最新沪科版八年级数学上册第12章一次函数PPT

第 12 章 一次函数 12.1 函数 如果 你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 h /m t/ min O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 h /m t/ min O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 37 h /m t/ min O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 37 45 h /m t/ min O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 37 45 h /m t/ min O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 37 45 h /m t/ min O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 37 45 h /m t/ min 下图反映了旋转时间 t （分）与摩天轮上一点的高度 h （米）之间的关系。 t / 分 0 1 2 3 4 5 ··· h / 米 ··· 3 11 37 45 37 11 根据上图填表 做一做 1 、瓶子和罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 层数 n 1 2 3 4 5 ··· 物体总数 y ··· 1 3 6 10 15 做一做： 　　 2 、大家都知道，路程（ s ）、速度（ v ）、时间（ t ）之间存在关系： s = vt 假设某车的速度为60千米/时，当时间 t 为1小时，路程 s 为多少千米？当时间 t 为2小时和3小时时候呢？请用公式表示此问题中路程 （ s ） 与时间 （ t ） 之间存在的关系。 s =60 t 想一想： 以上各例中，都有两个变量，给定其中一个变量（自变量）的值，相应地就确定了另一个变量（因变量）的值。 s =60 t n 1 2 3 4 5 … y 1 3 6 10 15 … 像 问题 3 中的速度 60 在整个过程保持不变的 是常量 　 一般 地，在某个变化过程中，有两个变量 x 和 y ，如果在 x 允许取值的范围内，每取一个 x 值， y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的 函数（ function ） ，其中 x 是自变量， y 是 因变量 . 高度 h 是时间 t 的函数 物体总数 y 是层数 n 的函数 路程 s 是 时间 t 的函数 n 1 2 3 4 5 … y 1 3 6 10 15 … s =60 t 图象法 列表法 解析式法 函数的 表示方法 小结 函数关系的三种表示方法 1.列表法——通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的 方法 . 2. 解析式法 ——用数学式子表示函数关系的方法.其中的等式叫做解析 式法（ 注意自变量的取值范围 ） . 3.图象法——一般地，对于一个函数,如果把自变量x与函数y的每对对应值分别做为点的横坐标和纵坐标,在坐标平面内描出相应的点,由这些点组成的图形,就叫做这个函数的 图像 . 用 图像来表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图象 法 . 试一试 ： 1 、下图中有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？ 试一试： 　 2 、国内的某投寄平信应付邮资如下表： 信件质量 m / 克 0< m ≤20 20< m ≤40 40< m ≤60 邮资 y / 元 0.80 1.20 1.60 上表中有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？ 练习 1 下列 问题反映了哪两个量之间的关系？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？ （ 1 ）地面气温是 20 o C ，如果每升高 1 千米，气温下降 6 o C ，气温 T （ o C ）随高度 h （千米） 的变化 . 20 14 8 2 O 1 2 3 4 T / o C h /km （ 2 ）按下列程序输入一数 x ，便可输出一个相应的数 y ： 输入 x ＋ 2 ×5 － 4 输出 y ； （ 3 ）圆周长 C （厘米）与半径 R （厘米）的对应关系如下 表：（ π 取 3.14 ） 半径 R （厘米） 1 2 3 4 5 圆周长 C （厘米） 6.28 12.56 18.84 25.12 31.40 练习 2 ： 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关。如果用 a 表示一个人的年龄，用 b 表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么 b = 0.8 （ 220 － a ）。 （ 1 ）计算当 a 分别为 10 岁、 15 岁、 20 岁、 25 岁、 30 岁时相应的 b 值，并填写下表； a / 岁 10 15 20 25 30 b / 次 （ 2 ）由于剧烈运动，初二（ 4 ）班的可可同学（ 15 岁） 10 秒的心跳次数达到 28 次，他有危险吗？ 168 164 160 156 152 有 危险 . 练习 3 ： 商店进了一批货，出售时要在进价的基础上加上一定的差价，数量 x （千克）与售价 c （元）如下表： 数量 x （千克） 售价 c （元） 数量 x （千克） 售价 c （元） 1 4 ＋ 0.2 4 16 ＋ 0.8 2 8 ＋ 0.4 5 20 ＋ 1.0 3 12 ＋ 0.6 （ 1 ）你能写出用数量 x 表示售价 c 的公式吗？ （ 2 ）计算 3.5 千克货的 售价 . c =4.2 x 14.7 元 第 12 章 一次函数 12.2 一次函数 （第 1 课时 : 认识一次函数） 1 课堂讲解 一次函数 正比例函数 一次函数与正比例函数的关系 确定实际问题中的一次函数表达式 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 学习目标 在上节，遇到过这样一些函数： h =30 t +1800 ; Q = -25 t +300; y =2 x ; y =-2 x ; s =80 t . 这些函数有什么共同特点？ 1 知识点 一次函数 1. 定义： 一般地，形如 y ＝ kx ＋ b ( k ， b 为常数，且 k ≠0) 的 函数，叫做一次函数．当 b ＝ 0 时， y ＝ kx ( k 为 常数，且 k ≠0) ，所以说正比例函数是一 种 特殊 的一次函数 ． 2. 要点精析： 一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0) 的结构特征： ① k ≠0 ； ② 自变量 x 的次数是 1 ； ③ 常数项 b 可以是 任意 实数． 例 1 下列 函数中，哪些是一次函数，哪些又是 正比例 函数？ (1) y ＝－ 2 x 2 ； (2) y ＝ ； (3) y ＝ 3 x 2 － x (3 x － 2) ； (4) x 2 ＋ y ＝ 1 ； (5) y ＝－ . 导引： 先看函数式是否为整式，再经过恒等变形， 根据 一次函数和正比例函数的定义进行判断． 解： (1) 因为 x 的指数是 2 ，所以 y ＝－ 2 x 2 不是一 次 函数 ． (2) 因为 所以 是一次函数． (3) 因为 y ＝ 3 x 2 － x (3 x － 2) ＝ 2 x ， k ＝ 2 ， b ＝ 0 ， 所以它是一次函数，也是正比例函数． (4) x 2 ＋ y ＝ 1 ，即 y ＝ 1 － x 2 . 因为 x 的指数是 2 ， 所以 x 2 ＋ y ＝ 1 不是一次函数． (5) 因为 y ＝－ 不是整式，不符合 y ＝ kx ＋ b 的形式， 所以它不是一次函数． 总 结 判断函数式是否为一次函数的方法：先看 函数 式是否是整式的形式， 再 将函数式进行恒等变形 ，看 它是否符合一次函数表达式 y ＝ kx ＋ b 的结构特征 ： ( 1) k ≠0 ； ( 2) 自变量 x 的次数为 1 ； ( 3) 常数项 b 可以 为任意 实数． 例 2 已知 函数 y ＝ ( n 2 － 4) x 2 ＋ (2 n － 4) x m － 2 － ( m ＋ n － 8) ； ( 1) 当 m 、 n 为何值时，函数是一次函数？ ( 2) 如果函数是一次函数，计算当 x ＝ 1 时的函数值． 导引： (1) 由一次函数的定义，结合原函数式的特征知 ： ① 二次项的系数必为 0 ，即 n 2 － 4 ＝ 0 ； ② (2 n － 4) x m － 2 必为一次项，即 m － 2 ＝ 1 ， 2 n － 4≠ 0 ； (2 ) 写出表达式，运用代入法求函数值． 解： (1) 由题意，得 解得 m ＝ 3 ， n ＝－ 2. 所以 当 m ＝ 3 ， n ＝－ 2 时函数是一次函数． ( 2) 由 (1) 得此一次函数的表达式 为 y ＝－ 8 x ＋ 7 . 当 x ＝ 1 时 ， y ＝－ 8×1 ＋ 7 ＝－ 1. 总 结 根据一次函数的定义求待定字母的值时，要注意： (1) 函数的表达式是自变量的一次式，若含有一次以 上 的项，则其系数必为 0 ； (2) 隐含条件 ：自变量 ( 一次项 ) 的系数不为 0. 2 知识点 正比例函数 1. 定义： 一般地，形如 y ＝ kx ( k 为常数，且 k ≠0) 的函数， 叫做正比例函数；其中 k 叫做比例系数． 要点精析： (1) 判断一个函数是否为正比例函数的方法： 看这个函数是否满足以下 两个条件 ： ① 所给等式是形如 y ＝ kx 的等式； ② 比例系数 k 是常数，且 k 不等于 0. 同时满 足这两个条件 ，它就是正比例函数． (2) 正比例函数反映的是两个变量之间的关系，是正 比例函数关系． 2 ． 易错警示： (1) 正比例函数 y ＝ kx 中， k ≠0 ， x 的指数为 1 ； (2) 自变量的取值范围：一般情况下，正比例函数 中自变量的取值范围是全体实数，但在实际问 题中，注意自变量的取值要有实际意义 . 例 3 写出下列问题的函数表达式，并判断哪些是 正比例函数． (1) 已知圆的周长 C 是半径 r 的函数； (2) 油箱中有油 30 L ，若油均匀流出， 150 min 流尽，则油箱中余油量 Q (L) 是流出时间 t (min) 的函数； (3) 小明以 4 km/h 的速度匀速前进，则他所走 的路程 s (km) 是时间 t (h) 的函数； (4) 某种商品每件进价 100 元，售出时每件获得 20% 的 利润，销售额 y ( 元 ) 是售出商品数量 x ( 件 ) 的函数． 解： (1) C ＝ 2π r ，是正比例函数． (2) Q ＝ 30 － t ，不是正比例函数． (3) s ＝ 4 t ，是正比例函数． (4) y ＝ (100 ＋ 100×20%) x ＝ 120 x ，是正比例函数． 总 结 (1) 根据题意可先得到数量间的关系式，然后写成 函数表达式 的形式． (2) 判断是否为正比例函数的 依据 ：即看两个变量的 比是不是 常数，即是不是形如 y ＝ kx ( k 为常数，且 k ≠0 ) 的 函数． 例 4 已知函数 y ＝ ( k － 2) x | k | － 1 ( k 为常数 ) 是正比例函 数，则 k ＝ ________ ． 导引： 根据正比例函数的定义，此函数表达式应满足： (1) 变量 x 的指数为 1 ，即 | k | － 1 ＝ 1 ，所以 k ＝ ±2 ； (2) 比例系数 k － 2≠0 ，即 k ≠2. 综上， k ＝－ 2. － 2 总 结 由正比例函数的定义知正比例函数的自变量 的指数 为 1 ；应用定义求值时，不要忽视比例系数 不为 0 这一条件 . 3 知识点 一次函数与正比例函数的关系 正比例函数是一次函数，但一次函数 不一定是 正比例函数． 