青岛版九年级数学上册第3章测试题及答案

青岛版九年级数学上册第3章测试题及答案 ‎3.1 圆的对称性 ‎1.如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝，BD＝，则AB的长为 ( )‎ ‎ A．2 　　　 B．3 C．4　 　 D．5‎ ‎ ‎ 第1题图 第2题图 ‎2. 如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6 cm，则直径AB的长是( )‎ ‎ A．cm B．cm ‎ C．cm D．cm ‎3．下列命题：①圆心不同，直径相等的两圆是等圆；②长度相等的两弧是等弧；③圆中最长的弦是直径；④圆的对称轴是圆的直径；⑤圆不是旋转对称图形．其中正确的有( )‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎4．如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D，已知AB＝2CD，AB的弦心距等于CD长的一半，那么大圆与小圆的半径之比是 ( )‎ 第4题图 ‎ A．3∶2 　　 B．∶2‎ ‎ C．∶ 　 D．5∶4‎ ‎5．下列语句中，不正确的有 ( )‎ ‎①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．‎ ‎ A．①③④ 　B．②③ 　 C．② 　 D．②④‎ ‎6.下列语句中不正确的有 ‎①平分弦的直径垂直于弦； ②圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；③长度相等的两条弧是等弧 A.3个 B.2个 ‎ C.1个 D.以上都不对 ‎7．如图，在⊙O中，弦AB的长为6 cm．圆心O到AB的距离为4 cm，则⊙O的半径长为 ( )‎ ‎ A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 第7题图 第8题图 ‎ ‎8．如图3－38所示，C为的中点，CN⊥OB于N，弦CD⊥OA于M．若⊙O的半径为5 cm，ON＝4 cm，则CD的长等于　 　　 ．‎ ‎9．如图3－39所示，在⊙O中，AB和AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．且AB＝8 cm，AC＝6 cm，那么⊙O的半径OA的长为　　　 ．‎ 第9题图 ‎10．P为⊙O内一点，且OP＝8 cm，过P的最长弦长为20 cm，则过P的最矩弦长为　　　　 ．‎ ‎11.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值 为____，最大值为______. ‎ ‎12．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A.B两点，M.N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是　　．‎ ‎ ‎ ‎ 第11题图 第12题图 ‎13．如图，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为P，AC＝CD＝，求OP的长．‎ 第13题图 ‎14．如图4，⊙O的直径是4 cm，C是的中点，弦AB，CD相交于P，CD＝cm，求∠APC的度数．‎ 第14题图 ‎15．如图，A.B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．‎ ‎（1）求证：AB平分∠OAC；‎ ‎（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．‎ 第15题图 参考答案 ‎1．B 2．D 3．B 4．C 5．C　 6．B ‎ ‎7．C 【解析】 作OC⊥AB于点C，连接AO，则OC＝4，AC＝3，所以在Rt△AOC中，AO＝＝5(cm)．故选C． ‎ ‎8．6 cm 【解析】提示：由题意可知CD＝CE＝2CN，又CN＝＝3，所以CD＝2CN＝6(cm).　‎ ‎9．5 cm　‎ ‎10．12 cm 【解析】过P的最长弦为直径，即直径等于20 cm，最短弦为过P且垂直OP的弦，利用勾股定理可求最短弦的一半长为6 cm，则弦长为12 cm．　‎ ‎11.解：当OM垂直于AB时OM最小，这时AM=1/2AB=4,‎ 连AO得直角三角形AOM，‎ 由勾股定理得，0M=3,当M于A或B重合时，OM最大为半径5‎ ‎12. 4‎ ‎13．解：连接OC，∵AB是直径，CD⊥AB，∴CP＝CD＝．‎ 在Rt△ACP中，AP＝＝3，‎ ‎∴OP＝AP－AO＝3－AO＝3－OC．在Rt△COP中，OC2＝OP2＋CP2，‎ 即OC2＝(3－OC)2＋．‎ 解得OC＝2．∴OP＝3－2＝1． ‎ ‎14．解：连接OC，交AB于E．‎ ‎∵C是的中点，∴OC⊥AB，∴∠PEC＝90°．‎ 作OF⊥CD，垂足为F，∴CF＝CD＝(cm)．‎ ‎∵⊙O的直径是4 cm，∴OC＝2 cm．‎ 在Rt△COF中，cosC＝，∴∠C＝30°，‎ ‎∴∠APC＝90°－30°＝60°． ‎ ‎15．（1）证明：连接OC，‎ ‎∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，‎ ‎∴∠AOC=∠BOC=60°，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴△ACO是等边三角形，‎ ‎∴OA=AC，同理OB=BC，‎ ‎∴OA=AC=BC=OB，‎ ‎∴四边形AOBC是菱形，‎ ‎∴AB平分∠OAC；‎ ‎（2）解：连接OC，如答图.‎ ‎∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，‎ ‎∴∠AOC=60°，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴OAC是等边三角形，‎ ‎∵OA=AC，‎ ‎∴AP=AC，‎ ‎∴∠APC=30°，‎ ‎∴△OPC是直角三角形，‎ ‎∴．‎ 第15题答图 ‎3.3 圆周角 ‎1．