冀教版七年级数学上册第四章整式的加减

第四章 整式的加减 4.1 整式 （第 1 课时） (4) 若 m 表示一个有理数，则它的 3 倍是 ； (2) 买一本笔记本 0.5 元，买 n 本的价钱是 ； 用字母表示下列数量关系： (1) 若正方形的边长为 a ，则正方形的面积是 ； 0.5 n 3 m (3) 若 x 表示正方 体的 棱长，则正方体的表面积是 ； 1. 小亮家的电冰箱平均每天耗电量为 m 千瓦时， 那么 n 天耗电量为 _______ 千瓦时 . 活动一 学习新知 2. 某物品包装箱的形状是长方体，如果包装箱 的宽和高都是 a cm ，长是 b cm ，那么它的体 积是 _________ 立方厘米 . mn 3. 一个两位数，个数数字是 x ，十位数字是 y ， 这个两位数可表示为 ____ ____ _ ，如果个 位 数 字与十位数字交换位置，所得的两位数可表 示为 ____________. 10 y+x 10 x+y 4. 为了保护环境，促进生态平衡，某地计划逐 年 增加植树造林的面积 . 如果第一年植树造林 a 公 顷，第二年比第一年增加了 10% ，那么第 二年 比第一年的植树造林的面积增加了 ___ 公 顷 . 10% a 5. 如图，在边长为 a 的正方形内，挖去一个底为 b ，高为 的 三角形，则剩下部分的面积为 ___________. 观察思考 ： 观察 下 面得到的代数式 ，并 尝试按照运算分类 活动二 知识拓展 （ 1 ） 判断一个式子是否 为 单项式的方法，一是必须是乘积的形式，也就是除乘号外没有其他符号；二是这个式子的分母是否含有字母，不含有字母的才是单项式 . （ 2 ） 是单项式，表示一个具体的数，而不是字母，故出现在分母上可以成为单项式 . （ 3 ） 单项式的概念 ： 由数与字母 ( 或字母与字母 ) 相乘组成的代数式，我们把这样的代数式叫做单项式 . （ 4 ） 单项式的系数和次数 ： 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 . 强调：单个字母的指数是 1 ，而不是 0. 例 ： 用代数式表示，并指出它们的系数和次数 . ⑴某商店 8 月份营业额为 m 万元， 9 月份营业额比 8 月份增加了 25%.9 月份的营业额为多少万元？ 活动三 9 月份的营业额为（ 1+25% ） m 它的系数是 1+25% ，次数是 1. 0.9 ab ⑵某品牌汽车原价为 a 元 / 辆，现按九折出售 . 如果一周内销售了这种汽车 b 辆，那么这周的销售额为多少元？ 它的系数是 0.9 ，次数是 2 abh ⑶一个长方体形状的零件，它的底边长分别为 a cm 和 b cm ，高是 h cm ，这个零件的体积是多少立方厘米？ 它的系数是 1 ，次数是 3. 课堂小结 1. 单项式的概念：单项式是数与字母（或字母与字母）相乘组成的代数式 . 注意：单项式中数与字母或字母与字母之间都是乘积关系，单项式只含有乘法和以数字为除法的除法运算，不能含有加减运算，更不能含有以字母为除法的除法运算 . 2. 单项式的次数与系数： 注意：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；在判别单项式的时候，要注意包括数字前面的符号 . 一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式 . 1. 下列代数式不是单项式的是 ( ) D 检测反馈 解析 : A 、 C 都是单独的一个数 , 是单项式 , B 是数与字母的积 , 是单项式 , D 中分母中含有字母 , 它不是单项式 . -3 6 3 × 10 5 2 2. 填空：（ 1 ） -3ab²c³ 的系数是 .次数是 ； （ 2 ） 3×10 5 a² 的系数是 ，次数是 . 解 : 这两个单项式的共同之处有 : 各含有 3 个字母，都含有字母 a , 都是六次单项式 , 系数都是整数 , 并且都是 4 的倍数 ; 它们的不同之处有 : 它们的系数不同 ( 符号和绝对值不相同 ), 字母 a 的指数不同，除了 a 之外 , 它 们所含有的字母也不相同 . 3. 比较单项式 12ab²c³ 与 -8a³x²y 的异同 . 1. （ 1 ）长方形的长与宽分别为 a 、 b ，则长方形 的周长是 ； 2 a+ 2 b 复习巩固 （ 2 ）某班有男生 x 人，女生 21 人，则这个班共 有学生 人； （ 3 ）鸡兔同笼，鸡 a 只，兔 b 只，则共有头 个 脚 只 . x+ 21 a+b 2 a + 4 b 2. 观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别 . （ 1 ） 2 （ a ＋ b ） ； （ 2 ） 21 ＋ x ； （ 3 ） a ＋ b ； （ 4 ） 2 a ＋ 4 b . 4.1 整式（第 2 课时） 这些式子有什么共同的特点？ 