最新沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形PPT

第 15 章 轴对称图形与等腰三角形 15.1 轴对称图形 如果 沿着 折叠 ，直线两旁的部分能够 ， 那么这个 图形叫做轴对称图形， 这条直线就是它的 对称轴 。 一个图形 一条直线 完全重合 1. 下列图形是轴对称图形吗？如果是你能找出对称轴吗？你是怎样判别的？ 合作学习 折叠可以判断一个图形是不是轴对称图形 2 、请找出下列哪些图形是轴对称图形 ? 并找出它的对称轴各有几条？ 一般等腰三角形 等腰梯形 正方形 一般长方形 等边三角形 一般三角形 圆 一般梯形 一般平行四边形 课 内 练 习 3. 在 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 这几个数字中，哪几个是轴对称图形？ 0 3 8 4.你能说出 一些 是轴对称图形 的汉字 吗？ 中 田 王 干 平面 内 两个图形 在 一条直线 的两旁，如果沿着这条直线折叠，这两个图形能够 完全重合 ，那么称这 两个图形 成 轴对称 。 这条直线叫做 对称轴 。 折叠后重合的两点叫做 对应点（对称点）。 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 下列各组中的两个图形是否关于给定的直线对称？ 巩固练习 轴对称图形 轴对称 区别 联系 对两个图形而言 只有一条对称轴 对一个图形而言 至少有一条对称轴 2、若将成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形沿对称轴看成两个图形，那么这两个图形关于这条对称轴成轴对称 ． 1 、沿某条直线对折后都能完全重合； 说说轴对称与轴对称图形的区别与联系？ 交流与讨论 请你用 2 种方法，将如图的四块小正方形纸板拼成一个大的正方形，并且使拼成的大正方形是至少有两条对称轴的轴对称图案。 如果你是设计师 小结： 谈谈本节课你学到的知识有哪些？ 有什么感受 ? 第 15 章 轴对称图形与等腰三角形 15.2 线段的垂直平分线 第一环节 创设情境 导入新课 如图， A ， B 表示两个仓库，要在 A ， B 一侧的河岸边 建 造一 个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在 什么 位置 ? 第二环节 性质探索与证明 命题： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等 . 如果 ， 那么 . 分析命题的条件和结论 一个点在线段的垂直平分线 上 这个点到这条线段两个端点的距离相等 2 、根据条件和结论写出已知和求证 已知： 直线 l ⊥ AB ，垂足是 C ， AC = BC ， P 是 l 上的任意一点． 求证： PA = PB. ∵ l ⊥ AB （ 已知 ） ， ∴∠ PCA =∠ PCB = 90° （ 垂直 定义） . ∵ AC = BC （ 已知 ） , PC = PC （ 公共边 ） , ∴△ PCA △ PCB ( SAS ) . ∴ PA = PB ( 全等三角形的对应边相等 ) . _ P B A l P . C 如果 一 个点在线段的垂直平分线 上 ， 那么 这个点到这条线段两个端点的距离 相等 . 证明 ： 3、 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的距离相等. 解：如图 . ∵ l 是 AB 的垂直平分线,点 P 是直线 l 上一点 , ∴ PA = PB . 或写成：∵ PC ⊥ AB , AC = BC ， ∴ PA = PB . B _ P A l P C 例：用几何推理符号语言怎么表示性质定理？ 4 、结合以上内容，从图形中你还能得到什么？ B _ P A l P C △ PAB 是等腰三角形、 ∠ A = ∠ B 、“三线合一”、线段的 垂直平 分 线 是它的一条 对称轴等 . 5 、应用新知，反馈 练习 （ 1 ）如图，已知 AB 是线段 CD 的垂直平分线， E 是 AB 上的一点， 如果 EC =7 cm ，那么 ED = ； 如果 ∠ ECD =60° ，那么 ∠ EDC = . C A D B E 7 cm 60° （ 2 ）已知：如图， AB 是线段 CD 的垂直平分线， E ， F 是线段 AB 上两 点 . 求证：∠ ECF =∠ EDF. F C A D B E 证明 ： ∵ AB 是线段 CD 的垂直平分线， （已知） ∴ EC = ED , FC = FD . （ 线段垂直平分线 上的点到 这条线段两个端点的距离相等 ） 又 ∵ EF = EF ， （公共边） ∴ ∠ ECF = ∠ EDF . （全等三角形 的对应角相等） ∴ △ EFC ≌ △ EFD . （ SSS ） 第三环节 逆向思维，探索判定 你能写出上面定理的逆命题吗？ 