沪科版七年级数学上册第3章一次方程与方程组

第 3 章 一次方程与方程组 1 一元一次方程及其解法 1 一元一次方程 1 一元一次方程及其解法 问题 一辆客车和一辆卡车同时从 A 地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是 70km/h ，卡车的行驶速度是 60km/h ，客车比卡车早 1h 经过 B 地， A,B 两地间的路程是多少？ 设A、B两地相距x km,则根据题意得： 1. 算术方法解决应怎样列算式： 2. 如果设 A,B 两地相距 x km ，那么客车从 A 地到 B 地的行驶时间为 ，货车从 A 地到 B 地的行驶时间为 。 议一议 3. 客车与货车行驶时间的关系是 : 4. 根据上述相等关系，可列方程为 。 5 、对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？ 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程 . 判断方程的条件 1、含有未知数 2、是等式 讨论交流 算术方法 : 列出的算式表示解题的计算过程 , 其中只能 用已知数 . 对于较复杂的问题 , 列算式比较困难 . 列方程 ( 代数方法 ): 方程是根据题中的等量关系列出的等式 . 其中既含已知数 , 又含未未知数 . 使问题的已知量与未知量之间的关系很容易表示 , 解决问题就比较方便 . 什么叫方程 ? 含有未知数的等式叫 方程。 什么是方程的解呢？ 使得方程左右两边相等的未知数的值叫做 方程的解 . 1、x=2是2x=4的解吗？ 2、x=3是2x-1=7的解吗？ 用一根长为 24cm 的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？（只列方程） 等量关系：正方形的周长=边长 ×4 4x=24 例 一台电脑已经使用 1700h ，预计每个月再使用 150 h ，经过多少个月这台电脑的使用时间达到规定的检修时间 2450 h ？（只列方程） 已知量 未知量 等量关系 原来使用时间+还可以使用的时间=规定的检修时间 1700+150 x =2450 1、已经使用了1700 h; 2、预计每月再使用150 h；3、这台电脑规定检修时间是2450 h 例 这台电脑还能用几个月达到规定的检修时间 我校女生人数占全体学生数的 52% ，比男生多 80 人，我们学校有多少学生？（只列方程） 等量关系： 女生数--男生数=80 或 女生数=男生数+80 或 女生数-80=男生数 52％ x -(1-52％) x= 80或 52％ x= (1-52％) x+ 80或 52％ x -80=(1-52％) x 例 构建方程解决实际问题的关键是什么？ 一般步骤又是什么呢？ 找等量关系 分析题意 找等量关系 设未知数 根据等量关系列方程 以下五个方程具有什么样的共同特征呢？  2 x +5=27  1700+150 x =2450  52％ x -(1-52％) x =80 ④ 4 x =24 1、都只含有一个未知数 ; 2、未知数的次数都是1 一元一次方程的概念： 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1 ，这样的方程叫做一元一次方程。 b a a = b 右 左 你能发现什么规律 ? b a a = b c 右 左 学科网 c b a 右 左 a = b a c b 右 左 a = b c b c a 右 左 a = b c b c a a+c b+c = 右 左 有什么规律？ a = b c c a b 右 左 a = b c 右 左 学科网 b a a = b c 右 左 b a a = b 右 左 b a a = b a-c b-c = 右 左 你能发现什么规律 ? b a a = b 等式的性质１：等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． b a 右 左 a b 2a = 2b a = b b a a = b 右 左 b b b b b b a a a a a a C 个 C 个 ac = bc b a 右 左 a = b 回答： (1) 从 x=y 能否得到 x+5=y+5 ？ 为什么 (2) 从 x=y 能否得到 = ? 为什么？ x 9 y 9 等式的性质２ ：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为０的数，结果仍相等． 可以，由等式性质1可得 可以，由等式性质2可得 (3)从a+2=b+2能否得到a=b？为什么？ 中学学科网 (4)从-3a=-3b能否得到a=b？为什么？ 