归纳：多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．同单项式一样，一个多项式的次数是几，我们就称它为几次式 . 学习新知 活动一 ⑴在地球上生存的动物约有 150 万种，其中，无脊椎动物约有 m 万种，脊椎动物约有 ______ 万种 . 150- m 活动二 它的项是 150 和 - m ，次数是 1 ⑵如图，城楼门口的形状，下部是长方形，上部是半圆形 . 它的面积是 ________ _ __. 100 c +10 b + a ⑶ 一个三位数的个位数字为 a ，十位数字 为 b ，百位数字为 c ，这个三位数可表示 为 . 它的项是 100 c ， 10 b 和 a ，次数是 1 想一想 整式与单项式、多项式有什么关系？ 单项式是整式，多项式也是整式 多项式中包括单项式和多项式 整式 单项式 多项式 例 ： 如图所示 的 是由一个正方体和一个长方体组成 的组合体 . 这个代数式是多项式，它是三次二项式 ⑴请用代数式表示这个组合体的体积 ； ⑵这个代数式是多项式还是单项式？如果是多项式，请你说出它是几次几项式 . 整式、单项式与多项式的联系与区别 知识拓展 整式 单项式 多项式 概念：数与字母的乘积叫做单项式； 注意：单独的一个数或一个字母也是单项式 . 系数：单项式中的数字因数 次数：单项式中所有字母的指数的和 概念：几个单项式的和 次数：多项式里，次数最高项的次数 1 ．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数 ． 2 ．多项式的组成元素是单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有 a 个单项式，次数是 b ，那么这个多项式就叫 b 次 a 项式 ． 3. 单项式和多项式统称为整式，它们都有次数，但是单项式有系数；多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．如果一个代数式既不是单项式也不是多项式，那么它就一定不是整式． 课堂小结 1. 下面说法正确的是 （ ） A . 一个代数式不是单项式就是多项式 B . 单项式是整式 C . 整式是单项式 D . 以上都不对 B 检测反馈 解析 : 单项式和多项式统称为整式 . 2. 多项式 1+ xy-xy ² 的次数及最高次项的系数分别是 ( ) A ． 2 ， 1 B ． 2 ， -1 C ． 3 ， -1 D ． 5 ， -1 C 解析 : 多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数，是 3 ，最高次项的系数是 -1 . 3. 多项式 的次数和项数 分 别是 ( ) A . 次数为 3 ，项数为 2 B . 次数为 5 ，项数为 2 C . 次数为 3 ， 项数为 3 D . 次数为 5 ，项数为 1 A 解析：因为 有两项，分别是 和 ，而 为常数项，次数为 0 ， 的次数为 3 ， 所以是三次二项式 . 解 : 单项式有 : 多项式有 : 不是整式的有 : 第四章 整式的加减 4.2 合并同类项 小亮用Ⅰ型和Ⅱ型的积木块搭成了如图所示的两个不同形状的“桥” . 怎样计算两个“桥”的体积呢？ 大家能用哪些方法计算“桥”的体积呢？ 活动一 学习新知 图 1 中“桥”的体积 ： 图 2 中“桥”的体积 ： 观察 等式的左边和右边有什么联系呢？ 在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项 . 几个常数项也叫同类项 . （ 1 ）同类项不一定是两个，也可以是多个，所有的常数项都是同类项 . （ 2 ）判断同类项的两个标准：一是所含的字母相同，二是相同字母的指数相同 . 两个无关：一是系数无关，二是与字母顺序无关 . （ 3 ）同类项的前提必须是单项式 . 知识拓展 活动二 在多项式中，几个同类项可以合并成一项，这个合并的过程，叫做合并同类项．在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变 . 观察下面图式中的式子，请你总结什么是合并同类项？合并同类项的法则是什么？ 算一算 例 ： 合并同类项： 算一算 算一算 注意 ： ①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项结果为 O ； ②合并同类项时，只能把同类项合并为一项，不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上； ③只要不再有同类项，就是最后的结果，结果可能是单项式，也可能 是 多项式； ④同类项移动位置时，不要漏掉它的性质符号，特别注意“ - ”号． 课堂小结 1. 判断同类项：一是所含的字母相同；二是相同的字母的指数也必须相等 . 