如果 一 个点到一条线段两个端点的距离相等， 那么 这个 点在这条线段的垂直平分线上 . 简写成： 到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂 直平分线上 . 定理 ：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 . 如果 ， 那么 . 一个点在一条线段的垂直平分线上 这个点到这条线段两个端点的距离相等 这是一个真命题吗？如果是真命题，请你加以证明 . B P A 已知： PA = PB ． 如果 一个点到一条线段两个端点的距离相等， 那么 这个点在这条线段的垂直平分线 上 . C 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 ． 4 、线段垂直平分线的判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的 点 ， 在这 条线段的 垂直平分线上. ∵ PA = PB , ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线 上 . B P A 用符号语言表示： 在这里只能确定 这一个点 P ，在线段 AB 的垂直平分线上， 但不能说明经过 P 点的直线就是线段 AB 的垂直平分线 . 第四环节 实际应用，归纳提高： 1 、已知：如图，在△ ABC 中， AB = AC，O 是 △ ABC 内一点， OB = OC . 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC ． 证明 ： ∵ AB = AC （ 已知 ）， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线 上 （ 线段 BC 的垂直平分线判定 定理） . ∵ OB = OC （ 已知 ） ， ∴点 O 在线段 BC 的垂直平分线 上 （ 线段 BC 的垂直平分线判定定 理 ） ， ∴直线 AO 垂直平分线段 BC （ 两点确定一条直线 ） ． 归纳 ：逆定理可以作为线段垂直平分线的判定，但必须是经过满足条件的（ ）个点的直线才是线段的垂直平分线 . 两 2、观察与思考 ： （ 1 ）观察下面用尺规作线段垂直平分线的步骤， 思考这种作法的 依据 . 步骤一：分别以点 A ， B 为圆心，以固定长 ( 大于 AB 长的一半 ) 为 半径画弧，两弧分别交于点 E ， F . 步骤二：过点 E ， F 作直线，则直线 EF 就是线段 AB 的垂直平分线 . 尺规作线段垂直平分线的依据： 到一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上 . 第五环节：课堂小结，知识升华 通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？ 1、线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 2、线段垂直平分线的判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 3、用 几何符号语言 对线段垂直平分线的性质定理及其定理进行了 证明 . 4、逆定理作为线段垂直平分线的判定，但必须是经过满足条件 的（ 两 ）个点的直线才是线段的垂直平分线. 5、通过对定理的证明体会理解证明的 严谨性 ，并运用两个定理解决简单的实际 问题等 . A B C          M N   实际上线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的 所有点 的 集合 . 1 、在△ ABC 中，∠ A =50 0 ， AB = AC ， AB 的 垂直平分 线交 AC 于点 D， 则∠ DBC 的度数为 . 2 、如图，在△ ABC 中，已知 AC =27 ， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D， 交 AC 于点 E ，△ BCE 的周长等于 50, 求 BC 的长 . 解： ∵ AB 的垂直平分线为 DE ， ∴ EA = EB . （线段垂直平分线性质定理） ∵△ BCE 的周长= BC + EC + EB , ∴△ BCE 的周长= BC + EC + EA . (等量代换) ∵ AC = EC + EA =27 , ∴△ BCE 的周长= BC + AC =50 . ∴ BC= 50-27=23 . 