沪科版九年级数学上册第22章相似形

第 22 章 相似形 22.1 比例线段 四条线段 a、b、c、d 中 ，如 果 a ： b = c ： d ， 那 么这四条线段 a、b、c、d 叫 做 成 比例的线段 ，简 称 比例线段 . 比例线段 已知四条线段 a、b、c、d ， 如果 或 a ： b=c ： d ， 那么 a、b、c、d 叫做组成比例的 项 ， 线段 a、d 叫做比例 外项 ，线段 b、c 叫做比例 内项 ，线段 d 叫做 a、b、c 的 第四比例项. 如果作为 比例内项 的是 两条相同的线段 ， 或 a ： b = b ： c ， 即 那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的 比例中项 . 两条线段的比是它们的长度的比，也就是两个数的比 . 比例式是等式，因而具有等式的各个性质，此外还有一些特殊性质： (1)比例的基本性质 如果 a：b =c：d ，那么ad =bc. 比例的内项乘积等于外项乘积. 如果 ad = bc ， 那么 a ： b = c ： d . 如果 a：b = b ： c ，那么 b 2 = a c. 说明： (1)一个等积式可以改写成八个比例式 (比值各不相同)； (2)对调比例式的内项或外项， 比例式仍然成立 (比值变了). (2)合比性质 如果 a c b d = ， 那么 a ± b c ± d b d = . (3)等比性质 如果 那么 a c b d = m n = …= (b+d+…+n≠0), a + c+…+m b+d+…+n = . a b 本课小结： 主要内容： 比例线段的意义，比例的3个主要性质及其应用. 能力要求： 通过本课的学习，形成比例变形的能力， 要做一定量 的 练 习 题 ，熟练巩固. 情境引入 你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是 2:3 ？ 平行线分线段成比例 将 向下平移到如图的位置，直线 m , n 与 的交点分别为 ， ，问题 2 中的结论还成立吗 ？试 一试。如果将 平 移到其他位置呢？ a b c A B C D E F 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 3 4 x 7 已知两条直线被三条平行线所截，截得线段长度如图所示，你能求出 x 的值吗 ? 解：由已知条件可得： 如图 4-8 ，直线 a ∥ b ∥ c ，分别交直线 m , n 于 A 1 ， A 2 ， A 3 ， B 1 ， B 2 ， B 3 。过点 A 1 作直线 n 的平行线，分别交直线 b ， c 于点 C 2 ， C 3 。如图 4-9 ，图 4-9 中有哪些成比例线段？ 推论 ： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 A B C D E ∵ DE ∥ AB 例 1 、如图，在△ ABC 中， E 、 F 分别是 AB 和 AC 上的点，且 EF∥ BC. （ 1 ）如 果 AE = 7, FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？ （ 2 ）如 果 AB = 10, AE=6 ， AF = 5 ，那么 FC 的长是多少？ A B C E F 通过本节课的学习你学会了什么？你是如何获取这些知识的？ １．通过归纳与猜想，探索“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”的基本事实． ２．通过作平行线构造三角形，将平行线分线段成比例的基本事实特殊化，得到一个推论． ３．掌握利用基本事实与推论求线段长度的方法． 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是 2:3? A B C E D F 黄金分割与人体的关系 量量人的身高， 从脚底 往上， 0.618 处 正好是在 肚脐 附近 . 画家们绘画时依照 黄 金比例 勾勒出的脸谱 . 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC, 如果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 , 点 C 叫做线段 AB 的 黄金分割点 ,AC 与 AB 的比叫做 黄金比 . 黄金分割 如何找出黄金分割点 如图 , 已知线段 AB 按照如下方法作图 : 1.经过点B作BD⊥AB,使 2.连接AD,在AD上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE. 4.C点就是AB的黄金分割点 . AB D E C 一条线段有几个黄金分割点？ 两个 黄金分割与人体学、生物学、摄影艺术、建筑学等许多领域广泛存在，让我们来尽情地欣赏黄金分割的美吧！ 黄 金 螺线 蜗牛 的外 壳 呈 黄金螺线 形。 树叶的梗和蝴蝶、老虎的身形呈黄金比例 在现在生活中 ， 黄金比例 也一直被使用 着 ，例如 国 旗、明信片、 报纸 、 邮票 等等，其 长宽 之比均接近黃金比， 据统计黄 金比也是被使用最多的比例 . 东 方明珠塔，塔高 462.85 米 . 设计师将在 295 米处设计了一个上球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观 . 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618. 