冀教版九年级数学上册第27章反比例函数

第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数 1. 已知每支铅笔的单价是 0.4 元，设购买这种铅笔的数量是 x 个 ， 所花费的总金额为 y 元，则 y 与 x 的关系式为 ____________. 2. 某弹簧的自然长度为 3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1kg，弹簧长度 y 增加 0.5cm. (1)完成下表： (2) 你能写出 y 与 x 之间的关系式吗？ x (kg) 0 1 2 3 4 y (c m ) 思考： （ 1 ） y 是 x 的函数吗？如果是，它们分别属于什么函数？ （ 2 ）你能描述一下函数、一次函数、正比例函数的概念吗？ 一、回忆与再现 问题1：一个矩形的面积是20cm 2 ，相邻的两条边长为 x cm和 y cm. x (cm) 2 4 5 10 20 y (c m 2 ) （1） 则 xy = ________ ，用含 x 的代数式表示 y 为 ___________. （ 2 ）利用写出的关系式完成下表： 10 5 4 2 1 1 、解答下列问题： 问题2：我们知道，电流I，电阻R，电压U之间满足关系式 U=IR． 当U=220V时．则 IR=____ , 用含 R 的代数式表示 I 为 _______ . 二、探索与发现 问题3：京沪高速公路全长约为 1200km， 汽车沿京沪高速公路 从上海驶往北京，汽车行完全程所需的时间为 t ( h ) ， 行驶的平均速度 v ( km/h )． （1）则 vt = ____ ，用含 v 的代数式表示 t 为 ________. （2）利用写出的关系式完成下表： v / （ km/h ） 60 80 100 120 160 t / （ h ） 20 15 12 10 7.5 问题4：某村有耕地346公顷，人口数量 n 逐年发生变化，则 该村人均占有耕地面积 m (公顷/人)与全村人口 n 的关 系式为 __________. 2 、观察以上关系式， （1） 他们是函数吗？是正比例函数吗？是一次函数吗？ （ 2 ）左边关系式中的两个变量有怎样的数量关系？ 右边的关系式从形式上有什么共同特征？ （3）左边的关系式和右边的关系式有怎样的联系？ 三、抽象与概括 3 、 根据以上函数表达式的共同特征，对下面的表达式进行分类， 符合 上述特征的放到 “同类表达式” 中， 不符合 的放到 “非同类表达式” 中。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 同类表达式 非同类表达式 三、抽象与概括 4 、归纳与表达： （1） 你能用自己的语言说说什么是反比例函数吗？ （用“如果 …… ，那么 …… ”的形式） （2）你能仿照一次函数的概念试着给反比例函数下一个定义吗？ 三、抽象与概括 反比例函数 的定义： 一般地，如果两个变量 x 、 y 之间的关系可以表示成 ____________________ 的形式．那么称 y 是 x 的 反比例函数． 三、抽象与概括 （ k 为常数 ， k ≠0 ） 1、在下列函数表达式中， x 均为自变量，哪些是反比例函数？每个反比例函数中，相应的 k 值是多少？ 是， k = 8 不是 不是 不是 是， 不是 是， 不是 四、变式与提升 2. 请同学们根据自己的理解给下列函数找到自己的位置。 反比例函数 函 数 一次函数 正比例函数 四、变式与提升 （1） y 与 x 互为相反数. 1、写出下列问题中的 y 与 x 之间的函数关系式， 指出其中的正比例函数和反比例函数. （2） y 与 x 互为负倒数. 正比例函数 反比例函数 五、巩固与运用 2、 y 是 x 的反比例函数，当 x = 4 时， y = 6. （ 1 ）写出这个反比例函数的表达式. （ 2 ）当 x = － 2 时，求 y 的值 . （2）当 x = －2 时， = －12 五、巩固与运用 解：（1）设这个反比例函数的表达式为 把 x = 4 ， y = 6 代 入， 得 k = 24 所以 3. 