青岛版八年级数学上册第5章测试题及答案
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青岛版八年级数学上册第5章测试题及答案

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资料简介
青岛版八年级数学上册第5章测试题及答案 ‎5.1 定义与命题 一、选择题 ‎1. 下列各数,可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是( )‎ A. 5 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎2. 下列语句是命题的是( )‎ A. 作直线AB的垂线 B. 在线段AB上取点C C. 同旁内角互补 D. 垂线段最短吗?‎ ‎3. 下列命题是假命题的是( )‎ A. 一个锐角的补角大于这个角 B. 凡是能被2整除的数,末位数字必是偶数 C. 两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补 D. 相反数等于它本身的数是0‎ ‎4. 有下列五个命题:①对顶角相等;②内错角相等;③垂线段最短;④带根号的数都是无理数;⑤一个非负实数的绝对值是它本身.其中真命题的个数为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎5. 有下列三个命题:(1)两点之间线段最短;(2)平面内,过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直;(3)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.其中真命题的个数 是( )‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ 二、填空题 ‎6. 把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…,那么…”的形式:____________.‎ ‎7. 命题“若ab=0,则a=0”是______命题(填“真”或“假”),若是假命题,请举一个反例,如_________.‎ ‎8. 将命题“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式是___________.‎ 三、解答题 ‎9. 请判断下列命题的真假性,若是假命题请举反例说明.‎ ‎(1)若a>b,则a2>b2;‎ ‎(2)两个无理数的和仍是无理数;‎ ‎(3)若三角形的三边a,b,c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,则三角形是等边三角形;‎ ‎(4)若三条线段a,b,c满足a+b>c,则这三条线段a,b,c能够组成三角形.‎ 答案 一、1. B 【分析】A. ∵5不是偶数,且也不是4的倍数,∴不能作为假命题的反例,故不符合题意;B. ∵2不是4的倍数,∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2,故符合题意;C. ∵4是偶数,且是4的倍数,∴不能作为假命题的反例,故不符合题意;D. ∵8是偶数,且也是4的倍数,∴不能作为假命题的反例,故不符合题意. 故选B.‎ ‎2. C 【分析】A. 作直线AB的垂线为描叙性语言,不是命题,故不符合题意;B. 在线段AB上取点C为描叙性语言,不是命题,故不符合题意;C. 同旁内角互补为命题,故符合题意;D. 垂线段最短吗为疑问句,不是命题,故不符合题意. 故选C.‎ ‎3. C 【分析】A. 一个锐角的补角大于这个角是真命题,不符合题意;B. 凡是能被2整除的数,末尾数字必是偶数是真命题,不符合题意;C. 两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角才互补是假命题,符合题意;D、相反数等于他本身的数是0是真命题,不符合题意. 故选C.‎ ‎4. C 【分析】①对顶角相等,是真命题;②两直线平行,内错角相等,故②是假命题;‎ ‎③垂线段最短,是真命题;④带根号的数不一定是无理数,如等,故④是假命题;⑤一个非负实数的绝对值是它本身,是真命题.故真命题的个数是3.故选C.