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（　　）‎ ‎　 A．32° B． 38° C． 52° D． 66°‎ ‎ ‎ ‎ （1题图） （2题图） ‎ ‎2．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（　　）‎ ‎　 A．25° B． 30° C． 40° D． 50°　‎ ‎3．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（　　）‎ ‎　 A．50° B． 20° C． 60° D． 70°‎ ‎ ‎ ‎ （3题图） （4题图）‎ ‎4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（　　）‎ ‎　 A．∠A=∠D B． = C． ∠ACB=90° D． ∠COB=3∠D ‎5．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（　　）‎ ‎　 A．80° B． 90° C． 100° D． 无法确定 ‎ 　‎ ‎（5题图） （6题图） ‎ ‎6．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（　　）‎ ‎　 A．25° B． 50° C． 60° D． 30°‎ ‎7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　）‎ ‎　 A．45° B． 50° C． 60° D． 75°‎ ‎ ‎ ‎（7题图） （8题图）‎ ‎8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是（　　）‎ ‎　 A．60° B． 90° C． 100° D． 120°‎ ‎9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（　　）‎ ‎　 A．80° B． 100° C． 60° D． 40°‎ ‎ ‎ ‎ （9题图） （10题图） ‎ ‎10．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD=48°，则∠BAC的大小是（　　）　‎ ‎　 A．60° B． 48° C． 30° D． 24°　‎ ‎11．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B=　　　　　　．‎ ‎ ‎ ‎（11题图） （12题图）‎ ‎12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD=　　　　　　°．‎ ‎13．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为　　　　　　．‎ ‎ ‎ ‎　 （13题图） （14题图） ‎ ‎14．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为　　　　　　．‎ ‎15．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB=　　　　　　°．‎ ‎ ‎ ‎（15题图） （16题图）‎ ‎16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为的中点．若∠A=40°，则∠B=　　　　　　度．‎ ‎17．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为　　　　　　．‎ ‎ ‎ ‎（17题图） （18题图） ‎ ‎18．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A=50°，则∠BCE=　　　　　　．‎ ‎19．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于　　　　　　．‎ ‎20．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=　　　　　　°．‎ ‎ ‎ ‎　 （19题图） （20题图）‎ ‎21．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．‎ ‎（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．‎ ‎（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．‎ ‎　第21题图 ‎22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．‎ ‎（1）求BE的长；‎ ‎（2）求△ACD外接圆的半径．‎ ‎　 第22题图 ‎23．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径画⊙O交BC于点D，交AB于点E，连接CE．‎ ‎（1）求证：BD=CD；‎ ‎（2）求CE的长．‎ ‎ ‎ ‎ 第23题图 ‎24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．‎ ‎（1）求证：CB∥PD；‎ ‎（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．‎ ‎　 第24题图 ‎25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．‎ ‎（1）求证：AD=CD；‎ ‎（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．‎ ‎　 第25题图 ‎　‎ 参考答案 ‎　‎ ‎1．B 2．D 3．D 4．D 5．B 6．A 7．C 8．D 9．A 10．D ‎11．40° 12．100 13．110° 14． 15．40 16．70 17．61° 18．50° 19．130° 20．215‎ ‎21．