人教版九年级数学上册第22章同步测试题及答案

最新人教版九年级数学上册第 22 章同步测试题及答案 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 一、选择题 1. 二次函数 y = ax2 − 2x − 3(a < 0)的图象一定不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限． 2. 抛物线 y =− (x + 1)2 + 3 的顶点坐标是( ) A. ( − 1， − 3) B. (1， − 3) C. ( − 1，3) D. (1，3) 3. 已知抛物线 y = ax2 + 3x + (a − 2)，a 是常数且 a < 0，下列选项中可能是它大致图象的是( ) A. B. C. D. 4. 下列函数中，y 的值随着 x 逐渐增大而减小的是( ) A. y = 2x B. y = x2 C. y =− 2 x D. y = 2 x (x > 0) 5. 将抛物线 y = (x + 2)2向下平移 2 个单位后，所得抛物线解析式为(  ) A. y = x2 B. y = x2 − 2 C. y = (x + 2)2 + 2 D. y = (x + 2)2 − 2 6. 如果抛物线 y = ax2 + bx + c 经过点( − 1，0)和(3，0)，那么对称轴是直线(  ) A. x = 0 B. x = 1 C. x = 2 D. x = 3 7. 函数 y = (a − 1)x a2 +1 + x − 3 是二次函数时，则 a 的值是(  ) A. 1 B. − 1 C. ± 1 D. 0 8. 将抛物线y1 = x2 − 2x − 3 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，与抛物线y2 = ax2 + bx + c 重 合，现有一直线y3 = 2x + 3 与抛物线y2 = ax2 + bx + c 相交，当y2 ≤ y3时，利用图象写出此时 x 的取值范围 是(  ) A. x ≤− 1 B. x ≥ 3 C. − 1 ≤ x ≤ 3 D. x ≥ 0 9. 将抛物线 y = x2 − 4x − 4 向左平移 3 个单位，再向上平移 5 个单位，得到抛物线的函数表达式为(  ) A. y = (x + 1)2 − 13 B. y = (x − 5)2 − 3 C. y = (x − 5)2 − 13 D. y = (x + 1)2 − 3 10. 小明将图中两水平线l1与l2的其中一条当成 x 轴，且向右为正方向；两铅垂线l3与l4的其中一条当成 y 轴，且向上为正方向，并且在此平面直角坐标系上画出二次函数 y =− x2 − 2x + 1 的图象，则关于他选择 x 轴与 y 轴的叙述正确的是(  ) A. l1为 x 轴，l3为 y 轴 B. l1为 x 轴，l4为 y 轴 C. l2为 x 轴，l3为 y 轴 D. l2为 x 轴，l4为 y 轴 二、解答题 11. 已知：抛物线 y =− x2 + bx + c 经过 B(3，0)、C(0，3)两点，顶点为 A． 求：(1)抛物线的表达式； (2)顶点 A 的坐标． 12. 已知抛物线 y =− 2x2 − 4x + 1． (1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)将这个抛物线平移，使顶点移到点 P(2，0)的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程． 13. 在平面直角坐标系 xOy 中(如图)，已知抛物线 y = ax2 + bx − 5 3 ，经过点 A( − 1，0)、B(5，0)． (1)求此抛物线顶点 C 的坐标； (2)联结 AC 交 y 轴于点 D，联结 BD、BC，过点 C 作 CH ⊥ BD，垂足为点 H，抛物线对称轴交 x 轴于 G，联 结 HG，求 HG 的长． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 + 4x + c 与 y 轴交于点 A(0，5)，与 x 轴交于点 E，B， 点 B 坐标为(5，0)． (1)求二次函数解析式及顶点坐标； (2)过点 A 作 AC 平行于 x 轴，交抛物线于点 C，点 P 为抛物线上的一点(点 P 在 AC 上方)，作 PD 平行于 y 轴 交 AB 于点 D，问当点 P 在何位置时，四边形 APCD 的面积最大？并求出最大面积． 答案 一、选择题 1. 【答案】A 【解析】∵二次函数 y=ax2-2x-3（a＜0）的对称轴为直线 x=− b 2a =− −2 2a = 1 a < 0，∴其顶点坐标在第二或第 三象限.∵当 x=0 时，y=-3，∴抛物线一定经过第四象限，∴此函数的图像一定不经过第一象限.故选 A. 2. 【答案】C 【解析】根据抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k，（a≠0），则抛物线的顶点坐标为（h，k）可得：抛物线 y=-（x+1）2+3 的顶点坐标为（-1，3），所以 C 选项的结论正确.故选 C. 【点睛】抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k，（a≠0），则抛物线的顶点坐标为（h，k）． 3. 【答案】B 【解析】∵抛物线 y=ax2+3x+（a-2），a 是常数且 a＜0，∴图象开口向下，a-2＜0，∴图象与 y 轴交于负 半轴，∵a＜0，b=3，∴抛物线对称轴在 y 轴右侧．故选 B． 4. 【答案】D 【解析】A 选项：函数 y=2x 的图象是 y 随着 x 增大而增大，故本选项错误；B 选项：函数函数 y=x2 的对称 轴为 x=0，当 x≤0 时 y 随着 x 增大而减小，故本选项错误；C 选项：函数 y =− 2 x ，当 x＜0 或 x＞0 时，y 随着 x 增大而增大，故本选项错误；D 选项：函数 y = 2 x (x > 0)，当 x＞0 时，y 随着 x 增大而减小，故本 选项错误；故选 D． 5. 【答案】D 【解析】抛物线 y=（x+2）2 的顶点坐标为（-2，0），向下平移 2 个单位后的顶点坐标是（-2，-2），所以， 平移后得到的抛物线解析式为 y=（x+2）2-2．