‎ ‎5. D 【分析】(1)两点之间线段最短是真命题;(2)平面内,过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直是真命题;(3)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行,正确,是真命题.故选D.‎ 二、6. 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行 ‎7. 假;a=1,b=0‎ ‎8. 如果两个角相等,那么它们的余角相等 三、9. 解:(1)若a>b,则a2>b2,假命题,如0>-1,但02c,则这三条线段a,b,c能够组成三角形,假命题,如三条线段a=3,b=2,c=1满足a+b>c,但这三条线段不能够组成三角形.‎ ‎5.2 为什么要证明 一、选择题 ‎1. 在上完数学课后,王磊发现操场上的旗杆与旁边一棵大树的影子好像平行,但他不敢肯定,此时他最好的办法是(  )‎ A. 找来三角板、直尺,通过平移三角板来验证影子是否平行 B. 相信自己,两个影子就是平行的 C. 构造几何模型,用已学过的知识证明 D. 作一直线截两影子,并用量角器测出同位角的度数,若相等则影子平行 ‎2. 若P(P≥5)是一个质数而且P2-1除以24没有余数,则这种情况(  )‎ A. 绝不可能 B. 只是有时可能 C. 总是可能 D. 只有当P=5时可能 ‎3. 小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型,如图,那么他们两个人用的铁丝(  )‎ ‎ ‎ ‎(第3题图)‎ A. 小华用的多 B. 小明用的多 C. 两人用的一样多 D. 不能确定谁用的多 二、解答题 ‎4. 在如图的方格纸中,每一格小正方形的边长均为1,小莉画出一个等腰直角三角形ABC,她画得对吗?请你设法验证一下,并与同伴交流各自的方法.‎ ‎ ‎ ‎(第4题图)‎ ‎5. 先观察再验证:(如图)‎ ‎(1)图(1)中黑色的边是直的还是弯曲的?‎ ‎(2)图(2)中两条线a与b哪一条更长?‎ ‎(3)图(3)中的直线AB与直线CD平行吗?‎ ‎ ‎ ‎(第5题图)‎ ‎6. 如果|a|=3,|b|=5,那么|a+b|=8吗?为什么?‎ ‎7. 已知n为正整数,你能肯定2n+4 -2n一定是30的倍数吗?‎ ‎8. 当n为整数时,(n+1)2 -(n-1)2的值一定是4的倍数吗?‎ ‎9. 观察下列等式:‎ ‎12×231=132×21;‎ ‎13×341=143×31,23×352=253×32;‎ ‎34×473=374×43,62×286=682×26;‎ ‎…‎ 根据上述等式填空:‎ ‎①52×  =  ×25;‎ ‎②  ×396=693×  .‎ ‎10. 用同样大小的黑色棋子按如图的规律摆放:‎ ‎(1)第5个图形有多少颗黑色棋子?‎ ‎(2)第几个图形有2 016颗黑色棋子?请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎(第10题图)‎ ‎11. 如图,A,B,C,D,E五人围坐在圆桌旁,为A祝贺生日,小华问他们当时的座位.‎ A说:“我在B的旁边.”‎ B说:“我的左边不是C就是D.”‎ C说:“我在D的旁边.”‎ D说:“不,C在B的右边是错的.”‎ 只有E作了如实回答:“除B说正确之外,A,C,D都说错了.”‎ 你能确定他们的位置吗?‎ ‎ ‎ ‎(第11题图)‎ ‎12. 王慧同学不但会学习,而且也很会安排时间干好家务活,煲饭、炒菜、擦窗等样样都行,是爸爸妈妈的好帮手,某一天放学回家后,她完成各项家务活及所需时间如表:王慧同学完成以上各项家务活,至少需要  分钟.(注:各项工作转接时间忽略不计)‎ 家务项目 擦窗 洗菜 洗饭煲、洗米 炒菜(用煤气炉)‎ 煲饭(用电饭煲)‎ 完成各项家务所需时间 ‎5分钟 ‎4分钟 ‎3分钟 ‎20分钟 ‎30分钟 答案 一、1. D 【分析】A. 平移三角板,实际不容易操作,比较麻烦,并且不很准确,故此选项不符合题意;B. 没有理论依据,故此选项不符合题意;C. 没有具体的操作方法,故此选项不符合题意;D. 根据同位角相等,两直线平行得出方法正确,并且操作简便,故此选项符合题意. 故选D.‎ ‎2. C 【分析】∵P(P≥5)是一个质数,∴P是奇数.设P=2a+1(a=1,2,3)∴p2-1=(2a+‎ ‎1)2-1=4a2+4a=4a(a+1).∵a,a+1一定有一个可以被2整除,∴p2-1是8的倍数.