解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：连结AE，如答图，‎ ‎∵=，‎ ‎∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠AEB=90°，‎ ‎∴AE⊥BC，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形.‎ ‎（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，‎ ‎∴BE=CE=BC=×12=6，‎ 在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，‎ ‎∴AE==8，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴AE•BC=BD•AC，‎ ‎∴BD==，‎ 在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=，‎ ‎∴AD==，‎ ‎∴sin∠ABD===．‎ 第21题答图 ‎22．解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），‎ ‎∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），‎ ‎∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），‎ 又AD是△ABC的角平分线（已知），‎ ‎∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），‎ ‎∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），‎ 在Rt△ACD和Rt△AED中，，‎ ‎∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），‎ ‎∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；‎ ‎∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，‎ ‎∴根据勾股定理得：AB==13，‎ ‎∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；‎ ‎（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，‎ 设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，‎ 在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，‎ 即（12﹣x）2=x2+82，‎ 解得：x=，‎ ‎∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，‎ ‎∴根据勾股定理得：AD==，‎ 根据AD是△ACD外接圆直径，‎ ‎∴△ACD外接圆的半径为：×=．‎ ‎23．（1）证明：连结AD，如答图，‎ ‎∵AC为直径，∴∠ADC=90°，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ ‎∵AB=AC，∴BD=CD；‎ ‎（2）解：在Rt△ADC中，∵AC=13，CD=BC=5，‎ ‎∴AD==12，‎ ‎∵AC为直径，‎ ‎∴∠AEC=90°，‎ ‎∴CE•AB=AD•BC，‎ ‎∴CE==．‎ 第23题答图 ‎24．（1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，‎ ‎∴∠D=∠BCD，‎ ‎∴CB∥PD；‎ ‎（2）解：连接AC，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，‎ ‎∵CD⊥AB，∴=，‎ ‎∴∠BPD=∠CAB，‎ ‎∴sin∠CAB=sin∠BPD=，‎ 即=，‎ ‎∵BC=3，∴AB=5，‎ 即⊙O的直径是5．‎ 第24题答图 ‎25．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，‎ ‎∴OD⊥AC，‎ ‎∴=，∴AD=CD；‎ ‎（2）解：∵AB=10，∴OA=OD=AB=5，‎ ‎∵OD∥BC，∴∠AOE=∠ABC，‎ 在Rt△AEO中，‎ OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3，‎ ‎∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，‎ ‎∴AE===4，‎ 在Rt△AED中，‎ tan∠DAE===，‎ ‎∵∠DBC=∠DAE，‎ ‎∴tan∠DBC=．‎ ‎3.4 直线与圆的位置关系 ‎1．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（　　）‎ A．20° B．25° C．40° D．50°‎ ‎ ‎ ‎ （1题图） （2题图） ‎ ‎2．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（　　）‎ A．40° B．50° C．60° D．20°‎ ‎3．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（　　）‎ A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个 ‎ ‎ ‎（3题图） （4题图）‎ ‎4．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：‎ ‎（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．‎ 其中正确的个数为（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎5．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为（　　）‎ A．120° B．60° C．30° D．