沪科版七年级数学上册第2章整式加减

第 2 章 整式加减 2.1 代数式 2.1 代数式 学习目标 进一步理解字母表示数的意义，能结合具体情景给字母赋于实际意义；理解代数式和代数式的值的意义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，在具体情景中能求出代数式的值 . （知识与技能） 为了测试一种乒乓求的弹跳高度与下落高度之间的关系，通过试验，得到下列一组数据 ： （单位：厘米） 下落高度 40 50 80 100 150 弹跳高度 20 25 40 50 75 1. 你能从表中发现每一对 ( 上下两个 ) 数之间的数量关系吗 ? 2. 在这个问题中 , 如果我们用 b 厘米表示下落高度 , 那么相对应的弹跳高度为 _________ 厘米。 1. 用字母表示数 1. 如果用 a 、 b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为 ________ ，乘法交换律可以用字母表示为 ________. a+b=b+a ab=ba 2.图中由长方形和正方形拼成的大正方形的面积等于 ＿＿＿＿＿． 我们还可以这样想，图中大正方形的边长是＿＿＿＿，因此它的面积是＿＿＿＿＿＿． a² +2ab+b ² a+b (a+b) ² 注意： （ 1 ）在用字母表示数时，字母与字母之间的 乘号，一般省略不写，或者乘号用“ • ” 表示。 （ 2 ）数字与字母相乘，数字一般放在字母的前面。 做一做： 填空： （ 1 ）某种瓜子的单价为 16 元 / 千克，则 b 千克需要 _____ 元。 （ 2 ）小刚上学步行速度为 5 千米 / 小时 若小刚到学校的路程为 s 千米，则他上学需走 ________ 小时。 （ 3 ）钢笔每枝 m 元，铅笔每枝 n 元，买 2 支钢笔和 3 支铅笔共需 __________ 元。 16 b s/5 （ 2 m+3n ） 上面的这些问题中出现的如 16n ， s/5 ， 2a+3b ，以及上节课出现的 a ， b ， a+b ， a • b ， a ² ，（ a+b ） ² ， 15 ， 5050 ， 5x ， s/t 等式子，我们称它为 代数式 。 即 代数式 是用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子。 问题： 单独的一个数或一个字母也是代数式吗？ 我们的答案是肯定的。 即 : 单独的一个数或一个字母也是代数式。 例 1 ：填空： （ 1 ）圆的半径为 r cm ，它的面积为 ______cm ² . （ 2 ）长方形的长与宽分别为 a cm,b cm ，则该长方形的周长 __________cm. （ 3 ）小强在小学六年中共攒了 a 元零花钱，上中学后买文具用去 b 元，剩下的钱全部存入银行，则小强可以存款 ___________ 元。 （ 4 ）某机关原有工作人员 m 人，现精简机构，减少 20% 的工作人员，则有 ________ 人被精简。  r² 2 （ a+b ） （ a –b ） 20% · m 例 2. 结合你的生活经验对下列代数式作出具体解释： （ 1 ） a –b; (2) ab 解 ： （ 1 ）今年小明 b 岁、小明爸爸 a 岁，小明比他爸爸小（ a–b ）岁； （ 2 ）长方形的长为 a 厘米，宽为 b 厘米，长方形的面积是 ab 平方厘米。 做一做： 下列代数式哪些书写不规范，请改正过来 3x+1 2. m n–3 3. 2y 4. a (b+c) 5. a –1b 书写代数式要注意什么？ （ 1 ）代数式中出现乘号，通常写作“ • ” 或省略不写； （ 2 ）数字与字母相乘，数字写在字母前面； （ 3 ）除法运算写成分数形式。 例 2. 用代数式表示 （ 1 ） a,b 两数的 平方和 减去他们乘积的 2 倍； （ 2 ） a,b 两数的 和的平方 减去他们的差的平方； （ 3 ） a,b 两数的和与他们的差的乘积； （ 4 ） 偶数、奇数 . （ 4 ） 2n ， 2n+1(n 为整数 ) （ 3 ） (a+b)(a –b ) （ 2 ） ( a+b) ² –(a–b)² （ 1 ） a ² +b²–2ab 解： 单项式 学习目标： (1) 理解单项式、单项式的系数和次数的概念． (2) 会用单项式表示简单的数量关系． (3) 经历单项式概念的形成过程，从中体会抽象的 数学思想，提高观察、分析、归纳、概括能力 . 　　 字母表示数有什么意义？ 用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来，更适合于一般规律的表达 . 【 问题 1】 , 和 这三个式子的运算 含义是什么？ 