故选 D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变换确定出函数解析式是此类题目常用的方法， 一定要熟练掌握并灵活运用，平移规律“左加右减，上加下减”． 6. 【答案】B 【解析】∵抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴两交点的坐标为（-1，0）和（3，0），而抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴 两交点是对称点，∴抛物线的对称轴为直线 x=1．故选 B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质：二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当 a＞0，抛 物线开口向上；对称轴为直线 x=- b 2a ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c）；当 b2-4ac＞0，抛物线与 x 轴 有两个交点；当 b2-4ac=0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b2-4ac＜0，抛物线与 x 轴没有交点． 7. 【答案】B 【解析】依题意，得 a2+1=2 且 a-1≠0，解得 a=-1.故选 B. 8. 【答案】C 【解析】y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，则它的顶点坐标为（1，-4），所以抛物线 y1=x2-2x-3 先向左平移 1 个单 位，再向上平移 4 个单位后的解析式为 y=x2，解方程组 y＝2x + 3 y＝x2 得 x＝ − 1 y＝1 或 x = 3 y = 9 ,所以当 -1≤x≤3．故选 C． 9.【答案】D 【解析】因为 y=x2-4x-4=（x-2）2-8，所以抛物线 y=x2-4x-4 的顶点坐标为（2，-8），把点（2，-8）向左 平移 3 个单位，再向上平移 5 个单位所得对应点的坐标为（-1，-3），所以平移后的抛物线的函数表达式 为 y=（x+1）2-3．故选 D． 10. 【答案】D 【解析】y=-x2-2x+1=-（x+1）2+2，故抛物线的对称轴为：直线 x=-1，顶点坐标为：（-1，2），则关于他选 择 x 轴与 y 轴的叙述正确的是：l2 为 x 轴，l4 为 y 轴．故选 D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，正确求出二次函数的对称轴与顶点坐标是解题关键． 二、解答题 11. 【答案】(1)y =− x2 + 2x + 3(2)(1，4) 【解析】（1）直接把 B（3，0）、C（0，3）代入 y=-x2+bx+c 得到关于 b、c 的方程组，解方程组求出 b、c， 可确定抛物线的解析式；（2）把（1）的解析式进行配方可得到顶点式，然后写出顶点坐标即可． 解：(1)把 B(3，0)、C(0，3)代入 y =− x2 + bx + c − 9 + 3b + c = 0 c = 3 ， 解得 b = 2 c = 3 ． 故抛物线的解析式为 y =− x2 + 2x + 3； (2)y =− x2 + 2x + 3=− (x2 − 2x + 1) + 3 + 1 =− (x − 1)2 + 4， 所以顶点 A 的坐标为(1，4)． 12.【答案】(1) 对称轴是直线 x =− 1，顶点坐标为( − 1，3)；(2) 平移过程为：向右平移 3 个单位，向下 平移 3 个单位 【解析】（1）将抛物线整理成顶点式形式，然后解答即可；（2）根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标 减解答． 解：(1)y =− 2x2 − 4x + 1，=− 2(x2 + 2x + 1) + 2 + 1，=− 2(x + 1)2 + 3， 所以，对称轴是直线 x =− 1， 顶点坐标为( − 1，3)； (2) ∵新顶点 P(2，0)， ∴ y =− 2(x − 2)2， ∵ 2 − ( − 1) = 2 + 1 = 3， 0 − 3 =− 3， ∴平移过程为：向右平移 3 个单位，向下平移 3 个单位． 13. 【答案】(1)C(2， − 3) (2)HG = 3 13 13． 【解析】（1）已知抛物线过 A，B 两点，可将 A，B 的坐标代入抛物线的解析式中用待定系数法即可求出抛 物线的解析式．然后可根据抛物线的解析式得出顶点 C 的坐标．（2）本题介绍三种解法：方法一：分别求 直线 AC 的解析式和 BD 的解析式，直线 AC：y=-x-1，直线 BD：y=1 5 x-1，可得 D 和 P 的坐标，证明△BPG∽△CPH 和△HPG∽△CPB，列比例式可得 HG 的长；方法二：如图 2，过点 H 作 HM⊥CG 于 M，先根据勾股定理的逆 定理证明∠BCD=90°，利用面积法求 CH 的长，再证明△OBD∽△MCH，列比例式可得 CM 的长，从而可得结 论； 方法三：直线 AC：y=-x-1，求 CH 和 BD 的解析式，联立方程组可得 H 的坐标，由勾股定理可得 GH 的长． 解：(1)把 A( − 1，0)、B(5，0)代入抛物线解析式， 得： a − b − 5 3 = 0 25a + 5b − 5 3 = 0 ，解得： a = 1 3 b =− 4 3 ， ∴抛物线的解析式为：y = 1 3 x2 − 4 3 x − 5 3 = 1 3 (x − 2)2 − 3， ∴顶点 C(2， − 3) (2)方法一：设 BD 与 CG 相交于点 P， 设直线 AC 的解析式为：y = kx + b 把 A( − 1，0)和 C(2， − 3)代入得： − k + b = 0 2k + b =− 3 解得： k =− 1 b =− 1 则直线 AC：y =− x − 1， ∴ D(0， − 1)， 同理可得直线 BD：y = 1 5 x − 1， ∴ P(2， − 3 5 ) ∵ ∠CHP = ∠PGB = 90∘ ，∠GPB = ∠CPH ∴△ BPG∽△ CPH， ∴ CP PB = PH PG ∴△ HPG∽△ CPB， ∴ HG BC = PG PB ，∴ HG 3 2 = 3 