冀教版九年级数学上册第24章测试题及答案

1 冀教版九年级数学上册第 24 章测试题及答案 24.1 一元二次方程 一、选一选 1.下列关于 的方程，是一元二次方程的是（ ）. A. B. C. D. 2. 一元二次方程 x2－2(3x－2)+(x+1)=0 的一般形式是( ). A.x2－5x+5=0 B.x2+5x+5=0 C.x2+5x－5=0 D.x2+5=0 3. 一元二次方程 7x2－2x=0 的二次项、一次项、常数项依次是( ) A.7x2，2x，0 B.7x2，－2x，无常数项 C.7x2，0，2x D.7x2，－2x，0 4. 若关于 x 的方程 a(x－1)2=2x2－2 是一元二次方程，则 a 的值是( ) A.2 B.－2 C.0 D.不等于 2 5. 若 x=1 是方程 ax2+bx+c=0 的解，则( ) A.a+b+c=1 B.a－b+c=0 C.a+b+c=0 D.a－b－c=0 6. 关于 x 的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0 的一个根是 0，则 a 的值为( ) A.1 B.-1 C.1 或-1 D. 二、填一填 7.一元二次方程的一般形式是__________，其中_________是二次项，__________是一次项，____________ 是常数项. 8.若方程 是一元二次方程，则 的取值范围是_________________. x 2 0ax bx c+ + = 2 5 6 0k k+ + = 33 2 1 03 4 2x x− − = 2 2( 3) 3 2 0m x x+ + − = 1 2 2 23 1kx x x+ = + k 2 9.已知关于 方程 是一元二次方程，则 ______________. 10. 若 x=－ 是方程 kx2-x-2=0 的一个根，则 k=_______. 11. 下列各数：1，－1，2，－2 是一元二次方程 2x2+3x+1=0 的根的是______________. 12. 一元二次方程（1-3x）（x+3）=2x2+1化成一般形式为________，二次项系数为_______，常数项为 ________． 三、做一做 13. 如图 ，在宽为 20m，长 30m 的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地 的面积为 500m2，若设路宽为 xm，则可列方程为：_________． 14.当 为何值时，关于 的方程 （1）是一元一次方程？（2）是一元二 次方程？ 15.写出下列方程的根 （1） ；（2） . 16. 若 是关于 x 的一元二次方程，求 a、b 的值，下面是两位学生的解法：甲： 根据题意得 2a+b=2，a-b=1 解方程组得 a=1，b=0．乙：由题意得 2a+b=2，a-b=1或 2a+b=1，a-b=2 解方 程组得 a=1，b=0 或 a=1，b=-1．你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果都不正确，请给出 正确的解答． 17. 以下各题只要求设出适当的未知数，列出方程，并化成一般形式． （1）李爽同学把一块面积为 54cm2 的长方形纸片的一边剪下 5cm，另一边剪下 2cm，恰好变成一个正方 形，求这个正方形的边长． （2）某百货商店服装柜在销售中发现：“米立琪”牌童装平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元．为了迎 x 2 (2 1) 3mmx m x− + + = m = 1 2 m x 2 2( 9) ( 3) 2 0m x m x m− + − + = 2 4x = 29 21x = 2 3 1 0a b a bx x+ −− + = 3 接“六．一”国际儿童节，商场采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存．经市场调查发现： 每件童装每降价 4 元，平均每天就可多售出 8 件．要想平均每天在销售这种童装上赢利 1200 元，那么每 件童装应降价多少元？ 答案 1.D 2.A 3. D 4.D 5.C 6.B 7.略 8. 9. 4 10. 6 11.－1；逐个代入检验 12. 5x2+8x-2=0；5；-2（或-5x2-8x+2=0；-5；2） 13. （30-x）（20-x）=500 14.（1） ；（2） . 3k ≠ 3m = − 3m ≠ ± 4 15.（1）±2；（2）± . 16. 解：均不正确，考虑不全，欲使 x2a+b-3x（a-b）+1=0 是关于 x的一元二次方程， 则 2a+b=2，a-b=2；或 2a+b=2，a-b=1；或 2a+b=2，a-b=0；或 2a+b=1，a-b=2；或 2a+b=0，a-b=2， ∴a= ，b=- ；或 a=1，b=0；或 a= ，b= 或 a=1，b=-1；或 a= ，b=- 17.（1）解：设这个正方形的边长为 xcm，依题意， 列方程（x+5）（x+2）=54． 整理，得 x2+7x-44=0． （2）解：设每件童装应降价 x 元． 