【 问题 2】 单项式定义：表示数或字母的积的式子叫做 单项式 ． 单独的 一个数或一个字母 也是单项式 ． 观察式子 ， ， ， ， ， 这些式子有什么特点？ 单项式 的系数：单项式中的 数字因数 叫做这个单项式的系数 . 如 单项式 ， ， 的系数分别是 100 ， 1 ， -1 ． 注意 ： （ 1 ） 单项式表示数与字母相乘时，通常数写在前面． （ 2 ）当系数为 1 或－ 1 时，这个“ 1” 省略不写 . （ 1 ）你能举出一个单项式的例子，并说出它 的系数和次数吗？ 【 问题 3】 （ 2 ）请你写出一个单项式，并使它的系数是 － 2 ，次数是 4 ，那么该单项式可以是 . 练习 1 　 下列各式中哪些是单项式？ 答案：　　　　　　　　 练习 2 　 填表： 单项式 系数 次数 2 2 － 1.2 1 1 3 － 1 2 2 3 3 （ 1 ） 每包书有 12 册， n 包书有 册； （ 2 ） 底边长为 a cm ，高为 h cm 的三角形的面积 是 cm 2 ； （ 3 ） 棱长为 a cm 的正方体的体积是 cm 3 ； （ 4 ）一台电视机原价 a 元，现按原价的 9 折出售， 这台电视机现在的售价是 元； （ 5 ）一个长方形的长是 0.9 m ，宽是 a m ，这个长方 形的面积是 m 2 . 例 用单项式填空，并指出它们的系数和次数 : （ 1 ） ，它的系数是 12 ，次数是 1 ； 解： （ 2 ） ，它的系数是 ，次数是 2 ； （ 3 ） ，它的 系数是 1 ，次数是 3 ； （ 4 ） 0.9 ，它的系数是 0.9 ，次数是１； （ 5 ） 0.9 ， 它的系数是 0.9 ，次数是１． 【 问题 5】 你能赋予 0.9 a 一个含义吗？ 用字母表示数后，同一个式子可以 表示不同的含义． 活动：“人人来当老师” 以小组为单位，每个小组学生说出一个单项式，然后请另一个小组的学生回答出所说单项式的系数和次数，看哪一组题目出得正确，看哪一组回答得快而准 . 　　若 　　　　　是关于 x ， y 的一个 四次单项式，求 m ， n 应满足的条件？　 答案： 拓展提高 （ 1 ）本节课学了哪些主要内容？ （ 2 ）请你举例说明单项式的概念、单项式的 系数和次数的概念 . 【 课堂小结 】 多项式 学习目标： (1) 理解多项式、多项式的项和次数、整式的概念． (2) 会用多项式表示简单的数量关系，并根据多项式中字母的值求多项式的值． （ 1 ）对于单项式，我们学习了哪些内容？ （ 2 ）请举例说明单项式、单项式的系数 和次数的概念． ， ， ， ， ． （ 1 ） 观察式子 它们有什么共同特点？与单项式有什么联系？ 多项式 x 2 +2 x +18 的项是 x 2 ， 2 x 与 18 ，其中 18 是常数项． 　　　 归纳： 　　多项式定义：几个单项式的和叫做多项式 . 　　每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项 叫做常数项． 多项式 v － 2.5 的项是 v 与－ 2.5 ，其中－ 2.5 是常数项． 　　　 归纳： 　　多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多 项式的次数． 　　如多项式 中次数最高项是一次项　， 这个多项式的次数是１． 　　多项式 　　　中次数最高项是二次 项　，这个多项式的次数是２． ， ， （ 2 ） 的项分别是什么？次数分别是多少？ 定义：单项式与多项式统称整式． （ 1 ）你能举出一个多项式的例子，并说出它的项和次数吗？ （ 2 ）请你写出一个二次三项式，并使它的二次 项系数是 － 2 ，一次项系数是 3 ，常数项是 5 ，那么这个多项式可以是 　 . 例4 如图所示，用式子表示圆环的面积． 当 cm ， cm 时，求 圆环的面积 （ 取 ）． 解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环 的面积，所以圆环的面积是 ． 这个圆环的面积是 cm 2 ． 　 　 当　　　 cm ， 　　 cm 时，圆环的面积 （单位： cm 2 ）是 　　下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？ 是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项 和次数： 练习 x 32 t 3 1 32 1 3 0 6 3 1 4 2 填空： （ 2 ） ， 分别表示梯形的上底和下底， 表示 　　梯形的高，则梯形 面积 ＝ ，当 　　 ＝ 2 cm ， ＝ 4 cm ， ＝ 5 cm 时，＝ cm 2 ．　 （ 1 ） ， 分别表示长方形的长和宽，则长方形的 周长 ＝ ，面积 ＝ ，当 ＝ 2 cm ， ＝ 3 cm 时， ＝ cm ， ＝ cm 2 ； 3 个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场），总的比赛场数是多少？ 4 个队呢？ 5 个队呢？ n 个队呢？ 练习 答案： 3 ， 6 ， 10 ， （ 1 ）本节课学了哪些主要内容？ （ 2 ）请你举例说明多项式的概念、多项式的 项和次数的概念 . （ 3 ）请你举例说明整式的概念 . 【 归纳小结 】 第 2 章 整式加减 2.2 整式的加减 2.2 整式的加减 合并同类项 学习目标 : ( 1 ) 理解同类项的概念； ( 2 ) 掌握合并同类项的方法； ( 3 ) 通过类比数的运算探究合并同类项的法则，从　 　 中体会数式通性和类比的数学思想． 引入 问题 1 在西宁到拉萨路段，列车在冻土地段的行驶速度是 100 km/h ，在非冻土地段的行驶速度是 120 km/h ，列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的 2.1 倍 ，如果通过冻土地段需要 t h ，你能用含 t 的式子表示这段铁路的全长吗？ 100 t ＋ 120×2.1 t ＝ 100 t ＋ 252 t 这个式子的结果是多少？你是怎样得到的 ? 类比探究，学习新知 （1） 运用有理数的运算律计算. 100 × 2+252 × 2= 　　 ； 100 × ( - 2)+252 × ( - 2)= 　　 . （1） 运用有理数的运算律计算 100 × 2+252 × 2 = ( 100+252 ) × 2=352 × 2=704 ； 100 × ( - 2)+252 × ( - 2) = ( 100+252 ) × (- 2 ) =352 × (- 2 ) = - 704 . 100 t +252 t =(100+252) t = 352 t （ 2 ）类比式子的运算，化简下列式子： ① ② ③ 问题 3 观察多项式 ， ， ， （ 1 ）上述各多项式的项有什么共同特点？ （ 2 ）上述多项式的运算有什么共同特点 ? 你能从中得出什么规律 ? （ 1 ）上述各多项式的项有什么共同特点？ ① 每个式子的项含有相同的字母； ② 并且相同字母的指数也相同 . （ 2 ）上述多项式的运算有什么共同特点 ? ① 根据分配律把多项式各项的系数相加； ② 字母部分保持不变 . 定义和法则： （ 1 ）所含字母相同，并且相同字母的指数也 相同的项叫做 同类项 . 几个常数项也是同类项 . （ 2 ）把多项式中的同类项合并成一项，叫做 合并同类项 （ 3 ）合并同类项后，所得项的系数是合并前 各同类项的系数的和，且字母部分不变 . 例题 : 找出多项式 中的同类项并进行合并，思考下面问题： 每一步运算的依据是什么？注意什么？ 解： ( 交换律 ) ( 结合律 ) ( 分配律 ) ( 按字母的指数从大到小顺序排列 ) 归纳步骤： （ 1 ）找出同类项并做标记； （ 2 ）运用交换律、结合律将多项式的同类项结合； （ 3 ）合并同类项； （ 4 ）按同一个字母的降幂（或升幂排列）． 　 合并下列各式的同类项: （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 例1 例2 （1）求多项式 的值，其中 （2）求多项式 的值，其中 例3 （1）水库水位第一天连续下降了a h，每小时平均下降2 cm；第二天连续上升了a h，每小时平均上升0.5 cm，这两天水位总的变化情况如何？ （2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x kg，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？ 解：由题意得2a-0.5a=1.5a，所以这两天水位总的下降了1.5a 解：由题意得：5x-3x+4x=6x，所以进货后这个商店有大米6x千克。 归纳小结 （ 1 ）本节课学了哪些主要内容？ （ 2 ）你能举例说明同类项的概念吗？ （ 3 ）举例说明合并同类项的方法 . （ 4 ）本节课主要运用了什么思想方法研究问题？ 去括号、添括号 用分配律计算 引入 在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段需要u h，那么通过非冻土地段的时间是（u-0.5）h.于是，冻土地段的路程是100u km，非冻土地段的路程是120（u-0.5）km. 