冀教版九年级数学上册第28章圆

第二 十八章 圆 28.1 圆的概念及性质 学习目标： 1 ． 通过观察实验操作，感受圆的定义，结合图形认　 识弧，半圆，弦，直径，等圆，等弧，优弧，劣　 弧等有关概念； 2 ．在具体情景中，通过探究、交流、反思等活动获　 得圆的有关定义，体验探求规律的思想方法． 学习重点 ：圆 的有关概念． 　　古代人最早是从太阳，阴历十五的月亮得到圆的 概念的 ．那么是什么人做出第一个圆的呢？ 18 000 年前 的山顶洞人 用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再 从另 一面钻，石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径 ，这样 以同一个半径和圆心一圈圈地转，就可以钻出一 个圆 的孔．到了陶器时代，许多陶器都是圆的，圆的 陶器是 将泥土放在一个转盘上制成的． 引入新知 　　我国古代，半坡人就已经会造圆形的房顶了． 大约在 同一时代，美索不达米亚人做出了世界上第一个 轮子 —— 圆的木轮．很早之前，人们将圆的木轮固定在 木架 上，这样就成了最初的车子． 2 000 多年前，墨子 给出 圆的定义 “ 一中同长也”，意思是说，圆有一个 圆心，圆心 到圆周的长都相等．这个定义比古希腊数学家欧 几里 得给圆下的定义要早很多年． 引入新知 学习新知 如 图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆． 固定 的端点 O 叫做圆心 ； 线段 OA 叫做半径 ； 以 点 O 为圆心的圆，记作⊙ O ，读作“圆 O ”． 圆 的概念 · r O A 学习新知 同心圆 等圆 圆心相同，半径不同 确定 一个圆的两个要素 : 一 是圆心， 二是半径． 半径相同，圆心不同 O 学习新知 问题 1 ：圆上各点到定点（圆心 O ）的距离有 什么规律 ？ 问题 2 ：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ · r O A 学习新知 动态 ： 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端 点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做 圆 ． 静态 ： 圆心为 O 、半径为 r 的圆可以看成是所有到 定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合． 学习新知 经过 圆心的弦叫做 直径 ， 如图中的 AB ． 连接 圆上任意两点的线段叫做 弦 ， 如图 中的 AC ． 弦 C O A B 与圆有关的概念 圆 的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 半圆 ． 弧 圆 上任意两点间的部分叫做 圆弧 ，简称 弧 ．以 A 、 B 为端点的弧记作 　 ， 读作“圆弧 AB ”或“弧 AB ”． AB C O A B 与圆有关的概念 劣弧 与优弧 小于 半圆的弧（如图中的 　）叫做 劣弧 ． A C 大于 半圆的弧（用三个字母表示，如图中的　 　）叫 做 优 弧 ． AB C C O A B 与圆有关的概念 在 同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧． 等 弧 与圆有关的概念 由弦及所对的弧组成的图形叫做弓形 ． 弓形 与圆有关的概念 能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等 . 等圆 与圆有关的概念 证明：连接 AC ， DB . AB ， CD 为 ⊙ O 的直径， OA = OB , OC = OD . 四边形 ADBC 为平行四边形， AD // CB . 应用拓展 例 1 已知：如图， AB ， CD 为 ⊙ O 的直径 . 求证： AD // CB . （ ） 1 ．判断下列说法的正误： （ 1 ）弦是直径； （ 2 ）半圆是弧； （ 3 ）过圆心的线段是直径； （ 5 ）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆； （ 4 ）半圆是最长的弧； （ 6 ）半径相等的两个半圆是等弧． × √ × × × √ 应用拓展 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 第二 十八章 圆 28.2 过三点的圆 车间 工人要将一个如图所示的破损的圆盘复原，你有办法吗？ 生活生产中 的 问题 ： ● A 确定圆的条件 类比确定直线的条件 : 经过一点可以作无数条直线； 经过两点只能作一条直线 . ● A ● B 确定圆的条件 1. 想一想 , 经过一点可以作几个圆 ? 经过两点 , 三点 ,…, 呢？ (1) 作圆 , 使它过已知点 A . 你能作出几个这样的圆 ? ● O ● O ● O ● O ● O ● A (2) 作圆 , 使它过已知点 A , B . 你能作出几个这样的圆 ? ● O ● O ● B ● A 2. 