4 知识点 确定实际问题中的一次函数表达式 例 5 已知某山区的平均气温与该山区的海拔关系如下表： 　 (1) 若海拔用 x ( 米 ) 表示，平均气温用 y (℃) 表示， 试 写出 y 与 x 的函数表达式； ( 2) 若某种植物适宜生长在 18 ℃ ～ 20 ℃( 含 18 ℃ 和 20 ℃) 的山区 ，请问该植物适宜种植在海拔为多少米的山区？ 海拔 / 米 0 100 200 300 400 … 平均气温 /℃ 22 21.5 21 20.5 20 … 导引： 观察、分析表中数据可知，海拔每增加 100 米， 平均气温就要下降 0.5 ℃. 这符合一次函数的特 征，因此可以建立一次函数的模型解题． (1) 从 表格中获取两对 x 、 y 的对应值，利用待定系数 法求一次函数的表达式； (2) 将问题转化为函数 问题，即求已知函数值所对应的自变量 x 的值． 解： (1) 设所求的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0 ， x ≥0) ． 因为当 x ＝ 0 时， y ＝ 22 ，当 x ＝ 200 时， y ＝ 21 ， 所以所求的函数表达式为 y ＝－ x ＋ 22( x ≥0) ． (2) 由 (1) 知 y ＝－ x ＋ 22( x ≥0) ，令 y ＝ 18 ，得 x ＝ 800 ， 　 令 y ＝ 20 ，得 x ＝ 400 ， 所以当 18≤ y ≤20 时， 400≤ x ≤800. 所以该植物适宜种植在海拔为 400 米～ 800 米 ( 含 400 米和 800 米 ) 的山区． 总 结 表格信息题是中考的热点题，解决表格问题的 关键是从表格中获取正确、易于解决问题的信息； 其 建模的过程 是：先设出函数的表达式，然后找出 两对对应值，列出二元一次方程组，求解即可得到 表达式 . 一次函数和正比例函数： 一般 地，形如 y ＝ kx ＋ b ( k ， b 为常数， k ≠0) 的函数 叫做一次函数 ，其中 x 是自变量 ， y 是 x 的函数． 特别 地，当 b ＝ 0 时， y ＝ kx ( k 为常数， k ≠0) ， y 叫做 x 的正比例 函数． 说明 ： (1) 正比例函数是特殊的一次函数，一次函数 包括 正比例函数； (2) 判断一个函数是否是一次函数， 必须 将其化成最简形式． 课堂小结 第 12 章 一次函数 12.2 一次函数 （第 2 课时 : 正比例函数的图象与性质 ） 1 课堂讲解 函数的 图象 正比例 函数的 图象 正比例函数的性质 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 学习目标 1 知识点 函数的图象 前面画过函数 y =2 x , y = - 2 x 及另外一些正比例函数 的图象，可见正比例函数 y = kx ( k 为常数，且 k ≠ 0) 的图 象是一条经过原点的直线，通常我们把正比例函数 y = kx ( k 为常数，且 k ≠ 0) 的图象叫做直线 y = kx . 因为两点确定一条直线，所以画正比例函数的图象， 只要先描出两点，再过这两点画直线，就可以了 . 下列各点在函数 y ＝－ x 的图象上的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 　 (1 ， ) B ． ( － 1 ， ) 　 C ． (3 ，－ ) 　 D ． ( － ， 3) 已知点 A (2 ， 3) 在函数 y ＝ ax 2 - x ＋ 1 的图象上，则 a 等于 ( 　　 ) A.-1 B . 1 C . 2 D.-2 1 2 2 知识点 正比例函数的图象 例 1 在同一平面直角坐标系中，画下列函数的 图象： y = x, y = x , y =3 x. 解： 列表 ( 为便于比较，三个函数值计算表排在一起 ) x … 0 1 … y = x … 0 … y = x … 0 1 … y =3 x … 0 3 … 如图，过两点（ 0, 0 ），（ 1 ， ）画直线， 得 y = x 的图象； 过两点（ 0, 0 ），（ 1, 1 ） 画直线，得 y = x 的图象； 过两点（ 0, 0 ），（ 1, 3 ） 画直线，得 y =3 x 的图象 . 总 结 正比例函数 y ＝ kx ( k 是常数，且 k ≠0) 的图象是 一条 经过原点及 (1 ， k ) 的直线， 通常 作正比例函数 的图象 是过 (0 ， 0) 和 (1 ， k) 两点画直线，但也可以变通 ，选点 应以便于计算和描点 为原则 ． 3 知识点 正比例函数的性质 学过了上面例 1 及练习后可以看出，当 k 取不同 的数值时，就确定正比例函数 y=kx(k 为常数 ，且 k ≠ 0) 在坐标系中有不同的位置 . 你能从中 归纳出 怎样的规律？ 图象： 正比例函数 y ＝ kx(k 为常数，且 k ≠0) 的图象是 一条经过 原点 的直线，我们称它为直线 y ＝ kx . 性质： 当 k ＞ 0 时，直线 y ＝ kx 经过第 一、三 象限，从 左向右上升 ， y 随着 x 的增大而增大， 当 k ＜ 0 时，直线 y ＝ kx 经过第 二、四 象限， 从左向右下降， y 随着 x 的增大而减小． 例 2 〈 广东珠海 〉 已知函数 y ＝ 3 x 的图象经过点 A ( － 1 ， y 1 ) ，点 B ( － 2 ， y 2 ) ，则 y 1 ________ y 2 ( 填 “ ＞ ”“ ＜ ” 或 “ ＝ ”) ． ＞ 导引： 方法一：把点 A ，点 B 的坐标分别代入函数 y ＝ 3 x ，求出 y 1 ， y 2 的值比较大小即可． 方法二：画出正比例函数 y ＝ 3 x 的图象，在函 数图象上标出点 A ，点 B ，利用数形结合思想 来比较 y 1 ， y 2 的大小． 如图，观察图象， 显然可得 y 1 ＞ y 2 . 方法三：根据正比例函数的 增减性来比较函数值的大小． 根据正比例函数的性质， 当 k ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大，即可得 y 1 ＞ y 2 . 