依题意，列方程（40 -x）（20+ ·x）=1200， 整理，得 x2- 30x+200=0． 24.2 解一元二次方程（1） 一、选择题 1．用配方法解方程 x2﹣4x﹣7=0 时，原方程应变形为（　　） A．（x﹣2）2=11 B．（x+2）2=11 C．（x﹣4）2=23 D．（x+4）2=23 2．将代数式 x2+6x﹣3 化为（x+p）2+q 的形式，正确的是（　　） A．（x+3）2+6 B．（x﹣3）2+6 C．（x+3）2﹣12 D．（x﹣3）2﹣12 3．用配方法解方程 x2﹣4x+1=0 时，配方后所得的方程是（　　） A．（x﹣2）2=3 B．（x+2）2=3 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=﹣1 4．用配方法解方程 2x2﹣4x+1=0 时，配方后所得的方程为（　　） 21 3 4 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 3 8 4 5 A．（x﹣2）2=3 B．2（x﹣2）2=3 C．2（x﹣1）2=1 D． 5．已知 M= a﹣1，N=a2﹣ a（a 为任意实数），则 M、N 的大小关系为（　　） A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定 6．将代数式 x2﹣10x+5 配方后，发现它的最小值为（　　） A．﹣30 B．﹣20 C．﹣5 D．0 7．用配方法解一元二次方程 x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（　　） A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=1 8．一元二次方程 x2﹣6x﹣5=0 配方可变形为（　　） A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4 9．用配方法解一元二次方程 x2+4x﹣3=0 时，原方程可变形为（　　） A．（x+2）2=1 B．（x+2）2=7 C．（x+2）2=13 D．（x+2）2=19 10．对于代数式﹣x2+4x﹣5，通过配方能说明它的值一定是（　　） A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数 二、填空题 11．将二次三项式 x2+4x+5 化成（x+p）2+q 的形式应为　　． 12．若 x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则 m=　　． 13．若 a 为实数，则代数式 的最小值为　　． 14．用配方法解方程 3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（x﹣　　）2=　　． 15．已知方程 x2+4x+n=0 可以配方成（x+m）2=3，则（m﹣n）2016=　　． 16．设 x，y 为实数，代数式 5x2+4y2﹣8xy+2x+4 的最小值为　　． 17．若实数 a，b 满足 a+b2=1，则 a2+b2 的最小值是　　． 18．将 x2+6x+4 进行配方变形后，可得该多项式的最小值为　　． 6 19．将一元二次方程 x2﹣6x+5=0 化成（x﹣a）2=b 的形式，则 ab=　　． 20．若代数式 x2﹣6x+b 可化为（x﹣a）2﹣3，则 b﹣a=　　． 三、解答题 21．解方程： （1）x2+4x﹣1=0． （2）x2﹣2x=4． 22．“a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1= （x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：因为 x2﹣4x+6=（x　　）2+　　；所以当 x=　　时，代数式 x2﹣4x+6 有最　　（填“大”或 “小”）值，这个最值为　　． （2）比较代数式 x2﹣1 与 2x﹣3 的大小． 23．阅读材料：若 m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求 m、n 的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知 a2+6ab+10b2+2b+1=0，求 a﹣b 的值； （2）已知△ABC 的三边长 a、b、c 都是正整数，且满足 2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC 的周长； （3）已知 x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求 xyz 的值． 24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式 y2+4y+8 的最小值． 