45°‎ ‎ ‎ ‎ （5题图） （6题图） ‎ ‎6．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（　　）‎ A．12 B．24 C．8 D．6‎ ‎7．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为　　　　　　．‎ ‎ ‎ ‎（7题图） （8题图）‎ ‎8．如图所示，⊙M与x轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴相切于点C，则圆心M的坐标是　　　　　　．‎ ‎9．PA.PB切⊙O于A.B两点，CD切⊙O于点E，交PA.PB于C.D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是　　　　　　．‎ ‎10．如图，PA.PB.DE分别切⊙O于A.B.C，DE分别交PA，PB于D.E，已知P到⊙O的切线长为8CM，那么△PDE的周长为　　　　　　．‎ ‎ ‎ ‎　 （9题图） （10题图）‎ ‎11．已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．‎ ‎（1）求证：AC•AD=AB•AE；‎ ‎（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．‎ 第11题图 ‎12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD ‎（1）求证：△ADO∽△ACB．‎ ‎（2）若⊙O的半径为1，求证：AC=AD•BC．‎ 第12题图 ‎13．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．‎ ‎（1）求证：直线PB与⊙O相切；‎ ‎（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．‎ ‎　‎ 第13题图 ‎14．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心.OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．‎ ‎（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）求证：BC2=CD•2OE；‎ ‎（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．‎ 第14题图 ‎15．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：直线EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）求cos∠E的值．‎ 第15题图 ‎16．如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值．‎ 第16题图 ‎17．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，且过点D的⊙O的切线DE平分BC边，交BC于E．　‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线．‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，以点O.B.E.D为顶点的四边形是正方形？‎ ‎　第17题图 参考答案 ‎1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．D 　‎ ‎7．1或5 8．（5，4） 9． 10．16cm ‎11．（1）证明：连接DE，‎ ‎∵AE是直径，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABC，‎ ‎∵∠DAE=∠BAC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，∴=，∴AC•AD=AB•AE；‎ ‎（2）解：连接OD，‎ ‎∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD，‎ 在RT△OBD中，OE=BE=OD，∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，‎ 同理∠BAC=30°，‎ 在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．‎ ‎（11题答图）‎ ‎12.（1）证明：∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠C=∠ADO=90°，‎ ‎∵∠A=∠A，∴△ADO∽△ACB；‎ ‎（2）解：由（1）知：△ADO∽△ACB．∴，∴AD•BC=AC•OD，‎ ‎∵OD=1，‎ ‎∴AC=AD•BC．‎ ‎13.（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．‎ ‎∵⊙O与PA相切于点C，∴OC⊥PA．‎ ‎∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，∴OD=OC．‎ ‎∴直线PB与⊙O相切；‎ ‎（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．‎ ‎∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．∵⊙O与PA相切于点C，‎ ‎∴∠PCF=∠E．又∵∠CPF=∠EPC，∴△PCF∽△PEC，‎ ‎∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．‎ ‎∵EF是直径，∴∠ECF=90°．‎ 设CF=x，则EC=2x．‎ 则x2+（2x）2=62，解得x=．则EC=2x=．‎ ‎ ‎ ‎（13题答图） （14题答图）‎ ‎14.