第 22 章 相似形 22.2 相似三角形的判定 相似三角形的相关概念 三个角对应 相等 , 三条边对应 成比例 的两个三角形 , 叫做相似三角 形 相似三角形的各 对应角相等 , 各对应边 对应成比例 . 相似比等于 1 的两个三角形全等 . 注意： 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上 . 反之 , 写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！ 由于相似三角形与其位置无关 , 因此 , 能否弄清对应是正确解答的前提和关键 . 判定三角形相似的方法 判定两个三角形相似的方法 : 两角对应相等的两个三角形相似 . 三边对应成比例的两个三角形相似 . 类比三角形全等的判定方法 : 边角边 (SAS); 角边角 (ASA); 角角边 (AAS); 边边边 (SSS); 斜边直角边 (HL). 你还能得出判定三角形相似的 其他方 法吗 ? 相似与全等类比 — 新化旧 由 角边角 (ASA) 、角角边 (AAS) 可知 , 有两个角对应相等的两个三角形相似 ; 由 边边边 (SSS) 可知 : 有三边对应成比例的两个三角形相似 ; 由 边角边 (SAS) 可猜想 : 两边对应成比例 , 且夹角相等的两个三角形相似 ; 由 斜边直角边 (HL) 可猜想 : 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . 我们已经把前两个猜想变为现实 , 剩余的还有问题吗？ 问题三 : 如果 △ABC 与 △A ′ B ′ C ′ 有一个角相等 , 且两边对应成比例 , 那么它们一定相似吗 ? (1) 如果这个角是这两边的夹角 , 那么它们一定相似吗 ? 我们一起来动手 : 画 △ABC 与 △ A ′ B ′ C ′ 使 ∠A=∠A ′, 设法比较 ∠B 与 ∠B ′ 的大小 ,∠C 与 ∠C ′ 的大小 . △ ABC 与 △A ′ B ′ C ′ 相似吗 ? 说说你的理由 . 改变 k 值的大小 ( 如 1∶3), 再试一试 . 通过上面的活动 , 你猜出了什么结论 ? 判定三角形相似的方法 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 . 如图 , 在 △ ABC 与 △A ′ B ′ C ′ 中 , 如果 那么 △ ABC∽△A ′ B ′ C ′ ( 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 .) C B A A ′ B ′ C ′ 这又是一个用来判定两个三角形相似的方法 , 但使用频率不是很高 , 务必引起重视 . 且 ∠A=∠A ′, 图中的 △ABC∽△A ′ B ′ C ′ , 你还能用 其他方 法来说明其正确性吗 ? 且∠A=∠A′=450, ∴△ABC∽△A′B′C ′ . (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相 似) C B A A ′ B ′ C ′ 解法2: 如图,设小正方形的边长为1,由勾股定理可得: 问题四 : 在 Rt△ ABC 与 Rt△ A ′ B ′ C ′ 中 , ∠C= ∠C ′=90 0 , 如果有一直角边和斜边对应成比例 , 那么它们一定相似吗 ? 我们一起来动手 : 画 △ ABC 与 △ A ′ B ′ C ′ , 使 设法比较∠B 与∠ B′的大小,∠A与∠A′的大小. Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′ 相似吗?说说你的理由 . 改变k值的大小(如1∶3),再试一试. 通过上面的活动,你猜出了什么结论 ? 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . 如图 , 在 Rt △ABC 与 Rt △A ′ B ′ C ′ 中 , 如果 那么 △ABC∽△A ′ B ′ C ′ , ( 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 .) C B A A ′ B ′ C ′ 这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法 , 务必引起重视 . 我们重新来看问题三 : 如果 △ ABC 与 △ DEF 有一个角相等 , 且两边对应成比例 , 那么它们一定相似吗 ? (2). 如果这个角是这两边中一条边的对角 , 那么它们一定相似吗 ? 小明和小颖分别画出了下面的 △ ABC 与 △ DEF : A B C 50 0 3.2cm 4cm 2cm D F E 50 0 1.6cm 通过上面的活动,你猜出了什么结论? 两边对应成比例,且其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定相似。 判定三角形相似的常用方法 : 两角对应相等的两个三角形相似 . 三边对应成比例的两个三角形相似 . 两边对应成比例 , 且夹角相等的两个三角形相似 . 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . 相似三角形的各 对应角相等 , 各对应边 对应成比例 . 相似三角形 对应高 的比 , 对应角平分线 的比 , 对应 中线 的比 , 对应周长 的比都等于相似比 . 如图 : 在 △ ABC 和 △ DEF 中 ，如果 ∠A=∠D, ∠B=∠E, 那么 △ ABC∽ △DEF. A B C D E F 那么△ ABC∽ △DEF. 