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4 ∵（y+2）2≥0 ∴（y+2）2+4≥4 7 ∴y2+4y+8 的最小值是 4． （1）求代数式 m2+m+4 的最小值； （2）求代数式 4﹣x2+2x 的最大值； （3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 15m）的空地上建一个长方形花园 ABCD，花园一边靠墙，另 三边用总长为 20m 的栅栏围成．如图，设 AB=x（m），请问：当 x 取何值时，花园的面积最大？最大面 积是多少？ 　 8 24.2 解一元二次方程（2） 基础导练 1.一元二次方程 的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2.若关于 的一元二次方程 没有实数根，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是____________. 能力提升 4.如果关于 的方程 没有实数根，则 的取值范 围为_____________. 5.用公式法解下列方程. （1） ；（2） ；（3） . 6.求证：关于 的方程 有两个不相等的实数根． 2 2 1 0x x− − = x 2 2 0x x m− + = m 1m < 1m > − 1m > 1m < − x 2 3 0x x m− + = m x 022 =−− kxx k 1)4(2 =+xx ( 2)(3 5) 1x x− − = 20.3 0.8y y+ = x 01)12(2 =−+++ kxkx 9 答案 1.B 2.C 3. 4. 5.解：（1）将方程化为一般形式 ， ∴ ， ， , ∴ , ∴ ， ∴ ， ． （2 ）将 方程化为一般形式 ， ∴ ， ， , ∴ , ∴ ， ∴ ， ． （3）将方程化为一般形式 ， ∴ ， ， , ∴ , ∴ ， ∴ ， ． 6.证明：∵ ＝ 恒成立， ∴方程有两个不相等的实数根． 9 4m ≤ 1k < − 22 8 1 0x x+ − = 2a = 8b = 1c = − 2 24 8 4 2 ( 1) 72 0b ac− = − × × − = > 8 72 4 3 2 2 2 2x − ± − ±= =× 1 4 3 2 2x − += 2 4 3 2 2x − −= 23 11 9 0x x− + = 3a = 11b = − 9c = 2 24 ( 11) 4 3 9 13 0b ac− = − − × × = > x = ( 11) 13 11 13 2 3 6 − − ± ±=× 1 11 13 6x += 2 11 13 6x −= 20.3 0.8 0y y+ − = 0.3a = 1b = 0.8c = − 2 24 1 4 0.3 ( 0.8) 1.96 0b ac− = − × × − = > y = 1 1.96 10 14 2 0.3 6 − ± − ±=× 1 4y = − 2 2 3y = 2 2 24 (2 1) 4 1 ( 1) 4 5 0b ac k k k− = + − × × − = + >∆ 10 答案 一、1.A 【解析】方程 x2﹣4x﹣7=0，变形得：x2﹣4x=7，配方得：x2﹣4x+4=11，即（x﹣2）2=11， 故选 A. 2．C 【解析】x2+6x﹣3=x2+6x+9﹣12=（x+3）2﹣12，故选 C． 3．A 【解析】方程 x2﹣4x+1=0，变形得：x2﹣4x=﹣1，配方得：x2﹣4x+4=﹣1+4，即（x﹣2）2=3， 故选 A． 4．C 【解析】x2﹣2x=﹣ ，x2﹣2x+1=﹣ +1，所以（x﹣1）2= ．故选 C． 5．A 【解析】∵M= a﹣1，N=a2﹣ a（a 为任意实数），∴ ， ∴N＞M，即 M＜N．故选 A. 6．B 【解析】x2﹣10x+5=x2﹣10x+25﹣20=（x﹣5）2﹣20，当 x=5 时，代数式的最小值为﹣20， 故选 B. 7．A 【解析】x2+4x﹣5=0，x2+4x=5，x2+4x+22=5+22，（x+2）2=9，故选 A． 8．A 【解析】x2﹣6x﹣5=0，x2﹣6x=5，x2﹣6x+9=5+9，（x﹣3）2=14，故选 A． 9．B 【解析】x2+4x=3，x2+4x+4=7，（x+2）2=7．故选 B． 10．D 【解析】﹣x2+4x﹣5=﹣（x2﹣4x）﹣5=﹣（x﹣2）2﹣1.∵﹣（x﹣2）2≤0， ∴﹣（x﹣2）2﹣1＜0，故选 D． 11 二、11．（x+2）2+1 【解析】x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1． 12．1 【解析】已知等式变形得：x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1=（x﹣2）2+m， 则 m=1. 13．3 【解析】∵ = = ≥3， ∴代数式 的最小值为 3. 14．1； 【解析】方程整理得：x2﹣2x=﹣ ， 配方得：x2﹣2x+1= ，即（x﹣1）2= ， 15．1 【解析】由（x+m）2=3，得：x2+2mx+m2﹣3=0，∴2m=4，m2﹣3=n，∴m=2，n=1， ∴（m﹣n）2016=1. 16．