过已知点 A , B 作圆 , 可以作无数个圆 . 经过两点 A , B 的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上 . 以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点为圆心 , 这点到 A 或 B 的距离为半径作圆 . 你准备如何 ( 确定圆心 , 半径 ) 作圆？ 其圆心的分布有什么特点 ? 与线段 AB 有什么关系？ ● O ● O O ● A ● B A B C 过如下三点能不能做圆 ? 为什么 ? 3. 作圆 , 使它过已知点 A , B , C ( A , B , C 三点不在同一条直线上 ), 你能作出几个这样的圆 ? 你准备如何 ( 确定圆心 , 半径 ) 作圆？ 其圆心的位置有什么特点 ? 与 A , B , C 有什么关系？ 经过两点 A , B 的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上 . 经过三点 A , B , C 的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点 O 的位置 . ┓ ┏ ● O ● A ● B ● C 经过两点 B , C 的圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线上 . 请你作圆 , 使它过已知点 A , B , C ( A , B , C 不共线 ). 作法 ： 1. 连接 AB , BC . 2. 分别作线段 AB ， BC 的垂直平分线 DE 和 FG , DE 与 FG 相交于点 O . 3. 以 O 为圆心 , OA ( 或 OB , 或 OC ) 为半径 , 作圆 . ⊙ O 即为所求 . 请你证明你做得圆符合要求 . ∵ 点 O 在 AB 的垂直平分线上， ∴⊙ O 就是所求作的圆 , ┓ E D ┏ G F ● A ● C ● B ● O ∴ OA = OB . 同理 , OB = O C. ∴ OA = OB = OC . ∴ 点 A , B , C 在以 O 为圆心的圆上 . 这样的圆可以作出几个 ? 为什么 ?. 证明 : 连接 AO ， BO ， CO . 三点定 圆 定理 不在同 一条直线上的 三个点 确定一个圆 . 在上面的作图过程中 . ∵ 直线 DE 和 FG 只有一 个交点 O , 并且点 O 到 A , B , C 三个点的距离相等 , ∴ 经过点 A , B , C 三点 可以 作一个圆 , 并且只能作一个圆 . 定理 ：不在 同一条直线上的三个点确定一个圆 . 现在你知道了吗？ 根据这个定理怎样确定一个圆？ 只要有不在同一条直线上的三点 ， 确定 一 个 圆 . 现在 你知道了怎样要将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？ 图中工具的 CD 边所在直线恰好垂直平分 AB 边，怎样用这个工具找出一个圆的圆心？最少几次？ C A B D · 圆心 画一画 三角形与圆的位置关系 因此 , 三角形的三个顶点确定一个圆 , 这圆叫做三角形的外接圆 . 这个三角形叫做圆的内接三角形 . 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的的交点 , 叫做三角形的外心 . ● O A B C 例 用尺规作过三角形三个顶点的圆 . 已知：如图 28-2-2 ， △ ABC . 求作： ⊙ O ，使它过三点 A ， B ， C . 作法：如图 28-2-3. （ 1 ）分别作线段 AB 和 BC 的垂直平分线 l 1 和 l 2 ，设 l 1 与 l 2 相交于点 O . (2) 以点 O 为圆心， OA 为半径画圆 . ⊙ O 即为所求 . 判断： 1 、经过三点一定可以作 圆 . （ ） 2 、三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的 交点 . （ ） 3 、三角形的外心到三边的距离 相等 . （ ） 4 、等腰三角形的外心一定在这个三角形 内 . （ ） × √ × × 练一练 1 . 如图， △ ABC 为⊙ O 的内接三角形，∠ A =40° , 则∠ BOC =______. 80 ° 巩固练习 2. 如图，点 O 为△ ABC 的外心，且 ∠ A =80° ，∠ BOC =______. 巩固练习 160° 3 ．如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ，若∠ BOD =100° ，则∠ DAB 的度数为（ ） A ． 50° B ． 80° C ． 100° D ． 130° D ∵ 四边形 ABCD 内接于⊙ O 【 解析 】∵∠ BOD =100° ∴∠ C ＝ ∠ BOD =50° ∴∠ A ＝ 180°-∠ C =130° 基础练习 1. 下列命题不正确的是（ C ） A. 过一点有无数个圆 B . 过两点有无数个圆 . C. 过三点能确定一个圆 D . 