（1）证明：连接OD，BD，‎ ‎∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，‎ 在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，‎ ‎∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，‎ ‎∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，‎ ‎∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，‎ ‎∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，‎ ‎∴DE为⊙O的切线；‎ ‎（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，‎ ‎∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，‎ ‎∴=，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；‎ ‎（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC==，‎ 又∵BE=6，E是BC的中点，即BC=12，∴AC=15．‎ 又∵AC=2OE，∴OE=AC=．‎ ‎15.（1）证明：如图，‎ 方法1：连接OD.CD．‎ ‎∵BC是直径，∴CD⊥AB．‎ ‎∵AC=BC．∴D是AB的中点．‎ ‎∵O为CB的中点，∴OD∥AC．‎ ‎∵DF⊥AC，∴OD⊥EF．∴EF是O的切线．‎ 方法2：∵AC=BC，∴∠A=∠ABC，‎ ‎∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，‎ ‎∵∠A+∠ADF=90°∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．即∠EDO=90°，‎ ‎∴OD⊥ED，∴EF是O的切线．‎ ‎（2）解：连BG．∵BC是直径，∴∠BDC=90°．∴CD==8．‎ ‎∵AB•CD=2S△ABC=AC•BG，∴BG==．∴CG==．‎ ‎∵BG⊥AC，DF⊥AC，∴BG∥EF． ∴∠E=∠CBG，‎ ‎∴cos∠E=cos∠CBG==．‎ ‎ ‎ ‎ （15题图） （16题图）‎ ‎16.解：（1）连接OD，BD，‎ ‎∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD．‎ ‎∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°．‎ ‎∵E为BC的中点，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD，‎ ‎∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，即∠EDO=∠EBO．‎ ‎∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO=90°，∴∠ODE=90°，‎ ‎∴DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）作EF⊥CD于F，设EF=x ‎∵∠C=45°，∴△CEF.△ABC都是等腰直角三角形，∴CF=EF=x，‎ ‎∴BE=CE=x，‎ ‎∴AB=BC=2x，‎ 在RT△ABE中，AE==x，∴sin∠CAE==．‎ ‎17.解：（1）连接OD.OE，‎ ‎∵O为AB的中点，E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，‎ ‎∴∠DOE=∠ODA，∠BOE=∠A，∵OA=OD ‎∴∠A=∠ODA，∴∠DOE=∠BOE。‎ ‎∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE。∴∠ODE=∠OBE ‎∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=∠OBE=90°‎ ‎∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．‎ ‎（2）当为等腰三角形（AB=BC）时四边形OBDE是正方形，证明如下：‎ 连接BD，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC，‎ ‎∵AB=BC，∴D为AC的中点，‎ ‎∵E为BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，‎ ‎∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴OD⊥AB，∴∠DOB=∠OBE=∠ODE=90°，‎ ‎∵OD=OB，∴四边形OBED为正方形．‎ ‎ ‎ 第17题答图 ‎3.5 三角形的内切圆 ‎1. 下列命题正确的是（ ）‎ ‎ A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 ‎ B．三角形的内心不一定在三角形的内部 ‎ C．等边三角形的内心，外心重合 ‎ D．一个圆一定有唯一一个外切三角形 ‎2. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）‎ ‎ A．70° B．110° C．120° D．130°‎ ‎ ‎ 第2题图 第3题图 ‎3. 如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（ ）‎ ‎ A．112.5° B．112° C．125° D．55°‎ ‎4. 如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6 m和8 m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）‎ A．2 m B．3 m C．6 m D．9 m ‎ ‎ 第4题图 第5题图 ‎5. 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（　　）‎ A．