3 【解析】原式=（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）=4（x﹣y）2+（x+1）2+3， ∵4（x﹣y）2 和（x+1）2 的最小值是 0，即原式=0+0+3=3，∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4 的最小值为 3． 17． 【解析】∵a+b2=1，∴b2=1﹣a，∴a2+b2=a2+1﹣a=（a﹣ ）2+ ≥ ，∴当 a= 时，a2+b2 有最小 值 ． 18．﹣5 【解析】∵x2+6x+4=（x+3）2﹣5，∴当 x=﹣3 时，多项式 x2+6x+4 取得最小值﹣5. 19．12 【解析】x2﹣6x+5=0，x2﹣6x=﹣5，x2﹣6x+9=﹣5+9，（x﹣3）2=4，所以 a=3，b=4， ab=12. 20．3 【解析】根据题意得：x2﹣6x+b=（x2﹣6x+9）+b﹣9=（x﹣3）2+b﹣9=（x﹣a）2﹣3， 可得 a=3，b﹣9=﹣3，解得：a=3，b=6，则 b﹣a=3． 三、21．解：（1）∵x2+4x﹣1=0，∴x2+4x=1 ∴x2+4x+4=1+4 ∴（x+2）2=5 12 ∴x=﹣2± ∴x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣ ． （2）配方 x2﹣2x+1=4+1 ∴（x﹣1）2=5 ∴x=1± ∴x1=1+ ，x2=1﹣ ． 22．解：（1）x2﹣4x+6=（x﹣2）2+2， 所以当 x=2 时，代数式 x2﹣4x+6 有最小值，这个最值为 2， 故答案为：﹣2；2；2；小；2. （2）x2﹣1﹣（2x﹣3） =x2﹣2x+2； =（x﹣1）2+1＞0， 则 x2﹣1＞2x﹣3． 23．解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0， ∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0， ∴（a+3b）2+（b+1）2=0， ∴a+3b=0，b+1=0， 解得 b=﹣1，a=3， 则 a﹣b=4； （2）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0， ∴2a2﹣4a++2+b2﹣6b+9=0， ∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2=0， 13 则 a﹣1=0，b﹣3=0， 解得，a=1，b=3， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为 1、3、3， ∴△ABC 的周长为 1+3+3=7； （2）∵x+y=2， ∴y=2﹣x， 则 x（2﹣x）﹣z2﹣4z=5， ∴x2﹣2x+1+z2+4z+4=0， ∴（x﹣1）2+（z+2）2=0， 则 x﹣1=0，z+2=0， 解得 x=1，y=1，z=﹣2， ∴xyz=2． 24．解：（1）m2+m+4=（m+ ）2+ ， ∵（m+ ）2≥0， ∴（m+ ）2+ ≥ ， 则 m2+m+4 的最小值是 . （2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5， ∵﹣（x﹣1）2≤0， ∴﹣（x﹣1）2+5≤5， 则 4﹣x2+2x 的最大值为 5. （3）由题意，得花园的面积是 x（20﹣2x）=﹣2x2+20x， 14 ∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0， ∴﹣2（x﹣5）2+50≤50， ∴﹣2x2+20x 的最大值是 50，此时 x=5， 则当 x=5m 时，花园的面积最大，最大面积是 50m2． 24.2　解一元二次方程(3) 一、选择题 1．如果 x2－x－1＝(x＋1)0.那么 x 的值为( ) A．2 或－1　　　　　　 B．0 或 1 C．2 D．－1 2．方程 x2＋x－12 的解是( ) A．x1＝－2，x2＝6 　　　 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3 3．现定义运算“☆”，对于任意实数 a，b，都有 a☆b＝a2－3a＋b，如：3☆5＝32－3×3＋5，若 x☆2＝6， 则实数 x 的值是( ) A．－4 或－1 B．4 或－1 C．4 或－2 D．－4 或 2 二、填空题 4．一元二次方程 x(x－6)＝0 的两个实数根中较大的根是____. 5．方程 x2－3x＋2＝0 的根是 . 6．方程 x2－9x＋18＝0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为___. 三、解答题 7．解方程：x2－10x＋9＝0. 8．用因式分解法解方程 x2－px－6＝0，将左边分解后有一个因式为 x－3，求 p 的值． 9．阅读下列因式分解的方法解方程． 一般地，∵(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab， 15 ∴x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．