人教版九年级数学上册第21章同步测试题及答案

最新人教版九年级数学上册第 21 章同步测试题及答案 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 一.选择题 1. 一元二次方程(x + 3)(x − 3) = 5x 的一次项系数是( ) A. − 5 B. − 9 C. 0 D. 5 2. 关于 x 的一元二次方程(m − 1)x2 + 5x + m2 − 3m + 2 = 0 的常数项是 0，则 m 的值（） A. 1 B. 1 或 2 C. 2 D. ± 1 3. 下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的是(  ) A. x-1=0 B. x3 + x = 3 C. x2 + 3x − 5 = 0 D. ax2 + bx + c = 0 4. 已知 m 是方程x2 − x − 2 = 0 的一个根，则代数式m2 − m + 3 = (  ) A. − 2 B. 1 C. 0 D. 5 5. 已知两个关于 x 的一元二次方程 M：ax2 + bx + c = 0；N：cx2 + bx + a = 0，其中 ac ≠ 0，a ≠ c，有下列 三个结论： ①若方程 M 有两个相等的实数根，则方程 N 也有两个相等的实数根；②若 6 是方程 M 的一个根，则1 5 是方程 N 的一个根；③若方程 M 和方程 N 有一个相同的根，则这个根一定是 x = 1.其中正确结论的个数是(  ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知下面三个关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0，bx2 + cx + a = 0，cx2 + ax + b = 0 恰好有一个相 同的实数根 a，则 a + b + c 的值为(  ) A. 0 B. 1 C. 3 D. 不确定 7. 已知三角形的两边长是 4 和 6，第三边的长是方程(x − 3)2 − 1 = 0 的根，则此三角形的周长为(  ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 12 或 14 8. 如果 2 是方程x2 − 3x + k = 0 的一个根，则常数 k 的值为(  ) A. 1 B. 2 C. − 1 D. − 2 9. 若 1 − 3是方程x2 − 2x + c = 0 的一个根，则 c 的值为(  ) A. − 2 B. 4 3 − 2 C. 3 − 3 D. 1 + 3 10. 设 a，b 是方程x2 + x − 2012 = 0 的两个根，则a2 + 2a + b 的值为(  ) A. 2009 B. 2010 C. 2011 D. 2012 11. 一元二次方程x2 + px − 6 = 0 的一个根为 2，则 p 的值为(  ) A. − 1 B. − 2 C. 1 D. 2 二、解答题 12. 请你检验 x =− 2，x = 3 是否是方程 x(x + 1) =− 2x − 2 的根． 13. 已知 x = 0 是一元二次方程(m − 2)x2 + 3x + m2 − 2 = 0 的一个根，求 m 的值． 14. 先化简，再求值： x−2 x2−1 ÷ ( 1−2x x+1 + x − 1)，其中 x 是方程x2 + x − 6 = 0 的根． 15. 先化简，再求值：(1 + 1 m2−1 ) ÷ (m2 − m2 m+1 )，其中 m 是方程 2x2 − 2x − 3 = 0 的根． 16. 问题：已知方程x2 + x − 1 = 0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍． 解：设所求方程的根为 y，则 y = 2x，所以 x = y 2． 把 x = y 2代入已知方程，得( y 2 )2 + y 2 − 1 = 0． 化简，得：y2 + 2y − 4 = 0． 这种利用方程根的代替求新方程的方法，我们成为“换根法”，请用阅读材料提供的“换根法”求新方程 （要求：把所求方程化成一般形式）； (1)已知方程x2 + x − 2 = 0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使 它的根分别是已知方程根的倒数． 答案 一.选择题 1. 【答案】A 【解析】∵一元二次方程(x + 3)(x − 3) = 5x 化为一般形式为：x2 − 5x − 9 = 0，∴该一元二次方程的一次项 系数为：-5.