可以，由等式性质1可得 可以，由等式性质2可得 用等式的性质解方程 解:（1）两边减7得 （ 2 ） 两边同时除以 -5 得 解：两边加5，得 化简得： 两边同乘-3，得 2 求解一元一次方程 合并同类项 约公元 825 年，中亚细亚数学家阿尔 — 花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程。这本书的拉丁译本为 《 对消与还原 》 。“ 对消 ”与“ 还原 ”是什么意思呢？ 实际问题 一元一次方程 设未知数　　　列方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的 相等关系 列出方程，是解决实际问题的一种数学方法 . 　　 某校三年共购买计算机 140 台，去年购买数量是前年的 2 倍，今年购买数量又是去年的 2 倍．前年这个学校购买了多少台计算机？ 分析 : 设前年这个学校购买了计算机 x 台，则去年购买计算机 2x 台，今年购买计算机 4x 台， 根据问题中的相等关系 ： 前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝ 140 台 列得方程 x + 2 x +4 x = 140 思考：怎样解这个方程呢？ 分析：解方程，就是把方程变形，变为 x = a （ a 为常数）的形式。 合并同类项 系数化为 1 想一想：上面解方程中“ 合并同类项 ”起了什么作用？ 根据等式的性质２ 　 合并同类项起到了“ 化简” 的作用，即把含有未知数的项合并，从而把方程转化为 ax=b ，使其更接近 x=a 的形式 ( 其中 a,b 是常数 ) 。 合并同类项的作用： 实际问题 一元一次方程 设未知数 列方程 思考：如何列方程？分哪些步骤？ 一 . 设未知数 二 . 分析题意找出等量关系 三 . 根据 等量关系 列方程 解下列方程 解 ： 例2 有一列数，按一定规律排成1，-3, 9 ，-27, 81，-243，...其中某三个相邻数的和是-1701，这三个数各是多少？ 解：后面一个数都是前一个数的 -3 倍，设某三个相邻的数第一个是 x ，则第二、第三个分别是 -3x , 9x，所以 x - 3x+9 x= -1701 解得 x = -243 解下列方程 请欣赏一首诗： 太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼； 一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中； 剩下十五围着我，共有多少请算清。 你能列出方程来解决这个问题吗？ 一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是 33 。求这个数。 解：设这个数是 x ，则： 移项 把一些图书分给某班同学阅读，如果每人 3 本，则剩余 20 本；若每人 4 本，则还缺少 25 本，这个班的学生有多少人？ 问题 分析：设这个班有 x 名学生，这批书共有（ 3x+20 ）本这批书共有（4x － 25）本。 表示同一个量的两个不同的式子相等（即：这批书的总数是一个定值） 3x+20=4x － 25 1、使方程右边不含 x 的项 2 、使方程左边不含常数项 等式两边减4x，得： 3x+20 － 4x =4x － 25 － 4x 3x+20 － 4x = － 25 3x+20 － 4x － 20 = － 25 － 20 等式两边减 20 ，得 ： 3x － 4x = － 25 － 20 3x － 4x = － 25 － 20 3x+20 = 4x － 25 上面方程的变形，相当于把原方程 左边 的 20 变为－ 20 移到 右边 ，把 右边 的 4x 变为－ 4x 移到 左边 . 把某项从等式一边移到另一边时有什么变化？ 解方程中“移项”起了什么作用 ？ 通过移项，含 未知数的项 与 常数项 分别列于方程的 左右两边 ，使方程更接近于 x = a 的形式 . 像上面那样，等式一边的某项 变号 后移到另一边，叫做 移项 。 移项 合并同类项 系数化为 1 例 2 解方程 解： 例 4 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200t ；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100t. 新、旧工艺的废水排量之比为 2 ︰ 5 ，两种工艺的废水排量各是多少？ 分析：因为新，旧工艺的废水排量之比为2:5，所以可设它们分别为2x t和5x t，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程。 解：设新、旧工艺的废水排量分别为 2 x t 和 5 x t 根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得 5 x -200=2 x +100 移项，得 5 x -2 x =100+200 合并同类项，得 3 x =300 系数化为1，得 x =100 所以 2 x =200 5 x =500 答：新、旧工艺生产的废水排量分别为200 t和500 t。 