15 ° A B C D E 第六环节 : 达标检测，知识反馈 3 、如图，在△ ABC 中， AB = AC ,∠ BAC =120°, AB 的 垂直平分线交 AB 于点 E ，交 BC 于点 F ，连接 AF ， 求∠ AFC 的度数 . 解： ∵ AB = AC ,∠ BAC =120° ∴∠ B =∠ C =(180° - 120°)/2=30° . （等边对等角） ∵ AB 的垂直平分线 EF , ∴ FB = FA , （线段垂直平分线性质定理） ∴∠1=∠ B =30° . （等边对等角） 又∵∠ AFC =∠1 +∠ B , （三角形外角和定理） ∴∠ AFC =30°+30°=60° . A B C F E 1 2 C B P A 已知 ： PA = PB ．求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 证明： 过点 P 作垂线 PC ⊥ AB ， 垂足为点 C ， ∴ P C 是△ PAB 的 高 . ∵ PA = PB （ 已知 ） ， ∴ △ PAB 是等腰三角形 . ∴ PC是 △ PAB 的 中线 （ 三线合一 ） , ∴ AC = BC ， ∴ PC 是 AB 的垂直平分线 , ∴ P 点在 AB 的垂直平分线 PC 上 ( 垂直平分线定义 ) ． 第七环节 逆向思维，探索判定 证法 1 ： 证法 2 ： 证明： 作△ PAB 的中线 PC 所在直线 ， ∴ PC 是△ PAB 的 中线 （作法知） . ∵ PA = PB （已知） ， ∴ △ PAB 是等腰三角形 , ∴ PC 是△ PAB 的高 （三线合一） , ∴ PC ⊥ AB ， ∴ P 点在 AB 的垂直平分线 PC 上（ 垂直平分线定义） ． B P A C 证法 3 ： 证明： 作△ PAB 的角平分线 PC 所在直线 ， ∵ PA = PB ， （已知） 又∵ PC 是 △ PAB 的角平分线， （作法知） ∴ AC = BC , PC ⊥ AB. （等腰三角形中“三线合一 ”） ∴ P 点在 AB 的垂直平分线上． B P A C 第 15 章 轴对称图形与等腰三角形 15.3 等腰三角形 ( 第 1 课时 ) 共同特点 如 图，把 一张长方形纸片，按图中的虚线对折 , 剪下一个角 , 再把它展开 , 得到一个什么样的三角形？ 操作 有 两条边相等 的 三角形 叫做等腰三角形 . 等腰三角形中，相等的两边都叫做 腰 ，另一边叫做 底边 ，两腰的夹角叫做 顶角 ，腰和底边的夹角叫做 底角 . A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 还记得吗： 做一做 ： 把剪出的等腰三角形纸片标上字母： 三角形的顶角顶点记为 A ，底角顶点记为 B ， C ，折痕为 AD . B A C D A B C D A B ( C ) D 沿折痕折叠你发现图中有哪些相等的线段或角？ （ 1 ）等腰三角形是轴对称图形 （ 2 ）∠ B =∠ C （ 3 ） BD = CD （ 4 ）∠ ADB = ∠ ADC = 90° （ 5 ）∠ BAD =∠ CAD C A B D 问题 1: 上述结论（ 2 ）用文字如何表述？ 等腰三角形的两个底角相等 . 问题 2: 把上述结论（ 3 ） , （ 4 ） , （ 5 ）用一句话归纳 . 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边 . 等腰三角形的两个底角 相等 . 已知 ：在 △ ABC 中， AB = AC . 求证： ∠ B = ∠ C . A B C 猜想 证明： 作顶角的平分线 AD . 在 △ BAD 和 △ CAD 中， AB = AC ( 已知 ), ∠1= ∠2( 辅助线作法 )， AD = AD ( 公共边) , ∴ △ BAD ≌ △ CAD (SAS). ∴ ∠ B = ∠ C ( 全等三角形的对应角相等). 已知 ：在△ ABC 中， AB = AC . 求证： ∠ B = ∠ C . A B C 1 2 证明：等腰三角形的两个底角 相等 . 作顶角的平分线 D 证明： 作底边中线 AD . 在△ BAD 和△ CAD 中， AB = AC ( 已知 ), BD = CD ( 辅助线作法 )， AD = AD ( 公共边) , ∴ △ BAD ≌ △ CAD (SSS). ∴ ∠ B = ∠ C ( 全等三角形的对应角相等). 已知 ：在△ ABC 中， AB = AC . 