故选 A. 点睛：确定一元二次方程的各项系数时，要先把方程化为一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的形式，这样 就可得到：二次项系数是 a，一次项系数是 b 和常数项是 c. 2. 【答案】C 【解析】∵关于 x 的一元二次方程(m − 1)x2 + 5x + m2 − 3m + 2 = 0 的常数项是 0，∴ m − 1 ≠ 0 m2 − 3m + 2 = 0 ， 解得：m = 2.故选 C. 3. 【答案】C 【解析】A 选项中，因为方程 x − 1 = 0 是一元一次方程，所以不能选 A；B 选项中，因为方程x3 + x = 3 是 一元三次方程，所以不能选 B；C 选项中，因为方程x2 + 3x − 5 = 0 是一元二次方程，所以可以选 C；D 选 项中，因为当 a=0 时，方程 ax2+bx+c=0 不是一元二次方程，所以不能选 D.故选 C. 4. 【答案】D 【解析】∵m 是方程x2 − x − 2 = 0 的一个根，∴m2 − m − 2 = 0，即m2 − m = 2，∴m2 − m + 3 = 2 + 3 = 5. 故选 D. 5. 【答案】B 【解析】①∵在方程 M 中，△=b2 − 4ac，在方程 N 中，△=b2 − 4ac，∴方程 N 和方程 M 的“根的判别式相 等”.又∵方程 M 有两个相等的实数根，∴方程 N 也有两个相等的实数根，故①正确；②∵6 是方程 M 的一 个根， ∴36a + 6b + c = 0，∴a + 1 6 b + ( 1 36 )c = 0，即( 1 6 )2c + 1 6 b + a = 0，∴方程 N 有一个根是1 6 ，故②错误；③∵ 方程 M 与方程 N 有一个根相同，∴ax2 + bx + c = cx2 + bx + a，∴(a − c)x2 = a − c.又∵a ≠ c，∴x2 = 1， ∴x = 1 或 x =− 1，即这个相同的根是 1 或-1，故③错误；综上所述，正确的结论只有①.故选 B. 6. 【答案】A 【解析】∵关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0，bx2 + cx + a = 0，cx2 + ax + b = 0 恰好有一个相同的 实数根 a， ∴a3 + ab + c = 0，a2b + ac + a = 0，a2c + a2 + b = 0，∴将上述三个式子相加可得：(a3 + a2b + a2c) + (ab + ac + a2) + (c + a + b) = 0，∴a2(a + b + c) + a(a + b + c) + (a + b + c) = 0，∴(a + b + c)(a2 + a + 1) = 0. 又∵a2 + a + 1 = (a + 1 2 )2 + 3 4 ≠ 0，∴a + b + c = 0.故选 A. 7.【答案】C 【解析】解方程(x − 3)2 − 1 = 0 得：x1 = 4，x2 = 2，当第三边的长为 4 时，因为 4+4=8>6，此时能围成三 角形； 当第三边长为 2 时，因为 2+4=6，此时不能围成三角形；∴此三角形的第三边长只能取 4，∴此三角形的 周长为：4+4+6=14.故选 C. 点睛：求出方程的解之后，再求三角形的周长前，需先用三角形三边间的关系看所取第三边的长能否围成 三角形. 8. 【答案】B 【解析】∵2 是方程x2 − 3x + k = 0 的一个根，∴4 − 6 + k = 0，解得：k=2.故选 B. 9. 【答案】A 【解析】∵1 − 3是方程x2 − 2x + c = 0 的一个根，∴   2 1 3 2 1 3 0c     ，解得 c=-2.故选 A. 10.【答案】C 【解析】∵a，b 是方程x2 + x − 2012 = 0 的两个根，∴a2 + a − 2012 = 0，a + b =− 1，∴a2 + a = 2012， ∴a2 + 2a + b = a2 + a + (a + b) = 2012 + ( − 1) = 2011.故选 C. 11. 【答案】C 【解析】∵一元二次方程x2 + px − 6 = 0 的一个根为 2，∴4 + 2p − 6 = 0，解得：p = 1.故选 C. 二、解答题 12.【答案】见解析 【解析】把所给的 x 的值代入方程 x(x + 1) =− 2x − 2 的左边和右边，计算出两边的值，看是否相等，即可 判断所给数是否是该方程的解.