5 3 5 26 ， ∴ HG = 3 13 13 ； 方法二：如图 2，过点 H 作 HM ⊥ CG 于 M， ∵ CD = 2 2，BC = 3 2，BD = 26， ∴ BD2 = CD2 + BC2， ∴ ∠BCD = 90∘ ， ∵ S△BCD = 1 2 BD ⋅ CH = 1 2 BC ⋅ CD， ∴ CH = 2 2×3 2 26 = 6 13 26， ∵ ∠ABD = ∠HCG， ∴△ OBD∽△ MCH， ∴ 1 HM = 5 CM = 26 6 13 26 ，∴ HM = 6 13 ，CM = 30 13 ， ∴ GM = 9 13 ， 由勾股定理得：GH = HM2 + GM2 ∴ GH = 3 13 13， 方法三：直线 AC：y =− x − 1， ∴ D(0， − 1)， 直线 BD：y = 1 5 x − 1， ∵ CH ⊥ BD， ∴ kBD ⋅ kCH =− 1， ∴直线 CH：y =− 5x + 7， 联立解析式： y = 1 5 x − 1 y =− 5x + 7 ，解得： x = 35 13 y =− 6 13 ， ∴ H( 35 13 ， − 6 13 ) ∴ HG = 3 13 13． 14. 【答案】(1)(2，9) (2)P( 5 2 ， 35 4 ) 【解析】（1）用待定系数法求抛物线解析式，并利用配方法求顶点坐标；（2）先求出直线 AB 解析式，设 出点 P 坐标（x，-x2+4x+5），建立函数关系式 S 四边形 APCD=-2x2+10x，根据二次函数求出极值；可得 P 的坐标． 解：(1)把点 A(0，5)，点 B 坐标为(5，0)代入抛物线 y = ax2 + 4x + c 中， 得： c = 5 25a + 4 × 5 + c = 0 ，解得： a =− 1 c = 5 ， ∴抛物线的解析式为：y =− x2 + 4x + 5 =− (x − 2)2 + 9， ∴顶点坐标为(2，9)； (2)设直线 AB 的解析式为：y = mx + n， ∵ A(0，5)，B(5，0)， ∴ n = 5 5m + n = 0 ，解得： m =− 1 n = 5 ， ∴直线 AB 的解析式为：y =− x + 5， 设 P(x， − x2 + 4x + 5)，则 D(x， − x + 5)， ∴ PD = ( − x2 + 4x + 5) − ( − x + 5) =− x2 + 5x， ∵点 C 在抛物线上，且纵坐标为 5， ∴ C(4，5)， ∴ AC = 4， ∴ S四边形 APCD = 1 2 AC ⋅ PD = 1 2 × 4( − x2 + 5x) =− 2x2 + 10x =− 2(x − 5 2 )2 + 25 2 ， ∵− 2 < 0，∴ S 有最大值， ∴当 x = 5 2 时，S 有最大值为25 2 ， 此时 P( 5 2 ， 35 4 ). 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边 形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值． 22.2 二次函数与一元二次方程 一、选择题 1. 下列命题：①若 a + b + c = 0，则b2 − 4ac ≥ 0；②若 b > a + c，则一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有两 个不相等的实数根；③若 b = 2a + 3c，则一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有两个不相等的实数根；④若b2 − 4ac > 0，则二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3．其中正确的是(  ) A. 只有①②③ B. 只有①③④ C. 只有①④ D. 只有②③④ 2. 二次函数 y = ax2 + bx 的图象如图所示，若一元二次方程 ax2 + bx + m = 0 有实数根，则 m 的取值范围 是(  ) A. m ≤ 3 B. m ≥ 3 C. m ≤− 3 D. m ≥− 3 3. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表： x … − 1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 那么关于它的图象，下列判断正确的是(  ) A. 开口向上 B. 与 x 轴的另一个交点是(3，0) C. 与 y 轴交于负半轴 D. 在直线 x = 1 的左侧部分是下降的 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，开口向下的抛物线 y = ax2 + bx + c 的一部分图象如图所示，它与 x 轴交于 A(1，0)，与 y 轴交于点 B (0，3)，则 a 的取值范围是(  ) A. a < 0 B. − 3 < a < 0 C. a 0 B. y1 < 0、y2 < 0 C. y1 < 0、y2 > 0 D. y1 > 0、y2 < 0 7. 如图，教师在小黑板上出示一道题，小华答：过点(3，0)；小彬答：过点(4，3)；小明答：a = 1；小颖 答：抛物线被 x 轴截得的线段长为 2.你认为四人的回答中，正确的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 8. 已知函数 y = (x − x1)(x − x2)，其中x1、x2为常数，且x1 < x2，若方程(x − x1)(x − x2) = 2 的两个根为x3、 x4，且x3 < x4，则x1、x2、x3、x4的大小关系为( ) A. x1 < x3 < x2 < x4 B. x1 < x3 < x4 < x2 C. x3 < x1 < x2 < x4 D. x3 < x1 < x4 < x2 9. 抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点为 D( − 1，2)，与 x 轴的一个交点 A 在点( − 3，0)和( − 2，0)之间，其部 分图象如图，其中错误的结论为( ) A. 方程 ax2 + bx + c = 0 的根为− 1 B. b2 − 4ac > 0 C. a = c − 2 D. a + b + c < 0 10. 