青岛版八年级数学上册第5章测试题及答案

青岛版八年级数学上册第5章测试题及答案 ‎5.1 定义与命题 一、选择题 ‎1. 下列各数，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）‎ A. 5 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎2. 下列语句是命题的是（ ）‎ A. 作直线AB的垂线 B. 在线段AB上取点C C. 同旁内角互补 D. 垂线段最短吗？‎ ‎3. 下列命题是假命题的是（ ）‎ A. 一个锐角的补角大于这个角 B. 凡是能被2整除的数，末位数字必是偶数 C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D. 相反数等于它本身的数是0‎ ‎4. 有下列五个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③垂线段最短；④带根号的数都是无理数；⑤一个非负实数的绝对值是它本身．其中真命题的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎5. 有下列三个命题：（1）两点之间线段最短；（2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；（3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题的个数 是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ 二、填空题 ‎6. 把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：____________．‎ ‎7. 命题“若ab=0，则a=0”是______命题（填“真”或“假”），若是假命题，请举一个反例，如_________．‎ ‎8. 将命题“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式是___________．‎ 三、解答题 ‎9. 请判断下列命题的真假性，若是假命题请举反例说明．‎ ‎（1）若a>b，则a2>b2；‎ ‎（2）两个无理数的和仍是无理数；‎ ‎（3）若三角形的三边a，b，c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，则三角形是等边三角形；‎ ‎（4）若三条线段a，b，c满足a+b>c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．‎ 答案 一、1. B 【分析】A. ∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故不符合题意；B. ∵2不是4的倍数，∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2，故符合题意；C. ∵4是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故不符合题意；D. ∵8是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故不符合题意. 故选B.‎ ‎2. C 【分析】A. 作直线AB的垂线为描叙性语言，不是命题，故不符合题意；B. 在线段AB上取点C为描叙性语言，不是命题，故不符合题意；C. 同旁内角互补为命题，故符合题意；D. 垂线段最短吗为疑问句，不是命题，故不符合题意. 故选C.‎ ‎3. C 【分析】A. 一个锐角的补角大于这个角是真命题，不符合题意；B. 凡是能被2整除的数，末尾数字必是偶数是真命题，不符合题意；C. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补是假命题，符合题意；D、相反数等于他本身的数是0是真命题，不符合题意. 故选C.‎ ‎4. C 【分析】①对顶角相等，是真命题；②两直线平行，内错角相等，故②是假命题；‎ ‎③垂线段最短，是真命题；④带根号的数不一定是无理数，如等，故④是假命题；⑤一个非负实数的绝对值是它本身，是真命题．故真命题的个数是3．故选C．‎ ‎5. D 【分析】（1）两点之间线段最短是真命题；（2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直是真命题；（3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题．