（1）把 x =− 2 代入方程：左边=− 2 × ( − 1) = 2，右边= 4 − 2 = 2，∴左边 =右边，即 x =− 2 是方程的解；（2）把 x = 3 代入方程：左边= 3 × 4 = 12，右边=− 6 − 2 =− 8，∴左边≠ 右边，即 x = 3 不是方程的解． 13. 【答案】− 2 【解析】把 x = 0 代入方程(m − 2)x2 + 3x + m2 − 2 = 0 中可得关于 m 的一元二次方程，解此方程可求得 m 的值，再用 m − 2 ≠ 0 检验即可得到所求 m 的值.当 x = 0 时，m2 − 2 = 0，解得m1 = 2，m2 =− 2．∵m − 2 ≠ 0，∴m =− 2． 14. 【答案】见解析 【解析】先将原式按分式的相关运算法则化简，再解方程求得 x 的值，最后将使原分式有意义的 x 的值代 入化简后的式子计算即可. 解：原式= x−2 (x+1)(x−1) ÷ 1−2x+(x+1)(x−1) x+1 = x−2 (x+1)(x−1) ÷ 1−2x+x2−1 x+1 = x−2 (x+1)(x−1) ÷ x(x−2) x+1 = x−2 (x+1)(x−1) ⋅ x+1 x(x−2) = 1 x(x−1) ． 解方程x2 + x − 6 = 0 得x1 =− 3，x2 = 2． 当 x =− 3 时，原式= 1 −3×(−4) = 1 12； 当 x = 2 时，原式无意义． 点睛：求分式的值时，字母的取值需确保原分式有意义，本题中，当 x = 2 时，原分式无意义，此时不能 将 x = 2 代入化简所得的分式中进行计算. 15.【答案】 1 m2−m ; 2 3 . 【解析】先将原式按分式的相关运算法则化简，再由 m 是方程 2x2 − 2x − 3 = 0 的根可得式子m2 − m = 3 2 ， 将此式整体代入化简所得式子计算即可. 解：原式= m2 (m+1)(m−1) ÷ m2(m+1)−m2 m+1 = m2 (m+1)(m−1) ÷ m3 m+1 = m2 (m+1)(m−1) ⋅ m+1 m3 = 1 m2−m . ∵ m 是方程 2x2 − 2x − 3 = 0 的根， ∴ 2m2 − 2m − 3 = 0，解得m2 − m = 3 2 ， ∴原式= 1 3 2 = 2 3. 16.【答案】(1)y2 − y − 2 = 0;(2)cy2 + by + a = 0(c ≠ 0) 【解析】按阅读材料中所提供的范例的方法类比进行解答即可. 解：（1）设所求方程的根为 y，则 y =− x，则 x =− y． 把 x =− y 代入已知方程x2 + x − 2 = 0， 得( − y)2 + ( − y) − 2 = 0． 化简，得：y2 − y − 2 = 0． （2）设所求方程的根为 y，则 y = 1 x ，所以 x = 1 y 把 x = 1 y代入已知方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)得： a( 1 y )2 + b ⋅ 1 y + c = 0， 去分母，得 a + by + cy2 = 0． 若 c = 0，则 ax2 + bx = 0，于是方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)有一根为 0，不符合题意． ∴c ≠ 0，故所求的方程为：cy2 + by + a = 0(c ≠ 0)． 21.2 解一元二次方程 一、选择题 1. 已知两圆的圆心距是 3 ，它们的半径分别是方程x2 − 7x + 10 = 0 的两个根，那么这两个圆的位置关系是 (  ) A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 2. 如果等腰三角形的两边长分别是方程x2 − 10x + 21 = 0 的两根，那么它的周长为(  ) A. 10 B. 13 C. 17 D. 213. 在下列方程中，有实数根的是(  ) A. x2 + 3x + 1 = 0 B. 4x + 1 =− 1 C. x2 + 2x + 3 = 0 D. x x−1 = 1 x−1 4. 如果关于 x 的一元二次方程x2 − 2x + m − 1 = 0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围是(  ) A. m > 2 B. m < 2 C. m > 2 且 m ≠ 1 D. m < 2 且 m ≠ 1 5. 一元二次方程x2 − 8x − 2 = 0，配方的结果是( ) A. (x + 4)2 = 18 B. (x + 4)2 = 14 C. (x − 4)2 = 18 D. (x − 4)2 = 14 6. 