∵P(P≥5)是一个质数,∴P不是3的倍数,∴P=3b+1或P=3b+2(b=1,2,3…),∴p2-1=(p+1)(p-1).当p=3b+1时,p﹣-1是3的倍数.同样当p=3b+2时,p+1是3的倍数.∴p2-1也是3的倍数,∴p2-1是24的倍数,∴P2-1除以24没有余数.故选C.‎ ‎3. C 【分析】因为经过平移两个图形可变为两个边长相等长方形,所以两人用的一样多.故选C.‎ 二、4. 解:她画得对.‎ 由题图知,AC2=32+12=10,BC=32+12=10,AB2=22+42=20.‎ ‎∵10+10=20,∴AC2+BC2=AB2,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∴△ACB是等腰直角三角形.‎ ‎5. 解:观察可能得出的结论是 ‎(1)中的实线是弯曲的;‎ ‎(2)a更长一些;‎ ‎(3)AB与CD不平行.‎ 用科学的方法验证可发现:‎ ‎(1)中的实线是直的;‎ ‎(2)a与b一样长;‎ ‎(3)AB与CD平行.‎ ‎6. 解:如果|a|=3,|b|=5,那么|a+b|=8不一定成立.‎ 例如,|-3|=3,|5|=5,但是|-3+5|=2.‎ ‎7. 解:2n+4 -2n=2n(24-1)=15×2n.‎ 由n为正整数,得2n为2的倍数,‎ 则15×2n为30的倍数,即2n+4 -2n一定是30的倍数.‎ ‎8. 解:因为(n+1)2 -(n-1)2=[(n+1)+(n-1)][(n+1)-(n-1)]=4n,‎ 所以当n为整数时,(n+1)2 -(n-1)2的值一定是4的倍数.‎ ‎9. 解:①∵5+2=7,∴左边的三位数是275,右边的三位数是572,∴52×275=572×25.‎ ‎②∵右边的三位数是369,∴左边的两位数是63,右边的两位数是36,63×396=693×36.‎ ‎10. 解:第1个图形有棋子6颗,第2个图形有棋子9颗,第3个图形有棋子12颗,第4个图形有棋子15颗,第5个图形有棋子18颗,…,第n个图形有棋子3(n+1)颗.‎ ‎(1)第5个图形有18颗黑色棋子.‎ ‎(2)第n个图形有棋子3(n+1)颗.‎ 设第n个图形有2 016颗黑色棋子,‎ 则3(n+1)=2 016,解得n=671.‎ 所以第671个图形有2016颗黑色棋子.‎ ‎11. 解:如答图,有两种可能.‎ ‎ ‎ ‎(第11题答图)‎ ‎12. 解:因为用煲饭的三十分钟可同时完成擦窗、洗菜、炒菜,‎ 所以王慧同学完成以上五项家务活,至少需要3+30=33(分).‎ ‎5.3 什么是几何证明 一、填空题 ‎1.证明几何命题时,表述要按照一定的格式,一般为:‎ ‎(1)按题意________;‎ ‎(2)分清命题的________,结合图形,在“已知”中写出______,在“求证”中写出______;‎ ‎(3)在“证明”中写出______.‎ ‎2. 已知:如图,O为直线AB上一点,OD平分∠AOC,∠DOE=90°.‎ 求证:OE平分∠BOC.‎ ‎ ‎ ‎(第2题图)‎ 证明:∵OD平分∠AOC(已知),‎ ‎∴ = ( ) .‎ ‎∵∠DOE=90°(已知),‎ ‎∴ + =90°(等量代换).‎ ‎∴∠1 +∠4=180°-90° =90°( ) .‎ ‎∴ = ( ) .‎ ‎∴OE平分∠BOC ( ) .‎ ‎3. 已知:如图,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,∠BOC=70°,∠AOC=50°.‎ 求证:∠DOE与∠AOB互补.‎ ‎ ‎ ‎(第3题图)‎ 证明:∵OD平分∠BOC(已知),OE平分∠AOC,‎ ‎∴∠DOC =∠BOC ,∠COE =∠AOC( ).‎ ‎∵∠BOC=70°,∠AOC=50°,‎ ‎∴∠DOC =×70°=35°,∠COE =×50°=25°( ),‎ ‎∠AOB =∠BOC +∠AOC = 70°+50°=120°( ).‎ ‎∵∠DOE =∠DOC +∠COE = 35°+25°=60°(角的和的定义),‎ ‎∴∠DOE +∠AOB =60°+120°=180°( ),‎ ‎∴∠DOE与∠AOB互补( ).‎ ‎4. 已知:如图,△ABC≌△,AD和分别是BC和上的中线.‎ 求证:AD=.‎ ‎ ‎ ‎(第4题图)‎ 证明:∵△ABC≌△,AD和分别是BC和上的中线(已知),‎ ‎∴AB=,∠B=∠,BC=( ).‎ ‎∵AD和分别是BC和上的中线(已知),‎ ‎∴BD=BC,=( ).‎ ‎∴BD=( ).