r B． C．2r D．‎ ‎6. 如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF= . ‎ 第6题图 ‎7. 等边三角形内切圆与外接圆半径之比 . ‎ ‎8. 在等腰直角△ABC中，∠C=90°，斜边AB=6，则此三角形的内心与外心之间的距离是 ‎ . ‎ ‎9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若⊙O 的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为 . ‎ ‎ ‎ 第9题图 第10题图 ‎10. 如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是 . ‎ ‎11. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F (1)求证：四边形ODCE是正方形； (2)若BC=5. AC=12，⊙O的半径为R，求R的值．‎ ‎ ‎ 第11题图 ‎12. 如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．‎ ‎（1）求证：BF=CE；‎ ‎（2）若∠C=30°，CE=2，求AC的长．‎ ‎ ‎ 第12题图 ‎13. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，DC=1，求⊙O的半径. ‎ 第13题图 ‎14. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，如果AF=2，BD=7，CE=4．‎ ‎（1）求△ABC的三边长；‎ ‎（2）如果P为上一点，过P作⊙O的切线，交AB于M，交BC于N，求△BMN的周长．‎ 第 14题图 ‎15. 阅读材料：‎ 已知，如图（1），在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r．连接OA. OB. OC，△ABC被划分为三个小三角形．‎ ‎∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC•r+AC•r+AB•r=（a+b+c）r．‎ ‎∴r=．‎ ‎（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；‎ ‎（2）理解应用：如图（3），在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值．‎ 第15题图 参考答案 ‎1. C 2. B 3. A 4. C 5. C ‎ ‎6. 55°7. 1:2 8. 9. 30 10. （）nR ‎ ‎11. （1）证明：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，‎ ‎∴OE⊥AC，OD⊥BC，OF⊥AB，‎ ‎∴∠OED=∠ODE=90°，OE=OD，‎ ‎∵∠C=90°，‎ ‎∴四边形ODCE是正方形；‎ 第11题答图 ‎（2）【解】BC=5，AC=12，由勾股定理得：AB=13，‎ 连接OA. OB. OC. OF，‎ ‎∵S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，‎ ‎∴‎ ‎∴5×12=13R+12R+5R，‎ ‎∴R=2．‎ ‎12.‎ 第12题答图 ‎13.【解】设⊙O的半径为r，过点O分别作OF⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为F，E. ‎ ‎∴OE//BC，∴∠AOE=∠ODF，所以△DFO∽OEA，‎ ‎∴，即，‎ 解得，⊙O的半径. ‎ ‎14. 【解】（1）∵⊙O分别和边BC，AC，AB切于点D，E，F，‎ ‎∴AE=AF=2，BF=BD=7，CD=CE=4，‎ ‎∴AB=AF+BF=9，BC=BD+CD=11，AC=AE+CE=6；‎ ‎（2）∵⊙O分别和BC，AB，MN切于点D，F，P，‎ ‎∴MP=MF，NP=ND，‎ ‎∴MP+NP=MF+ND，‎ ‎∴BM+MN+BN=BM+MP+NP+BN=BM+MF+ND+BN=BF+BD=14，‎ 则△BMN的周长为14．‎ ‎15. 【解】（1）如图2，连接OA. OB. OC. OD．‎ ‎∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=+++=，‎ ‎∴r=．‎ ‎（2）如图3，过点D作DE⊥AB于E，‎ ‎∵梯形ABCD为等腰梯形，‎ ‎∴AE===5，‎ ‎∴EB=AB﹣AE=21﹣5=16．‎ 在Rt△AED中，‎ ‎∵AD=13，AE=5，‎ ‎∴DE=12，‎ ‎∴DB==20．‎ ‎∵S△ABD===126，‎ ‎ S△CDB===66，‎ ‎∴===．‎ ‎3.6 弧长及扇形的面积 ‎1. 一个圆锥的侧面积是底面积的 4 倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 如图， 是平行四边形， 是 的直径，点 在 上，，则图中阴影部分的面积为 ( )‎ 第2题图 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 3. 一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 4. 若扇形的面积为 ，圆心角为 ，则该扇形的半径为 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 5. 如图，在 中，，，，分别以 、 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是 ( )‎ ‎[‎ 第5题图 ‎ A. B. C. D. ‎ 6. 若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 7. 如图， 是 的直径，弦 ，，，则  ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 第7题图 第8题图 ‎8. 