一元二次方程x2 − x − 1 = 0 的两个实数根中较大的根是( ) A. 1 + 5 B. 1+ 5 2 C. 1− 5 2 D. −1+ 5 2 7. 若关于 x 的方程x2 + kx − 2 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k ≥− 8 B. k ≤− 8 C. k ≤ 0 D. k ≥ 0 8. 若方程x2 − 2x − 1 = 0 的两根为x1，x2，则− x1 − x2 + x1x2的值为( ) A. − 1 B. 1 C. − 3 D. 39. 用配方法解方程 2x2 + 6 = 7x 时，配方后所得的方程为( ) A. (x + 7 2 )2 = 37 4 B. (x − 7 2 )2 = 37 4 C. (x + 7 4 )2 = 1 16 D. (x − 7 4 )2 = 1 16 10. 方程 3x2 − 2 = 1 − 4x 的两个根的和为( ) A. 4 3 B. 1 3 C. − 2 3 D. − 4 3 11. 下列一元二次方程中，两实根之和为 1 的是( ) A. x2 − 2x + 1 = 0 B. x2 + x − 3 = 0 C. 2x2 − x − 1 = 0 D. x2 − x − 5 = 0 二、解答题 12. 解下列方程： (1)x2 − 8x + 1 = 0(配方法) (2)3x(x − 1) = 2 − 2x． 13. 解方程： x+1 x2−x − 1 3x = x+5 3x−3. 14. 已知关于 x 的一元二次方程(a − 5)x2 − 4x − 1 = 0 (1)若该方程有实数根，求 a 的取值范围． (2)若该方程一个根为− 1，求方程的另一个根． 15. 已知关于 x 的方程x2 + (2k − 1)x + k2 − 1 = 0 有两个实数根x1、x2 (1)求实数 k 的取值范围； (2)若x1、x2满足x1 2 + x2 2 = 16 + x1 ⋅ x2，求实数 k 的值． 答案 一、选择题 1. 【答案】A 【解析】设方程的两个根分别为x1，x2，所以x1 + x2=7，x1x2 = 10，则 x1 − x2 = x1 + x2 2 − 4x1x2= 72 − 4 × 10=3，所以两圆内切，故选 A. 2. 【答案】C 【解析】解方程x2 − 10x + 21 = 0 得，x1=3，x2=7，根据三角形的两边之和大于第三边，三角形的三边不能 是 3，3，7，所以三边长是 3，7，7，则周长是 3+7+7=17，故选 C. 3. 【答案】A 【解析】A.x2 + 3x + 1 = 0，△=32 − 4 × 1 × 1=5＞0，有实数根；B.因为 4x + 1≥0，所以没有实数根；C.x2 + 2x + 3 = 0，△=22 − 4 × 1 × 3=-8＜0，没有实数根；D. x x−1 = 1 x−1 ，x=1 是增根，没有实数根，故选 A. 4. 【答案】B 【解析】根据题意得，△= − 2 2 − 4 × 1 × m − 1 ＞0，解得 m＜2，故选 B. 5. 【答案】C 【解析】因为 x2-8x-2=0，所以 x2-8x+16=18，所以（x-4）2=18.故选 C. 6. 【答案】B 【解析】用公式法解方程 x2-x-1=0，得 1 5 2x  ，所以较大的实数根是 1 5 2x  .故选 B. 7. 【答案】D 【解析】根据题意得，△= k 2 − 4 × 1 × − 2 ≥0，解得 k≥-8，但 k 是二次根式的被开方数，所以 k≥0， 则 k≥0，故选 D. 8. 【答案】C 【解析】根据题意得，x1 + x2 = 2，x1x2 =− 1，所以− x1 − x2 + x1x2 =− x1 + x2 + x1x2=-2-1=-3，故选 C. 9. 【答案】D 【解析】移项得 2x2 − 7x =− 6，二次项系数化为 1 得x2 − 7 2 x =− 3，两边都加上一次项系数一半的平方得x2 − 7 2 x + − 7 4 2 =− 3 + − 7 4 2，即 x − 7 4 2 = 1 16 ，故选 D. 10. 【答案】D 【解析】将原方程整理得，3x2 + 4x − 3 = 0，所以x1 + x2 =− 4 3 ，故选 D. 11. 【答案】D 【解析】A.两实根之和为 2；B.两实根之和为-1；C.两实根之和为 0.5；D.两实根之和为 1，故选 D. 