星星电子集团接到了生产4000个计算机零部件的任务，生产这 批零部件所需时间为 t ( h ) ， 每小时生产零部件个数为 n ( 个 ) . （ 1 ） 请写出 t 与 n 之间的函数关系式. （ 2 ） 如果每小时生产 80 个，需要多长时间？ 解：（1） （2） 当 n = 80 时， = 50 小时 五、巩固与运用 这节课我们获得了什么数学概念？ 我们获得这个数学概念，经历了怎样的过程？ 通过这个过程，你有什么感受和体会？ 六、回顾与反思 第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图像和性质（ 1 ） 学 习 新 知 思考并回答下列问题 : 1 . 点 (2,3) 在正比例函数 y=kx 的图像上 , 你能求出这个正比例函数的表达式吗 ? （将点 (2,3) 代入 y=kx , 得 k= , 所以函数表达式为 y= x. ） 2 . 判断点 (1,2) 是否在正比例函数 y= 2 x 的图像上 ? 点 ( - 1, - 2),(3,6) 呢 ? 你是如何判定的 ? （点 (1,2) 在函数 y= 2 x 的图像上 ; 点 ( - 1, - 2),(3,6) 也在函数 y= 2 x 的图像上 ; 将点的坐标代入函数解析式 , 满足函数解析式 , 所以点在函数的图像上） . 画反比例函数 的图像 . 描点法画反比例函数的图像 (4) 从左到右连线时 , 图像与 x 轴、 y 轴有没有交点 ? 为什么 ? (1) 该函数中自变量 x 的取值范围是什么 ? 函数值 y 的取值范围是什么 ? 思考 : (2) 画函数图像列表时 , 取哪些 x 的值使函数图像完整、准确 ? (3) 如何用平滑的曲线连接各点 ? (1) 列表 : x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 … … -1 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1 … (2) 描点 : 以表中各组对应值作为点的坐标 , 在如图所示的直角坐标系中描出相应的点 . (3) 连线 : 用平滑的曲线顺次连接各点 , 就得到反比例函数的 图像 . 1 2 3 4 5 6 -4 -1 -2 -3 -5 -6 1 2 4 5 6 3 -6 -5 -1 -3 -4 -2 O y x ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 反比例函数 ( k 为常数 , 且 k ≠ 0) 的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成 , 这样的曲线叫做 双曲线 . 比较反比例函数 与 的图像，指出它们的共同特征． 画出反比例函数 的图像 . ( 图像都是由两部分组成，分别位于两个不同的象限，且关于原点对称，两部分在单个象限内增减性一致等 ) ( 教材 132 页例 1) 已知点 P ( - 6,8) 在反比例函数 的图像上 . (1) 求这个反比例函数的表达式 . (2) 判断点 M (4, - 12) 和 N (2,24) 是否在这个反比例函数的图像上 . 3 . 如何判断点是否在反比例函数图像上 ? 【思考】 1 . 函数图像上点的坐标与函数表达式之间的关系是什么 ? ( 函数图像上的点的坐标满足函数表达式 , 反之 , 满足函数表达式的点在该函数图像上 ) 2 . 待定系数法求反比例函数表达式时 , 需要几个点的坐标代入 ? ( 反比例函数表达式中有一个待定系数 , 所以将函数图像上一个点的坐标代入即可 ) ( 将点的坐标代入函数表达式 , 满足函数表达式 , 则该点在函数图像上 , 反之 , 则不在函数图像上 ) (2) 当 x= 4 时 , 当 x= 2 时 , =- 24 ≠ 24 . 解 :(1) 把点 P ( - 6,8) 的坐标代入 , 得 . 解得 k=- 48 . 所以这个反比例函数的表达式为 . 