且 ∠A=∠D ， 那么 △ ABC∽ △DEF. 两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节课我们将对它们进行证明。 定义判定 相似三角形判定定理的证明 定理 两 角分别相等的两个三角形相似 A B C A ′ B ′ C ′ 已知：如图，在 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 中 ， ∠ A=∠ A ′ , ∠B= ∠B ′ . 求 证： △ ABC ∽△A ′ B ′ C ′ . 证明：在 △ ABC 的边 AB （或它的延长线）上截取 AD=A ′ B ′ , 过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E （如图）， 则 ∠ ADE=∠ B, ∠AED= ∠C （平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D作AC的平行线，交BC于点F,则 （平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例） ∵ DE∥BC,DF ∥AC ∴四边形DFCE是平行四边形 ∴DE=CF 而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC ∵∠A=∠ A ′ , ∠ADE=∠B=∠ B ′ AD=A ′ B ′ ∴△ADE≌△ A ′ B ′ C ′ ∴△ABC∽△ A ′ B ′ C ′ 定理 两边 成比例且夹角相等的两个三角形 相似 已知：如图， 在△ ABC 和△ A ′ B ′ C ′ 中， ∠ A=∠ A ′ , 求证 ：△ ABC∽△ A ′ B ′ C ′ . 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A ′ B ′ ,过点D作BC的平行线，交AC于点E（如图） ， 则 ∠B=∠ADE, ∠C=∠AED ∴△ABC∽△ADE （两角分别相等的两个三角形相似） ∴AE=A ′ C ′ 而∠A=∠A ′ ∴△ADE≌△A ′ B ′ C ′ ∴△ABC∽△A ′ B ′ C ′ 定理 三 边成比例的两个三角形相似 已知：如图，在△ ABC 和△ A ′ B ′ C ′ 中 ， 求证：△ ABC∽△ A ′ B ′ C ′. 证明：在△ABC的边AB,AC（或它们的延长线）上分别截取AD=A ′ B ′ ,AE=A ′ C ′ ,连接DE. 而∠BAC=∠DAE ∴△ABC∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） ∴DE=B ′ C ′ ∴△ADE≌△A ′ B ′ C ′ ∴△ABC∽△A ′ B ′ C ′ B C A E D F 如图， AD⊥BC 于点 D ， CE⊥AB 于点 E ，且交 AD 于 F ，你能从中找出几对相似三角形？ B C A E D F 如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？ B C A E D F 如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？ B C A E D F 如图， AD⊥BC 于点 D ， CE⊥AB 于点 E ，且交 AD 于 F ，你能从中找出几对相似三角形？ 通过本节课的学习你有什么收获和体会？你还有什么困惑？ ? 本 课 小 结 第 22 章 相似形 22.3 相似三角形的性质 22.3 相似三角形的性质 相似三角形的识别 问：相似三角形的识别方法有哪些？ 证二组对应角相等 证三组对应边成比例 证二组对应边成比例，且夹角相等 相似三角形的特征 问：你知道相似三角形的特征是什么吗？ 角：对应角相等 边：对应边成比例 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值= 如右图， △ A B C ∽△A′B′C′ A B C A ’ B ’ C ’ D D ’ 已知： Δ ABC∽ Δ A’B’C, ’ 相似比为k,它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论。 相似三角形对应边上的高有什么关系呢？ 相似三角形对应边上的高之比等于相似比 A′ B′ C′ D′ 则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD 与A′ D′有什么关系？ 右图△ A B C ， AD 为 BC 边上的高。 D A B C 相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？ 相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比 如右图△A B C ， AF为 ∠ A 的角平分线。 则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ F′ 为∠ A′的角平分线， △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AF 与A′ F′比是多少？ A B C F A′ B′ C′ F′ 相似三角形对应边上的中线比等于相似比 相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？ 如右图△A B C ， AE为 BC 边上的中线。 