点睛：本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之 和等于方程的一次项系数除以二次项系数的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数. 二、解答题 12. 【答案】(1)x = 4 ± 15；(2)x = 1 或 x =− 2 3 ． 【解析】（1）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把方程左边写 完全平方的形式，然后用直接开平方法求解；（2）把方程右边的项移到左边，然后用因式分解法求解. 解：(1) ∵ x2 − 8x =− 1， ∴ x2 − 8x + 16 =− 1 + 16，即(x − 4)2 = 15， 则 x − 4 =± 15， ∴ x = 4 ± 15； (2) ∵ 3x(x − 1) + 2(x − 1) = 0， ∴ (x − 1)(3x + 2) = 0， 则 x − 1 = 0 或 3x + 2 = 0， 解得：x = 1 或 x =− 2 3 ． 13.【答案】x =− 4 【解析】方程两边都乘 3x(x − 1)，将原方程化为一元二次方程，再用因式分解法求解，注意检验 .解：方程两边都乘 3x(x − 1)，得：3(x + 1) − (x − 1) = (x + 5)x， 整理得：x2 + 3x − 4 = 0，解得：x1 =− 4，x2 = 1． 经检验：x =− 4 是原方程的解． 点睛：本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的解法，基本方法是，将方程两边都乘以分母的最 简公分母，化分式方程为整式方程，求出整式方程的解后，要代入到最简公分母中检验，若最简公分母不 等于 0，则是原分式方程的解，否则原分式方程无解． 14. 【答案】(1)a ≥ 1 且 a ≠ 5(2)方程的另一个根为− 1 3 ． 【解析】 (1)根据方程有实数根可知：方程根的判别式为非负数，二次项系数不为零，从而得出 a 的取值 范围；(2)将 x=-1 代入方程求出 a 的值，然后解出方程的解． 解：(1)∵方程（a-5）x²-4x-1=0 有实数根， ∴（-4）²－4×(a-5)×(-1)≥0， 16+4a-20≥0， 4a≥4， 解得：a≥1 ∵a-5≠0， ∴a≠5， ∴a 的范围是：a≥1 且 a≠5； (2)把 x=-1 代入方程得 a=2， 所以方程为 ． 解得， ， 所以，另一个根为 ． 15. 【答案】(1)k ≤ 5 4 ；(2)实数 k 的值为− 2． 【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出 △ =-4k+5≥0，解之即可得出实数 k 的取值范围； （2）由根与系数的关系可得 x1+x2=1-2k、x1•x2=-1，将其代入 x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=16+x1•x2 中，解之 即可得出 k 的值． 解：（1）∵关于 x 的方程 x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0 有两个实数根 x1，x2， ∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0， 解得：k≤5 4 ， ∴实数 k 的取值范围为 k≤5 4 ； （2）∵关于 x 的方程 x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0 有两个实数根 x1，x2， ∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1， ∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），即 k2﹣4k﹣12=0， 解得：k=﹣2 或 k=6（不符合题意，舍去）， ∴实数 k 的值为﹣2. 点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的哦按别 是，找出 △ =﹣4k+5≥0；（2）根据根与系数的关系结合 x12+x22=16+x1x2，找出关于 k 的一元二次方程. 21.3 实际问题与一元二次方程 一、选择题 1. 