总 结 正比例函数的图象上两点的纵坐标的大小与比例系 数以及横坐标的大小有关；比例系数是正数时， 函数值随自变量的增大而增大；比例系数是负数时， 函数值随自变量的增大而减小．本例的解法中， 方法一 是用求值比较法； 方法二 是利用 数形结合思想 ， 用 “ 形 ” 上的点的纵坐标位置来比较 “ 数”的大小； 方法三 是利用函数的增减性来比较大小． 例 3 已知正比例函数 y ＝ k 1 x 与 y ＝ k 2 x 的图象如图， 比较 k 1 与 k 2 的大小． 导引 ： 两个函数的自变量取 相同的数值，当所取 的数是 正数 时，比较两 个函数值的大小即可得 k 1 ， k 2 的大小． 解： 在正比例函数 y ＝ k 1 x 图象位于第一象限的射线上 取一点 A ，设点 A 的坐标是 ( a ， k 1 a ) ， 过点 A 引 x 轴的垂线交正比例函数 y ＝ k 2 x 的图象于 一点 B ， x 轴上的垂足是 H ， 所以点 B 的坐标是 ( a ， k 2 a ) ， 由于 k 1 a ＞ k 2 a ，且 a ＞ 0 ，因此 k 1 ＞ k 2 . 总 结 利用正比例函数的图象比较比例系数的大小， 可以 在一条直线上取一点 A ， 通常 使得这点的横坐标是 1 ，过 这点引 x 轴的垂线，交另一直线于一点 B ，比较两 点纵坐标 的大小即可． 例 4 若正比例函数 y ＝ (3 k － 5) x 及 y ＝ (5 k － 3) x 的图 象如图所示， 则 k 的取值范 围是 ________ ． 导引： 由正比例函数的图象及性质知： 3 k － 5 ＜ 0 ， 即 k ＜ ； 5 k － 3 ＞ 0 ，即 k ＞ . 综合 两个不 等式的解集，得 ＜ k ＜ . 总 结 (1) 由正比例函数的性质 y 随 x 的增大而增大或减小，可以 判断比例系数的符号，当 y 随 x 的增大而增大时，比例 系数 k 大于 0 ，反之比例系数 k 小于 0 ； (2) 由正比例函数的图象过一、三象限还是过二、四象限 可以判断比例系数的符号，当直线过一、三象限时， k ＞ 0 ，当直线过二、四象限时， k ＜ 0. 画正比例函数图象的技巧： (1) 由于两点确定一条直线，因此画正比例函数 y ＝ kx(k ≠0) 的图象时，我们一般选 (0 ， 0) 和 (1 ， k ) 这两点． (2) 列表时，点 ( x ， y ) 可任意选取适合 y ＝ kx 的点，但为方便 描点，坐标通常取整数． 注意： 有些图象根据自变量取值范围的不同而有所变化， 或是一条射线，或是一条线段，或是直线上的一些点．例 如正比例函数 y ＝ 2 x ( x ≥0) 的图象是一条射线． 课堂小结 第 12 章 一次函数 12.2 一次函数 （第 3 课时 一次函数的图象与性质） 1 课堂讲解 一次函数 y = kx + b 的 图象 直线 y = kx + b 的 位置与 k ， b 的 关系 一次函数 y = kx + b 的性质 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 学习目标 1 知识点 一次函数 y = kx + b 的图象 正比例函数 y = kx ( k 为常数，且 k ≠ 0) 的 图象是 一条直线 . 对于一次函数 y = kx + b ( k ， b 为常数 ，且 k ≠ 0), 当 b ≠ 0 时，它的图象又是什么呢？ 例 1 画一次函数 y =2 x +3 的图象 . 解： 为了便于对比，列出一次函数 y =2 x +3 与正比例 函数 y =2 x 的 x 与 y 的对应值表 : x … -2 -1 0 1 2 … y =2 x … -4 -2 0 2 4 … y =2 x +3 … -4+3 -2+3 0+3 2+3 4+3 … 从表中可以看出，对于自变量 x 的同一个值，一次函数 y =2 x +3 的函数值要比函数 y =2 x 的函数值大 3 个单位 . 也就是说， 对于相同的横坐标，一次函数 y =2 x +3 的图象上点的纵坐标 要比正比例函数 y =2 x 图象上点的纵坐标大 3. 因此，把直线 y =2 x 向上平移 3 个单位，就 得到一次函数 y =2 x +3 的图象 . 由此可见，一次函数 y =2 x +3 的图象 是平行于直线 y =2 x 的一条直线， 如图 . 1. 一次函数的图象与性质： 一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k 、 b 为常数，且 k ≠0) 的图象 是一条直线，我们称它为直线 y ＝ kx ＋ b ；它必 过 (0 ， b ) 和 两 点，它与 y 轴的交点 (0 ， b ) 中 b 叫做直线 y ＝ kx ＋ b 在 y 轴上的截距，简称 截距 ． 2 ． 一次函数图象的画法： (1) 两点法：由于两点确定一条直线，所以在平面 直角坐标系中画一次函数的图象时，先描出适 合表达式的两点，再过这两点作直线即可．通 常 选取 (0 ， b ) 和 ，即与两坐标轴相交的 两点 ； (2) 平移法： 直线 y ＝ kx ＋ b 可以看作由直线 y ＝ kx 平移 得到： ① 当 b ＞ 0 时，把直线 y ＝ kx 向上平移 b 个单位得到直 线 y ＝ kx ＋ b ； ② 当 b ＜ 0 时，把直线 y ＝ kx 向下平移 | b | 个单位得到直 线 y ＝ kx ＋ b . 用一句话来表述就是： “ 上加下减 ” ；上、下是 “ 形 ” 的平移，加减是 “ 数 ” 的变化． 例 2 在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的 图象，并求它们的截距． (1) y 1 ＝ 2 x － 1 ； (2) y 2 ＝ 2 x ； (3) y 3 ＝ 2 x ＋ 2. 然后观察图象，你能得到什么结论？ 导引： (1) 可取 (0 ，－ 1) 及 (1 ， 1) 两点； (2) 可取 (0 ， 0) 及 (1 ， 2) 两点； (3) 可取 (0 ， 2) 及 (1 ， 4) 两点，分别作直线即 可得到它们的图象，再通过观察图象， 得出结论． 