如图，扇形 的半径为 ，，以 为直径画半圆．则图中阴影部分的面积为 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 9. 如图，水平地面上有一面积为 的灰色扇形 ，其中 的长度为 ，且 与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图（甲）的扇形向右滚动至点 再一次接触地面，如图（乙）所示，则 点移动了 ( ) 第9题图 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 10. 如图，以 为圆心，半径为 的圆与 轴交于 、 两点，与 轴交于 、 两点，点 为 上一动点， 于 ．当点 从点 出发顺时针运动到点 时，点 所经过的路径长为 ( )‎ 第10题图 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 11. 如图，在 中，，，将 绕 点逆时针旋转 后得到 ，点 经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是  ．‎ ‎ ‎ 第11题图 第12题图 ‎ 12. 如图，三角板 中，，，，三角板绕直角顶点 逆时针旋转，当点 的对应点 落在 边上时即停止转动，则点 转过的路径长为 ．‎ ‎13. 某班同学在圣诞节前要为圣诞晚会制作一个圆锥形圣诞纸帽，已知圆锥的母线长为 ，底面圆直径为 ，则这个纸帽的表面积为  ．‎ ‎ 14. 如图，从半径为 的圆形纸片上剪去 圆周的扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为   ．‎ ‎ ‎ 第14题图 第15题图 ‎ ‎ 15. 如图， 为半圆 的直径， 是半圆上一点，且 ，设扇形 ，，弓形 的面积分别为 ，，，则它们之间的关系是  ．‎ ‎ 16. 如图，将一个三角形纸板 的顶点 放在 上， 经过圆心，，半径 ，则在 上被遮挡住的 的长为  ．（结果保留 ）‎ 第16题图 ‎17. 已知扇形的面积为 ，半径等于 ，则它的圆心角等于  ．‎ ‎ 18. 圆锥的底面半径是 ，母线长 ，则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为 度．‎ ‎ 19. 如图， 的边 位于直线 上，，，．若 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点 第 次落在直线 上时，点 所经过的路线的长为  （结果用含 的式子表示）．‎ 第 19题图 ‎ 20. 某厂接到为雅安地震灾区赶制无底帐篷的任务，帐篷表面由防水隔热的环保面料制成，样式如图所示，则赶制这样的帐篷 顶，大约需要用防水隔热的环保面料（拼接处面料不计）‎ 为 ．（ 取 ，）‎ 第20题图 ‎ 21. 如图，在 中，，，，把 绕直线 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为 ，把 绕直线 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为 ．求 的值．‎ ‎ ‎ ‎ 第21题图 ‎22. 如图 ①，半径为 ，圆心角为 的扇形面积是 ．由弧长 ，得 ．通过观察，我们发现 类似于 ．类比扇形，我们探索扇环（如图 ②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．‎ ‎（1）设扇环的面积为 ， 的长为 ， 的长为 ，线段 的长为 （即两个同心圆半径 与 的差）．类比 ，用含 ，， 的代数式表示 ，并证明．‎ ‎（2）用一段长为 的篱笆围成一个如图 ② 所示的扇环形花园，线段 的长 为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少?‎ ‎ ‎ 第22题图 ‎23. 小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图，它的底面半径 ，高 ，求这个圆锥形漏斗的侧面积．‎ ‎ ‎ 第23题图 ‎24. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 ， 的夹角为 ， 长为 ，贴纸部分中 的长为 ，求贴纸部分的面积．‎ ‎ ‎ 第24题图 ‎25. 如图，有一块圆形铁皮， 是 的直径，，在此圆形铁皮中剪下一个扇形（阴影部分）．‎ ‎（1） 当 的半径为 时，求这个扇形（阴影部分）的面积（结果保留 ）．‎ ‎（2）当 的半径为 时，在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由．‎ 第25题图 参考答案 ‎1. B 2. A 3. D 4. D 5. D 6. D 7. D 8. C 9. D 10. B ‎ ‎11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. ‎ ‎21. 【解】在 中，，，，‎ ‎ ．‎ ‎ 绕 旋转一周圆锥的表面积 ；‎ 绕 旋转一周圆锥的表面积 ．‎ ‎ ．‎ ‎22. 【解】（1） ．证明如下：‎ ‎ ‎ ‎      （2） 由 ，得 ．‎ ‎ ‎ ‎ 当 时， 有最大值为 ．‎ ‎ 当线段 的长为 时，花园的面积最大，最大面积为 ．‎ ‎23. 根据题意，由勾股定理可知 ．‎ ‎ ．‎ ‎ 圆锥形漏斗的侧面积 ．‎ ‎24. 【解】设 ，，‎ ‎ ‎ 答：贴纸部分的面积为 ．‎ ‎25. 【解】（1） 是 的直径，，‎ ‎ ，，．‎ 当 的半径为 时，，‎ ‎ ．‎ ‎      （2） 不能．理由如下：‎ 当 的半径为 时，．‎ 阴影部分扇形的弧长为 ，．‎ 以 为直径作圆，是剩余材料③中所作的最大的圆，其圆周长为 ．‎ ‎ ，‎ ‎ 不能从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥．‎ ‎3.7 正多边形与圆 ‎1. 正八边形的每个内角为( )‎ A.120° B.135° C.140° D.144° ‎ ‎2.