已知抛物线 y = x2 + bx + c 的对称轴为 x = 1，若关于 x 的一元二次方程x2 − bx − c = 0 在− 3 < x < 2 的范围内有解，则 c 的取值范围是( ) A. c ≥− 1 B. − 1 ≤ c < 3 C. 3 < c < 8 D. − 1 ≤ c < 8 二、解答题 11. 抛物线 y = ax2 + 2x + c 经过点 B(3，0)、C(0，3)两点． （1）求抛物线顶点 D 的坐标； （2）抛物线与 x 轴的另一交点为 A，求△ ABC 的面积． 12. 在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y = ax2 + bx − 5 3 ，经过点 A( − 1，0)、B(5，0)． （1）求此抛物线顶点 C 的坐标； （2）联结 AC 交 y 轴于点 D，联结 BD、BC，过点 C 作 CH ⊥ BD，垂足为点 H，抛物线对称轴交 x 轴于 G， 联结 HG，求 HG 的长． 13. 已知抛物线 y = ax2 + bx − 8(a ≠ 0)的对称轴是直线 x = 1， （1）求证：2a + b = 0； （2）若关于 x 的方程 ax2 + bx − 8 = 0，有一个根为 4，求方程的另一个根． 14. 抛物线 y =− x2 + (m − 1)x + m 与 y 轴交于点(0，3)． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）①当 x 取什么值时，y > 0？②当 x 取什么值时，y 的值随 x 的增大而减小？ 15. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 y =− 1 2 x2 + 4x 与 x 轴正半轴的交点，点 B 在抛物线上，其 横坐标为 2，直线 AB 与 y 轴交于点 C.点 M、P 在线段 AC 上(不含端点)，点 Q 在抛物线上，且 MQ 平行于 x 轴，PQ 平行于 y 轴.设点 P 横坐标为 m． （1）求直线 AB 所对应的函数表达式． （2）用含 m 的代数式表示线段 PQ 的长． （3）以 PQ、QM 为邻边作矩形 PQMN，求矩形 PQMN 的周长为 9 时 m 的值． 答案 一、选择题 1.【答案】B 【解析】①b2-4ac=（-a-c）2-4ac=（a-c）2≥0，正确；②若 b＞a+c，则△的大小无法判断，故不能得出 方程有两个不等实根，错误；③b2-4ac=4a2+9c2+12ac-4ac=4（a+c）2+5c2，因为 a≠0，故（a+c）2 与 c2 不 会同时为 0，所以 b2-4ac＞0，正确；④二次函数 y=ax2+bx+c 与 y 轴必有一个交点，而这个交点有可能跟 图象与 x 轴的交点重合，故正确．故选 B． 2.【答案】A 【解析】由图可知：y≥-3，即 ax2+bx≥-3，∵ax2+bx+m=0，∴ax2+bx=-m，∴-m≥-3，∴m≤3．故选 A. 3. 【答案】B 【解析】A、由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为 y=a（x-1）2+4．将（-1，0） 代入，得 a（-1-1）2+4=0，解得 a=-1．∵a=-1＜0，∴抛物线的开口方向向下，故本选项错误；B、抛物线 与 x 轴的一个交点为（-1，0），对称轴是 x=1，则抛物线与 x 轴的另一个交点是（3，0），故本选项正确； C、由表格知，抛物线与 y 轴的交点坐标是（0，3），即与 y 轴交于正半轴，故本选项错误；D、抛物线开 口方向向下，对称轴为 x=1，则在直线 x=1 的左侧部分是上升的，故本选项错误；故选 B． 点睛：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从 而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求 解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时， 可选择设其解析式为交点式来求解． 4. 【答案】B 【解析】根据图象得：a＜0，b＜0，∵抛物线与 x 轴交于 A（1，0），与 y 轴交于点 B （0，3）， ∴ a + b + c＝0 c＝3 ，∴a+b=-3，∵b＜0，∴-3＜a＜0，故选 B． 5. 【答案】D 【解析】∵抛物线与 x 轴的两交点坐标为（-3，0），（1，0），∴一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根分别为 x1=-3，x2=1，∴-3+1=-b a ，即b a =2，∴一元二次方程 ax2+bx+c-m=0 的两根之和=-b a =-2．故选 D． 6. 【答案】B 【解析】令 y＝−x2+x−1 5 =0，解得：x=5± 5 10 ，∵当自变量 x 取 m 时对应的值大于 0，∴5− 5 10 ＜m＜5+ 5 10 ，∵点（m+1， 0）与（m-1，0）之间的距离为 2，大于二次函数与 x 轴两交点之间的距离，∴m-1 的最大值在左边交点之 左，m+1 的最小值在右边交点之右．∴点（m+1，0）与（m-1，0）均在交点之外，∴y1＜0、y2＜0． 故选 B． 7. 【答案】C 【解析】∵抛物线过（1，0），对称轴是 x=2，∴ a + b + 3＝0 − b 2a ＝2 ，解得 a=1，b=-4，∴y=x2-4x+3，当 x=3 时， y=0，小华正确；当 x=4 时，y=3，小彬也正确，小明也正确；∵抛物线被 x 轴截得的线段长为 2，已知过 点（1，0），∴另一点为（-1，0）或（3，0），∴对称轴为 y 轴或 x=2，此时答案不唯一，∴小颖错误．故 选 C． 8. 【答案】C 【解析】函数 y=（x-x1）（x-x2）的图象与 x 轴的交点的横坐标分别是 x1、x2；函数 y=（x-x1）（x-x2）-2 的图象是由函数 y=（x-x1）（x-x2）的图象向下平移 2 个单位得到的，则方程（x-x1）（x-x2）-2=0[或方程 （x-x1）（x-x2）=2]的两根 x3、x4 即为函数 y=（x-x1）（x-x2）-2 的图象与 x 轴的交点的横坐标，它们的大 致图象如图所示,根据图象知，x3＜x1＜x2＜x4．