解： 列表如下： x 0 1 y 1 － 1 1 x 0 1 y 2 0 2 x 0 1 y 3 2 4 描点、连线． 即可得到它们的图象． 如图 . 它们 的截距分别为－ 1 ， 0 ， 2. 从图象中我们可以看出：它们是一组互相平行 的 直线，原因是这组函数的表达式中 k 的值都是 2. 结论 ： 一次函数中的 k 值相等 ( b 值不等 ) 时， 其 图象 是一组 互相平行的直线．它们可以通过互相平移得到． 总 结 画一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ， b 为常数，且 k ≠0) 的 图象 ， 通常选取该直线与 y 轴的交点 ( 横坐标为 0 的点 ) 和直线 与 x 轴的交点 ( 纵坐标为 0 的点 ) ，由两点确定 一条 直线得一次函数的图象 . 2 知识点 直线 y = kx + b 的位置与 k , b 的关系 直线 y ＝ kx ＋ b 的位置是由 k 和 b 的符号决定的，它们的关系如下表： k 的符号 k ＞ 0 k ＜ 0 b 的符号 b ＞ 0 b ＝ 0 b ＜ 0 b ＞ 0 b ＝ 0 b ＜ 0 图象 经过的象限 一、二、三 一、三 一、 三、 四 一、二、四 二、四 二、三、四 续表： 一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象 例 3 已知直线 y ＝ (1 － 3 k ) x ＋ 2 k － 1. (1) k 为何值时，直线与 y 轴交点的纵坐标是－ 2? (2) k 为何值时，直线经过第二、三、四象限？ (3) k 为何值时，已知直线与直线 y ＝－ 3 x － 5 平行？ 导引： (1) 可令 2 k － 1 ＝－ 2 或将 (0 ，－ 2) 代入函数表达 式即可求得 k 的值 ； (2) 直线经过第二、三、四象限，则 解不等式组求出 k 的取值范围即可； (3) 两直线若平行，则它们的自变量的系数应相等， 所以 1 － 3 k ＝－ 3 且 2 k － 1≠ － 5 ，可求出 k 值． 解： (1) 由 题意得 2 k － 1 ＝－ 2 ，解得 k ＝－ ， 所以当 k ＝－ 时，直线与 y 轴交点的纵坐标是－ 2. (2) 当 即当 ＜ k ＜ 时 ，直线经过 第二、三、四象限． (3) 由题意得 1 － 3 k ＝－ 3 ，即 k ＝ ， 此时 2 k － 1 ＝ ≠ － 5 ， 所以，当 k ＝ 时， 已知直线与直线 y ＝－ 3 x － 5 平行． 总 结 | k | 的大小决定直线的 倾斜程度 ， b 的正负决定 直线 与 y 轴交点的位置 ．当 k ＞ 0 ， b ＞ 0 时，直线不 经过第四 象限；当 k ＞ 0 ， b ＜ 0 时，直线不经过第二象限 ；当 k ＜ 0 ， b ＞ 0 时，直线不经过第三象限；当 k ＜ 0 ， b ＜ 0 时，直线不经过第一象限． 3 知识点 一次函数 y = kx+b 的性质 1. 已知一次函数 y =3 x +1, y =2 x -3, y = x +4. （ 1 ）分别列出 x , y 的对应值表，观察当自变量 x 的值由小 到大增大时，函数 y 的值是增大还是减小？ （ 2 ）画出图象，上述变化从图象上看，直线从左到右是 上升还是下降？ 2. 用类似的方法，观察函数 y =-3 x -1, y =-2 x +3, y =- x -4 　图象的变化趋势，从中你有什么发现？ 　探究 一般地，一次函数 y = kx + b ( k ， b 为常数，且 k ≠ 0) 有 下列性质： 当 k ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大（图象是自左向右上 升的）； 当 k ＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小（图象是自左向右下 降的） . 例 4 已知一次函数 y ＝ (6 ＋ 3 m ) x ＋ ( m － 4) ， y 随 x 的 增大而增大，函数的图象与 y 轴的交点在 y 轴 的负半轴上，求 m 的取值范围． 导引： 根据一次函数的性质可知， 解不等式组 即可． 解： 根据题意，得 解得 -2 ＜ m ＜ 4. 所以 m 的取值范围是 -2 ＜ m ＜ 4. 总 结 对于一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ， b 为常数，且 k ≠0) ， (1) 判断 k 值符号的方法： ① 增减性法 ：当 y 随 x 增大而增大时， k ＞ 0 ； 反之， k ＜ 0.② 直线升、降法 ：当直线从左到右上升时， k ＞ 0 ； 反之， k ＜ 0.③ 经过象限法 ：直线过一、三象限时， k ＞ 0 ；直 线过二、四象限时， k ＜ 0.(2) 判断 b 值符号的方法 ：与 y 轴交点 法，即若直线 y ＝ kx ＋ b 与 y 轴交于正半轴，则 b ＞ 0 ；与 y 轴交 于负半轴，则 b ＜ 0 ；与 y 轴交于原点，则 b ＝ 0. 一次函数图象的平移规律： (1) 上、下平移 ：直线 y ＝ kx ＋ b 向上平移 n ( n ＞ 0) 个单位得 到直线 y ＝ kx ＋ b ＋ n ；直线 y ＝ kx ＋ b 向下平移 n ( n ＞ 0) 个单位得到直线 y ＝ kx ＋ b － n ，简记为：上加下减 ( 只 改变 b ) ． (2) 左、右平移 ：直线 y ＝ kx ＋ b 向左平移 m ( m ＞ 0) 个单位 得到直线 y ＝ k ( x ＋ m ) ＋ b ；直线 y ＝ kx ＋ b 向右平移 m ( m ＞ 0) 个单位得到直线 y ＝ k ( x － m ) ＋ b ，简记为：左加 右减 ( 只改变 x ) ． 课堂小结 第 12 章 一次函数 12.2 一次函数 （第 4 课时 一次函数的表达式的求法） 1 课堂讲解 用待定系数法求正比例函数的 表达式 用待定系数法 求一次函数的 表达式 用 对称、平移 、旋转法 求一次函数的表达式 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 学习目标 1 知识点 用待定系数法求正比例函数的表达式 1. 