故选D．‎ 二、6. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行 ‎7. 假；a=1，b=0‎ ‎8. 如果两个角相等，那么它们的余角相等 三、9. 解：（1）若a>b，则a2>b2，假命题，如0>-1，但02c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，假命题，如三条线段a=3，b=2，c=1满足a+b>c，但这三条线段不能够组成三角形．‎ ‎5.2 为什么要证明 一、选择题 ‎1. 在上完数学课后，王磊发现操场上的旗杆与旁边一棵大树的影子好像平行，但他不敢肯定，此时他最好的办法是（　　）‎ A. 找来三角板、直尺，通过平移三角板来验证影子是否平行 B. 相信自己，两个影子就是平行的 C. 构造几何模型，用已学过的知识证明 D. 作一直线截两影子，并用量角器测出同位角的度数，若相等则影子平行 ‎2. 若P（P≥5）是一个质数而且P2-1除以24没有余数，则这种情况（　　）‎ A. 绝不可能 B. 只是有时可能 C. 总是可能 D. 只有当P=5时可能 ‎3. 小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝（　　）‎ ‎ ‎ ‎（第3题图）‎ A. 小华用的多 B. 小明用的多 C. 两人用的一样多 D. 不能确定谁用的多 二、解答题 ‎4. 在如图的方格纸中，每一格小正方形的边长均为1，小莉画出一个等腰直角三角形ABC，她画得对吗？请你设法验证一下，并与同伴交流各自的方法．‎ ‎ ‎ ‎（第4题图）‎ ‎5. 先观察再验证：（如图）‎ ‎（1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？‎ ‎（2）图（2）中两条线a与b哪一条更长？‎ ‎（3）图（3）中的直线AB与直线CD平行吗？‎ ‎ ‎ ‎（第5题图）‎ ‎6. 如果|a|=3，|b|=5，那么|a+b|=8吗？为什么？‎ ‎7. 已知n为正整数，你能肯定2n+4 -2n一定是30的倍数吗？‎ ‎8. 当n为整数时，（n+1）2 -（n-1）2的值一定是4的倍数吗？‎ ‎9. 观察下列等式：‎ ‎12×231=132×21；‎ ‎13×341=143×31，23×352=253×32；‎ ‎34×473=374×43，62×286=682×26；‎ ‎…‎ 根据上述等式填空：‎ ‎①52×　　=　　×25；‎ ‎②　　×396=693×　　．‎ ‎10. 用同样大小的黑色棋子按如图的规律摆放：‎ ‎（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？‎ ‎（2）第几个图形有2 016颗黑色棋子？请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎（第10题图）‎ ‎11. 如图，A，B，C，D，E五人围坐在圆桌旁，为A祝贺生日，小华问他们当时的座位．‎ A说：“我在B的旁边．”‎ B说：“我的左边不是C就是D．”‎ C说：“我在D的旁边．”‎ D说：“不，C在B的右边是错的．”‎ 只有E作了如实回答：“除B说正确之外，A，C，D都说错了．”‎ 你能确定他们的位置吗？‎ ‎ ‎ ‎（第11题图）‎ ‎12. 王慧同学不但会学习，而且也很会安排时间干好家务活，煲饭、炒菜、擦窗等样样都行，是爸爸妈妈的好帮手，某一天放学回家后，她完成各项家务活及所需时间如表：王慧同学完成以上各项家务活，至少需要　　分钟．（注：各项工作转接时间忽略不计）‎ 家务项目 擦窗 洗菜 洗饭煲、洗米 炒菜（用煤气炉）‎ 煲饭（用电饭煲）‎ 完成各项家务所需时间 ‎5分钟 ‎4分钟 ‎3分钟 ‎20分钟 ‎30分钟 答案 一、1. D 【分析】A. 平移三角板，实际不容易操作，比较麻烦，并且不很准确，故此选项不符合题意；B. 没有理论依据，故此选项不符合题意；C. 没有具体的操作方法，故此选项不符合题意；D. 根据同位角相等，两直线平行得出方法正确，并且操作简便，故此选项符合题意. 故选D．‎ ‎2. C 【分析】∵P（P≥5）是一个质数，∴P是奇数．设P=2a+1（a=1，2，3）∴p2-1=（2a+‎ ‎1）2-1=4a2+4a=4a（a+1）．∵a，a+1一定有一个可以被2整除，∴p2-1是8的倍数．∵P（P≥5）是一个质数，∴P不是3的倍数，∴P=3b+1或P=3b+2（b=1，2，3…），∴p2-1=（p+1）（p-1）．当p=3b+1时，p﹣-1是3的倍数．同样当p=3b+2时，p+1是3的倍数．∴p2-1也是3的倍数，∴p2-1是24的倍数，∴P2-1除以24没有余数．