定理得 AD⊥BC，则 BD=4，在 Rt△ODB 中，由勾股定理得，OB2=OD2+BD2.∵OB=5， BD=4，∴OD=3，∴高 AD=5+3=8.②当圆心在三角形的外部时，如图 2，三角形底边 BC 上的高 AD=5﹣3=2．所 以 BC 边上的高是 8 或 2，故选 C． 点睛：本题综合考查了垂径定理和勾股定理在圆中的应用，因三角形与圆心的位置不明确，注意分情况讨 论． 二、填空题 15. 【答案】5. 【解析】如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=1 2 AB=4，在 Rt△AOC 中，OA= AC2 + OC2= 42 + 32=5，∴⊙O 半径=5，故 答案为：5． 16. 【答案】3. 【解析】∵直径为 10cm，∴OA=5cm，∵OC⊥AB，∴AC=1 2 AB=4cm，在 Rt△OAC 中，根据勾股定理，得 OC= OA2 − AC2= 52 − 42=3cm，∴弦心距为 3cm． 点睛：本题主要考查利用半径、弦心距和弦的一半构成直角三角形，再根据勾股定理的求解的知识点． 17. 【答案】6. 【解析】过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，连接 OA，∵AB=16，∴AD=1 2 AB=1 2 ×16=8，在 Rt△AOD 中，∵OA2=OD2+AD2， 即 102=OD2+82，解得，OD=6．故答案为：6． 18.【答案】10. 【解析】由 OC⊥AB，可得 AC=BC=1 2 AB=4cm，在 Rt△ACO 中，AC=4，OC=3，由勾股定理可得，AO= AO2 − OC2=5 （cm），即⊙O 的直径为 10cm．故答案为：10． 点睛：本题综合考查了圆的垂径定理与勾股定理的运用．垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两 条弧． 19. 【答案】6 3. 【解析】∵⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，∴弧 BC=弧 BD，∴∠BOC=∠BOD=60°，∴∠C=30°，∴CE= 3OE=3 3，∴CD=2CE=6 3．故答案为：6 3． 20. 【答案】6 3. 【解析】连接 OA，在直角△OAD 中，OA=6cm，OD=3cm，∴AD= OA2 − OD2= 36 − 9=3 3 cm，∴AB=2AD =6 3cm．故答案为：6 3． 三、解答题 21. 【答案】2 6. 【解析】根据题意画出图形，根据垂径定理及勾股定理解答即可． 解：如图，由垂径定理知，∵点 C 是 AB 的中点，AC=1 2 AB=5，∴OC= OA2 − AC2 = 72 − 52=2 6． 22. 【答案】25 3. 【解析】△OAB 为等边三角形，运用三角函数求解． 解：作 OC⊥AB 于 C，根据题意，得△AOB 是等边三角形，则∠AOC=30°，所以 OC=OA•cos30°=25 3cm． 点睛：此题要发现等边三角形，根据等边三角形的性质以及直角三角形的性质进行求解． 23. 【答案】10 21. 【解析】因为圆柱形油槽装入油后形成弓形，可以考虑用垂径定理解答． 解：连接 OA，故 OC⊥AB 于点 D，由垂径定理知，点 D 为 AB 的中点，AB=2AD，∵OA=25cm，∴OD=OC﹣CD=25 ﹣15=10（cm），由勾股定理知，AD= OA2 − OD2= 252 − 102=5 21（cm），故油面宽度 AB=10 21cm． 点睛：考查了垂径定理和勾股定理在实际生活中的应用．解题关键：在利用数学知识解决实际问题时，要 善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题． 24.【答案】8. 【解析】如图 1 所示：过 O 作 OE⊥AB，交 CD 于 F 点，连接 OB，OD，可得出 OB=OD=5，在直角三角形 OBE 中，利用勾股定理求出 OE 的长，从而得到 OF 的长，在直角三角形 ODF 中，利用勾股定理分别求出 FD，即 可得到结论． 解： 过 O 向 AB 作垂线，垂足为 E，根据垂径定理可以得到 BE=3，连接 OB， 在直角三角形 BOE 中，根据勾股定理可以得到 OE= 52 − 32=4． 同样过 O 点想 CD 作垂线，垂足为 F， 因为弦 AB 和弦 CD 之间的距离为 7， 那么 OF=3， 连接 OD，在直角三角形 ODF 中 DF= 52 − 32=4． 根据垂径定理可以知道点 F 为 CD 的中点，即 CD=8． 25. 【答案】18 3. 【解析】连接 OC，利用垂径定理构造直角三角形分别求得三角形的三边长，然后相加即可得到△ACD 的周 长． 解：连接 OC． ∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=1 2 CD． ∵AB=12cm，∴AO=BO=CO=6cm． ∵BE=OE，∴BE=OE=3cm，AE=9cm． 在 Rt△COE 中，∵CD⊥AB，∴OE2+CE2=OC2，∴CE= 62 − 32=3 3，∴CD=2CE=6 3 cm． 同理可 AC=AD=6 3cm，∴△ACD 的周长为 18 3cm． 点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形并利用勾股定理解之． 24.1 圆的有关性质 第三课时 弧、弦、圆心角 1. 下列图形中表示的角是圆心角的是( ) 2. 在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧 AB 与 CD 的关系是( ) A. AB =2 CD B. AB >2 CD C. AB ∠A′O′B′ C. ∠AOB BC C. AC < BC D. 