确定正比例函数的表达式，就是确定正比例函数表达 式 y ＝ kx ( k ≠0) 中常数 k 的值． 2. 求正比例函数表达式的 步骤 ：设 → 代 → 求 → 写，即： (1) 设 ： 设 出正比例函数表达式 y ＝ kx(k ≠0) ； (2) 代 ：将所给数据 代入 函数表达式； (3) 求 ： 求出 k 的值； (4) 写 ： 写出 正比例函数的表达式． 例 已知： y 与 2 x 成正比例，且当 x ＝ 3 时， y ＝ 12 ， 求 y 与 x 的函数表达式． 导引： 根据正比例函数的定义，按求正比例函数表达 式的步骤求． 解： 设 y ＝ k · 2 x ( k ≠0) ．因为当 x ＝ 3 时， y ＝ 12 ， 所以 12 ＝ 2×3× k ， 所以 k ＝ 2. 所以所求的函数表达式为 y ＝ 4 x . 总 结 已知正比例函数的函数值随着自变量 增大 1 个单位 时，函数值的增加量是某个数值，比例系数 的值 就是这个增量；当函数值随着自变量增加 1 个 单位时 ，函数值的减少量是某个数值，比例系数就是 这个 减少量的相反数． 例 已知过正比例函数的图象上一点 P (1 ， k ) 引 x 轴的 垂线，正比例函数的图象、垂线与 x 轴 构成的 三角形的面积是 8 ，求正比例函数的表达式． 导引： 由于题目没有说明 k 的符号，因此分两种情 况 讨论． 解： 当 k ＞ 0 时，根据已知得 ×1 · k ＝ 8. 解得 k ＝ 16. 当 k ＜ 0 时，根据已知得 ×1 · ( － k ) ＝ 8. 解得 k ＝－ 16. 因此满足条件的正比例函数的表达式是 y ＝ 16 x 或 y ＝－ 16 x . 总 结 若过正比例函数的图象上一点 P (1 ， k ) 引 x 轴或 y 轴 的垂线，函数的图象、垂线以及 x 轴或 y 轴构成 的三角形 的面积是 n ( n ＞ 0) ，则正比例函数中的比例 系数 k 的值为 ±2 n . 2 知识点 用待定系数法求一次函数的表达式 例 如果知道一个一次函数，当自变量 x =4 时，函 数值 y =5; 当 x =5 时， y =2. 写出函数表达式并画 出它的图象 . 解： 因为 y 是 x 的一次函数，设其表达式为 y = kx + b . 由题意，得 解方程组，得 k = - 3, b =17. 所以函数 表达式为 y = - 3 x +17. 图象如图中的直线 . 1. 定义： 先设出待求的函数表达式，再根据条件确定表 达式中未知的系数，从而得出函数表达式的方法叫做 待定系数法． 2 ． 一般步骤： (1) 设出 含有待定系数的函数表达式； (2) 把已知条件中的自变量与函数的对应值 代入 函数表达 式，得到关于待定系数的方程 ( 组 ) ； (3) 解 方程 ( 组 ) ，求出待定的系数； (4) 将求得的待定系数的值 代回 所设的表达式． 例 已知一次函数的图象经过 ( － 4 ， 15) 、 (6 ，－ 5) 两点，求一次函数的表达式． 导引： 设一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b ，因为它的图 象经过 ( － 4 ， 15) 、 (6 ，－ 5) 两点，所以当 x ＝ － 4 时， y ＝ 15 ；当 x ＝ 6 时， y ＝－ 5. 由此可以得 到关于 k 、 b 的方程组，解方程组即可求出待定 系数 k 和 b 的值． 解： 设一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b . 因为 y ＝ kx ＋ b 的图象经过 ( － 4 ， 15) 和 (6 ，－ 5) 两点， 所以 解得 所以一次函数的表达式为 y ＝－ 2 x ＋ 7. 总 结 求 一次函数的表达式都要经过 设 ， 列 ， 解 ， 还原 四步，设都相同，就是设出一次函数的表达式， 列就是 把已知两点的坐标代入所设表达式，得出一个 二元 一次方程组，解这个方程组，回代所设表达式即 得表达式 ． 例 已知一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象经过点 ( － 2 ， 5) ，并且与 y 轴交于点 P . 直线 y ＝－ x ＋ 3 与 y 轴交于点 Q ，点 P 与点 Q 的纵坐标互为相反 数．求这个一次函数的表达式． 导引： 要确定这个一次函数的表达式，关键是求出 点 P 的坐标． 解： 因为点 Q 是直线 y ＝－ x ＋ 3 与 y 轴的交点， 所以点 Q 的坐标为 (0 ， 3) ． 又因为点 P 与点 Q 的纵坐标互为相反数， 所以点 P 的坐标为 (0 ，－ 3) ． 所以直线 y ＝ kx ＋ b 过 ( － 2 ， 5) ， (0 ，－ 3) 两点， 所以 解得 所以这个一次函数的表达式为 y ＝－ 4 x － 3. 总 结 用 待定系数法 确定函数表达式时，应注意结合 题目 信息，根据不同情况选择相应方法： (1) 如果已知图象经过点的坐标，那么可直接构造 方程 ( 组 ) 求解； (2) 当直线经过的点的坐标未知时，结合题意，先 确定直线 经过的点的坐标，再构造方程 ( 组 ) 求解． 3 知识点 用对称、平移、旋转法求一次函数的表达式 例 〈 内蒙古包头 〉 如图，已知一条直线经过点 A (0 ， 2) ，点 B (1 ， 0) ，将这条直线向左平移 与 x 轴， y 轴分别交于 点 C ，点 D . 若 DB ＝ DC ， 则直线 CD 对应的函数 表达式为 ． y ＝－ 2 x － 2 导引： 本题可以用 平移法 来求解．