故选C．‎ ‎3. C 【分析】因为经过平移两个图形可变为两个边长相等长方形，所以两人用的一样多．故选C．‎ 二、4. 解：她画得对．‎ 由题图知，AC2=32+12=10，BC=32+12=10，AB2=22+42=20．‎ ‎∵10+10=20，∴AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴△ACB是等腰直角三角形．‎ ‎5. 解：观察可能得出的结论是 ‎（1）中的实线是弯曲的；‎ ‎（2）a更长一些；‎ ‎（3）AB与CD不平行．‎ 用科学的方法验证可发现：‎ ‎（1）中的实线是直的；‎ ‎（2）a与b一样长；‎ ‎（3）AB与CD平行．‎ ‎6. 解：如果|a|=3，|b|=5，那么|a+b|=8不一定成立．‎ 例如，|-3|=3，|5|=5，但是|-3+5|=2．‎ ‎7. 解：2n+4 -2n=2n（24-1）=15×2n．‎ 由n为正整数，得2n为2的倍数，‎ 则15×2n为30的倍数，即2n+4 -2n一定是30的倍数．‎ ‎8. 解：因为（n+1）2 -（n-1）2=[（n+1）+（n-1）][（n+1）-（n-1）]=4n，‎ 所以当n为整数时，（n+1）2 -（n-1）2的值一定是4的倍数．‎ ‎9. 解：①∵5+2=7，∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，∴52×275=572×25．‎ ‎②∵右边的三位数是369，∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，63×396=693×36．‎ ‎10. 解：第1个图形有棋子6颗，第2个图形有棋子9颗，第3个图形有棋子12颗，第4个图形有棋子15颗，第5个图形有棋子18颗，…，第n个图形有棋子3（n+1）颗．‎ ‎（1）第5个图形有18颗黑色棋子．‎ ‎（2）第n个图形有棋子3（n+1）颗．‎ 设第n个图形有2 016颗黑色棋子，‎ 则3（n+1）=2 016，解得n=671．‎ 所以第671个图形有2016颗黑色棋子．‎ ‎11. 解：如答图，有两种可能．‎ ‎ ‎ ‎（第11题答图）‎ ‎12. 解：因为用煲饭的三十分钟可同时完成擦窗、洗菜、炒菜，‎ 所以王慧同学完成以上五项家务活，至少需要3+30=33（分）．‎ ‎5.3 什么是几何证明 一、填空题 ‎1．证明几何命题时，表述要按照一定的格式，一般为：‎ ‎（1）按题意________；‎ ‎（2）分清命题的________，结合图形，在“已知”中写出______，在“求证”中写出______；‎ ‎（3）在“证明”中写出______．‎ ‎2. 已知：如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．‎ 求证：OE平分∠BOC．‎ ‎ ‎ ‎（第2题图）‎ 证明：∵OD平分∠AOC（已知），‎ ‎∴ = （ ） ．‎ ‎∵∠DOE=90°（已知），‎ ‎∴ + =90°（等量代换）．‎ ‎∴∠1 +∠4=180°-90° =90°（ ） ．‎ ‎∴ = （ ） ．‎ ‎∴OE平分∠BOC （ ） ．‎ ‎3. 已知：如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∠BOC=70°，∠AOC=50°．‎ 求证：∠DOE与∠AOB互补．‎ ‎ ‎ ‎（第3题图）‎ 证明：∵OD平分∠BOC（已知），OE平分∠AOC，‎ ‎∴∠DOC =∠BOC ，∠COE =∠AOC（ ）．‎ ‎∵∠BOC=70°，∠AOC=50°，‎ ‎∴∠DOC =×70°=35°，∠COE =×50°=25°（ ），‎ ‎∠AOB =∠BOC +∠AOC = 70°+50°=120°（ ）．‎ ‎∵∠DOE =∠DOC +∠COE = 35°+25°=60°（角的和的定义），‎ ‎∴∠DOE +∠AOB =60°+120°=180°（ ），‎ ‎∴∠DOE与∠AOB互补（ ）．‎ ‎4. 已知：如图，△ABC≌△，AD和分别是BC和上的中线．‎ 求证：AD=．‎ ‎ ‎ ‎（第4题图）‎ 证明：∵△ABC≌△，AD和分别是BC和上的中线（已知），‎ ‎∴AB=，∠B=∠，BC=（ ）．‎ ‎∵AD和分别是BC和上的中线（已知），‎ ‎∴BD=BC，=（ ）．‎ ‎∴BD=（ ）．‎ 在△ABD和△中，‎ ‎∴△ABD≌△（ ），‎ ‎∴AD=（ ）．‎ 二、解答题 ‎5. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠ACB，CD⊥AB，垂足为D．‎ 求证：∠A=2∠BCD．