对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 ( )‎ A.正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴 B.正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心 C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角 D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补 ‎3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )‎ ‎①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形.‎ A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ‎4.一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( )‎ A.12 mm B.12 mm C.6 mm D.6 mm ‎5.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝( )‎ 第5题图 A.30° B.35° C.45° D.60°‎ ‎6.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )‎ A. B. C. D. ‎7.为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为( )‎ 第7题图 A.2a2 B.3a2 C.4a2 D.5a2‎ ‎8.用尺规画正八边形时，先将半径为R的圆____________等分，再将____________平分，最后依次连接各分点即可得正八边形.‎ ‎9.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为____________.‎ 第9题图 ‎10.在⊙O中，弦AB是内接正三角形的一边，弦AC是内接正六边形的一边，则∠BAC＝____________.‎ ‎11.在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一种画圆内接正三角形的方法：‎ ‎(1)如图，作直径AD；‎ ‎(2)作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；‎ ‎(3)连接AB，AC，那么△ABC为所求的三角形.‎ 请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由.‎ ‎12.若一个正六边形的周长为24，求该正六边形的面积.(结果保留根号)‎ ‎13.如图，已知⊙O的两直径AB，CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于点E.求证：MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长.‎ 第13题图 ‎14.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF＝DM.‎ ‎(1)求证：△BCF≌△CDM；‎ ‎ (2)求∠BPM的度数.‎ 第14题图 ‎15.如图1，2，3，…，m中，M，N分别是⊙O的内接正△ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.‎ ‎(1)求图1中∠MON的度数；‎ ‎(2)图2中∠MON的度数是____________，图3中∠MON的度数是____________；‎ ‎(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系.(直接写出答案)‎ 第15题图 参考答案 ‎1.B　2.B　3.C　4.A　5.A 6.A　7.A　‎ ‎8.四　直角 9.π　 10.30°或90°‎ ‎11.【解】图略.两位同学的方法正确.连BO，CO，设BC交AD于点E. ∵BC垂直平分OD， ∴在Rt△OEB中，cos∠BOE＝＝. ∴∠BOE＝60°.由垂径定理得∠COE＝∠BOE＝60°. ∵AD为直径， ∴∠AOB＝∠AOC＝120°. ∴AB＝BC＝CA，即△ABC为等边三角形.‎ ‎12.【解】如图，过点O作OD⊥AB，垂足为点D. ∵∠AOB＝360°÷6＝60°，OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形，且三条对角线把正六边形分成了六个全等的等边三角形. ∵正六边形的周长为24， ∴AB＝4. ∵OD⊥AB， ∴∠AOD＝30°，AD＝2.‎ 在Rt△AOD中，根据勾股定理得OD＝2. ∴S△AOB＝×4×2＝4. ∴S正六边形＝6×4＝24.‎ ‎13.【证明】连接OM. ∵MN⊥OB，OE＝OB＝OM， ∴∠EMO＝30°. ∴∠MOB＝60°. ∴∠MOC＝30°，∠MOB＝＝60°，∠MOC＝＝30°. ∴MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长.‎ ‎14.(1)【证明】∵五边形ABCDE是正五边形， ∴BC＝CD，∠BCF＝∠CDM.‎ 在△BCF和△CDM中， ∴△BCF≌△CDM(SAS).‎ ‎(2)【解】∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BCF＝＝108°. ∴∠CBF＋∠CFB＝180°－∠BCF＝72°. ∵△BCF≌△CDM， ∴∠MCD＝∠CBF. ∴∠MCD＋∠CFB＝72°. ∴∠BPM＝∠CPF＝180°－(∠MCD＋∠CFB)＝108°.‎ ‎15.【解】(1)连接OB，OC. ∵正△ABC内接于⊙O， ∴∠OBM＝∠OBN＝∠OCN＝30°. ∴∠BOC＝120°.而BM＝CN，OB＝OC， ∴△OBM≌△OCN(SAS). ∴∠BOM＝∠CON. ∴∠MON＝∠BOC＝120°.‎ ‎(2)90°　72°‎ ‎(3)∠MON＝.‎