过同一直线上三点不能 2. 三角形的外心具有的性质是（ B ） A. 到三边的距离相 等 B . 到三个顶点的距离相 等 C . 外心在三角形的 外 D. 外心在三角形 内 （ 1 ）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一 确定 . （ 2 ）经过一个已知点能作无数个圆！ （ 3 ）经过两个已知点 A 、 B 能作无数个圆！这些圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线 上 . （ 4 ）不在同一直线上的三个点确定一个 圆 . （ 5 ）外接圆，外心的 概念 . 结论 三角形的外心 是三角形 的圆心 外接圆 是 的交点 三边垂直平分线 到 三顶点 的距离相等 第二十八章 圆 28.3 圆心角和圆周角（ 1 ） 学 习 新 知 ( 把圆绕圆心旋转任意一个角度 , 所得的图形与原图形重合 , 即圆有旋转不变性 ) 知识准备 1 . 圆是不是中心对称图形 ? 对称中心是什么 ? ( 圆是中心对称图形 , 圆心是它的对称中心 ) 2 . 将课前准备的两个圆形纸片重合在一起 , 绕圆心转动其中一个圆 , 你发现什么现象 ? 圆心角定义 圆心角 : 顶点在圆心的角叫做 圆心角 . 【思考】 1 . 如图所示 , 哪些角是圆心角 ? 哪些角不是圆心角 ? (1) 和 (4) 所示的 ∠ AOB 为☉ O 的圆心角 ,(2) 和 (3) 所示的 ∠ APB 不是☉ O 的圆心角 . 2 . 如图所示 , 图中有几个圆心角 ? 分别是什么 ? ( 三个 , 分别是 ∠ AOB ,∠ AOC ,∠ BOC ) (1) 猜想弦 AB , CD 以及 , 之间各个有怎样的关系 ; 圆心角、弦、弧之间的关系 如图所示 , 在☉ O 中 , ∠ AOB= ∠ COD. (2) 请用图形的旋转说明你的猜想 . 在课前准备的圆形纸片上画出 ∠ AOB 旋转到 ∠ COD 的图 . 1 . 将 ∠ AOB 旋转到 ∠ COD 的位置 , 它能否与 ∠ AOB 完全重合 ? 2 . 如果能重合 , 你会发现哪些等量关系 ? 3 . 你能证明这些结论吗 ? 4 . 在两个等圆中 , 如果圆心角 ∠ AOB= ∠ A'O'B' , 如图所示 , 你能否得到相同的结论 ? 5 . 你能用语言叙述上面的命题吗 ? 定理 : 在同圆或等圆中 , 相等的圆心角所对的弦相等 , 所对的弧也相等 . 设 ∠ AOC = ，将 △ AOB 顺时针旋转 ，则 AO 与 CO 重合， BO 与 DO 重合 . ∴AB 与 CD 重合， 与 重合 . ∴ AB = CD ， = . 4 . 在同圆或等圆中 , 两个圆心角及所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中 , 只要有一组量相等 , 那么其他两组量是否相等 ? 【思考】 1 . 在圆心角性质定理中 , 为什么要说“在同圆或等圆中” ? 能不能去掉 ? 2 . 在同圆或等圆中 , 如果两条弧相等 , 能得到什么结论 ? 3 . 在同圆或等圆中 , 如果两条弦相等 , 能得到什么结论 ? 在同圆或等圆中 , 如果两条弦相等 , 那么它们所对的圆心角相等 , 所对的弧相等 . 即 : 在同圆或等圆中 , 两个圆心角及所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中 , 只要有一组量相等 , 其他两组量就分别相等 . 在同圆或等圆中 , 如果两条弧相等 , 那么它们所对的圆心角相等 , 所对的弦相等 . 填空 : 如图所示 , AB , CD 是☉ O 的两条弦 . 即时练习 (1) 如果 AB=CD , 那么 　 　　 , 　 　 　　 .  (3) 如果 ∠ AOB= ∠ COD , 那么 　　　 , 　　　 .  (2) 如果 = , 那么 　　　　 , 　 　 　　 .  AB=CD AB=CD ( 教材 154 页例 1) 如图所示 , 已知 AB 为☉ O 的直径 , 点 M , N 分别在 AO , BO 上 , CM ⊥ AB , DN ⊥ AB , 分别交☉ O 于点 C , D , 且 . 求证 CM=DN. 证明 : 如图所示 , 连接 OC , OD. ，即 + = + . ∴ = . ∴∠ AOC= ∠ BOD. 在 Rt△ CMO 和 Rt△ DNO 中 ,∵ CM ⊥ AB , DN ⊥ AB , ∴∠ CMO= ∠ DNO= 90° . 又 ∵ OC=OD ,∠ MOC= ∠ NOD , ∴Rt△ CMO ≌Rt△ DNO. ∴ CM=DN. [ 知识拓展 ] 　 1 . 圆心角、弦、弧之间的关系的结论必须是在同圆或等圆中才能成立 . 2 . 利用同圆 ( 或等圆 ) 中圆心角、弦、弧之间的关系可以证明角、弦或弧相等 . 3 . 圆心角的度数与所对弧的度数相等 . 1 . 在同圆或等圆中 , 如果 , 那么 AB 与 CD 的关系是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　 A. AB>CD B. AB=CD C. AB