‎ ‎ ‎ ‎（第5题图） ‎ ‎6. 如图，C为线段AD上一点，B为线段CD的中点，且AD=8 cm，BD=2 cm．求证：C为线段AD的中点．‎ ‎ ‎ ‎（第6题图） ‎ ‎7. 如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3的三部分（即AB：BC：CD =2：5：3），M为线段AD的中点．求证：AB=CM．‎ ‎ ‎ ‎（第7题图）‎ ‎8. 已知：如图，C为线段AB上一点，D在线段AC上，且AD=AC，E为BC的中点．‎ 求证：AB+BD=4DE．‎ ‎ ‎ ‎（第8题图） ‎ ‎9. 如图，∠2 是∠1的4倍，∠2 的补角比∠1的余角大45°，∠AOD=90°．‎ 求证：OC平分∠AOB．‎ ‎ ‎ ‎（第9题图） ‎ 答案 一、1．画出图形，条件和结论，条件，结论，推理的依据 ‎2．∠1，∠2，角平分线的定义，∠2+∠3，平角的定义，∠3，∠4，等量代换，角平分线的定义 ‎3. 角平分线的定义，等量代换，角的和的定义，等量代换，补角的定义 ‎4. 全等三角形的对应边相等，对应角相等，中线的定义，等量代换，SAS，全等三角形的对应边相等 二、5. 证明：设∠BCD=．‎ ‎∵CD⊥AB（已知），‎ ‎∴∠BDC = 90°（垂直的定义），‎ ‎∴∠BCD+∠B = 90°（垂直的定义），‎ ‎∴ 2+2∠B = 180°（等量代换）．‎ ‎∵∠B=∠ACB（已知），‎ ‎∴∠A+2∠B = 180°（等量代换）．‎ ‎∴∠A =2（同角的余角相等），‎ 即∠A=2∠BCD（等量代换）．‎ ‎6. 证明：∵B为线段CD的中点（已知），‎ ‎∴CD=2BD（中点的定义）．‎ ‎∵BD=2 cm（已知），‎ ‎∴CD=4 cm（等量代换）．‎ 又∵AC=AD- CD（线段的和的定义），且AD=8 cm（已知），‎ ‎∴AC=8- 4=4（cm） （等量代换）．‎ ‎∴C为线段AD的中点（中点的定义）．‎ ‎7. 证明：设AB=2x，BC=5x，CD=3x，‎ 则AD =10x（线段的和的定义）．‎ ‎∵M为线段AD的中点（已知），‎ ‎∴AM = DM =AD=5x（中点的定义），‎ ‎∴AM =BC（等量代换），‎ 即AB +BM =BM +CM（等量代换），‎ ‎∴AB=CM（等式的基本性质）．‎ ‎8. 证明：∵AB=AC+BC，BD=BC+CD（已知），‎ ‎∴AB+BD =AC+BC+BC+CD（等式的基本性质）．‎ ‎∵AD =AC（已知），‎ ‎∴AC=3CD（等式的基本性质）．‎ ‎∵E为BC的中点（已知），‎ ‎∴BC=2CE（中点的定义）．‎ ‎∴AB+BD =3CD+2CE+2CE+CD=4CD+4CE=4（CD+CE）=4DE（等量代换）．‎ ‎9. 证明：∵∠2 是∠1的4倍，∠2 的补角比∠1的余角大45°（已知），‎ ‎∴∠2=4∠1，180°-∠2-45°=90°-∠1（余角、补角的定义），‎ ‎∴180°-4∠1-45°=90°-∠1（等量代换）．‎ ‎∴∠1=15°，∠2=60°（等式的基本性质）．‎ 又∵∠AOD=90°（已知），‎ ‎∴∠AOB =90°-60°=30°（角的和的定义），‎ ‎∴∠BOC =30°-15°=15°（角的和的定义）．‎ ‎∴∠BOC =∠AOC （等量代换）．‎ ‎∴OC平分∠AOB（角平分线的定义）．‎ ‎5.4 平行线的性质定理和判定定理 一、选择题 ‎1．如图，若AB∥CD，AE平分∠CAB，且交CD于点D，∠C=110°，则∠EAB为（ ） ‎ ‎ ‎ ‎（第1题图）‎ A．30° B．35° C．40° D．45°‎ ‎2．如图，△ABC的三个顶点分别在直线a，b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是（ ） ‎ ‎ ‎ ‎（第2题图）‎ A．40° B．60° C．80° D．120°‎ ‎3．如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角（ ） ‎ A．相等 B．相等且互补 C．互补 D．相等或互补 ‎4．如图，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是（ ） ‎ ‎ ‎ ‎（第4题图）‎ A．当∠1=∠2时，一定有a∥b B．当a∥b时，一定有∠1=∠2‎ C．当a∥b时，一定有∠1+∠2=90° D．当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b 二、填空题 ‎5．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数 为_______．