所以 , 点 M (4, - 12) 在这个反比例函数的图像上 , 点 N (2,24) 不在这个反比例函数的图像上 . [ 知识拓展 ] 　 1 . 反比例函数的图像是双曲线 , 它有两支 , 它的两个分支是断开的 . 2 . 反比例函数 ( k ≠ 0) 的图像的两个分支关于原点对称 . 3 . 反比例函数的图像与 x 轴、 y 轴都没有交点 , 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴 , 但永远不与坐标轴相交 , 这是因为 x ≠ 0, y ≠ 0 . 1 . 如图所示 , 反比例函数 y = ( x < 0) 的图像经过点 P , 则 k 的值为 ( 　　 ) A. - 6 　　　　　 B. - 5 C.6 D.5 检测反馈 解析 :∵ 函数图像经过点 P ( - 3,2),∴ k= x y=- 3 × 2 =- 6 . 故选 A. A 2 . 已知 A ( - 1, m ) 与 B (2, m- 3) 是反比例函数 y= 图像上的两个点 , 则 m 的值为 　　　　 .  解析 : 把 ( - 1, m ),(2, m- 3) 代入函数表达式 , 得 -m=k ,2( m- 3) =k , 解得 m= 2 . 故填 2 . 2 3 . 在平面直角坐标系下画出函数 和 的图像 , 并分别指出两个函数图像所在的象限 . 解 : 列表 : x … -4 -3 -2 2 3 4 … … -3 -4 -6 6 4 3 … … 3 4 6 -6 -4 -3 … 1 2 3 4 5 6 -4 -1 -2 -3 -5 -6 1 2 4 5 6 3 -6 -5 -1 -3 -4 -2 O y x ● ● ● ● ● ● 描点、连线： O x y ● ● ● ● ● ● 函数 y= 的图像在第一、三象限， 函数 y= 的图像在第二、四象限。 (2) 当 m=- 3 时 , 代入函数表达式 , 得 ; ∴ 它的图像位于第二、四象限 . 4 . 已知反比例函数 . (1) 求 m 的值 ; (2) 它的图像位于哪些象限 ? 解 :(1) 依题意可得 : m 2 - 10 =- 1, 且 m- 3≠0, 解得 m=- 3 . 第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图像和性质（ 2 ） 学 习 新 知 长方体的体积为 50 cm 3 , 它的底面积 S ( 单位 :cm 2 ) 与高 h ( 单位 :cm) 之间满足的函数关系是什么 ? 当它的高 h 增加时 , 它的底面积 S 将怎样变化 ? 观察上节课我们画出的反比例函数 与 的图像及表达式，探究下列问题： 反比例函数的图像与性质 一 三 二 四 减小 增大 画出反比例函数 和 的图像 . -4 -1 -2 -3 1 4 -1 -3 -4 -2 1 2 3 4 5 6 -5 -6 2 5 6 3 -6 -5 O y x ● ● ● ● ● ● ● 1 2 3 4 5 6 -4 -1 -2 -3 -5 -6 1 2 4 5 6 3 -6 -5 -1 -3 -4 -2 O x ● ● ● ● ● ● ● ● y 指出反比例函数 和 的图像所在象限 , 并说明 y 的值随 x 的值的变化而变化的情况 . 观察所画的函数图像 , 思考回答 : (1) 反比例函数图像的形状是什么 ? ( 双曲线 ) (2) 反比例函数图像无限延伸后与 x 轴、 y 轴有公共点吗 ? 反比例函数图像关于原点 O 对称吗 ? ( 函数图像与 x 轴、 y 轴没有交点 , 关于原点 O 对称 ) (3) 函数图像在哪个象限内 ? 函数表达式中谁决定函数图像的位置 ? ( 当 k> 0 时 , 双曲线的两支分别位于第一、三象限 ; 当 k< 0 时 , 双曲线的两支分别位于第二、四象限 ) (4) 观察函数图像 , 在每个象限内随着 x 的增大 , y 如何变化 ? 函数表达式中谁决定函数图像的增减性 ? ( 当 k >0 时 , 在每个象限内 , y 随 x 的增大而减小 ; 当 k 0 时 , 它的图像位于第一、三象限 , 在每个象限内 , y 的值随 x 的值增大而减小 ; 2. 