由题中条件知直线 CD 是由 AB 向左平移得到的，因此可先求出 AB 对应的函数表达式： y ＝－ 2 x ＋ 2 ，再求出 点 C ( － 1 ， 0) 或点 D (0 ，－ 2) ，用平移法来求 CD 对应的函数表达式： (1) 若求点 C ( － 1 ， 0) ， 由 B (1 ， 0)→ C ( － 1 ， 0) 说明直线 AB 向左平移 2 个单位后得到直线 CD ，因此可采用 “ 左加右 减 ” 法求直线 CD 对应的函数表达式， “ 左 ” 表 示向左平移， “ 加 ” 表示将自变量加，即由 y ＝－ 2 x ＋ 2 得 y ＝－ 2( x ＋ 2) ＋ 2 ＝－ 2 x － 2 ； (2) 若求点 D (0 ， － 2) ，由 A (0 ， 2)→ D (0 ，－ 2) 说明直线 AB 向下平 移 4 个单位得到直线 CD ，因此可采用 “ 上加下减 ” 法求直线 CD 对应的函数表达式， “ 下 ” 表示向下平 移， “ 减 ” 表示将直线与 y 轴交点的纵坐标 b 减，即 由 y ＝－ 2 x ＋ 2 得 y ＝－ 2 x ＋ (2 － 4) ＝－ 2 x － 2. 总 结 确定一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ， b 为常数，且 k ≠0) 的表达式的一般 常用方法：一是 待定系数法 ，选取关于 x ， y 的两对对应值代入一 次函数的表达式 y ＝ kx ＋ b ，建立关于 k ， b 的二元一次方程组，从 而求出 k 和 b 的值；二是 平移法 ，直线 y ＝ kx ＋ b 的平移规律可理解 为 “ 左加右减，上加下减 ” ，而在同一直角坐标系内平移直线时， 平移前后两直线表达式中的 “ k ” 保持不变． “ 左加右减 ” 表示直线 y ＝ kx ＋ b 向左、右平移 m 个单位得直线 y ＝ k ( x ± m ) ＋ b ； “ 上加下减 ” 表示直线 y ＝ kx ＋ b 向上、下平移 n 个单位得直线 y ＝ kx ＋ ( b ± n ) ． 例 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与 x 轴、 y 轴分别交于 A , B 两点，点 C （ 0 ， n ）是 y 轴正半轴上一点，把坐 标平面沿 AC 所在直线折 叠，使点 B 刚好落在 x 轴上， 则点 C 的坐标是（ ） A. (0 ， ) B. (0 ， ) C. (0 ， 3 ) D. (0 ， 4) B 解析： 过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ，如图，对于 令 x =0 ，得 y =3 ，令 y =0 ，得 x =4 ，∴ A (4 ， 0), B (0 ， 3), 即 OA= 4 ， OB =3 ，∴ AB =5 ，又∵坐标平面沿 直线 AC 折叠，使点 B 刚好落在 x 轴上，∴ AC 平 分∠ OAB , ∴ CD=CO=n , 由题意易得 BC =3 - n , DA = OA =4 ，∴ BD =5 - 4=1 ，在 Rt △ BCD 中， CD 2 +BD 2 =BC 2 ，即 n 2 +1 2 =(3 - n ) 2 , 解得 n = , ∴点 C 的坐标为 (0, ) . 故选 B. 总 结 一个角沿其平分线进行折叠，其一条边上的点 一定会落在另一条边上，由此知道 AC 为 ∠ OAB 的 平分线，再根据角平分线的性质和勾股定理即可求 得 n 的值． 用待定系数法求一次函数表达式要明确两点： (1) 具备条件： 一次函数 y ＝ kx ＋ b 中有两个不确定的 系数 k ， b ， 需要两个独立的条件 确定两个关于 k ， b 的方程，求得 k ， b 的值．这两个条件通常是两 个点的坐标或两对 x ， y 的值． (2) 确定方法 ：将两对已知变量的对应值分别代入 y ＝ kx ＋ b 中，建立关于 k ， b 的两个方程，通过解 这两个方程，求出 k ， b ，从而确定其表达式． 课堂小结 第 12 章 一次函数 12.2 一次函数 （第 5 课时 一次函数的实际应用） 学习目标 课堂讲解 建立一次函数模型解实际 问题 用一次函数解 含图象的实际问题 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 知识点一： 建立一次函数模型解实际问题 1. 利用函数方法解决实际问题， 关键 是分析题中的 数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将 实际问题抽象为函数模型，即建模，再利用函数 的性质解决问题．一次函数的应用主要有两种类型： (1) 给出了一次函数的表达式，直接应用一次函数的性 质解决问题； (2) 只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的 情境时，应先求出表达式，进而利用一次函 数的性质解决问题． 要点精析： “ 建模 ” 可以把实际问题 转化为 关于一次函数的数 学问题，它的关键是确定表达式，并确定实际问 题中自变量的取值范围． 2 ．分段函数：在自变量的不同取值范围内表示函 数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称 为分段函数． 要点精析： (1) 分段函数从文字中体现出的是两个变量之间的变 化规律发生了变化． (2) 分段函数从图象的角度体现出的是有 折点 ，折点 就是自变量分段的关键点． 例 1 为 节约用水，某城市制定以下用水收费标准：每 户每月 用水不超过 8m 3 时，每立方米收取 1 元 外加 0.3 元的污水处理费；超过 8m 3 时，超过部分每 立方米 收取 1.5 元外加 1.2 元的污水处理费 . 设 一户 每月用水量为 x m 3 ，应缴水费 y 元 . （ 1 ）给出 y 与 x 之间的函数表达式； （ 2 ）画出上述函数图象； （ 3 ）当该市一户某月的用水量为 x =5m 3 或 x =10m 3 时 ， 求 其应缴的水费； （ 4 ）该市一户某月缴水费 26.6 元，求该户这个月 用水量 . 分析： 用水时以 8m 3 为界，分成两段，收费标准不一样： 当 x ≤ 8 时，每立方米收费（ 1+0.3 ）元；当 x >8 时， 超出部分每立方米收费（ 1.5+1.2 ）元 . 另外，收费 时 x 一般取整数，不足 1m 3 的可并入下月计费 . 解： （ 1 ） y 与 x 之间的函数表达式为： （ 2 ）如图，函数图象是一段折线 . （ 3 ）当 x = 5m 3 时， y =1.3×5=6.5 （元）； 当 x = 10m 3 时， y =2.7×10 - 11.2=15.8 （元） . 