沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形

第 23 章 解直角三角形 23.1 锐角的三角函数 23.1 锐角的三角函数 直角三角形 ABC 可以简记为 Rt△ABC ， 你能说出各条边的名称吗？ ┓ C 斜边 c 邻边 对边 a b C ┓ A B 某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30° ，高为 7m ，扶梯的长度是多少 ? B A C ┓ 30° 7m 实际问题 在上面的问题中，如果高为 10m ，扶梯的长度是多少？ 已知等腰直角三角形 ABC ，∠ C=90 ° ，计算∠ A 的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？ A B C ┓ 在 Rt△ABC 中 , ∠C ＝ 90° ． 当∠ A ＝ 30° 时 , 当∠ A ＝ 45° 时 , 固定值 固定值 归纳 在直角三角形中，对于锐角 A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值也是唯一确定的吗？ 想一想 所以 　　 ＝ ＝ Rt△AB 1 C 1 ∽Rt△AB 2 C 2 ∽Rt△AB 3 C 3 所以，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠ A 的对边与斜边的比是一个固定值． 观察右图中的 Rt△AB 1 C 1 、 Rt△AB 2 C 2 和 Rt△AB 3 C 3 ，∠ A 的对边与斜边有什么关系？ 在 Rt△ABC 中， ∠ C=90 ° ，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的 正 弦 , 记 作 sinA ，即 一个角的正弦表示 定值 、 比值 、 正值 ． 知识要点 正弦 在直角三角形中， 对于锐角 A 的每一个确定的值，其邻边与斜边、对边与邻边的比值也是唯一确定的吗？ 想一想 在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠ A 的对边与斜边的 比 , ∠ A 的邻边与斜边的 比 , ∠ A 的对边与邻边的比都是一个固定值． 归纳 在 Rt△ABC 中， ∠ C=90 ° ，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的 余 弦 , 记 作 cosA ，即 一个角的余弦表示 定值 、 比值 、 正值 ． 知识要点 余弦 在 Rt△ABC 中， ∠ C=90 ° ，我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的 正 切 , 记 作 tanA ，即 一个角的余切表示 定值、比值、正值． 知识要点 正切 锐角三角函数 锐角 A 的正弦、余弦、正切叫做∠ A 的 锐角三角函 数 . 知识要点 1 ． sinA 、 cosA 、 tanA 是在 直角三角形 中定义的，∠ A 是 锐角 ( 注意 数形结合 ，构造直角三角形 ) ． 2 ． sinA 、 cosA 、 tanA 是一个 比值 （ 数值 ）． 3 ． sinA 、 cosA 、 tanA 的大小只与 ∠ A 的大小 有关，而与 直角三角形的边长 无关． 提示 1 、如图 1 ，在 Rt△MNP 中，∠ N ＝ 90 ゜ .∠P 的对边是 _____, ∠P 的邻边是 _____; ∠M 的对边是 _____, ∠M 的邻边是 _____; 2 、在 Rt △ ABC 中， ∠ C ＝ 90 ゜，设∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，根据下列所给条件∠ B 的三个三角函数值： a=5，c=13. 小练习 在直角 三角形中共有 五 个元素 ：边 a,b,c, 锐角∠ A,∠B. 这五个元素之间有如下等量关系： A B C c a b (1)三边之间关系： a 2 +b 2 =c 2 ( 勾股定理 ) (2)锐角之间关系： ∠ A+∠B=90° (3)边角之间关系 ： 第 23 章 解直角三角形 23.2 解直角三角形及其应用 23.2 解直角三角形及其应用 本 节课研究的问 题： 如 何将实际问题转化为解直角三角形的问题？实际问题中的数量关系转化为直角三角形 中元素 之间的关系解直角三角形 . 解直角三角形的依据是什么？ （ 1 ）三边之间关系：勾股定理 （ 2 ）锐角之间关系：两个锐角互余 （ 3 ）边角之间关系：三角函数 引入 —— 什 么是仰角、俯角？如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？ —— 什 么是坡度、坡比？ —— 如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？ 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角 . 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度． 如图，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平长度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 ( 或坡比 ) ，记作 i ，即 坡度通常写成1:m的形式，如 i ＝1:6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有 显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡． ＝ tanα ． 1 、学生探究：在 RtΔABC 中，若 ∠C =90 °. 问题 1 ：两锐角 ∠A 、 ∠B 的有什么关系？ 问题 2 ：三边 a 、 b 、 c 的关系如何？ 问题 3 ： ∠A 与边的关系是什么？ 2 、数学知识、数学运用 解直角三角形有下面两种情况： （ 1 ）已知两条边求直角三角形中的其它元素； （ 2 ）已知一边及一角求直角三角形中的其它元素 . 例 1 如图所示，一 棵大树在一次强烈的地震中于离地面 5 米处折断倒下，树顶落在离树根 12 米处，大树在折断之前高多少？ 解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为 13+5=18 （米） 答：大树在折断之前高为 18 米 . 5m 12m 例2 如图，在相距 2 000 米的 东、西两座炮台A、B处 同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东400的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米） A D C B 40 0 2000 例 3 如图，为了测量旗杆的高度 BC ，在离旗杆底部 10 米的 A 处，用高 1.50 米的测角仪 DA 侧得旗杆顶端 C 的仰角 α =52° . 求旗杆 BC 的高 . 解： 在 Rt△CDE 中， CE=DE×tanα=AB×tanα = 10×tan 52 °≈12.80. BC=BE+CE=DA+CE ≈ 1.50+12.80=14.3. 答：旗杆BC的高度约为14.3米. 练习： ( 1) 如图，一辆消防车的梯子长为 18m ，与水平面间 的夹角为 60 °, 如 果这辆消防车的高度为 2m ，求梯子可达到的高度 ． (2) 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为 100 米，山高为 100 米，如果这辆坦克能够爬 30 ° 的 斜坡，试问：它能不能通过这座小山？ A C 100 米 100 米 B 2. （ 1 ）某货船沿正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 C 在北偏西 30° ，船以每小时 20 海里的速度航行 2 小时，到达点 B 后，测得灯塔 C 在北偏西 60° ，请问当这艘货船到达 C 的正东方向时，船距灯塔 C 有多远？ （ 2 ）如图，某电信部门计划修建一条连结 B 、 C 两地的电缆，测量人员．在山脚 A 点测得 B 、 C 两地的仰角分别为 30° 、 45° ，在 B 地测得 C 地的仰角为 60° ．已知 C 地比 A 地高 200 米，电缆 BC 至少长多少米？ 3.(1) 植树节，某班同学决定去坡度为 1 ︰ 2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是 6m ，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 . （ 2 ）某人沿着坡角为 45 ° 的斜坡走了 310 m ，则此人的垂直高度增加了 ________m . 小结 解直角三角形有下面两种情况： (1) 已知两条边求直角三角形中的其它元素； (2) 已知一边及一角求直角三角形中的其它元素。 (3) 理解仰角、俯角的定义，能将实际问题转化为解直角三角形问题。 (4) 知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题。 再见