练习 解下列方程 去括号 某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少 2000 度，全年用电 15 万度，这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？ 分析：若设上半年每月平均用电 x 度， 则下半年每月平均用电 度 上半年共用电 度， 下半年共用电 度。 等量关系： 所以 , 可列方程 。 （ x-2000 ） 6 （ x-2000 ） 6x 6x+ 6 （ x-2000 ） =150000 上半年用电 + 下半年用电 = 全年用电 15 万度 解：设上半年每月平均用电 x 度，则下半年每月平均用电（ x-2000 ）度 , 上半年共用电 6x 度，下半年共用电 6 （ x-2000 ）度。 根据题意列方程得： 6x+ 6 （ x-2000 ） =150000 去括号得： 6x+6x-12000=150000 移项得 ： 6x+6x=150000+12000 合并同类项得： 12x=162000 系数化为 1 得： x=13500 答 : 这个工厂去年上半年每月平均用电 13500 度。 解一元一次方程的步骤： 移项 合并同类项 系数化为 1 去括号 例 1 解方程 2 x-(x +10 )= 5x+ 2(x -1 ) 解 : 去括号得： 移项得 ： 合并同类项得： 系数化为 1 得： 2 x-x -10 = 5x+ 2x- 2 2 x-x -5 x -2x = -2+10 － 6 x = 8 X = -4/3 例 2 解方程 3x-7(x-1)=3-2(x+3) 解 : 去括号得： 移项得 ： 合并同类项得： 系数化为 1 得： 3x-7x+7=3-2x-6 3x-7x+2x=3-6-7 － 2x = － 10 X=5 解方程 ② ③ ① ④ 1 、关于 x 的方程 的解为 -1 ，则 a 的值为（ ） 2 、甲、乙两人登一座山，甲每分钟登高 10 米，并且先出发 30 分钟，乙每分钟登高 15 米，两人同时登上山顶。甲用多少时间登山？这座山有多高？ 练习 例 2 一艘船从甲码头到乙码头顺流航行 , 用了 2 小时 ; 从乙码头到甲码头逆流航行 , 用了 2.5 小时 ; 已知水流的速度是 3 千米 / 小时 , 求船在静水中的平均速度是多少千米 / 小时 ? 分析 : 等量关系 甲码头到乙码头的路程 = 乙码头到甲码头的路程 也就是 : 顺航速度 ___ 顺航时间 = 逆航速度 ___ 逆航时间 × × 解： 设船在静水中的平均速度为 x km/h，则顺流速度为（x+3）km/h，逆流速度为（x-3）km/h。 根据往返路程相等，列得 2（x+3）=2.5（x-3） 去括号，得 2x+6=2.5x-7.5 移项及合并同类项，得 0.5x=13.5 系数化为1，得 x=27 答：船在静水中的平均速度为27 km/h。 3. 大箱子装洗衣粉 36 千克，把大箱子里的洗衣粉分装在 4 个大小相同的小箱子里，装满后还剩余 2 千克洗衣粉，则每个小箱子装洗衣粉的千克数为（ ） A ． 6.5 B ． 7.5 　 　 C. ８ .5 　 　 D. ９ .5 4 、某物品标价为 130 元 , 若以 9 折出售 , 仍可获利 10%, 则该物品进价约是 ( ) A. 105 元 B. 106 元 C. 108 元 D. 118 元 C B 去分母 1 ．会用去分母的方法解含分母的一元一次 方程． 2 ．会检验方程的解及总结解方程的一般步骤 . 学习目标 解有分数系数的一元一次方程的步骤： 1 ．去分母； 2 ．去括号； 3 ．移项； 4 ．合并同类项； 5 ．系数化为 1 ． 主要依据：等式的性质和运算律等． 以上步骤是不是一定要顺序进行，缺一不可？ 这件珍贵的文物是纸莎草文书，是古代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，至今已有 3700 多年的历史了，在文书中记载了许多有关数学的问题． 问题 ： 一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是 33 ．试问这个数是多少？ 你能解决这个问题吗？ 解：设这个数为 x ，可得方程： 为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？ 各分母的最小公倍数 42 ． 解：去分母，得 　　 28x ＋ 21x ＋ 6x ＋ 42x ＝ 1386 ． 　　合并同类项，得 　　 97x ＝ 1386 ． 　　系数化为 1 ，得 例3 解下列方程： （ 1 ） （ 2 ） 解 ： ． 1 、解方程 观察：这个方程有什么特点？应该怎么解？ 2 、解方程 观察：这个方程有什么特点？