随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从 2015 年的 200 万元增长到 2017 年的 392 万元，设 该购物网站销售额年均增长率为 x，则下列方程正确的是( ) A. 200(1 + x)2 = 392 B. 200(1 − x)2 = 392 C. 200(1 + 2x)2 = 392 D. 200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 392 2. 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总 数是 91.设每个枝干长出 x 个小分支，则 x 满足的关系式为( ) A. x + x2 = 91 B. 1 + x2 = 91 C. 1 + x + x2 = 91 D. 1 + x(x − 1) = 91 3. 若关于 x 的一元二次方程x2 + mx + m − 4 = 0 有一根为 0，则 m 的值为( ) A. 4 B. − 4 C. 2 D. − 2 4. 如图，在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪， 要使草坪的面积为 540 平方米，则道路的宽为( ) A. 5 米 B. 4 米 C. 3 米 D. 2 米 5. 下列说法： ①若一元二次方程x2 + bx + a = 0 有一个根是− a(a ≠ 0)，则代数式 a − b 的值是− 1；②若 a + b + c = 0，则 x = a + b + c 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的一个根；③若 b = 2a + 3c，则一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有不相等的两个实数根；④当 m 取整数− 1 或 1 时，关于 x 的一元二次方程 mx2 − 4x + 4 = 0 与x2 − 4mx + 4m2 − 4m − 5 = 0 的解都是整数．其中正确的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 6. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安 排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请 x 个队参赛，可列出的方程为 ( ) A. x(x + 1) = 28 B. x(x − 1) = 28 C. 1 2 x(x + 1) = 28 D. 1 2 x(x − 1) = 28 7. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来 100 元降到 81 元.设平均每次降价的百分率为 x，根据题意 可列方程为( ) A. 81(1 − x)2 = 100 B. 100(1 + x)2 = 81 C. 81(1 + x)2 = 100 D. 100(1 − x)2 = 81 8. 独山县开展关于精准扶贫、精准扶贫的决策部署以来，某贫困户 2014 年人均纯收入为 2620 元，经过 帮扶到 2016 年人均纯收入为 3850 元，设该贫困户每年纯收入的平均增长率为 x，则下面列出的方程中正 确的是( ) A. 2620(1 + 2x)2 = 3850 B. 2620(1 + x) = 3850 C. 2620(1 + 2x) = 3850 D. 2620(1 + x)2 = 3850 9. 某商品原价 800 元，连续两次降价 a%后售价为 578 元，下列所列方程正确的是( ) A. 800(1 + a%)2 = 578 B. 800(1 − a%)2 = 578 C. 800(1 − 2a%) = 578 D. 800(1 − a2%) = 578 二、解答题 10. 一辆汽车，新车购买价 20 万元，第一年使用后折旧 20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第 二、三年的年折旧率相同.已知在第三年年末，这辆车折旧后价值 11.56 万元，求这辆车第二、三年的年折 旧率． 11. 如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为 40 米、长为 60 米的矩形区域内的四周修建宽 度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化.当阴影部分面积为 800 平方米时，小路宽 x 为多少米． 12. 