故选 C． 9. 【答案】A 【解析】∵x=-1 时，y≠0，∴方程 ax2+bx+c=0 的根为-1 这种说法不正确，∴结论 A 不正确；∵二次函数 y=ax2+bc+c 的图象与 x 轴有两个交点，∴△＞0，即 b2-4ac＞0，∴结论 B 正确；∵x=- b 2a ，∴b=2a，∴顶点 的纵坐标是4ac−b2 4a =2，∴a=c-2，∴结论 C 正确；∵二次函数 y=ax2+bc+c 的图象的对称轴是 x=-1，与 x 轴的 一个交点 A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，∴与 x 轴的另一个交点 A 在点（0，0）和（1，0）之间， ∴x=1 时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴结论 D 正确；∴不正确的结论为：A．故选 A． 点睛：二次函数的图象与系数的关系：①二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a＞0 时，抛物 线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；②一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右．（简称：左 同右异）③常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点． 抛物线与 y 轴交于（0，c）． 10. 【答案】D 【解析】由抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为 x=1，∴− b 2a =1，−b 2 =1，解得：b=-2，∴x2-bx-c=x2+2x-c，令 y1=x2+2x-c， 可求其对称轴为：x=-1，根据题意，当 x=2 时，y1＞0，x2+2x-c＞0，且当 x=-1 时，y1≤0， x2+2x-c≤0，或当 x=-3 时，y＞0，9-6-c＞0，且当 x=-1 时，y1≤0，x2+2x-c≤0，解得：-1≤c＜8，或-1≤c ＜3，综上所述，-1≤c＜8．故选 D． 二、解答题 11. 【答案】（1）D（1，4）；（2）6. 【解析】（1）利用待定系数法代入求出 a，c 的值，进而利用配方法求出 D 点坐标即可；（2）首先求出图 象与 x 轴的交点坐标，进而求出△ABC 的面积． 解：（1）由题意，得 9a + 6 + c＝0 c＝3 ， 解得 a＝ − 1 c＝3 ， 则 y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， 则 D（1，4）； （2）由题意，得-x2+2x+3=0， 解得 x1=-1，x2=3； 则 A（-1，0）， 又∵B（3，0）、C（0，3）， ∴S△ABC＝1 2 ×4×3＝6. 12. 【答案】（1）C（2，-3）；（2）3 13 13 . 【解析】（1）已知抛物线过 A，B 两点，可将 A，B 的坐标代入抛物线的解析式中用待定系数法即可求出抛 物线的解析式．然后可根据抛物线的解析式得出顶点 C 的坐标．（2）分别求直线 AC 的解析式和 BD 的解析 式，直线 AC：y=-x-1，直线 BD：y=1 5 x-1，可得 D 和 P 的坐标，证明△BPG∽△CPH 和△HPG∽△CPB，列比 例式可得 HG 的长 解：（1）把 A（-1，0）、B（5，0）代入抛物线解析式， 得： a − b − 5 3 ＝0 25a + 5b − 5 3 ＝0 ，解得： a＝ 1 3 b＝ − 4 3 ， ∴抛物线的解析式为：y＝1 3 x2−4 3 x−5 3 ＝1 3 (x−2)2−3， ∴顶点 C（2，-3） （2）设 BD 与 CG 相交于点 P， 设直线 AC 的解析式为：y=kx+b 把 A（-1，0）和 C（2，-3）代入得： − k + b＝0 2k + b＝ − 3 ， 解得： k＝ − 1 b＝ − 1 则直线 AC：y=-x-1， ∴D（0，-1）， 同理可得直线 BD：y=1 5 x-1，∴P(2，−3 5 ) ∵∠CHP=∠PGB=90°，∠GPB=∠CPH ∴△BPG∽△CPH，∴CP PB ＝ PH PG ， ∴△HPG∽△CPB，∴HG BC ＝ PG PB ， ∴HG 3 2 ＝ 3 5 3 5 26 ， ∴HG＝3 13 13 . 13. 【答案】（1）见解析；（2）方程的另一个根为 x=-2. 【解析】（1）根据抛物线的对称轴为 x=- b 2a =1 可得；（2）根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个 交点可得答案． 解：（1）∵抛物线的对称轴为直线 x=1， ∴- b 2a =1， ∴2a+b=0； （2）∵关于 x 的方程 ax2+bx-8=0，有一个根为 4， ∴抛物线与 x 轴的一个交点为（4，0）， ∵抛物线的对称轴为 x=1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（-2，0）， ∴方程的另一个根为 x=-2． 14.【答案】（1）y =− x2 + 2x + 3；（2）x 轴：A(3，0)、B( − 1，0)；Y 轴：C(0，3)（3）见解析. 【解析】（1）将点（0，3）代入抛物线的解析式中，即可求得 m 的值；（2）可以令 y=0，可得出一个关于 x 的一元二次方程，方程的解就是抛物线与 x 轴交点的横坐标；（3）根据（2）中抛物线与 x 轴的交点以及 抛物线的开口方向即可求得 x 的取值范围． 解：（1）将点（0，3）代入抛物线 y=-x2+（m-1）x+m，m=3， ∴抛物线的解析式 y=-x2+2x+3； （2）令 y=0，-x2+2x+3=0， 解得 x1=3，x2=-1； x 轴：A（3，0）、B（-1，0）； y 轴：C（0，3） （3）抛物线开口向下，对称轴 x=1； 所以）①当-1＜x＜3 时，y＞0； ②当 x≥1 时，y 的值随 x 的增大而减小． 15. 【答案】（1）直线 AB 的解析式为 y =− x + 8；（2）见解析；（3）m 的值为10−3 6 2 或20−3 2 2 ． 