‎ ‎ ‎ ‎（第5题图） （第6题图）‎ ‎6．如图，AB∥CD，∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是_______．‎ ‎7．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠A=45°，∠C=70°，则∠ADE=_______．‎ ‎ ‎ ‎（第7题图） （第8题图）‎ ‎8．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=_______．‎ ‎9．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数 为_______°．‎ ‎ ‎ ‎（第9题图）‎ 三、解答题 ‎10．（1）判断下列推理过程是否正确，如有错误请予改正：‎ 如图①．∵∠B=70°（已知），∠CFE=70°（已知），‎ ‎∴∠B=∠CFE（同位角相等）．‎ ‎∴AB∥CF（两直线平行）．‎ ‎∴∠BAF=∠CFA（内错角相等）．‎ ‎ ‎ ‎① ②‎ ‎（第10题图）‎ ‎（2）请把下列证明过程补充完整：‎ ‎ 已知：如图②，DE∥BC，BE平分∠ABC．求证：∠1=∠3．‎ ‎ 证明：∵BE平分∠ABC（已知），‎ ‎∴∠1=_______（______________）．‎ 又∵DE∥BC（已知），‎ ‎∴∠2=_______ （______________）．‎ ‎∴∠1=∠3（________________）．‎ ‎11．如图，AD∥BC，∠B=∠C．求证：AD平分∠EAC．‎ ‎ ‎ ‎（第11题图）‎ ‎12．（1）如图，直线c，d分别被直线a，b所截，且∠3+∠4=180°，求证：∠2+∠5=180°．‎ ‎（2）在（1）的证明过程中，你运用了哪两个互为逆命题的真命题？‎ ‎ ‎ ‎（第12题图）‎ ‎13．如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E=140°，求∠BFD的度数．‎ ‎ ‎ ‎（第13题图）‎ 答案 一、1．B 2．A 3．D 4．D ‎ 二、5．50° 6．70° 7．65°　 8．115° 9．70　‎ 三、10．解：（1）“同位角相等”改为“等量代换”；‎ ‎“两直线平行”改为“同位角相等，两直线平行”； ‎ ‎ “内错角相等”改为“两直线平行，内错角相等”． ‎ ‎（2）∠2；角平分线的定义；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．‎ ‎11．证明：因为AD∥BC，‎ 所以∠EAD=∠B，∠CAD=∠C．‎ 又因为∠B=∠C，所以∠EAD=∠CAD，‎ 所以AD平分∠EAC．‎ ‎12．（1）证明：因为∠3+∠4=180°，‎ 所以c∥d，所以∠1+∠2=180°．‎ 又因为∠1=∠5，所以∠2+∠5=180°．‎ ‎（2）运用了“同旁内角互补，两直线平行”和“两直线平行，同旁内角互补”两个互为逆命题的真命题．‎ ‎13．解：如答图，过点G作EG∥AB，‎ 则∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°．‎ 所以∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°，‎ 即∠ABE+∠E+∠CDE=360°．‎ 因为∠E=140°，所以∠ABE+∠CDE=220°．‎ 因为∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，‎ 所以∠FBE+∠FDE=（∠ABE+∠CDE）=110°．‎ 又因为∠FBE+∠FDE+∠E+∠BFD=360°，‎ 所以∠BFD=110°．‎ ‎ ‎ ‎（第13题答图）‎ ‎5.5 三角形内角和定理 一、选择题 ‎1. 如图，在△ABC中，∠C=70°，若沿图中的虚线截去∠C，则∠1+∠2 =（ ）‎ ‎ ‎ ‎（第1题图）‎ A. 360° B. 250° C. 180° D. 140°‎ ‎2. 三个内角之比是1：5：6的三角形是（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎3. 如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠2=80°，那么∠1的度数为（ ） ‎ A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°‎ ‎ ‎ ‎（第3题图） （第4题图）‎ ‎4. 