不能确定 7. 如图,AB 是☉O 的直径, BC = CD = DE ,∠COD=40°,则∠AOE 的度数为____. 8. 如图, ABD = BDC ,若 AB=3,则 CD=____. 9. 如图,AB,CD,EF 都是☉O 的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF. 10. 如图,已知 OA,OB 是☉O 的半径,C 为 AB 的中点,M,N 分别是 OA,OB 的中点,求证:MC=NC. 11. 如图,∠AOB=90°,C,D是 AB 的三等分点,AB分别交OC,OD于点E,F.试找出图中相等的线段(半径除外). (1)错因: . (2)纠错:____________________________________________________________ . 答案 1. 【答案】A 【解析】根据圆心角的定义:顶点在圆心的角是圆心角可知,B,C,D 项图形中的顶点都不在圆心上,所以它们 都不是圆心角.故选 A. 2. 【答案】A 【解析】在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,可得选项 A 正确. 3. 【答案】D 【解析】由弦相等推弦所对的圆心角相等,必须保证在同圆或等圆中.此题没有限制,所以不能确定∠AOB 和 ∠A′O′B′的大小关系. 点睛:本题主要考查了弦与其所对的圆心角的关系，本题的易错点就是认为“相等的弦所对的圆心角才相 等”，从而选择 A，而忽略了这一命题成立的前提是“在同圆和等圆中”. 4.【答案】90° 【解析】∵一条弦把圆分成 1：3 两部分，∴劣弧的度数=360°÷4=90°，∴弦所对的圆心角为 90°． 考点：圆心角、弧和所对弦的关系． 5. 【答案】证明见解析 【解析】根据等腰三角形的性质由 OC=OD 得∠OCD=∠ODC，由 OA=OB 得∠A=∠B，再根据三角形外角性质得 ∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠B+∠BOD，利用等量代换得到∠AOC=∠BOD，然后根据在同圆和等圆中，相等 的圆心角所对的弧相等即可得到结论． 证明:∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC. ∵AO=OB,∴∠A=∠B. ∴∠OCD-∠A=∠ODC-∠B, 即∠AOC=∠BOD, 即∠AOE=∠BOF.∴ AE = BF . 点睛:本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相 等． 6. 【答案】A 【解析】本题考查圆心角、弧和 HL 定理的知识，解题的关键是熟练地掌握相关的性质和定理；先根据 HL 定理证明 Rt△COD≌Rt△COE，得∠COD=∠COE；再根据圆心角与弧之间的关系由∠COD=∠COE 得出弧 AC 和 弧 BC 的关系即可.∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠CDO=∠CEO=90°,∵CD=CE,CO=CO,∴△COD≌△COE,∴∠COD =∠COE,∴ AC = BC . 7. 【答案】60° 【解析】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各 组量都分别相等；根据, BC = CD = DE ，可得到∠COB=∠COD=∠DOE=40°；根据∠COB+∠COD+∠DOE+∠AOE =180°，即可得到∠AOE 的度数.∵ BC = CD = DE ,∴∠BOC=∠DOE=∠COD=40°,∴∠AOE=180°-3×40°=60°. 8. 【答案】3 【解析】根据已知条件, ABD = BDC ,可求出 AB = CD ，然后根据相等的弧所对的弦想等可求出 CD 的长．∵ ABD = BDC ,∴ ABD - BD = BDC - BD ,即 AB = CD ,∴CD=AB=3. 9. 【答案】证明见解析 【解析】根据三个圆心角相等得到其对顶角相等，然后根据相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等 即可证得结论． 在☉O 中,∠1=∠2=∠3, 又∵AB,CD,EF 都是☉O 的直径, ∴∠FOD=∠AOC=∠BOE. ∴ DF = AC = EB , ∴AC=EB=DF. 10. 【答案】证明见解析 【解析】连接 OC，根据 C 是 AB 的中点，易得到AC = BC，由同圆中等弧对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOC； 由 OA=OB，M，N 分别为 OA，OB 的中点可得 OM=ON，由边角边定理可以判断△MOC≌△NOC，从而可得到 MC=NC. 证明:连接 OC. ∵C 为 AB 的中点,∴ BC = AC ,∴∠MOC=∠NOC. 又∵M,N 分别是 OA,OB 的中点, ∴OM=1 2 OA,ON=1 2 OB,∴OM=ON. 又∵OC=OC, ∴△OMC≌△ONC,∴MC=NC. 点睛:本题考查三角形全等的判定方法,弧与圆心角之间的关系，解题的关键是灵活运用三角形全等的判定 方法及在等圆或同圆中相等的弧所对的圆心角相等这些定理； 11. 【答案】(1) AE,BF 不是圆的弦,不能直接利用等弧对等弦(2)10 【解析】先根据 OA⊥OB 可知∠AOB=90°，再由 C，D 为弧 AB 的三等分点可求出∠AOC 的度数；由三角形内 角和定理求出∠OCD 的度数，根据三角形外角的性质得出∠OEF 及∠OFE 的度数，得 OE=OF，CE=DF；根据 三角形内角和定理即可得出∠AEO 的度数；连接 AC，BD，可得出 CD=AE=BF，可得 EF∥CD，所以 EFR D. d