同类项只与字母和字母的指数有关，与字母 的 排列顺序和前面的系数无关 . 2. 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并的法则是：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变． 3. 合并同类项的步骤是： 第二步 准确找出同类项，并用不同的记号标出 利用分配律，把同类项的系数加在一起，字母和字母的指数不变 写出合并后的结果 第一步 第三步 1. 下列各组式子中，为同类项的是（ ） . B 检测反馈 2. 下列计算正确的是 （  ） A ． 8 x +4=12 x B ． 4 y -4= y C ． 4 y -3 y = y D ． 3 x - x =3 C 解析 : 根据合并同类项的法则计算各个选项， A . 不能合并； B. 不能合并， C . 4 y- 3 y=y ， D . 不能合并 3 . 若单项式 与 是同类项 , 则 m+n 的值是 _______. 5 解析 : 本题考查同类项的定义 , 由题意可知 , m =3 , n =2, 故 m+n =5 . 4. 下列各题中的两项是不是同类项 ? 为什么 ? 解 : ⑴是 . 因为所含字母相同 , 都有 x 、 y 且 x 、 y 的指数都是 1 ，即相同字母的指数分别相同； ⑵不是，因为字母相同，但相同字母的指数不相同； ⑶是，因为只有系数不同，完全符合同类项的两个标准； ⑷是，因为它们只有字母的排列顺序和系数大小不同，所含字母及相同字母的指数都分别相同； ⑸是，因为两项都只含有字母 t ，并且 t 的指数都是 1 ， 与 都是系数，它们是同类项 . 第四章 整式的加减 4.3 去括号 在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段、非冻土地段的行驶速度分别是 100 km/h和120 km/h． 列车通过冻土地段要比通过非冻土地段多用0.5h,如果通过冻土地段需要 u 小时，那么它通过非冻土地段的时间为（ u -0.5）小时，冻土地段的路程为100 u 千米，非冻土地段的路程为120（ u -0.5）千米，因此，这段铁路全长（单位：千米）为 100 u +120( u -0.5) ① 冻土地段与非冻土地段相差100 u -120( u -0.5) ② 上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？ 观察思考 活动一 学习新知 当 a =2 ， b =3 ， c =4 时 计算第一组、第二组代数式的值 . 第一组 第二组 a+ （ b+c ） a= 2 ， b= 3 ， c= 4 2 + （ 3+4 ） =9 a+b+c 2+3+4 =9 a+ （ b-c ） 2+ （ 3--4 ） =1 a+b-c 2+3-4 =1 a= 2 ， b= 3 ， c= 4 a= 2 ， b= 3 ， c= 4 a= 2 ， b= 3 ， c= 4 第一组 第二组 思考： 去掉括号后，两组代数式之间有什么关 系？ 第一组 第二组 当 a= 2 ， b= 3 ， c= 4 时 计算第 三 组、第 四 组代数式的值 . a- （ b + c ） a =2 ， b =3 ， c =4 2 - （ 3+4 ） = - 5 a - b - c 2-3-4 = - 5 a - （ b - c ） 2- （ 3-4 ） =3 a - b + c 2-3+4 =3 a =2 ， b =3 ， c =4 a =2 ， b =3 ， c =4 a =2 ， b =3 ， c =4 思考： 去掉括号后，两组代数式之间有什么 关系？ 第三组 第四组 为什么上面每组代数 式 的值相等呢？ 如何 证明 ？ a+ ( - 1)( b+c ) 活动二 =a+ ( - 1) b+ (-1) c =a-b-c 即 a- ( b+c ) =a-b-c. 例 ： 先去括号，再合并同类项 （ 1 ） 5 a+ 2( b -a ) （ 2 ）2( 4 x- 6 y ) － 3 ( 2 x+ 3 y- 1 ) = 5 a+ 2 b - 2 a = 3 a+ 2 b = 8 x- 12 y- 6 x- 9 y+3 = 2 x- 21 y+ 3 知识拓展 1. 去括号的依据是乘法分配律，不要漏乘 2. 注意法则中的 “ 都 ” 字，变号时，各项都变号，若不变号，各项都不变号 . 3. 多重符号，先去小括号，再去中括号，每去掉一层括号，如果有同类项要随时合并，这样简便下一步运算，减少差错 . 课堂小结 1. 根据去括号法则， 如果括号前面是“ + ”，把括号和它前面的“ + ”去掉，原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号前面是“ - ”，把括号和它前面的“ - ”去掉，原括号内各项的符号与原来的符号相反 . 2. 