如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（ ） ‎ A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°‎ ‎5. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于（ ）‎ A. 90 ° B. 180° C. 360° D. 270°‎ ‎ ‎ ‎（第5题图） （第6题图）‎ ‎6. 如图，O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（ ） ‎ A. 95° B. 120° C. 135° D. 无法确定 ‎7. P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于D，连接PC，则图中∠1，∠2，∠A 的大小关系是（ ） ‎ A. ∠A>∠2>∠1 B. ∠A>∠2>∠1 C. ∠2>∠1>∠A D. ∠1>∠2>∠A ‎ ‎ ‎（第7题图） （第8题图）‎ ‎8. 如图，△ABC的角平分线BO，CO相交于点O，∠A=120°，则∠BOC=（ ）‎ A. 150° B. 140° C. 130° D. 120°‎ ‎9. 在△ABC中，若∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于（ ）‎ A. 40° B. 60° C. 80° D. 90°‎ ‎10. 在不等边三角形中，最小的角可以是（ ）‎ A. 80° B. 65° C. 60° D. 59°‎ ‎11. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ） ‎ A. 40° B. 35° C. 30° D. 25°‎ ‎ ‎ ‎（第11题图） （第12题图）‎ ‎12. AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE的度数为（ ）‎ A. 20° B. 18° C. 38° D. 40°‎ 二、解答题 ‎13. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=60°，求∠C，∠DAE的度数．‎ ‎ ‎ ‎（第13题图）‎ ‎14. 在△ABC中，AD⊥BC，BE平分∠ABC交AD于F，∠ABE=23°．求∠AFE的度数．‎ ‎ ‎ ‎（第14题图）‎ ‎15. 在△ABC中，∠A=50°．‎ ‎（1）如图①，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC= °；‎ ‎（2）如图②，∠ABC，∠ACB的三等分线分别对应交于O1，O2，则∠BO2C= °；‎ ‎（3）如图③，∠ABC，∠ACB的n等分线分别对应交于O1，O2，…，On -1（内部有n-1个点），求∠BOn -1C（用n的代数式表示）；‎ ‎（4）如图③，已知∠ABC，∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1，若∠BOn -1C=60°，求n的值．‎ ‎ ‎ ‎（第15题图）‎ 答案 一、1. B 【分析】如答图. ∵∠C=70°，∴∠CEF+∠CFE=180°-∠C=110°. ∵∠1+∠CEF= 180°，∠2+∠CFE=180°，‎ ‎∴∠1+∠2=180°+180°-（∠CEF+∠CFE）=360°-110°=250°. 故选B.‎ ‎ ‎ ‎（第1题答图）‎ ‎2. B 【分析】∵该三角形的三个内角度数之比为1：5：6，∴该三角形最大的内角度数为：180°×=90°，∴该三角形是直角三角形．故选B．‎ ‎3. B 【分析】根据平行线的性质，得∠2=∠1+30°，所以∠1=50°．故选B．‎ ‎4. C 【分析】∵BC⊥AE，∴∠BCE=90°．∵CD∥AB，∴∠DCB=∠B=40°，∴∠ECD=‎ ‎∠BCE -∠DCB=90°-40°=50°．故选C．‎ ‎5. B 【分析】连接CD. 根据三角形的内角和定理，得∠A+∠B=∠BDC+∠ACD，则∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E=∠BDC+∠ACD+∠C+∠D+∠E=∠EDC+∠ECD+∠E=180°． 故选B．‎ ‎6. C 【分析】由∠A=80°，得∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°. 