【解析】（1）先利用二次函数解析式求出 A 点和 B 点坐标，然后利用待定系数法求直线 AB 的解析式；（2） 设 P（m，-m+8），则 Q（m，-1 2 m2+4m），讨论：当 0＜m≤2 时，PQ=1 2 m2-5m+8；当 2＜m＜8 时，PQ=-1 2 m2+5m-8； （3）先表示出 M（1 2 m2-4m+8，-1 2 m2+4m），讨论：当 0＜m≤2，QM=1 2 m2-5m+8，利用矩形周长列方程得到 （1 2 m2-5m+8+1 2 m2-5m+8）=9，然后解方程求出满足条件 m 的值；当 2＜m＜8，QM=-1 2 m2+5m-8，利用矩形周长列 方程得到 2（-1 2 m2+5m-8-1 2 m2+5m-8）=9，然后解方程求出满足条件 m 的值． 解：（1）当 y=0 时，-1 2 x2+4x=0，解得 x1=0，x2=8，则 A（8，0）； 当 x=2 时，y=-1 2 x2+4x=6，则 B（2，6）， 设直线 AB 所对应的函数表达式为 y=kx+b， 将 A（8，0），B（2，6）代入可得 8k + b＝0 2k + b＝6 ，解得 k＝ − 1 b＝8 ， 所以直线 AB 的解析式为 y=-x+8； （2）设 P（m，-m+8），则 Q（m，-1 2 m2+4m）， 当 0＜m≤2 时，PQ=-m+8-（-1 2 m2+4m）=1 2 m2-5m+8； 当 2＜m＜8 时，PQ=-1 2 m2+4m-（-m+8）=-1 2 m2+5m-8； （3）∵MQ∥x 轴， ∴M 点的纵坐标为-1 2 m2+4m， ∴M 点的横坐标为1 2 m2-4m+8，即 M（1 2 m2-4m+8，-1 2 m2+4m）， 当 0＜m≤2，QM=1 2 m2-4m+8-m=1 2 m2-5m+8， ∵2（PQ+QM）=9， ∴2（1 2 m2-5m+8+1 2 m2-5m+8）=9， 整理得 2m2-20m+23=0，解得 m1=10−3 6 2 ，m2=10+3 6 2 （舍去）； 当 2＜m＜8，QM=m-（1 2 m2-4m+8）=-1 2 m2+5m-8， ∵2（PQ+QM）=9， ∴2（-1 2 m2+5m-8-1 2 m2+5m-8）=9， 整理得 2m2-20m+41=0，解得 m1=20−3 2 2 ，m2=20+3 2 2 （舍去）； 综上所述，m 的值为10−3 6 2 或20−3 2 2 ． 22.3 实际问题与二次函数 一、课堂学习检测 1. 矩形窗户的周长是 6m，写出窗户的面积 y(m2)与窗户的宽 x(m)之间的函数关系式，判断此函数是不是 二次函数，如果是，请求出自变量 x 的取值范围，并画出函数的图象． 2. 如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位 AB 时，水面宽 8m，水位上升 3m， 就达到警戒水位 CD，这时水面宽 4m，若洪水到来时，水位以每小时 0.2m 的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱 顶． 3. 如图，足球场上守门员在 O 处开出一高球，球从离地面 1m 的 A 处飞出(A 在 y 轴上)，运动员乙在距 O 点 6m 的 B 处发现球在自己头的正上方达到最高点 M，距地面约 4m 高．球第一次落地后又弹起．据试验， 足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式； (2)运动员乙要抢到第二个落点 D，他应再向前跑多少米?(取 4 3 = 7，2 6 = 5) 二、综合、运用、诊断 4. 如图，有长为 24m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体 的最大可用长度 a＝10m)． (1)如果所围成的花圃的面积为 45m2，试求宽 AB 的长； (2)按题目的设计要求，能围成面积比 45m2 更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不 能，请说明理由． 5. 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 m(件)与每件的销售价 x(元)满足一次函数 m＝162－3x． (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y(元)与每件的销售价 x(元)间的函数关系式； (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少? 6. 某工厂现有 80 台机器，每台机器平均每天生产 384 件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总 量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生 产 4 件产品． (1)如果增加 x 台机器，每天的生产总量为 y 件，请写出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少? 7. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次 函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 s(万元)与销售时间 t(月)之间的关系(即前 t 个月的利润 总和 s 与 t 之间的关系)． 根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润 s(万元)与时间 t(月)之间的函数关系式； (2)求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元； (3)求第 8 个月公司所获利润为多少万元? 三、拓展、探究、思考 8. 已知：在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴交于点 C，且 OC＝OB＝3OA． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设点 D 是点 C 关于此抛物线对称轴的对称点，直线 AD，BC 交于点 P，试判断直线 AD，BC 是否垂直，并 证明你的结论； (3)在(2)的条件下，若点 M，N 分别是射线 PC，PD 上的点，问：是否存在这样的点 M，N，使得以点 P，M， N 为顶点的三角形与△ACP 全等?