即当用水量为 5m 3 时，该户应缴水费 6.5 元； 当用水量为 10m 3 时，该户应缴水费 15.8 元 . （ 4 ） y =26.6>1.3×8 ，可见该户这月用水超过 8m 3 ， 因此 2.7 x - 11.2=26.6, 解方程，得 x =14. 即该户本月用水量为 14m 3 . 例 2 已知某山区的平均气温与该山区的海拔关系如下表：   　 　 ( 1) 若海拔用 x ( 米 ) 表示，平均气温用 y (℃) 表示，试 写出 y 与 x 的函数表达式； ( 2) 若某种植物适宜生长在 18 ℃ ～ 20 ℃( 含 18 ℃ 和 20 ℃ ) 的山区，请问该植物适宜种植在海拔为多少 米的 山区？ 海拔 / 米 0 100 200 300 400 … 平均气温 /℃ 22 21.5 21 20.5 20 … 导引： 观察、分析表中数据可知，海拔每增加 100 米，平 均气温就要下降 0.5 ℃. 这符合一次函数的特征， 因此可以建立一次函数的模型解题． (1) 从表格 中获取两对 x 、 y 的对应值，利用待定系数法求一 次函数的表达式； (2) 将问题转化为函数问题， 即求已知函数值所对应的自变量 x 的值． 解： (1) 设所求的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0 ， x ≥0) ． 因为当 x ＝ 0 时， y ＝ 22 ，当 x ＝ 200 时， y ＝ 21 ， 所以所求的函数表达式为 y ＝－ x ＋ 22( x ≥0) ． (2) 由 (1) 知 y ＝－ x ＋ 22( x ≥0) ， 令 y ＝ 18 ，得 x ＝ 800 ，令 y ＝ 20 ，得 x ＝ 400 ， 所以当 18≤ y ≤20 时， 400≤ x ≤800. 所以该植物适宜种植在海拔为 400 米～ 800 米 ( 含 400 米和 800 米 ) 的山区． 表格信息题是中考的热点题，解决表格问题的 关键是从表格中获取正确、易于解决问题的信息； 其 建模的过程 是：先设出函数的表达式 ，再找出 两 对对应值，列出二元一次方程组，求解即可 得到 表达式 ． 总 结 例 3 某通讯公司采用分段计费的方法来计算话费， 月通话时间 x (min) 与相应话费 y ( 元 ) 之间的函数图 象如图 . (1) 分别求出当 0≤ x ＜ 100 和 x ≥100 时， y 与 x 之间的 函数表达式． (2) 月通话时间为 280 min 时，应 交话费多少元？ 导引： 本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图 象可以观察到，当 0≤ x ＜ 100 时， y 与 x 之间是正比 例函数关系；当 x ≥100 时， y 与 x 之间是一次函数关 系，分别用待定系数法可求得它们的表达式． 解： (1) 当 0≤ x ＜ 100 时，设 y ＝ k 1 x ( k 1 ≠0) ， 将 (100 ， 40) 代入得 100 k 1 ＝ 40 ， 解得 k 1 ＝ 0.4 ， 所以正比例函数的表达式为 y ＝ 0.4 x ； 当 x ≥100 时，设 y ＝ k 2 x ＋ b ( k 2 ≠0) ，将 (100 ， 40) 及 (200 ， 60) 分别代入得 所以一次函数的表达式为 y ＝ x ＋ 20. 所以 y ＝ (2) 因为 280 ＞ 100 ，所以将 x ＝ 280 代入 y ＝ 0.2 x ＋ 20 中， 得 y ＝ 0.2×280 ＋ 20 ＝ 76. 即月通话时间为 280 min 时，应交话费 76 元． 分段 函数中，自变量在不同的取值范围内的表达 式不同，在解决问题时，要特别注意自变量的取值范围的变化．分段函数在水费、电费、商品促销等领域都有广泛应用．本题考查一次函数及识图能力，体现了 数形结合思想 ．解决问题的关键是由图象 挖掘 出有用的信息，利用 待定系数法 先求出函数表达式，再解决问题． 总 结 知识点二： 用一次函数解含图象的实际问题 例： 某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地 H 处旅游 . 当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到 H 地旅游的价格都是每人 100 元 . 经联系协商， 甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单 位先交 1 000 元后，给予每位游客六折优惠 . 问该单位选择哪家旅行社，使其支付的旅游总费用较少？ 分析： 假设该单位参加旅游人数为 x ，按甲旅行社的优 惠条件，应付费用 80 x 元；按乙旅行社的优惠 条件，应付费用 (60 x + 1 000) 元 . 问题变为比较 80 x 与 60 x + 1 000 的大小了 . 解法一 : 设该单位参加旅游人数为 x, 那么如选甲旅行社， 应付 80 x 元，选乙旅行社，应付 (60 x + 1 000 ) 元 . 记 y 1 = 80 x, y 2 = 60 x + 1 000. 在同一直角坐标系 中作出两个函数的图象（如图）， y 1 与 y 2 的图 象交于点（ 50,4 000 ） . 观察图象，可得： 当人数为 50 时，选择甲或乙旅行社费用都一样； 当人数为 0~49 时，选择甲旅行社费用较少； 当人数为 51~100 时，选择乙旅行社费用较少 . 解法二： 设选择甲、乙旅行社所需费用之差为 y ，则 y = y 1 - y 2 =80 x - (60 x +1000)= 20 x - 1 000 . 画一次函数 y =20 x - 1 000 的图象，如图， 它与 x 轴交点为（ 50,0 ） . 由图可知： (1) 当 x =50 时 ， y =0, 即 y 1 = y 2 ，甲、乙两家旅 行社的费用一样； (2) 当 x >50 时 ， y >0, 即 y 1 > y 2 , 乙旅行社的费用较低 ; (3) 当 x 50 时，选乙旅行社费用较 少；当 80 x - ( 60 x +1 000 )