当 k ＜ 0 时，它的图像位于第二、四象限，在每个象限内， y 的值随 x 的值增大而增大； 3 . 双曲线的两支向两边无限延伸 , 与坐标轴没有交点 ; 解 : (1)∵ 反比例函数 的图像在第一、三象限 ,∴ k> 0 . ( 教材 135 页例 2) 反比例函数 的图像如图所示 . (1) 判断 k 为正数还是负数 . (2) 如果 A ( - 3, y 1 ) 和 B ( - 1, y 2 ) 为这个函数图像上的两点 , 那么 y 1 与 y 2 的大小关系是怎样的 ? (2) 由 k> 0 可知 , 在每个象限内 , y 的值随 x 的值增大而减小 . ∵ - 3 y 2 . 如图所示 , 点 A 在反比例函数 ( x > 0) 的图像上 , AB ⊥ x 轴于 B , AC ⊥ y 轴于 C , 你能求出矩形 OBAC 的面积吗 ? (4) 求出的矩形面积与比例系数之间有什么关系 ? 回答问题 : (1) 矩形的两条邻边长与点 A 的坐标之间有什么关系 ? (2) 点 A 在反比例函数图像上 , 它的横、纵坐标与比例系数之间是否有等量关系 ? (3) 你能求出矩形 OBAC 的面积吗 ? (1) 若点 A 在反比例函数 ( x < 0) 的图像上 , 矩形的面积又是多少 ? 它与比例系数之间有什么关系 ? 解 : 设点 A 的坐标为 ( x , y ) , 则 x y= 3 . ∴ S 矩形 OBAC = x y= 3 . 拓展思考 : (2) 如图所示 , 若点 A 是反比例函数 ( k ≠ 0) 图像上任意一点呢 ? (3) 若连接 OA , 则△ AOB 与△ AOC 的面积又有怎样的关系 ? S 矩形 OBAC =|x||y|=|k| , S △ ABO =S △ ACO = |k|. 结论： 反比例函数 （ k ≠ 0 ）中比例系数 k 的几何意义： [ 知识拓展 ] 　 1 . 反比例函数图像的位置和函数的增减性都是由比例系数 k 的符号决定的 , 反过来 , 由双曲线的位置或函数的增减性可以判断 k 的符号 . 2 . 当 k> 0 时 , 双曲线的两支分别位于第一、三象限 ; 当 k< 0 时 , 双曲线的两支分别位于第二、四象限 . 3 . 反比例函数的增减性必须强调“在每一个象限内” . 当 k> 0 时 , 在每一个象限内 , y 随着 x 的增大而减小 , 但不能笼统地说 : 当 k> 0 时 , y 随着 x 的增大而减小 . 同样 , 当 k< 0 时 , 在每一个象限内 , y 随着 x 的增大而增大 , 也不能笼统地说 : 当 k< 0 时 , y 随着 x 的增大而增大 . 4 . 过双曲线 ( k ≠0) 上的任意一点 P ( x , y ) 作 x 轴、 y 轴的垂线 , 这一点与垂足、原点所构成的矩形的面积为 S 矩形 =|k| , 所构成的三角形的面积为 S △ = |k|. 1. 反比例函数 的 图像大致是（ ） 检测反馈 解析：∵ k 2 ≥0,∴ k 2 +1 ＞ 0 ， ∴ 该函数图像在第一、三象限，故选 D. D 2 . 已知反比例函数 , 下列结论不正确的是 ( 　 ) A. 图像必经过点 (1,2) B. y 随 x 的增大而减小 C. 图像在第一、三象限 D. 若 x > 1, 则 y < 2 解析 : 把 (1,2) 代入得 : 左边 = 右边 , 故 A 正确 ; k= 2 > 0, 图像在第一、三象限 , 在每个象限内 , y 随 x 的增大而减小 , 故 B 错误 ,C 正确 ; k= 2 > 0, 当 x > 1 时 ,0 < y < 2, 故 D 正确 . 故选 B. B 3 . 如图所示 , 点 B 在反比例函数 ( x > 0) 的图像上 , 过点 B 分别向 x 轴、 y 轴作垂线 , 垂足分别为 A , C , 则矩形 OABC 的面积为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 : 由反比例函数 中比例系数 k 的几何意义可得矩形 OABC 的面积为 |k|= 2 . 