又应该怎么解？ 解方程 解： 去分母，得 2y-(y-2)=6 去括号，得 2y-y+2=6 移项，得 2y-y=6-2 合并同类项 y=4 归纳 去分母时须注意： 　 1. 确定分母的最小公倍数； 　　 2. 不要漏乘没有分母的项； 　　 3. 去掉分母后，若分子是多项式，应该多项式（分子）添上括号，视多项式为一整体． 第 3 章 一次方程与方程组 3.2 一元一次方程的应用（一） 思考： 1. 圆柱体体积 =_______________ 长方体体积 =_______________. 2. 行程问题中的数量关系 知识回顾 底面积 X 高 底面积 X 高 创设情境，引入新知 【 例 1 】 ： 用直径为 200mm 的圆柱钢，锻造一个长、宽、高分别是 300mm 、 300mm 和9 0mm 的长方体，至少应截取多少毫米的圆柱体钢（计算时 π 取 3.14, 结果精确到 1mm) 截取部分高为 x 毫米 长方体 圆住体半径 长方体长 300mm 、 为 200 ÷2 =100 宽 300mm 、高为 80 mm 思考：题目中隐藏着怎样的等量关系？ ＝ 3.14 × 100 2 x 300 × 300 ×9 0 分析：假设圆住体的高为 xmm. 圆柱体体积＝长方形体积 解：设至少要截取圆柱体钢 Xmm. 根据题意得： 答：至少应截圆柱体钢长约是 2 58 mm 3.14 × x =300 × 300 ×9 0 解得x ≈2 58 例 2 为了适应经济发展，铁路运输再次提速。如果客车行驶的平均速度增加40㎞∕h ， 提速后由合肥到北京1110 ㎞的路程只需行驶10h。那么，提速前，这趟客车平均每小时行驶多少千米？ 思考：行程问题中常涉及的量有路程、平均速度、时间。它们之间的关系是： 路程=平均速度×时间。 客车行驶的路程为1110km， 客车行驶的时间为10h。 如果设提速前客车平均速度为x ㎞∕h， 那么提速后客车平均速度为（x+40） ㎞∕h。 解：设提速前客车平均速度为x ㎞∕h， 根据题意，得 10（x+40）= 1110 解方程，得x= 71. 答：提速前这趟客车的平均速度为71 ㎞∕h . 1 、 审： 审题，分析题中各数量之间的关系 2 、 设： 设未知数 3 、 列： 找出能够表示题中全部含义的一个等量关系 根据等量关系列出方程 4 、 解： 解方程，求出未知数的值 6 、 答 : 写出答案（包括单位名称） 通过例题的学习，你能总结列方程解应用题的一般步骤吗？ 5 、 验： 检验所得的值是否正确和符合实际情形 1. 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要 12 天，由乙工程队单独铺设需要 24 天 . 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？ 解：设 x 多少天可以铺好这条管线 . 依题意得： ， 解方程，得： x ＝ 8. 答：两个工程队从两端同时施工，要 8 天可以铺好这条管线 . 2. 孙子问爷爷：“您今年多大岁数了？”爷爷说：“当我是你现在的年龄时，你才2岁，等你到了我这个年龄时，我就是128岁了”。请问，爷爷今年多大岁数？ 学习并不等于就是摹仿某些东西， 而是掌握技巧和方法。 ————   高尔基 3.2 一元一次方程的应用 （储蓄问题） 储蓄知多少？ 利率、利息、 本金 1. 本金 × 利率 × 年数=利息 2. 本金+利息=本息和 创设情境，引入新知 1 ） 某学生按定期一年存入银行 100 元，若年利率为 2.5% ，则一年后可得利息 ___ 元；本息和为 ____ 元； 自主预习 2 ）小颖的父母给她存了一个三年期的教育储蓄 1000 元，若年利率为 2.70% ，则三年后可得利息 ____ 元；本息和为 _____ 元； 自主预习 3 ）某学生存三年期教育储蓄 100 元，若年利率为 p% ，则三年后可得利息 ____ 元；本息和为 ____ 元； 自主预习 例 3 王大伯3年前把手头一笔钱作为3年定期存款存入银行，年利率为5%，到期后得到 本 息 共2 3000元。问当年王大伯存入银行多少钱？ 想一想 : 这一问题情境中有哪些已知量?哪些未知量?如何设未知数?涉及的数量关系是什么？ 自主探究 分析： 本题中涉及到的数量关系有哪些？ 这些数量关系之间有什么关系？ 解：设当年王大伯存入银行 x 元，年利率为 5% ，存期 3 年，所以 3 年的利息为 3×5%x 元。 3 年到期后的本息和共为 23000 元。 根据题意，得 x+ 3×5%x=23000 解方程，得 x= x=20000 答：当年王大伯存入银行 20000 元 随堂练习 练一练，只列方程不解答。 （ 1 ）两年期定期储蓄的年利率为 2.25% ，王大爷于 2002 年六月存入银行一笔钱，两年到期时，共得利息 450 元，则王大爷 2002 年六月的存款额是多少元？ 随堂练习 练一练，只列方程不解答。 (2) 王叔叔想用一笔钱买年利率为 2.89% 的 3 年期国库券，如果他想 3 年后本息和为 2 万元，现在应买这种国库券多少元？ 银行一年定期储蓄利率为 1 ． 98% ，并要交纳 20% 的利息税，张婆婆把 10000 元按一年定期存入银行，则到期后，张婆婆应交利息税多少元？可拿回本息共多少元？ 知识梳理 1. 通过本节课的学习你有哪些收获？ 你还有哪些疑惑？ 2. 你会解答有关储蓄问题的应用题了吗？ 3.2 一元一次方程的应用 （销售问题） 你能根据自己的理解说出它的意思吗？ 标价、售价、进价、利润、利润率 知识回顾 跳楼价 清仓处理 满 200 返 160 5 折酬宾 探究销售中的盈亏问题 : 1 、商品原价 200 元，九折出售，卖价是 _____ 元 . 2 、商品进价是 150 元，售价是 180 元，则利润 是 元 . 利润率是 __________ 3 、某商品按定价的八折出售，售价是 14.8 元，则原定售价是 　　　　 . 　　　　　　　　 自主预习 成本价 ( 进价 ), 标价 ; 销售价 ; 利润 ; 盈利 ; 利润率 对上面这些量有何关系 ? 对上面商品销售中的盈亏问题里有哪些量 = 商品售价 — 商品进价 ● 售价、进价、利润的关系式： 商品 利润 ● 进价、利润、利润率的关系 ： 利润率 = 商品进价 商品利润 ×100% ● 标价、折扣数、商品售价关系 : 商品售价＝ 标价 × 折扣数 10 ● 商品售价、进价、利润率的关系： 商品进价 商品售价 = ×(1+ 利润率 ) 销 售 中 的 关 系 式 一个商店出售书包时，将一种双肩背的书包按进价提高30%作为标价，然后再按标价9折出售，每个可盈利8.50元，这种书包每个进价多少钱？ 想一想 : 1.这一问题情境中有哪些已知量?哪些未知量?如何设未知数?相等关系是什么？ 2. 9折表示是原价的___。 自主探究 分析：买卖商品的问题中涉及的数量关系有： 解： 设每个书包进价为 x 元， 根据题意，得 对它打 9 折得实际售价为 ____________ 元。 那么这种书包的标价为 _________ 元， 解之得x=50. (1+30%)x ×(1+30%)x-x=8.50 ×(1+30%)x 答：这种书包每个进价为 50 元 . 实际售价 — 进价（或成本） = 利润 1 、一件商品的售价是 40 元，利润是 15 元，则进价是 _____ 元。 2 、某商品的进价是 80 元，想获得 25% 的利润率，应把售价定为 ______ 元。 3 、某服装店为了清仓，某件成本为 90 元的衣服亏损了 10% ，则卖这件衣服亏了 ___ 元。 25 100 9 随堂练习 4 、一块手表的成本价是 x 元，亏损率是 30﹪ ，则这块手表的售价应是 __________ 元。 5 、某人买进一批水果，以成本价提高 40% 后出售，卖得 280 元，则这批水果的进价是 ____ 元。 (X － 30%x) 200 随堂练习 A 组 B 组 C 组 老师寄语 别着急， 你会做。 仔细些， 你会做。 认真些， 你能行。 不同梯度 某件商品的进价是 100 元，标价 是 130 元，求其利润率。 某商品的进价为 1600 元，标价为 2200 元，折价销售时的利润率为 10% 。问此商品是按几折销售的？ 一件夹克按进价加 5 成作为定价，后因季节关系，按定价的 8 折出售，打折后每件卖 60 元，试问一件夹克卖出后商家是赔还是赚？ 3.2 一元一次方程的应用 （比例问题） 1 ）审题 2 ）设元 3 ）列方程 4 ）解方程 5 ）检验 6 ）作答 列方程解应用题的一般步骤： 知识回顾 创设情境，引入新知 【 例 5 】 三个作业队共同使用水泵排涝，如果三个作业队排涝的土地面积之比为 4:5:6 ，而这一次装运水泵和耗用的电力费用共计 120 元，三个作业队按土地面积比各应该负担多少元？ 分析： 各个作业队应负担费用与排涝的土地面积成正比，且三个作业队各自应负担费用之和等于 120 元 . 由于共有土地 4+5+6=15 份，因而 120 元可由 15 份分担 . 自主预习 解： 设每份土地排涝分担费用 x 元，那么三个作业队应负担费用分别为 4x 元、 5x 元、 6x 元 . 根据题意，得 4x + 5x + 6x = 120 解方程，得 x=8 4x=32, 5x=40, 6x=48 答：三个作业队各应该负担 32 元、 40 元、 48 元 . 注意： 本题中“设每份土地排涝分担费用 x 元”属于间接设未知数法 . 当不能或难以直接设未知数时，常用这种方法 . 用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几个步骤？分别是什么？ 实际问题 一元一次方程 设未知数，列方程 解方程 一元一次方程的解（ x = a ） 实际问题的答案 检 验 与其可爱地失败， 不如可恨地成功。 ———   曹盛蒂 第 3 章 一次方程与方程组 3.3二元一次方程组及其解法 小明去帮学校购买体育用品 , 足球每只 100 元 , 篮球每只 60 元 , 共购买了 20 只球 , 用去 1680 元 . 你能求出足球、篮球各买了多少只吗？ 分析： 100x 元 x 个 （ 20–x ）个 60(20–x) 元 购买足球的花费 + 购买篮球的花费 = 总花费 100x+ 60 （ 20–x ） =1680 x =12 球的个数 花费 小明去帮学校购买体育用品 , 足球每只 100 元 , 篮球每只 60 元 , 共购买了 20 只球 , 用去 1680 元 . 你能求出足球、篮球各买了多少只吗？ 分析： 100x 元 x 个 y 个 60y 元 + = 20 个 + = 1680 元 列出方程： x + y = 20 100x + 60y = 1680 ｛ 球的个数 花费 定义： 象 3x–2y=12,y=3x, 含有 两个未知数 (x 和 y), 并且含有未知数的项的 次数 都是 1 , 方程的两边都是整式。这样的方程叫做 二元一次方程 . 定义 : 把几个二元一次方程合在一起 , 就组成了一个 二元一次方程组 x + y = 20 100x + 60y = 1680 ｛ 1. 下列各式属于二元一次方程的有 ( ) ① x+y=3 ② x –2y ²=3 ③ 3x+4y ④ A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 A 2. 下列方程组是二元一次方程组的是 ( ) 3x=6 x+2y=5 5x =10 y=3x z=2x-5 x –2y=4 x –y=1 y=x+1 x ² +y² =2 ｛ ｛ ｛ ｛ A B D C C 你能写出满足二元一次方程 x + y = 8 的 x 、 y 的值吗？ x … 1 2 8 … … … 7 6 0 8 9 10 18 象上面 x 、 y 的值，使二元一次方程两边的值相等 的两个未知数的值叫做 二元一次方程的 一个解 。 一个二元一次方程有 无数个解 。 y 0 -1 -2 -10 例 1. 在方程 3x+4y=12 中 , 用含 x 的代数式 表示 y, 则 y=_________; 用含 y 的代数式 表示 x, 则 x=_________ 练习 : 已知方程 ，用 x 表示 y, 则 y=_________; 用 y 表示 x, 则 x=_______ x … 1 2 8 0 -1 -2 -10 … y … 7 6 0 8 9 10 18 … 方程 x+y=8 的解有： 方程 2x+y=10 的解有： x … 1 2 8 0 -1 -2 -10 … y … … 8 6 -6 10 12 14 30 你能找出这两个方程的公共解吗？ 我们发现 x=2 ， y=6 既满足方程 x+y=8 ① ，又满足方程 2x+y=10 ② ，也就是说它们是方程①和方程②的公共解。 一般的，二元一次方程组的两个方程的 公共解 ， 叫做 二元一次方程组的解。 ｛ 我们把 的解记作 x + y = 8 2x + y =10 ｛ x = 2 y =6 一般情况下 它有 唯一 的解 3 . 根据下列语句 , 分别设适当的未知数 , 列出二元一次方程或方程组 ①. 甲数比乙数的一半小 4 ② 甲比乙多 10 % ③ 甲、乙两数的和是 25 ，甲数比乙数的 2 倍大 8 解：设甲数为 x ，乙数为 y ，则 解：设甲为 x ，乙为 y ，则 解：设甲数为 x ，乙数为 y ，则 x + y = 25 x =2 y +8 ｛ x= （ 1+ 10% ） y 4. 学校准备建设一个周长为 60 米的长方形游泳池， 要求游泳池的长是宽的 2 倍，为了帮建筑工人计 算出长和宽各是多少米请你列出相应的方程组。 解：设游泳池的宽为 x 米，长为 y 米，则 2x + 2y = 60 ｛ x 米 y 米 x 米 y 米 y =2x 篮球比赛中 , 每队胜 1 场得 2 分 , 负 1 场得 1 分 , 某队想在全部 22 场比赛 中得 40 分 , 那么这个队 胜负场数分别是多少 ? 胜 负 合计 场数 积分 x y 22 2x 1 y 40 x + y = 22 ｛ 2x + y = 40 二元一次方程组中，方程的个数可以超过两个， 其中有的方程也可以是一元一次方程，如 x=49 x + y= 60 2y =22 ｛ 2x + y= 17 3y =15 ｛ 都是二元一次方程组 想一想 一个 二元一次方程组中，方程的个数可以有三个吗？ 小结：本课时学习了什么内容 ? ① 了解 二元一次方程和它解的概念 ②了解 二元一次方程组和它解概念 ③会验证一对数是不是某个二元一次方程组的解 ④根据题意列出二元一次方程组 含有 两个未知数 (x 和 y), 并且含有未知数的项 次数都是 1 , 这样的整式方程叫做二元一次方程 , 它有无数个解 把几个二元一次方程合在一起 , 就组成了一个 二元一次方程组。 