冀教版九年级数学上册第26章解直角三角形

第二十六章 解直角三角形 26.1 锐角三角函数（ 1 ） 如图所示 , 轮船在 A 处时 , 灯塔 B 位于它的北偏东 35° 的方向上 . 轮船向东航行 5 km 到达 C 处时 , 轮船位于灯塔的正南方 , 此时轮船距灯塔多少千米 ?( 结果保留两位小数 ) 该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段 ? ( 事实上 , 求轮船距灯塔的距离 , 就是在 Rt△ ABC 中 , 已知 ∠ C= 90°,∠ BAC= 55°, AC= 5 km, 求 BC 长度的问题 ) 学 习 新 知 直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值 1. 如图，在 Rt△ABC 中和 Rt△ 中， = 与 具有怎样的关系 ? = 90° . 当 = 时， ( 三角形相似 ) 引导思考 : (1) 如何证明线段成比例 ? (2) 根据已知 , 你能证明这两个直角三角形相似吗 ? (∵∠ A= ∠ A' ,∠ C= ∠ C'= 90°,∴Rt△ ABC ∽Rt△ A'B'C' ) (3) 由三角形相似的性质可以得到 与 之间的关系吗 ? （ Rt△ ABC ∽Rt△ A'B'C' , ∴ 2. 如图所示 , 已知 ∠ EAF< 90°, BC ⊥ AF , B‘C’ ⊥ AF , 垂足分别为 C , C‘. 与 具有怎样的关系 ? 在两个直角三角形中 , 当一对锐角相等时 , 这两个直角三角形相似 , 从而两条对应直角边的比相等 , 即当 ∠ A ( 小于 90°) 确定时 , 以 ∠ A 为锐角的 Rt△ ABC 的两条直角边的比 是确定的 . 如图所示 , 在 Rt△ ABC 中 ,∠ C= 90°, 我们把 ∠ A 的对边与邻边的比叫做 ∠ A 的 正切 , 记作 tan A , 即 tan A= = . 大家谈谈 (tan A 是一个比值 , 没有单位 ) (1)∠ A 的正切 tan A 表示的是 tan 与 A 的乘积还是一个整体 ? (tan A 表示的是一个整体 ) (2) 当 ∠ A 的大小变化时 ,tan A 是否变化 ? (tan A 随着 ∠ A 的大小变化而变化 ) (3)tan A 有单位吗 ? (4)∠ B 的正切怎么表示 ?tan A 与 tan B 之间有怎样的关系 ? (tan B = , tan A · tan B =1.) (6) 若知道直角三角形的斜边和一直角边 , 你能求一个锐角的正切值吗 ? (5) 要求一个锐角的正切值 , 我们需要知道直角三角形中的哪些边 ? ( 需要知道这个锐角的对边和邻边 ) ( 根据勾股定理求出另一直角边 , 再根据正切定义求解 ) 例 1 在 Rt△ ABC 中 ,∠ C= 90° . (1) 如图 (1) 所示 ,∠ A= 30°, 求 tan A ,tan B 的值 . (2) 如图 (2) 所示 ,∠ A= 45°, 求 tan A 的值 . 解 :(1) 在 Rt△ ABC 中 ,∵∠ A= 30°, ∴∠ B= 60°, 且 . ∴ = = . ∴tan A= tan 30° = , tan B= tan 60° = . (2) 在 Rt△ ABC 中 , ∵∠ A= 45°, ∴ a=b. ∴tan A= tan 45° = . 这样 , 就得到 tan 30° = , tan 45° = 1,tan 60° = . 5 . tan 2 A 表示 (tan A ) 2 , 而不能写成 tan A 2 . [ 知识拓展 ] 　 1 . 正切是一个比值 , 没有单位 . 2 . 正切值只与角的大小有关 , 与三角形的大小无关 . 3 . tan A 是一个整体符号 , 不能写成 tan · A. 4 . 当用三个字母表示角时 , 角的符号“ ∠” 不能省略 , 如 tan∠ ABC. 1 . 如图所示 , 在 Rt△ ABC 中 ,∠ C= 90°, 三边分别为 a , b , c , 则 tan A 等于 ( 　　 ) A. B. C. D. 解析 : 根据锐角正切的定义可得 tan A= = , 故选 B. B 检测反馈 2 . 把 △ ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍 , 则锐角 A 的正切值 ( 　　 ) A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的 3 倍 D. 不能确定 解析：因为△ ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角 A 的大小没改变，所以锐角 A 的正切值也不变．故选 A ． A 3 . 已知 Rt△ ABC 中 ,∠ C= 90°,tan A= , BC= 12, 则 AC 等于 　　　　 .  解析 : 根据正切定义可得 tan A= = = ， 所以 AC=9. 故填 9. 9 4 . 如图所示 , 在 Rt△ ABC 中 ,∠ C= 90° . (1) 若 tan A= , BC= 9, 求 AB 的长 ; (2) 若 tan B= , AC= 16, 求 AB 的长 . 解：（ 1 ） ∵tanA= = ， 又 BC=9,∴AC=12, 由勾股定理可得 AB= =15. ∴ AB 的长为 15. (2)∵tan B= = , AC= 16,∴ BC= 12 . 由勾股定理可得 AB= =20. ∴ AB 的长为 20 . (2)∵tan B= = , AC= 16,∴ BC= 12 . 由勾股定理可得 AB= =20. ∴ AB 的长为 20 . 第二十六章 解直角三角形 26.1 锐角三角函数（ 2 ） 观察两个不同大小的三角板，当角是 30° 、 45° 、 60° 时，它们的对边与斜边、邻边与斜边的比值有什么规律？谈谈你的看法 . 问题思考 学 习 新 知 大家谈谈 如图所示 , 在 Rt△ ABC 中 ,∠ C= 90° . (1)∠ B 的正弦与余弦分别是哪两边的比值 ? （ ∠ B 的正弦是 ,∠ B 的余弦是 . ） (2) 由 a