因此，这段铁路的全长（单位：km）是100u+120(u-0.5) 冻土地段与非冻土地段相差： 100u-120(u-0.5) 上面的两个式子都带有括号，类比数的运算，它们应如何化简？ 利用分配律，可以去括号，再合并同类项，得 100u+120(u-0.5)=100u+120u-60=220u-60 100u-120(u-0.5)=100u-120u+60=-20u+60 即： +120(u-0.5)=+120u-60 -120(u-0.5)= -120u+60 比较上面两式，你能发现去括号时符号变化的规律嘛？ 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 . 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反 . 顺口溜： 去括号，看符号： 是“ +” 号，不变号； 是“ -” 号，全变号 ; 原来的符号和括号都扔掉 . 例：为下面的式子去括号 = +（3a-3b+3c） = 3a-3b+3c = -3a+3b-3c = -（3a-3b+3c） = +[3（a-b+c）] = -[3（a-b+c）] (1) +3 （ a - b+c ） (2)- 3 （ a - b+c ） 结论： 括号外面的因数不是 1 或 -1 时，把符号留在外面，把因数的绝对值按分配率乘进去，最后再去括号 . 去括号时应注意的事项： （ 1 ）去括号时应先判断括号前面是“ +” 还是“ - ”。 （ 2 ）去括号后，括号内各项符号要么全变号，要么全不变。 （ 3 ）括号前面是“－”时，去掉括号后，括号内的各项符号都要变成相反，不能只改变第一项或前几项的符号。 （ 4 ）括号内原有几项，去掉括号后仍有几项，不能丢项。 （ 5 ）去括号法则的依据是分配律，计算时不能出现有些项漏乘的情况。 化简下列各式 例4 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是 50 km/h ，水流速度是 a km/h. （ 1 ） 2h 后两船相距多远？ （ 2 ） 2h 后甲船比乙船多航行多少千米？ 例5 解（1）由题意得：甲船2h行驶了2(50+a) km，乙船2 h行驶了2(50-a) km，所以两船相距 ： 2(50+a)+2(50-a)=200 km。 （2）由（1）可知，2h后甲船比乙船多航行了 2(50+a)-2(50-a)=4a km。 整式加减 合并同类项的步骤 归纳步骤： （ 1 ）找出同类项并做标记； （ 2 ）运用交换律、结合律将多项式的同类项结合； （ 3 ）合并同类项； （ 4 ）按同一个字母的降幂（或升幂排列）． 去括号的法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 . 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反 . 合并同类项、去括号都是进行整式加减运算的基础。 例 6 计算 分析：第（1）题是计算多项式与多项式的和，第（2）题是计算多项式与多项式的差。 解： 例7 笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，小红买3本笔记本，2支圆珠笔，小明买4本笔记本，3支圆珠笔，买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花了多少钱？ 解法1：小红买笔记本和圆珠笔共花费（3x+2y）元，小明买笔记本和圆柱笔共花费（4x+3y）元，小红和小明一共花费（单位：元） （3x+2y）+（4x+3y） =3x+2y+4x+3y =7x+5y 解法2：小红和小明买笔记本共花费（3x+4x）元，买圆珠笔共花费（2y+3y）元，小红和小明一共花费：（单位：元） （3x+4x）+（2y+3y） =7x+5y 例8 做大小两个长方体纸盒，尺寸如下： 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 1.5a 2b 2c （1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？ （2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？ （ 单位： cm ） 解： 通过上面的学习，我们可以得到证实加减的运算法则： 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 解 ： 例9 解 ： 注意： 进行此类题的解答时，需先将式子化简，再代入数值进行计算，这样会使计算比较简便。 练习