一般情况下 它有唯一的一对解 第 3 章 一次方程与方程组 3.4 二元一次方程组的应用 请把你的年龄乘以 2 减去 5 ，说出结果 . 我能直接猜出你的年龄 . 游戏：猜年龄 二．列方程解应用题 【 例 1 】 ： 用直径为 200 毫米的圆柱钢，锻造一个长、宽、高分别是 300 毫米、 300 毫米和 80 毫米的长方体，至少应截取长为多少毫米的圆柱体钢（计算时 π 取 3.14, 结果精确到 1 毫米 ). 思考：题目中隐藏着怎样的相等关系（等量关系）？ 截取部分高为 x 毫米 长方体 观察下图： 圆住体半径 长方体长 300 毫米 、 为 =100 毫米 宽 300 毫米 、高为 80 毫米 200 2 解：设至少要截取圆柱体钢 X 毫米 . 由题意得： 答：至少应截圆柱体钢长约是 230 毫米 x ≈ 229.2 x ≈230 （注意：此题结果不是四舍五入） π × 100 2 x 300 × 300 × 80 = 变式练习题： 若把内径为 120 厘米的圆柱形玻璃杯的水，倒满内径为 300 厘米，高为 32 厘米的圆柱体铁桶，问玻璃杯内的水需要多高？ 示图分析 玻璃容器的出水量 = 铁桶的容积。 杯内水 的高度 为 x 厘米 铁桶的半径 为 =150 厘米 高 32 厘米 ， 300 2 玻璃杯的半径 为 =60 厘米 120 2 答：玻璃杯的水至少有 200 厘米 高 . 解：设玻璃杯的水至少有 X 厘米高 . 根据题意得： 120 2 π ×（ ） 2 x = π ×（ ） 2 × 32 3600x=22500 × 32 36x=225 × 32 解得x =200 300 2 例 2 ： 用一根长为 100 米的铁丝围成一个长比宽长 10 米的长方形，问这个长方形的长和宽各是多少米？ 示图分析 100 米 x 米 例 2 中有什么等量关系呢？ 长方形的周长 = 原铁丝的长度 . (X+10) 米 解：设长方形的宽 X 米 . 根据题意得： 2 （ x+x+10 ） =100 2(2x+10)=100 4x=80 X=20 长为： x+10=20+10=30 米 答：该长方形的长为 30 米 ，宽为 20 米 . 变式练习题 2 ： 有 100 米长的篱笆材料，想围成一长方形仓库，在场地的北面有一堵足够长的旧墙，其它三面用篱笆围成，若与墙平行的一面为长，且长比宽长 10 米，求这个仓库的长和宽？ 100 米 这一问题和上一题有什么区别和相同点？ 篱笆材料的长度 = 围成的三面墙的长度和 解：设仓库的宽 X 米 . 根据题意得： 2x+x+10=100 3x=90 X=30 所以仓库的长为 :x+10=30+10=40 米 答：该仓库的长为 40 米，宽为 30 米 。 1 、 由例题可知，一些实际问题可以设一个未知数， 建立一元一次方程来解决： 三、交流 · 总结 2 、通过例题的学习，你能总结列方程解应用题的一 般步骤吗？ 审设 找 列 解 检、答 这节课 我的收获是 …… 课后思考 若在上题的仓库平行于墙的一面开一个 6 米宽的一个门，那么这时仓库的长与宽各是多少？ 第 3 章 一次方程与方程组 3.5 三元一次方程组及其解法 1 ． 解二元一次方程组的基本方法有哪几种？ 2 ． 解二元一次方程组的基本思想是什么？ 创设情景 明确目标 1 ． 了解三元一次方程组的定义； 2 ．掌握三元一次方程组的解法， 进一步体会消元转化思想 ． 学习目标 　　小明手头有 12 张面额分别是 1 元、 2 元和 5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍．求 1 元、 2 元和 5 元的纸币各多少张？ 思考：题目中有几个未知数？ 含有几个相等关系 ? 你能根据题意列出几个方程？ 探究点一 三元一次方程组的概念 含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1 ，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做 三元一次方程组 ． 把三个方程合在一起 设 1 元、 2 元和 5 元的纸币分别为 x 张、 y 张和 z 张． 思考： 三元一次方程组与二元一次方程组有什么异同？ 它们的区别在于：三元一次方程组中含有三个未知数，并且一共有三个方程组成；而二元一次方程组中含有二个未知数，并且一共有二个方程组成 . 相同之处是：每个方程中含未知数的项的次数都是 1 的整式方程 . 如何解这个三元一次方程组呢？ （ 1 ）二元一次方程组是如何求解的？ （ 2 ）三元一次方程组可不可以用类似的方法求解？ 对于这个方程组，消哪个元比较方便？理由是什么？ ① ② ③ 将 ③代入①②，得 即 用的是什么消元方法？还有什么方法？ ① ② ③ 如何用加减消元法解这个方程组？ ③ 与④组成方程组 解这个方程组，得 解：① ②，得 ④ 把 x =8 ， y =2 代入 ①，得 所以 z =2 . 