这就是说，对于二次三项式 x2＋px＋q，若能找到两个数 a，b，使Error! 则就有 x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)． 这种因式分解方法的特征是“拆常数项，凑一次项”，即 a，b 的乘积等于常数项，a，b 的和为一次项系数．利 用这种因式分解的方法解下列一元二次方程． (1)x2－3x－4＝0；　　　(2)x2＋4x－5＝0. 答案 1.C 解析：∵x2－x－1＝(x＋1)0，∴x2－x－1＝1，即(x－2)(x＋1)＝0， 解得 x1＝2，x2＝－1，当 x＝－1 时，x＋1＝0，故 x≠－1，故选 C. 2. D 3. B 4. 6 5. x1＝1，x2＝2 6. 15 解析：x2－9x＋18＝0，∴(x－3)(x－6)＝0，∴x－3＝0 或 x－6＝0，∴x1＝3，x2＝6.当等腰三角形 的三边是 3,3,6 时，3＋3＝6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形，当等腰三角形的三 边是 3,6,6 时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是 3＋6＋6＝15. 7.解：方法 1(配方法)：移项，得 x2－10x＝－9， 配方，得 x2－10x＋25＝－9＋25， 整理，得(x－5)2＝16， 解得 x1＝1，x2＝9； 16 方法 2(求根公式法)：∵a＝1， b＝－10，c＝9， ∴Δ＝100－36＝64>0， 由求根公式解得 x1＝1，x2＝9； 方法 3(因式分解法): 因式分解得(x－1)(x－9)＝0， 所以 x－1＝0 或 x－9＝0，解得 x1＝1，x2＝9. 7. 解：∵x－3 为 x2－px－6＝0 的左边的一个因式，∴x＝3 为 x2－px－6＝0 的一个根， ∴9－3p－6＝0，∴p＝1. 9.解：(1)∵x2－3x－4＝(x－4)(x＋1)， ∴(x－4)(x＋1)＝0，　　 ∴x－4＝0 或 x＋1＝0， ∴x1＝4，x2＝－1； (2)∵x2＋4x－5＝(x＋5)(x－1)，　　 ∴(x＋5)(x－1)＝0， ∴x＋5＝0 或 x－1＝0， ∴x1＝－5，x2＝1. 24.3 一元二次方程根与系数的关系 一、选择题 1．若 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣2x﹣3=0 的两个根，则 x1•x2 的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 2．若 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣3x+2=0 的两根，则 x1+x2 的值是（　　） 17 A．﹣2 B．2 C．3 D．1 3．下列一元二次方程的两实数根的和为﹣4 的是（　　） A．x2+2x﹣4=0 B．x2﹣4x+4=0 C．x2+4x+10=0 D．x2-4x﹣5=0 4．如果关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两根分别为 x1=2，x2=1，那么 p，q 的值分别是（　　） A．﹣3，2 B．3，﹣2 C．2，﹣3 D．2，3 5．如果关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a=0 的两个不相等的实数根 x1，x2 满足 x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么 a 的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13 6．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0 的两个根分别是 x1、x2，则 x12x2+x1x22 的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 7．解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出的两根为 8 和 2；乙看错了方程的一次项的 系数，因而得出两根为﹣9 或﹣1，那么正确的方程为（　　） A．x2﹣10x+9=0 B．x2+10x+9=0 C．x2﹣10x﹣9=0 D．x2+10x﹣9=0 二、填空题 8．已知 x1，x2 是方程 x2﹣4x﹣5=0 的两个实数根，则（x1﹣2）（x2﹣2）=______． 9．孔明同学在解一元二次方程 x2﹣3x+c=0 时，正确解得 x1=1，x2=2，则 c 的值为______． 10．已知关于 x 的方程 x2+mx﹣6=0 的一个根为 2，则这个方程的另一个根是______． 三、解答题 11．已知 α、β 是一元二次方程 2x2﹣3x﹣1=0 的两个实数根，求下列代数式的值． （1）（α﹣β）2； （2） + ； （3）（α﹣2）（β﹣2）. 18 12．