‎ 在△ABD和△中,‎ ‎∴△ABD≌△( ),‎ ‎∴AD=( ).‎ 二、解答题 ‎5. 已知:如图,在△ABC中,∠B=∠ACB,CD⊥AB,垂足为D.‎ 求证:∠A=2∠BCD.‎ ‎ ‎ ‎(第5题图) ‎ ‎6. 如图,C为线段AD上一点,B为线段CD的中点,且AD=8 cm,BD=2 cm.求证:C为线段AD的中点.‎ ‎ ‎ ‎(第6题图) ‎ ‎7. 如图,B,C两点把线段AD分成2:5:3的三部分(即AB:BC:CD =2:5:3),M为线段AD的中点.求证:AB=CM.‎ ‎ ‎ ‎(第7题图)‎ ‎8. 已知:如图,C为线段AB上一点,D在线段AC上,且AD=AC,E为BC的中点.‎ 求证:AB+BD=4DE.‎ ‎ ‎ ‎(第8题图) ‎ ‎9. 如图,∠2 是∠1的4倍,∠2 的补角比∠1的余角大45°,∠AOD=90°.‎ 求证:OC平分∠AOB.‎ ‎ ‎ ‎(第9题图) ‎ 答案 一、1.画出图形,条件和结论,条件,结论,推理的依据 ‎2.∠1,∠2,角平分线的定义,∠2+∠3,平角的定义,∠3,∠4,等量代换,角平分线的定义 ‎3. 角平分线的定义,等量代换,角的和的定义,等量代换,补角的定义 ‎4. 全等三角形的对应边相等,对应角相等,中线的定义,等量代换,SAS,全等三角形的对应边相等 二、5. 证明:设∠BCD=.‎ ‎∵CD⊥AB(已知),‎ ‎∴∠BDC = 90°(垂直的定义),‎ ‎∴∠BCD+∠B = 90°(垂直的定义),‎ ‎∴ 2+2∠B = 180°(等量代换).‎ ‎∵∠B=∠ACB(已知),‎ ‎∴∠A+2∠B = 180°(等量代换).‎ ‎∴∠A =2(同角的余角相等),‎ 即∠A=2∠BCD(等量代换).‎ ‎6. 证明:∵B为线段CD的中点(已知),‎ ‎∴CD=2BD(中点的定义).‎ ‎∵BD=2 cm(已知),‎ ‎∴CD=4 cm(等量代换).‎ 又∵AC=AD- CD(线段的和的定义),且AD=8 cm(已知),‎ ‎∴AC=8- 4=4(cm) (等量代换).‎ ‎∴C为线段AD的中点(中点的定义).‎ ‎7. 证明:设AB=2x,BC=5x,CD=3x,‎ 则AD =10x(线段的和的定义).‎ ‎∵M为线段AD的中点(已知),‎ ‎∴AM = DM =AD=5x(中点的定义),‎ ‎∴AM =BC(等量代换),‎ 即AB +BM =BM +CM(等量代换),‎ ‎∴AB=CM(等式的基本性质).‎ ‎8. 证明:∵AB=AC+BC,BD=BC+CD(已知),‎ ‎∴AB+BD =AC+BC+BC+CD(等式的基本性质).‎ ‎∵AD =AC(已知),‎ ‎∴AC=3CD(等式的基本性质).‎ ‎∵E为BC的中点(已知),‎ ‎∴BC=2CE(中点的定义).‎ ‎∴AB+BD =3CD+2CE+2CE+CD=4CD+4CE=4(CD+CE)=4DE(等量代换).‎ ‎9. 证明:∵∠2 是∠1的4倍,∠2 的补角比∠1的余角大45°(已知),‎ ‎∴∠2=4∠1,180°-∠2-45°=90°-∠1(余角、补角的定义),‎ ‎∴180°-4∠1-45°=90°-∠1(等量代换).‎ ‎∴∠1=15°,∠2=60°(等式的基本性质).‎ 又∵∠AOD=90°(已知),‎ ‎∴∠AOB =90°-60°=30°(角的和的定义),‎ ‎∴∠BOC =30°-15°=15°(角的和的定义).‎ ‎∴∠BOC =∠AOC (等量代换).‎ ‎∴OC平分∠AOB(角平分线的定义).‎ ‎5.4 平行线的性质定理和判定定理 一、选择题 ‎1.如图,若AB∥CD,AE平分∠CAB,且交CD于点D,∠C=110°,则∠EAB为( ) ‎ ‎ ‎ ‎(第1题图)‎ A.30° B.35° C.40° D.45°‎ ‎2.如图,△ABC的三个顶点分别在直线a,b上,且a∥b,若∠1=120°,∠2=80°,则∠3的度数是( ) ‎ ‎ ‎ ‎(第2题图)‎ A.40° B.60° C.80° D.120°‎ ‎3.如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行,那么这两个角( ) ‎ A.相等 B.相等且互补 C.互补 D.相等或互补 ‎4.如图,直线a,b被直线c所截,下列说法正确的是( ) ‎ ‎ ‎ ‎(第4题图)‎ A.当∠1=∠2时,一定有a∥b B.当a∥b时,一定有∠1=∠2‎ C.当a∥b时,一定有∠1+∠2=90° D.