求证： ∠ B = ∠ C . A B C D 证明：等腰三角形的两个底角相等 作底边中线 证明： 作底边高线 AD . 在 Rt△ BAD 和 Rt △ CAD 中， AB = AC ( 已知 ), AD = AD ( 公共边) , ∴ Rt△ BAD ≌ Rt△ CAD (HL). ∴ ∠ B = ∠ C ( 全等三角形的对应角相等). 已知 ：在△ ABC 中， AB = AC . 求证： ∠ B = ∠ C . A B C D 证明：等腰三角形的两个底角相等 作底边的高线 等腰三角形的性质 性质 1 等腰三角形的两个底角相等 （简写成 “等边对等角” ） 性质 2 等腰三角形的 顶角平分线 、 底边上 的中线 、 底边上的高 互相重合. （简写成 “三线合一” ） 在△ ABC 中， AB = AC = BC ， 利用已有的知识，如何推导出 ∠ A ， ∠ B ， ∠ C 的度数. A C B 探究 推论： 等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于 60° ⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______. 巩固练习 ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角 为 __________________. ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为____ _ _ ___ . ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④0°＜顶角＜180° 结论 :在等腰三角形中, 40° 35°，35° 70°,40°或55°,55° ⑤0°＜底角＜90° 已知：如图 ，在△ ABC 中， AB = AC , ∠ BAC =120 º , 点 D ， E 是底边上两点，且 BD = AD ， CE = AE . 求 ∠ DAE 的度数 . A D E B C 解： ∵ AB = AC ,( 已知 ) ∴ ∠ B = ∠ C. ( 等边对等角 ) ∴ ∠ B = ∠ C =1/2×(180º-120º)=30º. 又 ∵ BD = AD , ∴ ∠ BAD = ∠ B =30º.( 等边对等角 ) 同理 ∠ CAE = ∠ C =30º. ∴ ∠ DAE= ∠ BAC - ∠ BAD - ∠ CAE = 120º-30º-30º=60º . 例 ∵ AB = AC ， AD = DC ， AE = EB ，∴ DC = BE ，∠ DCB =∠ EBC .∵ BC = CB ， ∴△ BDC ≌ △ CEB （SAS）.∴ BD = CE . 已知： AB = AC ， AD = DC ， AE = EB . 求证： BD = CE . E O D C B A 证明： 证明：等腰三角形两腰上的中线相等 . E D C B A 已知： AB = AC ， CE ⊥ AB ， BD ⊥ AC . 求证： BD = CE . 证明： ∵ AB = AC ， CE ⊥ AB 于点 E ， BD ⊥ AC 于点 D ，∴∠ AEC =∠ ADB =90° . ∵ AB = AC ，∠ A =∠ A ，∵△ ACE ≌ △ ABD ，∴ CE = BD . 证明：等腰三角形两腰上的高相等 . 小结 本节课你学到了什么? 等腰三角形的性质 文字叙述 几何语言 等腰三角形的两底角相等（简称 “ 等边对等角 ” ） ∵ AB = AC ， ∴∠ B =∠ C. 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边（简称 “ 三线合一 ” ） ∵ AB = AC ， ∠1=∠2 ， ∴ AD ⊥ BC ， BD = CD. 第 15 章 轴对称图形与等腰三角形 15.3 等腰三角形 （ 第 2 课时 ） 1 、写出“等腰三角形两个底角相等”的逆命题； 2 、这个逆命题是真命题吗？ 思考 ∴ AC = AB . ( 等角对等边 ) 等腰三角形的判定定理： 在△ ABC 中， ∵∠ B =∠ C, ( 已知 ) 用符号语言表示为： A B C 你能证明这一结论吗？ 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 . （简称“ 等角对等边 ”） A B C D 已知：在 △ ABC 中，∠ B =∠ C . 求证： AB = AC . 证明： 作∠ BAC 的平分线 AD. 