若存在请求出点 M，N 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案 一、课堂学习检测 1. 【答案】y＝－x2＋3x(0＜x＜3)，图见解析． 【解析】（1）根据矩形周长=2×（长+宽），可由周长为 6m 和宽为 xm 把矩形表示出来.再由矩形面积=矩形 的长×矩形的宽就可列出函数关系式；（2）根据“矩形的宽大于 0，而小于矩形周长的一半”可求出 x 的 取值范围，并由此可画出函数的图像. 解：由题意可得：y=（3-x）x=-x2+3x，故此函数是二次函数，自变量取值范围为： 0＜x＜3，其图象如图所示： ． 2.【答案】5 小时． 【解析】首先在图中建立合适的坐标系（这里选择 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，也可 另外建立），然后根据题目中的已知条件可得 A,B,C,D 四点的坐标，设出解析式，代入相应点的坐标建立 方程（组），解方程（组）求得待定系数的值得到解析式，由解析式可得到顶点 E 的坐标，再结合题中条 件可解得答案. 解：如上图，以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则由已知得 A（4，0）， D（2，3），设抛物线解析式为：y = ax2 + c，把 A、D 坐标代入解析式可得： 16a + c = 0 4a + c = 3 ，解得： a =− 1 4 c = 4 ， ∴抛物线解析式为：y =− 1 4 x2 + 4， ∴顶点 E 的坐标为（0，4）， 设 CD 与 y 轴的交点为点 F， ∴EF=4-3=1（m）， ∵1÷0.2=5（小时）， ∴水过警戒水位后 5 小时淹到桥拱顶. 3. 【答案】(1)y =− 1 12 x2 + x + 1 ；(2)17 米． 【解析】（1）依题意代入 x 的值可得抛物线的表达式．（2）先求出 OC 的长，根据图示可得第二次足球弹 出后的距离为 CD，相当于将抛物线 AEMFC 向下平移了 2 个单位可得 2=- 1 12 （x-6）2 解得 x 的值即可知道 CD、 BD． 解：（1）如图，设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为 y=a（x-h）2+k， ∵h=6，k=4，∴y=a（x-6）2+4， 由已知：当 x=0 时 y=1， 即 1=36a+4，∴a=- 1 12 ， ∴表达式为 y=- 1 12 （x-6）2+4=- 1 12 x2+x+1； （2）令 y=0，- 1 12 （x-6）2+4=0， ∴（x-6）2=48， 解得：x1=4 3+6≈13，x2=-4 3+6＜0（舍去）， ∴OC≈13， 如图，第二次足球弹出后的距离为 CD， 根据题意：CD=EF（即相当于将抛物线 AEMFC 向下平移了 2 个单位）， ∴2=- 1 12 （x-6）2+4，解得：x1=6-2 6 ，x2=6+2 6， ∴CD=|x1-x2|=4 6≈10， ∴BD=13-6+10=17（米）． 二、综合、运用、诊断 4. 【答案】（1）AB 长为 5 米；（2）围成长为 10 米，宽为14 3 米的矩形 ABCD 花圃时，其最大面积为 46 2 3 m2. 【解析】（1）由题意可知围成该花圃需要用到篱笆的宽有三条，而长只有一条，设宽 AB 的长为 xm，则长 BC 为（24-3x）m，再设长方形面积为 y，由矩形面积公式可得：y 关于 x 的函数关系式，由 y=45 解得对应 的 x 的值，可得答案；（2）把（1）中所得解析式配方化为顶点式，然后结合自变量的取值范围可求得 y 的最大值，把最大值与 45 比较可得结论，并进一步可由自变量的取值范围和解析式求得最大面积； 解：(1)设花圃的宽 AB＝x 米，知 BC 应为(24－3x)米，故面积 y 与 x 的关系式为 y＝x(24－3x)＝－3x2＋24x． 当 y＝45 时，－3x2＋24x＝45，解出 x1＝3，x2＝5． 当 x2＝3 时，BC＝24－3×3＞10，不合题意，舍去； 当 x2＝5 时，BC＝24－3×5＝9，符合题意． 故 AB 长为 5 米． (2)能围成面积比 45m2 更大的矩形花圃． 由(1)知，y＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48， ∵0 < 24 − 3x ≤ 10，∴14 3 ≤ x < 8 ， 由抛物线 y＝－3(x－4)2＋48 知，在对称轴 x=4 的右侧，y 随 x 的增大而减小， ∴当 x = 14 3 时，y＝－3（x－4)2＋48 有最大值，且最大值为 48 − 3( 14 3 − 4)2 = 46 2 3 (m2),此时，AB = 14 3 m,BC ＝10m，即围成长为 10 米，宽为14 3 米的矩形 ABCD 花圃时，其最大面积为 46 2 3 m2. 点睛：象本题这种实际问题中涉及到二次函数最值的问题，我们要在自变量取值范围内根据函数的增减性 来确定其最值是在自变量取何值时取得的，再根据函数解析式来进行计算求得相应的最值，而不能直接用 顶点的纵坐标代替最值. 5. 【答案】(1)y＝－3x2＋252x－4860；(2)当 x＝42 时，最大利润为 432 元． 【解析】（1）根据：每天销售利润 y（元）=单件商品利润×每天销售量、单件商品利润=商品售价-商品进 价，结合题中条件可得 y 与 x 间的函数关系式；再根据单件商品利润不低于 0，销售量不低于 0 可求得自 变量的取值范围；（2）把（1）中所得函数解析式配方化为顶点式，结合自变量的取值范围和函数的增减 性可求得答案； 解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x-30）元，那么 m 件的销售利润为 y=m（x-30）， 又∵m=162-3x，∴y=（x-30）（162-3x）， 即 y=-3x2+252x-4860， ∵x-30≥0，∴x≥30． 又∵m≥0，∴162-3x≥0，即 x≤54． ∴30≤x≤54． ∴所求关系式为 y=-3x2+252x-4860（30≤x≤54）． （2）由（1）得 y=-3x2+252x-4860=-3（x-42）2+432，又∵30≤x≤54， ∴可得售价定为 42 元时获得的利润最大，最大销售利润是 432 元． 