关于 x 的一元二次方程 x2+3x+m﹣1=0 的两个实数根分别为 x1，x2． （1）求 m 的取值范围； （2）若 2（x1+x2）+x1x2+10=0，求 m 的值． 13．若一元二次方程 x2﹣2x+m=0 的两根为 x1，x2，且 x1+3x2=3，求 m 的值． 14．已知关于 x 的一元二次方程 x2=2（1﹣m）x﹣m2 的两实数根为 x1，x2. （1）求 m 的取值范围； （2）设 y=x1+x2，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出 y 的最小值． 15．已知 x1，x2 是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0 的两个实数根． （1）是否存在实数 a，使﹣x1+x1x2=4+x2 成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说明理由； （2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数 a 的整数值． 　 19 答案 1. B 2.C 3.C 4.A 5.B 6.A 7.A 8. -9 9. 2 10. -3 11. 解：因为 α，β 是一元二次方程 2x2-3x-1=0 的两个实数根，所以 α+β= ，αβ= . (1) (α-β)2=(α+β)2-4αβ= +2= . (2) (3) (α-2)(β-2)=αβ-2(α+β)+4= 12. 解：由题意知，x1+x2=-3，x1x2=m-1. （1）由题意知 Δ=32-4（m-1）≥0，得 m≤ . （2）2(x1+x2)+x1x2+10=0，即-6+m-1+10=0，解得 m=-3. 13. 解：由题意知，x1+x2=2，x1x2=m. 因为 x1+3x2=（x1+x2）+2x2=3，所以 x2= ，则 x1=2- = . 所以 m= × = . 14. 解：（1）x2=2（1-m)x-m2，即 x2-2（1-m)x+m2=0. 由题意知 Δ=4（1-m）2-4m2≥0，得 m≤ . （3）由题意知 x1+x2=2（1-m），所以 y=x1+x2=2（1-m）=2-2m. 因为 m≤ ，所以当 y 取得最小值时，m= ，y 的最小值是 1. 15. 解：（1）由题意知 x1+x2= ，x1x2= . -x1+x1x2=4+x2，即 x1x2=4+x1+x2，即 =4- ，解得 a=24. 当 a=24 时，a-6≠0，故存在实数 a=24，使-x1+x1x2=4+x2 成立. 2 3 2 1− 4 9 4 17 .2 132)(2)( 2222 −=−+=−+=+=+ αβ αβ αβ αβαβ αβ αβ β α α β .2 1 4 13 2 1 2 1 2 3 2 3 2 1 4 3 2 1 2 1 2 1 6 2 − − a a 6−a a 6−a a 6 2 −a a 20 （2）（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1= . 因为（x1+1）（x2+1）为负整数，所以 为负整数. 因为 Δ=4a2-4（a-6）a≥0，得 a≥0，所以 a=7，8，9，12. 24.4 一元二次方程的应用（1） 一、选择题 1．直角三角形两条直角边的和为 7，面积为 6，则斜边为（ ） A． B．5 C． D．7 2．有两块木板，第一块长是宽的 2 倍，第二块的长比第一块的长少 2m，宽是第一块宽的 3 倍，已知第二 块木板的面积比第一块大 108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ） A．第一块木板长 18m，宽 9m，第二块木板长 16m，宽 27m; B．第一块木板长 12m，宽 6m，第二块木板长 10m，宽 18m; C．第一块木板长 9m，宽 4.5m，第二块木板长 7m，宽 13.5m; D．以上都不对 3．从正方形铁片，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48cm2，则原来的正方形铁片的面积是 （ ）． A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2 二、填空题 1．矩形的周长为 8 ，面积为 1，则矩形的长和宽分别为________． 2．长方形的长比宽多 4cm，面积为 60cm2，则它的周长为________． 3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为 35m，所围的 面积为 150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______． 37 38 2 6 6 −− a 6 6 −− a 21 三、综合提高题 1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽 3m，背水坡度为 1：2，迎水坡度为 1：1，若坝长 30m，完成大坝所用去的土方为 4500m2，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度 = ，迎水坡度 ）（精确到 0.1m） 2．