故选 B. B 4 . 已知 y 是 x 的反比例函数 , 当 x > 0 时 , y 随 x 的增大而减小 . 请写出一个满足以上条件的函数表达式 　 .  解析 : 只要使比例系数大于 0 即可 . 如 ( x > 0), 答案不唯一 . 故填 ( x > 0) . (2) 把点 B (1, b ) 代入 , 得 b= 3, ∴ 点 B 的坐标为 (1,3), ∴ 由图像可知 , 当 0 3 时 , y 1 < y 2 ; 当 x= 1 或 x= 3 时 , y 1 = y 2 ; 当 1 y 2 . 5 . 如图所示 , 函数 y 1 =-x+ 4 的图像与函数 ( x> 0) 的图像交于 A ( a ,1), B (1, b ) 两点 . (1) 求函数 y 2 的表达式 ; (2) 观察图像 , 比较当 x> 0 时 , y 1 与 y 2 的大小 . 解 : (1) 把点 A ( a ,1) 代入 y 1 =-x+ 4, 得 a= 3, 即点 A 的坐标为 (3,1), ∴ k 2 = 3,∴ . 第二十七章 反比例函数 27.3 反比例函数的应用 学 习 新 知 在一段长为 45 km 的高速公路上，规定汽车行驶的速度最低为 60 km/h ，最高为 110 km/h. 1 . 在这段高速公路上 , 设汽车行驶的速度为 v (km/h), 时间为 t (h), 写出 v 与 t 之间的函数关系式 . 2 . 某司机开车用了 25 min 匀速通过了这段高速公路 , 请你判断这辆汽车是否超速 , 并说明理由 . 3. 某天，由于天气原因，汽车通过这段高速公路时，要求行驶速度不得超过 75 km/h. 此时，汽车通过该路段最少要用多长时间？ 反比例函数在实际问题中的应用 (1) 在上述问题中有哪些量 ? 哪些量是常量 ? 哪些量是自变量和因变量 ? (2) 在行程问题中 , 路程、速度和时间三者之间的等量关系是什么 ? (3) 自变量和因变量的乘积是不是常数 ? 两者之间是不是存在着反比例函数关系 ? (4) 你能否写出 v 与 t 之间的函数关系式 ? (5) 你能根据实际问题求出自变量的取值范围吗 ? (6) 已知自变量 t 的值 , 怎样求因变量 v 的值 ? (7) 已知因变量 v 的值 , 如何求自变量 t 的值 ? (8) 在该反比例函数关系中 , 已知自变量的取值范围 , 怎样求因变量的取值范围 ? (2) 当 时 , v= 108, ∵v< 110, ∴ 没有超速 . ∴ 通过该路段最少要用 36min. (3) 当 v=75 时， ，解得 t =0.6 ， ∵45 ＞ 0 ， ∴v 随着 t 的增大而减小， ∴ 当 t≥0.6 时， v≤75 ， ( 教材 138 页例 ) 气体的密度是指单位体积 (m 3 ) 内所含气体的质量 (kg) . 现有某种气体 7 kg . (1) 某储气罐的容积为 V (m 3 ), 将这 7 kg 的气体注入该容器后 , 该气体的密度为 ρ (kg/m 3 ), 写出用 V 表示 ρ 的函数表达式 . (2) 当把这些气体装入容积为 4 m 3 的储气罐中时 , 它的密度为多大 ? (3) 要使气体的密度 ρ= 2 kg/m 3 , 需把这些气体装入容积是多少立方米的容器中 ? (4) 在下图所示的直角坐标系中 , 画出这个函数的图像 , 并根据图像回答 : ① 当这些气体的体积增大时 , 它的密度将怎样变化 ? ② 把这些气体装入容积不超过 2 m 3 的容器中 , 气体的密度 ρ 在什么范围内 ? 解 :(1) 用 V 表示 ρ 的函数表达式为 : . (2) 当 V= 4 m 3 时 , = = 1 . 75(kg/m 3 ) . (3) 当 ρ= 2 kg/m 3 时 , , 解得 V= 3 . 5(m 3 ) . (4) 函数 的图像如图所示 . ● ● ● ● ● ② 把这些气体装入容积不超过 2 m 3 的容器中 , 气体的密度 ρ ≥ 3 . 5 kg/m 3 . ① 由反比例函数的图像可以看出 , 当这些气体体积增大时 , 它的密度减小 . 