销售某种商品，根据经验，销售单价不少于 30 元∕件，但不超过 50 元∕件时，销售数量 N(件)与商品单 价 M(元∕件)的函数关系的图象如图所示中的线段 AB． (1)求 y 关于 x 的函数关系式； (2)如果计划每天的销售额为 2400 元时，那么该商品的单价应该定多少元？ 13. 某商店在销售中发现：“米奇”牌童装平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元.为了迎“六一”儿童节， 商场决定适当地降价，以扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现，如果每件童装每降价 4 元， 那么平均每天就可多售出 8 件，要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元，那么每件童装应降价多少 元？ 14. 某花店第一次购进甲、乙两种多肉植物共 300 株，甲种多肉植物每株的成本 4 元，售价为 8 元；乙种 多肉植物每株成本价为 6 元，售价为 10 元 (1)若第一次购进多肉植物的总金额为 1400 元，则购进甲种多肉植物多少株？ (2)多肉植物一经上市，十分抢手，花店决定第二次购进甲乙两种多肉植物，它们的进价不变.甲种多肉植 物的进货量在第一次进货量的基础上增加了 2m%，售价也提高了 m%，乙种多肉植物的售价和进货量不变， 但是由于乙种多肉植物的耐热性不强，导致销售完之前它的成活率为 90%，结果第二次共获利 2100 元， 求 m 的值． 答案 一、选择题 1. 【答案】A 【解析】设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为 x，根据从 2015 年的 200 万元增长到 2017 年的 392 万元，得 200（1+x）2=392.故选 A. 2. 【答案】C 【解析】设每个枝干长出 x 个小分支，则主干上长出了 x 个枝干，根据主干、枝干和小分支的总数是 91， 即可得:x2+x+1=91．故选 C． 3. 【答案】A 【解析】把 x=0 代入 x2+mx+m-4=0 得 m-4=0，解得 m=4．故选 A． 4. 【答案】D 【解析】设道路的宽为 x，根据题意，得 20x+32x-x2=20×32-540，整理得（x-26）2=576，开方得 x-26=24 或 x-26=-24，解得 x=50（舍去）或 x=2，所以道路宽为 2 米.故选 D. 5. 【答案】B 【解析】①若一元二次方程 x2+bx+a=0 有一个根是-a（a≠0），则 a2+b×（-a）+a=0 整理得出：a（a-b+1） =0，则代数式 a-b=-1，故此选项正确；②若 a+b+c=0，则 x=1 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根，故此 选项错误；③若 b=2a+3c，那么△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2，当 a≠0，c=-a 时，△＞0；当 a≠0，c=0 时，△＞0；当 a≠c≠0 时，△＞0，∴△＞0，故此选项正确；④∵关于 x 的一元二次方程 mx2-4x+4=0 与 x2-4mx+4m2-4m-5=0 有解，则 m≠0，∴△≥0，mx2-4x+4=0，∴△=16-16m≥0，即 m≤1；x2-4mx+4m2-4m-5=0， △=16m2-16m2+16m+20≥0，∴4m+5≥0，m≥-5 4 ；∴-5 4 ≤m≤1，而 m 是整数，所以 m=1，m=0（舍去），m=-1 （一个为 x2-4x+4=0，另一个为 x2+4x+3=0，冲突，故舍去），当 m=1 时，mx2-4x+4=0 即 x2-4x+4=0，方程的 解是 x1=x2=2；x2-4mx+4m2-4m-5=0 即 x2-4x-5=0，方程的解是 x1=5，x2=-1；当 m=0 时，mx2-4x+4=0 时，方程 是-4x+4=0 不是一元二次方程，故舍去．故 m=1，故此选项错误；故正确的有 2 个，故选 B． 6. 【答案】D 【解析】每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但 2 队之间只有 1 场比赛，所以可列方程为：1 2 x（x-1） =28．故选 D． 7. 【答案】D 【解析】利用基本数量关系：商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程可得：100× （1-x）2=81．故选 D． 8.