当∠1+∠2=180°时,一定有a∥b 二、填空题 ‎5.如图,已知a∥b,小亮把三角板的直角顶点放在直线b上.若∠1=40°,则∠2的度数 为_______.‎ ‎ ‎ ‎(第5题图) (第6题图)‎ ‎6.如图,AB∥CD,∠A=25°,∠C=45°,则∠E的度数是_______.‎ ‎7.如图,在△ABC中,DE∥BC,∠A=45°,∠C=70°,则∠ADE=_______.‎ ‎ ‎ ‎(第7题图) (第8题图)‎ ‎8.如图,把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合,若∠1=50°,则∠AEF=_______.‎ ‎9.如图,将三角尺的直角顶点放在直线a上,a∥b,∠1=50°,∠2=60°,则∠3的度数 为_______°.‎ ‎ ‎ ‎(第9题图)‎ 三、解答题 ‎10.(1)判断下列推理过程是否正确,如有错误请予改正:‎ 如图①.∵∠B=70°(已知),∠CFE=70°(已知),‎ ‎∴∠B=∠CFE(同位角相等).‎ ‎∴AB∥CF(两直线平行).‎ ‎∴∠BAF=∠CFA(内错角相等).‎ ‎ ‎ ‎① ②‎ ‎(第10题图)‎ ‎(2)请把下列证明过程补充完整:‎ ‎ 已知:如图②,DE∥BC,BE平分∠ABC.求证:∠1=∠3.‎ ‎ 证明:∵BE平分∠ABC(已知),‎ ‎∴∠1=_______(______________).‎ 又∵DE∥BC(已知),‎ ‎∴∠2=_______ (______________).‎ ‎∴∠1=∠3(________________).‎ ‎11.如图,AD∥BC,∠B=∠C.求证:AD平分∠EAC.‎ ‎ ‎ ‎(第11题图)‎ ‎12.(1)如图,直线c,d分别被直线a,b所截,且∠3+∠4=180°,求证:∠2+∠5=180°.‎ ‎(2)在(1)的证明过程中,你运用了哪两个互为逆命题的真命题?‎ ‎ ‎ ‎(第12题图)‎ ‎13.如图,已知AB∥CD,∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F,∠E=140°,求∠BFD的度数.‎ ‎ ‎ ‎(第13题图)‎ 答案 一、1.B 2.A 3.D 4.D ‎ 二、5.50° 6.70° 7.65°  8.115° 9.70 ‎ 三、10.解:(1)“同位角相等”改为“等量代换”;‎ ‎“两直线平行”改为“同位角相等,两直线平行”; ‎ ‎ “内错角相等”改为“两直线平行,内错角相等”. ‎ ‎(2)∠2;角平分线的定义;∠3;两直线平行,同位角相等;等量代换.‎ ‎11.证明:因为AD∥BC,‎ 所以∠EAD=∠B,∠CAD=∠C.‎ 又因为∠B=∠C,所以∠EAD=∠CAD,‎ 所以AD平分∠EAC.‎ ‎12.(1)证明:因为∠3+∠4=180°,‎ 所以c∥d,所以∠1+∠2=180°.‎ 又因为∠1=∠5,所以∠2+∠5=180°.‎ ‎(2)运用了“同旁内角互补,两直线平行”和“两直线平行,同旁内角互补”两个互为逆命题的真命题.‎ ‎13.解:如答图,过点G作EG∥AB,‎ 则∠ABE+∠BEG=180°,∠GED+∠CDE=180°.‎ 所以∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°,‎ 即∠ABE+∠E+∠CDE=360°.‎ 因为∠E=140°,所以∠ABE+∠CDE=220°.‎ 因为∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F,‎ 所以∠FBE+∠FDE=(∠ABE+∠CDE)=110°.‎ 又因为∠FBE+∠FDE+∠E+∠BFD=360°,‎ 所以∠BFD=110°.‎ ‎ ‎ ‎(第13题答图)‎ ‎5.5 三角形内角和定理 一、选择题 ‎1. 如图,在△ABC中,∠C=70°,若沿图中的虚线截去∠C,则∠1+∠2 =( )‎ ‎ ‎ ‎(第1题图)‎ A. 360° B. 250° C. 180° D. 140°‎ ‎2. 三个内角之比是1:5:6的三角形是( )‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎3. 如图,将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上,如果∠2=80°,那么∠1的度数为( ) ‎ A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°‎ ‎ ‎ ‎(第3题图) (第4题图)‎ ‎4. 