在一块长 12m，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8m2的长方形花台，要使花坛四周 的宽地宽度一样，则这个宽度为多少? 3．谁能量出道路的宽度: 如图 22-10，有矩形地 ABCD 一块，要在中央修一矩形花辅 EFGH，使其面积为这块地面积的一半， 且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出 道路的宽度? 请同学们利用自 己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行． CF BF 1 2 1 1 DE AE = 22 答案 一、1．B 2．B 3．D 二、1．2 + 2 - 2．32cm 3．20m 和 7.5m 或 15m 和 10m 三、 1．设坝的高是 x，则 AE=x，BF=2x，AB=3+3x， 依题意，得： （3+3+3x）x×30=4500 整理，得：x2+2x-100=0 2 7 2 7 1 2 23 解得 x≈ 即 x≈9.05（m） 2．设宽为 x，则 12×8-8=2×8x+2（12-2x）x 整理，得：x2-10x+22=0 解得：x1=5+ （舍去），x2=5- 3．设道路的宽为 x，AB =a，AD=b 则（a-2x）（b-2x）= ab 解得：x= [（a+b）- ] 量法为：用绳子量出 AB+AD（即 a+b）之长，从中减去 BD 之长（对角线 BD= ），得 L=AB+AD-BD，再将 L 对折两次即得到道路的宽 ，即 ． 24.4 一元二次方程的应用(2) 一、填空题 2 20.10 2 − + 3 3 1 2 1 4 2 2a b+ 2 2a b+ 4 AB AD BD+ − 2 2 4 a b a b+ − + 24 1．三个连续正整数中，前两个数的平方和等于第三个数的平方，则这个三个数从小到大依次是______． 2．两个数的和是 14，积是 45，那么这两个数分别为______． 3．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率为 ______． 二、选择题 4．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3，则这个两位数为（　　） A．25 B．36 C．25 或 36 D．﹣25 或﹣36 5．两个连续奇数的积是 255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是（　　） A．﹣19 B．5 C．17 D．51 6．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生 389 元， 今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　） A．438（1+x）2=389 B．389（1+x）2=438 C．389（1+2x）2=438 D．438（1+2x）2=389 7．某种药品原价为 36 元/盒，经过连续两次降价后售价为 25 元/盒．设平均每次降价的百分率为 x，根据 题意所列方程正确的是（　　） A．36（1﹣x）2=36﹣25 B．36（1﹣2x）=25 C．36（1﹣x）2=25 D．36（1﹣x2）=25 8．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小 4， 若设个位数字为 a，则可列方程为（　　） A．a2（a﹣4）2=10（a﹣4）+a﹣4 B．a2+（a+4）2=10a+a﹣4﹣4 C．a2+（a+4）2=10（a+4）+a﹣4 D．a2+（a﹣4）2=10a+（a﹣4）﹣4 三、解答题 9．一个两位数的十位数字比个位数字大 2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数 值比原来的两位数大 138，求这原来的两位数． 25 10．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010 年市政府共投 资 2 亿元人民币建设了廉租房 8 万平方米，预计到 2012 年底三年共累计投资 9.5 亿元人民币建设廉租房， 若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，求到 2012 年底共建设了多少万平方米廉租房． 11．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100 元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 　 26 答案 一、填空题 1．3，4，5 2．5，9 3．20% 二、选择题 4．C 5．C 6．B 7．C 8．C 三、解答题 9．31　 10． 11．