因此，这个三元一次方程组的解为 答： 1 元、 2 元和 5 元纸币分别为 8 张、 2 张、 2 张． 解三元一次方程组的基本思路是：通过 “代入” 或 “加减” 进行消元，把“三元”化为 “二元” ，使解三元一次方程组转化为解 二元一次 方程组，进而再转化为解 一元一次 方程，这与解二元一次方程组的思路是一样的 . 解三元一次方程组的基本思路是什么？ 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 例 1 解三元一次方程组 分析 ：先消去哪个未知数简单？用什么方法消去其中的 一个未知数？ 思考：此题还有其他解法吗？比较一下哪种解法更简单？ 解三元一次方程组时如何选择消元的方法 . 解题前要认真观察各方程的系数特点，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用 加减法 消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用 代入法 求解． 例 2 在等式 中，当 x ＝－ 1 时 y ＝ 0 ；当 x ＝ 2 时， y ＝ 3 ；当 x ＝ 5 时， y ＝ 60 ．求 a 、 b 、 c 的值． 分析： 能否把题中的三组数值代入到等式中？ 代入后会得到什么？ 例 2 在等式 中，当 时， ；当 时， ；当 时， 求 　的值． 分析：根据已知条件，你能得到什么？ 探究点二 三元一次方程组的简单运用 如何解这个三元一次方程组呢？ （ 1 ）先消去哪个未知数？为什么？ （ 2 ）选择哪种消元方法，得到二元一次方程组？ 解：根据题意， 得三元一次方程组 ② -① ，得 a + b = 1 ; ④ ③ -① ，得 4 a + b = 10 ; ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 ① ② ③ 代入 ①，得 c = - 5 因此， 答： 消去 a 可以吗？如何操作？ 可将② -① × 4 ，得 即 再将③ - ① × 25 ，得 即 ④ ⑤ 消去 b 可以吗？如何操作？ 可将 ① × 2+ ② ，得 即 再将 ① ×5+③ ，得 即 ④ ⑤ 第 3 章 一次方程与方程组 一次方程组与 CT 技术 一次方程组与 CT 技术 患者在做 CT 扫描 脑梗死 CT 图像 CT 基本结构 扫描部分 ： x 线管、 探测器和扫描架 计 算机系统 ：将扫描收集到的信息数据进行储存和运算 图像显示和存储系统 ：经计算机处理，重建的图像显示在电视屏上或用多幅照相机或激光相机将图像摄下 CT 扫描的工作程序 处理 高灵敏度仪器 人体对 X 射线吸 收程度 数据 被检查部位图像 发现病变 检测 输出 观察 CT 头部扫描如何成像 CT 将头部分成多个连续的横断面即 断层 ，再进行扫描获得各断层图像，最后将断层图像复合。 将断层表面按一定大小分成很小的部分，这些小块称为 体素 。 X 射线照射穿过体素后被吸收的程度叫 吸收值 。将这些体素的吸收值求出后就会得到该断层的图像。 X 射线束 1 X 射线束 2 X 射线束 3 探测器 探测器 探测器 A B C 体素A、B、C的吸收值分别为x、y、z X射线束1穿过A、B后总吸收值为x+y = p 1 ① ， X射线束2穿过A、C后总吸收值为x+z = p 2 ② ， X射线束3穿过B、C后总吸收值为y+z = p 3 ③ . 问1：若p 1 = 0.45 ,p 2 =0. 44 ,p 3 =0. 39 ,求体素A、B、C的吸收值。 问题 2 ，如下图，已知甲乙丙三个病人的总吸收值如下，求三人的体素 A 、 B 、 C 的吸收值。 总吸收值 p 1 p 2 p 3 甲 0.45 0.44 0.39 乙 0.90 0.88 0.82 丙 0.66 0.64 0.70 体素 x y z 甲 0.25 0.20 0.19 乙 丙 组织器官 体素吸收值 健康器官 0.1625~0.2977 肿瘤 0.2679~0.3930 骨质 0.3857~0.5108 设 X 射线穿过健康器官、肿瘤、骨质的体素吸收值如左，对照左表，分析 3 个病人的检测情况，判断哪位患有肿瘤？ CT 图像是由一定数目的由黑到白不同灰度 小方块 （像素）按矩阵排列所构成的。 这些小方块是反映相应单位容积的 吸收系数 。 CT 图像上的黑色表示低吸收区，既低密度区，如脑室；白色表示高吸收区，即高密度区，如颅骨。 CT 图像 CT 图像的社会价值 CT 扫描（也称 CAT 扫描）将传统的 X 光成像技术提高到了一个新的水平。与仅仅显示骨胳和器官的轮廓不同， CT 扫描可以构建完整的人体内部三维计算机模型。医生们甚至可以一小片一小片地检查患者的身体，以便精确定位特定的区域。 美国科学家马克、英国科学家豪斯菲尔德因发明 CT 扫描，获得 1979 年第 79 届诺贝尔生理学或医学奖。