如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=40°,则∠ECD的度数是( ) ‎ A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°‎ ‎5. 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于( )‎ A. 90 ° B. 180° C. 360° D. 270°‎ ‎ ‎ ‎(第5题图) (第6题图)‎ ‎6. 如图,O是△ABC内一点,∠A=80°,∠1=15°,∠2=40°,则∠BOC等于( ) ‎ A. 95° B. 120° C. 135° D. 无法确定 ‎7. P是△ABC内一点,连接BP并延长交AC于D,连接PC,则图中∠1,∠2,∠A 的大小关系是( ) ‎ A. ∠A>∠2>∠1 B. ∠A>∠2>∠1 C. ∠2>∠1>∠A D. ∠1>∠2>∠A ‎ ‎ ‎(第7题图) (第8题图)‎ ‎8. 如图,△ABC的角平分线BO,CO相交于点O,∠A=120°,则∠BOC=( )‎ A. 150° B. 140° C. 130° D. 120°‎ ‎9. 在△ABC中,若∠B是∠A的2倍,∠C比∠A大20°,则∠A等于( )‎ A. 40° B. 60° C. 80° D. 90°‎ ‎10. 在不等边三角形中,最小的角可以是( )‎ A. 80° B. 65° C. 60° D. 59°‎ ‎11. 如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B′处,则∠ADB′等于( ) ‎ A. 40° B. 35° C. 30° D. 25°‎ ‎ ‎ ‎(第11题图) (第12题图)‎ ‎12. AD,AE分别是△ABC的高和角平分线,且∠B=76°,∠C=36°,则∠DAE的度数为( )‎ A. 20° B. 18° C. 38° D. 40°‎ 二、解答题 ‎13. 如图,在△ABC中,∠BAC=80°,AD⊥BC于D,AE平分∠DAC,∠B=60°,求∠C,∠DAE的度数.‎ ‎ ‎ ‎(第13题图)‎ ‎14. 在△ABC中,AD⊥BC,BE平分∠ABC交AD于F,∠ABE=23°.求∠AFE的度数.‎ ‎ ‎ ‎(第14题图)‎ ‎15. 在△ABC中,∠A=50°.‎ ‎(1)如图①,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,则∠BOC= °;‎ ‎(2)如图②,∠ABC,∠ACB的三等分线分别对应交于O1,O2,则∠BO2C= °;‎ ‎(3)如图③,∠ABC,∠ACB的n等分线分别对应交于O1,O2,…,On -1(内部有n-1个点),求∠BOn -1C(用n的代数式表示);‎ ‎(4)如图③,已知∠ABC,∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1,若∠BOn -1C=60°,求n的值.‎ ‎ ‎ ‎(第15题图)‎ 答案 一、1. B 【分析】如答图. ∵∠C=70°,∴∠CEF+∠CFE=180°-∠C=110°. ∵∠1+∠CEF= 180°,∠2+∠CFE=180°,‎ ‎∴∠1+∠2=180°+180°-(∠CEF+∠CFE)=360°-110°=250°. 故选B.‎ ‎ ‎ ‎(第1题答图)‎ ‎2. B 【分析】∵该三角形的三个内角度数之比为1:5:6,∴该三角形最大的内角度数为:180°×=90°,∴该三角形是直角三角形.故选B.‎ ‎3. B 【分析】根据平行线的性质,得∠2=∠1+30°,所以∠1=50°.故选B.‎ ‎4. C 【分析】∵BC⊥AE,∴∠BCE=90°.∵CD∥AB,∴∠DCB=∠B=40°,∴∠ECD=‎ ‎∠BCE -∠DCB=90°-40°=50°.故选C.‎ ‎5. B 【分析】连接CD. 根据三角形的内角和定理,得∠A+∠B=∠BDC+∠ACD,则∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E=∠BDC+∠ACD+∠C+∠D+∠E=∠EDC+∠ECD+∠E=180°. 故选B.‎ ‎6. C 【分析】由∠A=80°,得∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°. 