6. 【答案】（1）y＝－4x2＋64x＋30720；（2）增加 8 台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量 为 30976 件． 【解析】（1）生产总量=每台机器生产的产品数×机器数；（2）根据函数性质求最值． 解：(1)由题意得 y＝(80＋x)(384－4x)＝－4x2＋64x＋30720； (2)∵y＝－4x2＋64x＋30720＝－4(x－8)2＋30976， ∴当 x＝8 时，y 有最大值，为 30976， 即增加 8 台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量为 30976 件． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是弄清题意，根据题意列出函数关系式. 7. 【答案】（1）s = 1 2 t2 − 2t；（2）截止到 10 月末，公司累积利润可达到 30 万元；（3）第 8 个月公司获利 润 5.5 万元． 【解析】（1）由图可知：函数图象经过了点（1，-1.5）、点（2，-2）和点（5，2.5），设解析式为 s = at2 + bt + c， 代入三点的坐标，列出方程组，就可求得 a、b、c 的值，从而得的解析式；（2）把 s = 30 代入（1）中所 求得的解析式，解出 t 的值，并结合实际意义可得答案；（3）把 t = 7，t = 8 分别代入（1）中所得的解析 式，求出对应的 s 的值，用S8 − S7可得 8 月份的利润； 解：(1)设 s 与 t 的函数关系式为 s＝at2＋bt＋c，图象上三点坐标分别为 (1，－1．5)，(2，－2)，(5，2．5)．分别代入，得 ∴ a + b + c =− 1.5, 4a + 2b + c =− 2, 25a + 5b + c = 2.5. 解得 a = 1 2 , b =− 2, c = 0. ， ∴s = 1 2 t2 − 2t. (2)把 s＝30 代入 s = 1 2 t2 − 2t, 解得 t1＝10，t2＝－6(舍去)． 即截止到 10 月末，公司累积利润可达到 30 万元． (3)把 t＝7 代入 s = 1 2 t2 − 2t,得 7 月末的累积利润为 s7＝10．5(万元)． 把 t＝8 代入 s = 1 2 t2 − 2t,得 8 月末的累积利润为 s8＝16(万元)． ∴s8－s7＝16－10.5＝5.5(万元)． 即第 8 个月公司获利润 5.5 万元． 三、拓展、探究、思考 8. 【答案】(1)y＝x2－2x－3；(2)AD⊥BC，理由见解析；(3)存在，M1(1，－2)，N1(4，－3)．或 M2(0，－ 3)，N2(3，－4)． 【解析】（1）由题中条件：二次函数 y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左 侧，与 y 轴交于点 C，且 OC＝OB＝3OA，可得点 C（0，-3）、点 A（-1,0）、点 B（3,0），把 A、B 两点的坐 标代入解析式可求得 a、b 的值，就可得到解析式了；（2）把（1）中所求解析式配方化为顶点式，得到对 称轴方程，就可得到 D 的坐标，再由 A、B、C、D 四点的坐标列方程组可求得直线 AD 和直线 BC 的解析式， 计算两解析式中“k”的值的乘积是否为“-1”就可判断两直线是否垂直了；（3）如图，由（2）中所得 AD、 BC 的解析式可列方程组解得 P 的坐标，由射线 BC 和射线 AD 互相垂直，垂足为点 P，可知△APC 和△PMN 都是直角三角形；然后分以下两种情况讨论：①当 PN=PA，M 与 C 重合时，△APC 与△PMN 全等；②当 PM=PA， N 与 D 重合时，△APC 与△PMN 全等，并求出相应的点 M、N 的坐标. 解：（1）∵二次函数 y＝ax2＋bx－3(a＞0)与 y 轴交于点 C， ∴点 C 的坐标为（0，-3），∴OC=3， 又∵OC=OB=3OA， ∴OB=3，OA=1， 又∵二次函数 y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧， ∴点 A、B 的坐标分别为（-1，0）、（3，0）， 把 A、B 的坐标代入解析式 y＝ax2＋bx－3(a＞0)得： a − b − 3 = 0 9a + 3b − 3 = 0 ，解得： a = 1 b =− 2 ， ∴二次函数解析式为：y = x2 − 2x − 3； （2）由 y = x2 − 2x − 3=(x − 1)2 − 4 可知，该抛物线的对称轴为直线；x = 1， ∵点 D 和点 C（0，-3）关于直线 x = 1 对称， ∴点 D 的坐标为（2，-3）， 设直线 AD 和直线 BC 的解析式分别为；y1 = k1x + b1，y2 = k2x + b2，把 A、B、C、D 的坐标分别代入相应的 解析式得： − k1 + b1 = 0 2k1 + b1 =− 3 ， 3k2 + b2 = 0 b2 =− 3 ， 解得： k1 =− 1 b1 =− 1 ， k2 = 1 b2 =− 3 ， ∴直线 AD 的解析式为：y =− x − 1；直线 BC 的解析式为：y = x − 3， ∴k1 ⋅ k2 =− 1 × 1 =− 1， ∴直线 AD 和直线 BC 是互相垂直的； （3）存在使△APC 和△PMN 全等的点 M 和 N，理由如下： 由： y =− x − 1 y = x − 3 解得 x = 1 y =− 2 ， ∴点 P 的坐标为（1，-2）， 如图：∵射线 BC 和射线 AD 互相垂直，垂足为点 P， ∴△APC 与△PMN 都是直角三角形， ∴在下列两种情况下两个三角形全等； ①当 M 与 C 重合，PN=PA 时，两三角形全等，此时 M 坐标为（0，-3），由线段中点坐标公式可得 N 的坐标 为（3，-4）； ②当 N 与 D 重合，PM=PA 时，两个三角形全等，此时 N 的坐标为（2，-3），由两点间距离公式可求得 M 的 坐标为（-1，-4）； 综合①②可知当点 M、N 的坐标为： M1(0，-3)，N1(3， − 4)或M2( − 1， − 4)，N2(2， − 3)时，△APC 与△PMN 全等.