做一做 : 厨师将一定质量的面团做成粗细一致的拉面时 , 面条的总长度 y (m) 是面条横截面面积 S (mm 2 ) 的反比例函数 , 其图像经过 A (4,32), B ( m ,80) 两点 ( 如图所示 ) . (1) 写出 y 与 S 的函数关系式 . (2) 求出 m 的值 , 并解释 m 的实际意义 . (3) 如果厨师做出的面条最细时的横截面面积能达到 3 . 2 mm 2 , 那么面条总长度不超过多少米 ? 解 :(1) , S> 0 . ∴ 当 s 最小为 3 . 2 mm 2 时 , 面条的长度不超过 40 m . (2) m= 1 . 6, 当面条的总长度是 80 m 时 , 面条的横截面面积是 1 . 6 mm 2 . (3) 当 s= 3 . 2 时 , y= 40 . ∵ k= 128 > 0, ∴y 随 s 的增大而减小 , 【 知识拓展 】 1. 在利用反比例函数解决实际问题时，要根据题目的实际意义或物理、化学等学科中的公式建立函数关系式，再根据需要进行变形或计算 . 2. 本节知识用到了转化思想及数学建模思想，如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系 . 解析： 题中等量关系为：人均粮食产量 y × 人口数 x = 粮食总产量 a ，所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y = （ x ＞ 0 ），所以该函数为第一象限内的双曲线，故选 C. 检测反馈 1 . 某村的粮食总产量为 a ( a 为常数 ) 吨 , 设该村的人均粮食产量为 y 吨 , 人口数为 x , 则 y 与 x 之间的函数关系式的大致图像是图中的 ( 　　 ) C A. 不小于 m 3 B. 小于 m 3 C. 不小于 m 3 D. 小于 m 3 2 . 某气球内充满了一定质量的气体 , 当温度不变时 , 气球内气体的气压 P (kPa) 是气体体积 V (m 3 ) 的反比例函数 , 其图像如图所示 . 当气球内的气压大于 120 kPa 时 , 气球将爆炸 . 为了安全起见 , 气球的体积应 ( 　　 ) C 在第一象限内 , P 随 V 的增大而减小 , ∴ 当 P ≤ 120 时 , V= 解析 : 设球内气体的气压 P (kPa) 和气体体积 V (m 3 ) 的关系式为 P = ， ∵ 图像过点 (1 . 6,60) ， ∴ k= 96, 即 P= . ≥ ．故选 C ． 解析： 根据等量关系：长 × 宽 = 面积得， xy =2 ，所以 y 与 x 之间的函数解析式为 y = ，根据 x 实际意义 x 应大于 0 ，故填 y = （ x ＞ 0 ）． 3 . 矩形的面积是 2 cm 2 , 设长为 y cm, 宽为 x cm, 则 y 与 x 之间的函数解析式为 　 .  y = 解析 : 由题意得 ρ 与 V 成反比例函数的关系 , 设 , 根据图像信息可得 : 当 ρ= 0 . 5, V= 19 . 8, ∴k=ρV= 0 . 5 × 19 . 8 = 9 . 9, 即可得 . 4. 二氧化碳的密度 ρ ( kg/m 3 ) 关于其体积 V (m 3 ) 的函数关系式如图所示 , 那么函数关系式是 　 .  ρ = ρ = 5 . 一辆汽车匀速通过某段公路 , 所需时间 t (h) 与行驶速度 v (km/h) 满足函数关系 : t= , 其图像为如图所示的一段曲线且端点为 A (40,1) 和 B ( m ,0 . 5) . (1) 求 k 和 m 的值 ; (2) 若行驶速度不得超过 60 km/h, 则汽车通过该路段最少需要多少时间 ? (2) 令 v= 60, 得 t= , 结合函数图像可知 , 汽车通过该路段最少需要 小时 . 当 t= 0 . 5 时 ,0 . 5 = , 解得 m= 80, ∴ k= 40, m= 80 . 解 :(1) 将 (40,1) 代入 t= , 得 1 = , 解得 k= 40, ∴ 函数解析式为 t= ,