在 △ BAD 和 △ CAD 中， ∠1=∠2 ， ∠ B =∠ C ， AD = AD ， ∴ △ BAD ≌ △ CAD . （ AAS ） ∴ AB = AC . （全等三角形的对应边相等） 2 1 在△ ABC 中，已知 ∠ A ＝ 40° ， ∠ B ＝ 70°. 判断△ ABC 是什么三角形，为什么？ A B C 40° 70° 70° 检测： 问题 1 ： 已知：如图 ，在 △ ABC 中，∠ A =∠ B =∠ C , 求证： AB = AC = BC . A B C 证明：在 △ ABC 中 , ∵∠ A =∠ B , （已知） ∴ BC = CA . （ 等角对等边） 同理 CA = AB . ∴ BC = CA = AB . 推论1：三个 角都相等 的三角形是 等边三角形 问题 2 ： 已知 ：在 △ ABC 中， AB = AC ，∠ A =60 0 . 求证： AB = AC = BC . 证明 ：在 △ ABC 中 , ∵ AB = AC ， ∴∠ B =∠ C . （等边对等角） ∵∠ A =60 0 , ∴∠ B =∠ C =60 0 . ∴ AB = AC = BC . A B C 推论 2 如果一个等腰三角形中有一个角是 60° ，那么这个三角形是 等边三角形 . 顶角等于 60° 已知 ：在 △ ABC 中， AB = AC ，∠ B =60 0 . 求证： AB = AC = BC. A B C 证明 ：在 △ ABC 中 , ∵ AB = AC ， ∴∠ B =∠ C. （等边对等角） ∵∠ B =60 0 , ∴∠ C =60 0 , ∴∠ A =60 0 . ∴ AB = AC = BC . 底角等于 60° 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 1 、如 图，是 屋架设计的一部分，其中 BC ⊥ AC ， DE ⊥ AC ，点 D 是 AB 的中点，∠ A =30° ， AB =7.4 m ，求 BC , DE 的长 . A B C D E E 2 1 A B C D ③ 如果 AD =4 cm ，那么 1. 已知 : 如图 ,∠ A =36°, ∠ DBC =36° ，∠ C =72°. ①∠1= , ∠2= . ② 图中有 个等腰三角形 . BC= cm. 72° 36° 3 4 个等腰三角形 . ④ 如果过点 D 作 DE ∥ BC , 交 AB 于点 E , 那么图 中有 5 基础练习： 2. 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是 等腰三角形 . A B C D E 1 2 如图，∠ CAE 是 △ ABC 的外角，∠ 1=∠2 ， AD ∥ BC . 求证： AB = AC . 分析： 从求证看 , 要证 AB = AC ，需证∠ B =∠ C . 从已知看 , 因为∠ 1=∠2 ， AD ∥ BC ， 可以找出∠ B 与∠ C 的关系 . 已知： 基础练习： 证明： ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ 1=∠ B （两直线平行，同位角相等）， ∠ 2=∠ C （两直线平行，内错角相等） . ∵∠ 1=∠2 ， ∴∠ B =∠ C ， ∴ AB = AC （等角对等边） . A B C D E 1 2 基础练习： 如图，∠ CAE 是 △ ABC 的外角， ∠ 1=∠2 ， AD ∥ BC . 求证： AB = AC. 2. 已知： B A D C 3. 已知：如图， AD ∥ BC ， BD 平分∠ ABC . 求证 ： AB = AD. 基础练习： 证明：∵ AD ∥ BC , （已知） ∴∠ ADB =∠ DBC . （两直线平行，内错角相等） 又∵ BD 平分∠ ABC . （已知） ∴ ∠ ABD =∠ DBC . （角平分线定理） ∴∠ ABD =∠ ADB . （等量代换） ∴ AB = AD . （等角对等边） 4. 已知：如图 , DE ∥ BC , ∠1=∠2. 求证： BD = CE . A B C D E 1 2 证明： ∵ ∠1=∠2, ( 已知 ) ∴ AE = AD . ( 等角对等边 ) ∵ DE ∥ BC , ( 已知 ) ∴ ∠1=∠ B , ∠2=∠ C . ( 两直线平行 , 同位角相等 ) ∴ ∠ B =∠ C . （等量代换） ∴ AB = AC . ( 等角对等边 ) ∴ AB - AD = AC - AE , （等式性质） 即 BD ＝ CE ． 基础练习： 5. 如图 , C 表示灯塔 , 轮船从 A 处出发以每小时 18 海里 的速度向正北 ( AN 方向 ) 航行 ,2 时后到达 B 处 , 测得 C 在 A 的北偏西 40° 方向 , 并在 B 的北偏西 80° 方向 . 