由∠1=15°,∠2=40°,得∠OBC+∠OCB=100°-15°-40°=45°,所以∠BOC=180°-45°=135°.故选C.‎ ‎7. D 【分析】根据三角形外角的性质,得∠1=∠2+∠DCP,∠2=∠A+∠ABD,则∠1>∠2> ∠A. 故选D.‎ ‎8. A 【分析】∵∠BAC=120°,∴∠ABC+∠ACB=60°.∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点,∴∠OBC+∠OCB=30°,∴∠BOC=150°.故选A.‎ ‎9. A 【分析】由题意知,∠B=2∠A,∠C-∠A=20°,∠A+∠B+∠C=180°,解得∠B=80°,∠A=40°,∠C=60°.故选A.‎ ‎10. D 【分析】在不等边三角形中,最小的角要小于60°,否则三内角的和大于180°.故 选D.‎ ‎11. A 【分析】∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,∴∠B=90°-25°=65°.∵△CDB′由△CDB反折而成,∴∠CB′D=∠B=65°.∵∠CB′D是△AB′D的外角,∴∠ADB′=∠CB′D- ∠A=65°-25°=40°.故选A.‎ ‎12. A 【分析】∵AD,AE分别是△ABC的高和角平分线,且∠B=76°,∠C=36°,∴∠BAD= ‎ ‎14°,∠CAD=54°,∴∠BAE=∠BAC=×68°=34°,∴∠DAE=34°-14°=20°.故选A.‎ 二、13. 解:∵在△ABC中,∠BAC=80°,∠B=60°,‎ ‎∴∠C=180°-80°-60°=40°.‎ ‎∵AD⊥BC于D,∴∠ADC=90°,‎ ‎∴∠DAC=180°-∠ADC -∠C=180°-90°-40°=50°.‎ 又∵AE平分∠DAC,∴∠DAE=∠DAC=25°.‎ ‎14. 解:∵在△ABC中,由AD⊥BC,∴∠BDF=90°.‎ ‎∵BE平分∠ABC交AD于F,∠ABE=23°,‎ ‎∴∠DBF=∠ABE=23°,∴∠BFD=180° -90° -23°=67°,‎ ‎∴∠AFE=∠BFD=67°.‎ ‎15. 解:(1)在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°.‎ ‎∵BO,CO是∠ABC,∠ACB的两条平分线, ‎ ‎∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB.‎ ‎∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=65°.‎ ‎∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=115°.‎ ‎(2)∵点O2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点,‎ ‎∴∠O2BC+∠O2CB=(∠ABC+∠ACB)=×130°=()°,‎ ‎∴∠BO2C=180°-()°=()°.‎ ‎(3)∵点On -1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点,‎ ‎∴∠On -1BC+∠On -1CB=(∠ABC+∠ACB)=×130°, ‎ ‎∴∠BOn -1C=180°-×130°.‎ ‎(4)∵∠BOn -1C=60°, ∴180°-×130°=60°,解得n=13.‎ ‎5.6 几何证明举例 ‎1. 如图,在△ABC中,BC的垂直平分线交BC于点D,交AB的延长线于点E,连接CE. ‎ 求证:∠BCE=∠A +∠ACB . ‎ ‎ ‎ ‎(第1题图)‎ ‎2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB边的垂直平分线DE交BC于点E,垂足为D.  求证:∠CAB=∠AED. ‎ ‎ ‎ ‎(第2题图)‎ ‎3. 如图,在△ABC中,分别作AB边,BC边的垂直平分线,两线相交于点P,分别交AB边,BC边于点E,F.求证:AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.‎ ‎ ‎ ‎(第3题图)‎ ‎4. 如图,在△ABD中,∠BAC = 90°,AD⊥BC于点D,∠ABC的平分线BF交AD于点E,交AC于点F,FH⊥BC于点H.  