则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ E′为 B′C′边上的中线。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AE 与A′ E′比是多少？ A B C E A′ B′ C′ E′ 填空： （ 1 ）两个三角形的对应边的比为 3:4 ，则这两个三角形的对应角平分线的比为 _____ ，对应边上的高的比为 ____ ，对应边上的中线的比为 ____ (2) 相似三角形对应角平分线比为 0.2, 则相似比为 _________, 对应中线的比等于 ______; 相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 . 你会应用吗？ △ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，已知 ，B′D′=4cm，求BD的长. 解：∵ △ ABC∽△A ′ B′C′ ， 　　　 BD 和 B′D′ 是它们的对应中线　 　　 ∴ （相似三角形对应中线的比都等于相似比） ∴ BD=6 ∴ 相似三角形的周长比等于相似比。 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 想一想： 你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？ 周长比等于相似比，面积比等于相似比的 平方 √10 2 √2 1 √5 √2 A B C A ’ C’ B’ 小结 相似三角形的性质 对应角相等、对应边成比例 对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比 周长之比等于相似比 面积之比等于相似比的 平方 （你学到了什么呢？） 第 22 章 相似形 22.4 图形的位似变换 22.4 图 形的位似变换 观察下列图形的特点 A B C D P 特征 : (1) 是相似图形 (2) 每组对应点所在的直线都经过同一个点 如果两个多边形是每组对应顶点的连线都经过同一个点，那么这样的两个多边形叫做 位似多边形， 这个点叫做 位似中心 。 实际上， K 就是这两个相似多边形的相似比。 基本概念 : 下列图形中，每个图中的四边形 ABCD 和四边形 A′B′C′D′ 都是 相似图形 . 分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？ 图中每组中的两个多边形也是位似多边形。 应用位似图形概念作图 例：如图已知△ABC以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC相似，且相似比为2. 解：1、画射线OA,OB,OC. 2、在射线OA，OB,OC上取点D,E,F使OD=2OA,OE=2OB,OF=2OC 3.顺次连接D、E、F 则△DEF与△ABC位似，相似比为2 用橡皮筋放大图形的方法放大图形,使用这种方法,放大前后的两个图形是位似图形,你能用这种方法将一个已知的正方形放大,使放大后的图形与原图形的位似比分别是1:2吗? 判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是？ （ 1 ）五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′ ； （2）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO （3）正方形ABCD与正方形A′B′C′D′. （4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′ 做一做 如图，请以坐标原点 O 为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大 3 倍 . 分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心 O 和的各顶点，并把线段延长（或反向延长）到原来的 3 倍，就得到所求作图形的各个顶点 练一练 　　 1 ．如图，已知△ ABC 和点 O. 以 O 为位似中心，求作△ ABC 的位似图形，并把△ ABC 的边长缩小到原来的一半 . 今天你学会了什么？ 位似图形的定义，位似图形的性质 . 小结 第 22 章 相似形 22.5 综合与实践 测量与误差 22.5 综合与实践 测量与误差 课题： 同学们 , 怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆 ( 或路灯 , 或树 , 或烟囱 ) 的高度 ? 活动方式： 全班同学分成六 人一小 组 , 选出组长 , 分头进行户外实际测量 , 被测物不一定是旗杆 . 如楼房 , 树 , 电线杆等 . 先集中讨论方案 , 再分散实际操作 , 最后集中总结交流 . 测量与误差 A B C D E F 方法 1: 利用阳光下的影子 A C B E F 方法 2: 利用标杆 E C B D A 方法 3: 利用镜子 如图 ,A 、 B 两点分别位于一个池塘的两端 , 小芳想用绳子测量 A 、 B 两点之间的距离 , 但绳子的长度不够 , 一位同学帮她想了一个主意 , 先在地上取一个可以直接到达 A 、 B 点的点 C, 找到 AC 、 BC 的中点 D 、 E, 并且 DE 的长为 5m, 则 A 、 B 两点的距离是多少？ C B A E D 用较简单的方法测量河坡电场烟囱的高度 . 课外完成 , 写出实践报告 .