求 B 处到灯塔 C 的距离 . A B C N 1 解 ∠1=∠ A +∠ C ， ∠1=80° ， ∴∠ A =∠ C =40°. ∵∠ A =40°, ∴ AB = BC . （ ） ∵ AB = 18×2=36, ∴ BC =36. 答 : B 处到灯塔 C 的距离是 36 海里 . 等角对等边 40º 基础练习： 本节课学习了什么内容？ 1 、等腰三角形的判定定理 2 、推论 1 3 、推论 2 4 、判定定理及两条推论的应用 5 、一个定理 第 15 章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 角的平分线（第 1 课时） 温故知新 什么是角平分线？ 问题：怎样作∠ AOB 的平分线呢？ A B O 折纸法 度量法 尺规作图 A B O A O E B C P D 将 ∠ AOB 对折 , 再折出一个直角三角形 ( 使第一条折痕为斜边 ), 然后展开 , 观察两次折叠形成的三条折痕 , 你能得出什么结论 ? 可以看一看,第一条折痕 是∠ AOB 的平分线 OC ,第二次折叠形成的两条折痕 PD , PE 是角的平分线上一点到 AOB 两边的距离,这两个距离相等. 折一折 作法 ： 1 、以 __ _ _ 为圆心， ______ 长为半径作圆弧， 与角的两边分别交于 M 、 N 两点； 2 、分别以 为圆心， 大于 的长为半径 作弧，两条圆弧交于 ∠ AOB 内一点 ____ ； 3 、作射线 ， 就是所求作∠ AOB 的 平分 线 . 点 O 任意 M ， N P OP OP 尺规作图 A Ｂ N M P Ｏ 为什么 OP 是角平分线呢？ B A N M P Ｏ 已知： OM = ON ， PM = PN . 求证： OP 平分∠ AOB . 证明：在△ OMP 和△ ONP 中， OM = ON （ 已知 ）， MP = NP （ 已知 ）， OP = OP （ 公共边 ）， ∴ △ OMP ≌△ ONP . （ SSS ） ∴∠ MOP =∠ NOP . 即 OP 平分∠ AOB . 想一想 大胆挑战 A B O P 当∠ AOB =180 ° 时，角平分线怎么画？ 已知 ：直线 AB 及一点 C ， 求作：直线 AB 的垂线，使它经过点 C . 解：分两类情况 作图 . A B C D E F 1. 当点 C 在直线 AB 上 时， 作平角 ACB 的平分线 CF ， 直线 CF 就是所求的垂线 . 小试牛刀 经过已知直线上一点 作这条直线的垂线 . 经过已知直线外 一点作这条直线 的垂线 . 作法： 1) 任意取一点 K ，使 K 和 C 在 AB 的两旁； 2) 以点 C 为圆心， CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和 E ; 3) 分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 的长为半径 作弧，两弧交于点 F ； 4) 作直线 CF . 直线 CF 是所求的垂线 . 2. 当 C 在直线 AB 外时 . A B C D E F K 探索 如 图，是 一个平分角的仪器 , 其中 AB = AD , BC = CD . 将点 A 放在角的顶点 , AB , CD 沿着角的两边入放下 , 沿 AC 画一条射线 AE , AE 就是角平分线 . 你能说明它的道理吗 ? 经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？ 在△ ADC 和△ ABC 中 , AB = AD , AC = AC , DC = BC , ∴ △ ADC ≌△ ABC .( SSS ) ∴∠ DAC =∠ BAC , AE 平分 ∠ BAD . 证明： 尺规作角的平分线 观察领悟作法，探索思考证明方法： A Ｂ Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 画法：   １．以 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于 点 M ，交 OB 于点 N ．   ２．分别以 M ， N 为圆心、 大于 1/2 MN 的长为半径作弧．两弧在∠ AOB 的内部交于点 C ． ３．作射线 OC ． 射线 OC 即为所求． 老师提示 : 作角平分线是最基本的尺规作图 , 这种方 法要确实掌握 . A Ｂ Ｍ Ｎ Ｃ 为什么 OC 是角平分线呢？ O 想一想： 已知： OM = ON ， MC = NC . 求证： OC 平分∠ AOB . 