由∠1=15°，∠2=40°，得∠OBC+∠OCB=100°-15°-40°=45°，所以∠BOC=180°-45°=135°．故选C．‎ ‎7. D 【分析】根据三角形外角的性质，得∠1=∠2+∠DCP，∠2=∠A+∠ABD，则∠1>∠2> ∠A． 故选D．‎ ‎8. A 【分析】∵∠BAC=120°，∴∠ABC+∠ACB=60°．∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB=30°，∴∠BOC=150°．故选A．‎ ‎9. A 【分析】由题意知，∠B=2∠A，∠C-∠A=20°，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠B=80°，∠A=40°，∠C=60°．故选A．‎ ‎10. D 【分析】在不等边三角形中，最小的角要小于60°，否则三内角的和大于180°．故 选D．‎ ‎11. A 【分析】∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°-25°=65°．∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°．∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D- ∠A=65°-25°=40°．故选A．‎ ‎12. A 【分析】∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAD= ‎ ‎14°，∠CAD=54°，∴∠BAE=∠BAC=×68°=34°，∴∠DAE=34°-14°=20°．故选A．‎ 二、13. 解：∵在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，‎ ‎∴∠C=180°-80°-60°=40°.‎ ‎∵AD⊥BC于D，∴∠ADC=90°，‎ ‎∴∠DAC=180°-∠ADC -∠C=180°-90°-40°=50°.‎ 又∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠DAC=25°.‎ ‎14. 解：∵在△ABC中，由AD⊥BC，∴∠BDF=90°.‎ ‎∵BE平分∠ABC交AD于F，∠ABE=23°，‎ ‎∴∠DBF=∠ABE=23°，∴∠BFD=180° -90° -23°=67°，‎ ‎∴∠AFE=∠BFD=67°.‎ ‎15. 解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°．‎ ‎∵BO，CO是∠ABC，∠ACB的两条平分线， ‎ ‎∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB．‎ ‎∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=65°．‎ ‎∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°．‎ ‎（2）∵点O2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，‎ ‎∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=（）°，‎ ‎∴∠BO2C=180°-（）°=（）°．‎ ‎（3）∵点On -1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，‎ ‎∴∠On -1BC+∠On -1CB=（∠ABC+∠ACB）=×130°， ‎ ‎∴∠BOn -1C=180°-×130°．‎ ‎（4）∵∠BOn -1C=60°， ∴180°-×130°=60°，解得n=13．‎ ‎5.6 几何证明举例 ‎1. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB的延长线于点E，连接CE. ‎ 求证：∠BCE=∠A +∠ACB . ‎ ‎ ‎ ‎（第1题图）‎ ‎2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.  求证：∠CAB=∠AED. ‎ ‎ ‎ ‎（第2题图）‎ ‎3. 如图，在△ABC中，分别作AB边，BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边，BC边于点E，F．求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P．