求证:AE =FH. ‎ ‎ ‎ ‎(第4题图)‎ ‎5. 如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,AB=AC. ‎ ‎(1)如果DE∥BC,求证:AD=AE. ‎ ‎(2)如果AD=AE,求证:DE∥BC.‎ ‎ ‎ ‎(第5题图)‎ ‎6. 如图,AB=AC,DB=DC.   求证:∠B=∠C. ‎ ‎ ‎ ‎(第6题图)‎ ‎7. 如图,E,F是线段BC上两点,AB∥CD,AB=DC,CE=BF.    求证:AE=DF.‎ ‎ ‎ ‎(第7题图)‎ ‎8. 如图,DE∥BC,A是DE上一点,AD=AE,AB=AC.   求证:BE=CD. ‎ ‎ ‎ ‎(第8题图)‎ ‎9. 如图,在△ABD中,AC⊥BD,垂足为C,AC=BC,点E在AC上,且CE=CD. 连接BE并延长交AD于点F.  求证:BF⊥AD. ‎ ‎(第9题图)‎ ‎10. 如图,AC与BD相交于点O,且AC=BD,AD=BC.  求证:OA=OB.‎ ‎(第10题图)‎ 答案 ‎1. 证明:∵BC的垂直平分线交BC于点D,‎ ‎∴BE=CE, ∴∠BCE=∠CBE. ‎ ‎∵∠CBE=∠A +∠ACB,∴∠BCE=∠A +∠ACB . ‎ ‎2. 证明:∵DE是AB的垂直平分线,‎ ‎∴EA=EB, ∴∠EAB=∠B. ‎ ‎∵∠C=90°,∴∠CAB +∠B=90°. ‎ 又∵∠AED +∠EAB=90°,∴∠CAB=∠AED.‎ ‎3. 证明:∵P是AB边的垂直平分线上的一点,‎ ‎∴ PA= PB.同理可得,PB= PC.‎ ‎∴ PA=PC.∴P是AC边的垂直平分线上的一点.‎ ‎∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.‎ ‎4. 证明:∵BF平分∠ABC,FA⊥AB,FH⊥BC,‎ ‎∴FA =FH,∠ABF =∠EBD .‎ 又∵∠AFB +∠ABF = 90°,∠DEB +∠EBD = 90°,‎ ‎∴∠AFB =∠DEB,∴∠AFB =∠AEF.‎ ‎∴AF =AE. ∴AE =FH. ‎ ‎5. 证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C. ‎ ‎∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE,∠C=∠AED. ‎ ‎∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE. ‎ ‎(2)∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=(180°-∠A). ‎ ‎∵AB=AC,∴∠B=∠C=(180°-∠A). ‎ ‎∴∠B=∠ADE,∴DE∥BC.‎ ‎6. 证明:连接AD.‎ 在△ABD和△ACD中,‎ ‎∴△ABD≌△ACD(SSS),∴∠B=∠C. ‎ ‎7. 证明:∵CE=BF,∴CE+EF=BF+EF,即CF=BE.‎ ‎∵AB∥CD,∴∠B=∠C. ‎ 在△ABE和△DCF中,‎ ‎∴△ABE≌△DCF(SSS),∴AE=DF. ‎ ‎8. 证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ‎ ‎∵BC∥DE,∴∠DAB=∠ABC,∠EAC=∠ACB,‎ ‎∴∠DAB=∠EAC,∴∠DAC=∠EAB. ‎ 在△DAC和△EAB中,‎ ‎∴△DAC≌△EAB(SAS),∴BE=CD. ‎ ‎9. 证明:∵AC⊥DB,∴∠BCE =∠ACD = 90°. ‎ 在△BCE和△ACD中,‎ ‎∴△BCE≌△ACD(SAS),∴∠CBE=∠CAD. ‎ ‎∵在△ACD中,∠CAD +∠ACD +∠D= 180°,‎ 在△BDF中,∠CBE +∠BFD +∠D= 180°,‎ ‎∴∠CAD +∠ACD +∠D=∠CBE +∠BFD +∠D= 180°,‎ ‎∴∠ACD=∠BFD=90°,‎ 即BF⊥AD. ‎ ‎10. 证明:连接AB.‎ 在△ABD和△BAC中,‎ ‎∴△ABD≌△BAC(SSS),∴∠BDA=∠ACB.‎ 在△AOD和△BOC中,‎ ‎∴△AOD≌△BOC(AAS),∴OA=OB.‎

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