【答案】D 【解析】由题意得 2620（1+x）2=3850.故选 A. 点睛：平均增长率（降低）百分率是 x，增长(降低)一次，一般形式为 a（1±x）=b；增长（降低）两次， 一般形式为 a（1±x）2=b；增长（降低）n 次，一般形式为 a（1±x）n=b ,a 为起始时间的有关数量，b 为终 止时间的有关数量． 9. 【答案】B 【解析】根据题意分别表示出两次降价后的价格可得：800（1-a%）2=578．故选 B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出降价后价格是解题关键． 二、解答题 10.【答案】这辆车第二、三年的年折旧率为 15% 【解析】设这辆车第二、三年的年折旧率为 x，则第二年这就后的价格为 20（1-20%）（1-x）元，第三年 折旧后的而价格为 20（1-20%）（1-x）2 元，与第三年折旧后的价格为 11.56 万元建立方程求出其解即可． 解：设这辆车第二、三年的年折旧率为 x，有题意，得 20(1 − 20%)(1 − x)2 = 11.56． 整理得：(1 − x)2 = 0.7225． (x − 1)2 = 289 400 ． x − 1 =± 17 20 ． 解得：x1 = 0.15，x2 = 1.85(不合题意，舍去)． ∴ x = 0.15，即 x = 15%． 答：这辆车第二、三年的年折旧率为 15%． 【点睛】本题是一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表 示出第三年的折旧后价格并运用价格为 11.56 万元建立方程是关键． 11. 【答案】小路的宽为 10 米． 【解析】分别表示出阴影部分的矩形的长和宽，然后利用矩形的面积公式列出方程求解． 解：设小路的宽为 x 米，根据题意得：(40 − 2x)(60 − 2x) = 800， 解得：x = 10 或 x = 40(舍去) 答：小路的宽为 10 米． 12.【答案】(1) y =− 4x + 220；(2)计划每天的销售额为 2400 元时，该商品的单价应该定 40 元． 【解析】（1）根据 A、B 两点的坐标值可求出一次函数的解析式；（2）设该商品的单价应该定 x 元，利用： 每天的销售额=商品单价×销售数量，得到关于 x 的一元二次方程，计算求出 x 的值即可． 解：(1)设 y 关于 x 的函数关系式为 y = kx + b(k ≠ 0)． 由题意，得 30k + b = 100 50k + b = 20 解得 k =− 4 b = 220 ． 故 y 关于 x 的函数关系式为 y =− 4x + 220； (2)设该商品的单价应该定 x 元． 由题意，得 x( − 4x + 220) = 2400． 化简整理，得x2 − 55x + 600 = 0． 解得，x1 = 40，x2 = 15． 经检验，x2 = 15 不合题意，舍去． 答：计划每天的销售额为 2400 元时，该商品的单价应该定 40 元． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数和一元二次方程的关系，是中考题中 常见题型． 13. 【答案】每件童装降价 20 元 【解析】利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可． 解：设每件童装应降价 x 元，根据题意列方程得： （40﹣x）（20+2x）=1200 解得 x1=20，x2=10． ∵增加盈利，减少库存，∴x=10（舍去）． 答：每件童装降价 20 元． 点睛：本题考查了一元二次方程的应用．找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．最后要注意判 断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 14.【答案】(1)甲种多肉植物购进 200 株；(2) m 的值为 25． 【解析】（1）设购进甲种多肉植物 x 株，则购进乙种多肉植物（300-x）株，根据购进多肉植物的总金额 为 1400 元列出方程并解答；（2）根据第二次共获利 2100 元列出方程，求解即可． 解：（1）设甲种多肉植物购进 x 株，根据题意得 4x+6（300﹣x）=1400， 解得 x=200． 答：甲种多肉植物购进 200 株； （2）根据题意，得 200（1+2m%）[8（1+m%）﹣4]+100×90%×10﹣100×6=2100， 解得 m1=25，m2=﹣125（不合题意舍去）， 即 m 的值为 25．