‎ ‎ ‎ ‎（第3题图）‎ ‎4. 如图，在△ABD中，∠BAC = 90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交AC于点F，FH⊥BC于点H.  求证：AE =FH. ‎ ‎ ‎ ‎（第4题图）‎ ‎5. 如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，AB=AC. ‎ ‎（1）如果DE∥BC，求证：AD=AE. ‎ ‎（2）如果AD=AE，求证：DE∥BC.‎ ‎ ‎ ‎（第5题图）‎ ‎6. 如图，AB=AC，DB=DC.   求证：∠B=∠C. ‎ ‎ ‎ ‎（第6题图）‎ ‎7. 如图，E，F是线段BC上两点，AB∥CD，AB=DC，CE=BF.    求证：AE=DF.‎ ‎ ‎ ‎（第7题图）‎ ‎8. 如图，DE∥BC，A是DE上一点，AD=AE，AB=AC.   求证：BE=CD. ‎ ‎ ‎ ‎（第8题图）‎ ‎9. 如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为C，AC=BC，点E在AC上，且CE=CD. 连接BE并延长交AD于点F.  求证：BF⊥AD. ‎ ‎（第9题图）‎ ‎10. 如图，AC与BD相交于点O，且AC=BD，AD=BC.  求证：OA=OB.‎ ‎（第10题图）‎ 答案 ‎1. 证明：∵BC的垂直平分线交BC于点D，‎ ‎∴BE=CE， ∴∠BCE=∠CBE. ‎ ‎∵∠CBE=∠A +∠ACB，∴∠BCE=∠A +∠ACB . ‎ ‎2. 证明：∵DE是AB的垂直平分线，‎ ‎∴EA=EB， ∴∠EAB=∠B. ‎ ‎∵∠C=90°，∴∠CAB +∠B=90°. ‎ 又∵∠AED +∠EAB=90°，∴∠CAB=∠AED.‎ ‎3. 证明：∵P是AB边的垂直平分线上的一点，‎ ‎∴ PA= PB．同理可得，PB= PC．‎ ‎∴ PA=PC．∴P是AC边的垂直平分线上的一点．‎ ‎∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P．‎ ‎4. 证明：∵BF平分∠ABC，FA⊥AB，FH⊥BC，‎ ‎∴FA =FH，∠ABF =∠EBD .‎ 又∵∠AFB +∠ABF = 90°，∠DEB +∠EBD = 90°，‎ ‎∴∠AFB =∠DEB，∴∠AFB =∠AEF.‎ ‎∴AF =AE. ∴AE =FH. ‎ ‎5. 证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C. ‎ ‎∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED. ‎ ‎∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE. ‎ ‎（2）∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=（180°-∠A）. ‎ ‎∵AB=AC，∴∠B=∠C=（180°-∠A）. ‎ ‎∴∠B=∠ADE，∴DE∥BC.‎ ‎6. 证明：连接AD.‎ 在△ABD和△ACD中，‎ ‎∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠B=∠C. ‎ ‎7. 证明：∵CE=BF，∴CE+EF=BF+EF，即CF=BE.‎ ‎∵AB∥CD，∴∠B=∠C. ‎ 在△ABE和△DCF中，‎ ‎∴△ABE≌△DCF（SSS），∴AE=DF. ‎ ‎8. 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ‎ ‎∵BC∥DE，∴∠DAB=∠ABC，∠EAC=∠ACB，‎ ‎∴∠DAB=∠EAC，∴∠DAC=∠EAB. ‎ 在△DAC和△EAB中，‎ ‎∴△DAC≌△EAB（SAS），∴BE=CD. ‎ ‎9. 证明：∵AC⊥DB，∴∠BCE =∠ACD = 90°. ‎ 在△BCE和△ACD中，‎ ‎∴△BCE≌△ACD（SAS），∴∠CBE=∠CAD. ‎ ‎∵在△ACD中，∠CAD +∠ACD +∠D= 180°，‎ 在△BDF中，∠CBE +∠BFD +∠D= 180°，‎ ‎∴∠CAD +∠ACD +∠D=∠CBE +∠BFD +∠D= 180°，‎ ‎∴∠ACD=∠BFD=90°，‎ 即BF⊥AD. ‎ ‎10. 证明：连接AB.‎ 在△ABD和△BAC中，‎ ‎∴△ABD≌△BAC（SSS），∴∠BDA=∠ACB.‎ 在△AOD和△BOC中，‎ ‎∴△AOD≌△BOC（AAS），∴OA=OB.‎