证明：在△ OMC 和△ ONC 中， OM = ON ， MC = NC ， OC = OC ， ∴△ OMC ≌△ ONC . （ SSS ） ∴∠ MOC =∠ NOC . 即 OC 平分∠ AOB . 探索 ２ 将角 AOB 对折 , 再折出一个直角三角形 ( 使第一条折痕为斜边 ), 然后展开 , 观察两次折叠形成的三条折痕 , 你能得到什么结论 ? O A B A O B E D 操作、测量 : OC 是∠ AOB 的平分线，点 P 是射线 OC 上的任意 一点 . 1. 操作测量：取点 P 的三个不同的位置，分别过点 P 作 PD ⊥ OA ， PE ⊥ OB , 点 D ， E 为垂足，测量 PD ， PE 的长 . 将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段 PD 与 PE 的大小关系， 写出结论： _______ . PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD = PE P D E 结论：在角平分线上的点到角的两边的距离 相等 . 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知： OC 是∠ AOB 的平分线，点 P 在 OC 上， PD ⊥ OA ， PE ⊥ OB ，垂足分别是 D ， E . 求证： PD = PE . A O B P E D C 已知： OC 平分∠ AOB ，点 P 在 OC 上， PD ⊥ OA 于 D ， PE ⊥ OB 于点 E . 求证： PD = PE. A O B E D P C 例 1 ： ∵ PD ⊥ OA ， PE ⊥ OB , 证明： ∴ ∠ PDO =∠ PEO = 90°. 在△ POD 和 △ PEO 中 ,   ∴ △ PDO ≌△ PEO . （ AAS ）   ∠ PDO ＝∠ PEO , ∠ AOC ＝∠ BOC , OP = OP , ∴ PD ＝ PE. 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 到角的两边的距离相等的点在角平分线上 . 结论： 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 . ∵ QD ⊥ OA ， QE ⊥ OB ， QD ＝ QE , ∴点 Q 在∠ AOB 的平分线上． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . ∵ QD ⊥ OA , QE ⊥ OB , 点 Q 在∠ AOB 的平分线上 , ∴ QD ＝ QE. 用数学语言表示为： 用数学语言表示为： 思考： 要在 Ｓ 区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处 500 米，应建在何处 ？ （ 比例尺 1 ： 20 000 ） Ｓ Ｏ 公路 铁路 例 2 已知：如图，△ ABC 的角平分线 BM ， CN 相交于点 P . 求证：点 P 到三边 AB ， BC ， CA 的距离 相等 . 证明：过点 P 作 PD ， PE ， PF 分别垂直于 AB ， BC ， CA ，垂足为 D ， E ， F . ∵ BM 是△ ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上 ， ∴ PD = PE . （ 在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE = PF . ∴ PD = PE = PF . 即点 P 到边 AB ， BC ， CA 的距离 相等 . D E F A B C P M N 练习：如图，△ ABC 的∠ B 的外角的平分线 BD 与∠ C 的外角的平分线 CE 相交于点 P ．求证：点 P 到三边 AB ， BC ， CA 所在直线的距离相等． Ａ Ｃ Ｄ Ｅ F G H Ｂ Ｐ 及画一条已知直线的垂线 . 2 . 角平分线 的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3 . 角平分线 的 判定定理： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上 . 小 结 1. 画一个已知角的角平分线 已知 : 如图 , 在△ ABC 中 , AD 是它的角平分线 , 且 BD = CD , DE ⊥ AB , DF ⊥ AC , 垂足分别是 E , F . 求证 : EB = FC . B A E D C F