根据分配律去括号，如果把括号前面的“ + ”看成 +1 ，“ - ”看成是 -1 ，那么根据分配律也能达到去括号的目的 . 1 . 下列去括号正确的是 ( ) A .a- ( b+c- 1) =a-b+c- 1 B .a- ( b-c- 1) =a-b+c- 1 C .a- ( b-c+ 1) =a-b+c- 1 D .a- ( b+c+ 1) =a-b+c- 1 C 检测反馈 2. 化简 -16 （ x -0.5 ） 的结果是（  ） A ． -16 x -0.5 B ． -16 x +0.5 C ． 16 x -8 D ． -16 x +8 D 解析 : 根据去括号的法则计算即可． -16 （ x -0.5 ） =-16 x +8 ， 3. 化简 a -[-2 a -( a-b )] 等于（ ） A . -2 a B. 0 C . 4 a-b D . 2 a- 2 b C 解析 : a- [ - 2 a- ( a-b )] =a- ( - 2 a-a+b ) =a+ 2 a+a-b= 4 a-b. 4. 容量是 56 升的铁桶，装满油，取出 ( x +1) 升后，桶内还剩油 _______ 升 . （ 55- x ） 解析：由题意，得 56-( x +1)=56- x -1=55- x. 5. 化简： （ 1 ） m- (5 m- 3 n ) + 2( n-m ) m- (5 m- 3 n ) + 2( n-m ) =m- 5 m+ 3 n+ 2 n- 2 m =- 6 m +5 n 第四章 整式的加减 4.4 整式 的加减 1 ．填空：整式包括 _______ 和 ________ ． 复习巩固 单项式 多项式 2 ．下列各式，是同类项的一组是（ ） A 3 ．去括号后合并同类项： (3 a － b ) ＋ (5 a ＋ 2 b ) － (7 a ＋ 4 b ) ． =3 a － b ＋ 5 a ＋ 2 b － 7 a -4 b = （ 3+5-7 ） a + （ -1+2-4 ） b = a -3 b 活动一 学习新知 七年级 ( 一 ) 班分成三个小组，利用星期日参加社会公益活动．第一组有学生 m 名；第二组的人数比第一组的 2 倍少 10 人；第三组的人数是第二组的一半．七年级 ( 一 ) 班共有学生多少名 ? (1) 用代数式表示每组的人数？ 第一组人数为 m ；第二组人数为 （ 2 m -10 ）； （ 2 ）怎样计算全班一共有多少人？ 答：七年级一班共有学生 (4 m -15) 名 . 小结： 整式的加减运算，实质上就是去括号和合并同类项的问题 . 先去括号，再合并同类项是整式运算的基本步骤 . 观察与思考 对于“求整式 的差”，小明 的做法是： 解： = 请你观察并思考小明的解题过程，说明整式相减的步骤有哪些． 活动二 思考： （ 1 ）上面算式中的第一步是什么？ 去括号 （ 2 ）上面的算式 中的 第二步是什么？ 合并同类项 例 ： 一个长方形的宽为 a ，长比宽的 2 倍小 1. (1) 写出这个长方形的周长． (2) 当 a =2 时，这个长方形的周长是多少？ 2 a +2(2 a -1) 6 a -2=6 × 2-2 =6 a -2 =10 所以这个长方形的周长是 10 (3) 当 a 为何值时，这个长方形的周长是 16? 如果 6 a -2=16 ， 那么 6 a =18 ， a =3 所以当 a =3 时，这个长方形的周长是 16. 知识拓展 1. 整式加减 的 一般步骤并不绝对，在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号（当然要按运算顺序去做） 2. 已知代数式和代数式中字母的值，求代数式的值，一般不直接将字母的值代入代数式，而是先把代数式化简， 再 代入求值 . 课堂小结 整式的加减实质上就是把合并同类项 和 去括号综合起来，求两个多项式的和或差时，首先把多项式看作一个整式，分别括在括号里，给出整式中字母的值 . 求整式的值的问题，一般要先化简， 再 把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不 要 把数值直接代入整式中计算 . 对于整式中的应用问题，应根据题意列出算式，再进行整式的加减运算，计算出结果 . 1. 计算 -3 （ x- 2 y ） + 4 （ x- 2 y ） 的结果是（    ） A ． x- 2 y B ． x+ 2 y C ． -x- 2 y D ． -x+ 2 y A 检测反馈 解析 : 原式去括号合并 同类项 即可得到结果．原式 =- 3 x+ 6 y+ 4 x- 8 y=x- 2 y. 2. 若 m 、 n 互为相反数，则 （ 3 m -2 n ） 与 （ 2 m -3 n ） 的差为 ． 0 解析 : 因为 m 、 n 互为相反数，所以 m + n =0, 所以 （ 3 m- 2 n ） - （ 2 m -3 n ） =3 m -2 n -2 m +3 n = m + n= 0 .