最新青岛版七年级数学上册第5章代数式与函数的初步认识PPT

第 5 章 代数式与函数的初步认识 5.1 用字母表示数 5.1 用字母表示数 扑克牌“黑桃 J” 、“红桃 Q” 、“梅花 k” ， J 、 Q 、 k 各表示什么？ 我们可以用字母来表示数字 . 3+(-2)=(-2)+3 0+(-4)=(-4)+0 … 你想到了什么？ 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变 . a+b=b+a 加法交换律 r o 文字语言 符号语言 想一想：圆的周长和面积公式 . 探索发现 交流与发现 1. 简洁方便 . 2. 具有代表性 . 用字母表示数有什么优越性？ 从这些例子可以看出，用字母表示数，能一般而又简明地把数、数量关系、法则和变化规律表示出来，为叙述和研究问题带来方便 . 1 只青蛙 1 张嘴， 2 只眼睛 4 条腿，扑通 1 声跳下水 . 2 只青蛙 2 张嘴， 4 只眼睛 8 条腿，扑通 2 声跳下水 . 3 只青蛙 3 张嘴， 6 只眼睛 12 条腿，扑通 3 声跳下水 . ……… 这首儿歌唱得完吗？你能不能用简洁的语言表达儿歌的内容呢？ 数学游戏 n 只青蛙 n 张嘴， 2n 只眼睛 4n 条腿，扑通 n 声跳下水。 在含有字母的乘式中，通常省略“×” 号 或将 “×”号用 “·”表示，并将数字因数写在字母的前面。数字与数字相乘时，一般仍用 “×”号。含有字母的除法通常写成分数的形式。 例 1 填空： （ 1 ）比 a 的 0.6 倍大 c 的数是 ； （ 2 ） a 与 b 的 2 倍的积为 . 解 （ 1 ） 0.6 a + c ； （ 2 ） 2 ab . 例 2 小莉以 5 km/ h 的速度，走了 20 km 的路程，那么她走了多长时间？如果用字母 v 表示速度，用字母 s 表示路程，那么她走的时间又如何表示呢？ 解 小莉走 20 km 所花的时间为 20÷5=4( h ). 若用字母 v 表示速度，用字母 s 表示路程，则时间 t = s ÷ v = . （ 2 ）学校有各种球共 x 个，其中篮球占 35% ，则 篮 球的 个数是 ； 0.35 x （ 3 ）比 314 的 a 倍多 10 的数是 ； 314 a+ 10 填空： （ 1 ）小明上学骑自行车的速度是其步行速度的 3 倍， 若小明的步行速度为 a m/s ，则小明骑自行车的速 度是 ； （ 4 ）比 15 b 的一半少 3 的数是 . 3 a m/s 随堂练习 用蓝、白两种颜色的六边形地砖铺成下图的图案 . 第 1 个图中有白色砖 块；第 2 个图有白色砖 ＿＿块 . 第 4 个图中有白色地砖＿＿块 . 第 n 个图 中有白色地砖 块 . 挑战自我 6 18 6+4 （ n-1) 10 本课小结 : 1 、字母可以表示任何数； 2 、用字母表示数的运算律和公式法则； 3 、用字母可以把数和数量关系简明地表示出来 , 使复杂的问题简单化。 4 、解决问题的方法： “从特殊到一般的寻求规律的方法” “从不同角度观察思考探究问题” 1. 填空： （ 1 ）如果用 a 表示有理数，那么 a 的相反数可表示为 ； a 的绝对值可以表示为 ； a 的 倍可表示为 ；比 a 大 5 的数可表示为 ； a 的平方可表示为 。 （ 3 ）买单价为 c （元）的球拍 10 个，付出 450 元，应找的钱数可表示为 。 2. 用字母表示 （ 1 ）加法结合律；（ 2 ）乘法交换律；（ 3 ）分配律。 练一练 3. （ 1 ） 小明今年 n 岁 , 小明比小丽大 2 岁，小丽今年 ____ 岁。 （ 2 ） 中国飞人刘翔在刚刚闭幕的奥运会上获得 110 米栏的冠军，假设他用了 t 秒跑完全程，那么他的速度为 ____ 米 / 秒 . （ 3 ） 某地为治理河山，改造环境，计划在第十个五年计划期间，植树绿化荒山，如果每年植树绿化 x 公顷荒山，那五年内植树绿化荒山 公顷 . 第 5 章 代数式与函数的初步认识 5.2 代数式 5.2 代数式 为了测试一种乒乓求的弹跳高度与下落高度之间的关系，通过试验，得到下列一组数据 ： （单位：厘米） 下落高度 40 50 80 100 150 弹跳高度 20 25 40 50 75 1. 你能从表中发现每一对 ( 上下两个 ) 数之间的数量关系吗 ? 2. 在这个问题中 , 如果我们用 b 厘米表示下落高度 , 那么相对应的弹跳高度为 _________ 厘米。 ※ 情境引入： （ 1 ）某种瓜子的单价为 16 元 / 千克，则 b 千克瓜子需要 _____ 元。 （ 2 ）小刚上学步行速度为 5 千米 / 小时 若小刚到学校的路程为 s 千米，则他上学需走 ________ 小时。 （ 3 ）钢笔每支 m 元，铅笔每支 n 元，买 2 支钢笔和 3 支铅笔共需 __________ 元。 16 b s/5 （ 2 m+3n ） 做一做： 上面的这些问题中出现的如 16 b ， s/5 ， 2m+3 n ，等式子，我们称它为 代数式。 即 代数式 是用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子。 问题： 单独的一个数或一个表示数的字母也是代数式吗？ 我们的答案是肯定的。 即 : 单独的一个数或一个表示数的字母也 是代数式。 例 1. 用代数式表示 （ 1 ） a 、 b 两数的 平方和 减去他们乘积的 2 倍； （ 2 ） a 、 b 两数的 和的平方 减去他们的差的平方； （ 3 ） a 、 b 两数的和与他们的差的乘积； （ 4 ） 偶数、奇数 . （ 4 ） 2n ， 2n+1(n 为整数 ) （ 3 ） (a+b)(a–b) （ 2 ） ( a+b)² –(a–b)² （ 1 ） a² +b²–2ab 解： 例 2 ：用代数式表示 （ 1 ） 的 3 倍与 的 2 倍的和 （ 2 ） 与 5 的差的 3 倍 （ 3 ） ， 两数的和与它们的差的积 （ 4 ） 的 2 倍与 的平方的差 解 ： （ 1 ） （ 2 ） (3) (4) 1. 正确的列出代数式应注意哪些问题？ 列代数式的关键在于仔细审题，弄清题目中的 “大﹑小﹑多﹑少﹑倍﹑几分之几”等词的意义和“和﹑差﹑积﹑商﹑乘方”之间的关系，还要弄清运算顺序。 运算顺序一般是先读的先写。 ※ 体会： 代数式 (10 x +5 y ) 可以表示什么？ ※ 如果用 x （米 / 秒）表示小明跑步的速度，用 y （米 / 秒）表示小明走路的速度，那 (10 x +5 y ) 表示他跑步 10 秒和走路 5 秒所经过的路程。 ※ 如果用 x 和 y 分别表示 1 元和 5 角硬币的枚数，那么 (10 x +5 y ) 就表示 x 枚 1 元硬币和 y 枚 5 角硬币共是多少角钱。 你还能举出其他的例子吗？ 想一想 代数式 (10 x +5 y ) 中的 x 与 y 可表示很多不同的含义 , 在这些不同含义中是否还可用其他字母来表示请同学们交流一下 由字母表示数和数量关系实现了由特殊到一般的数学抽象 合作交流 例 3. 结合你的生活经验对下列代数式作出具体解释： （ 1 ） a–b; (2) ab. 解 ： （ 1 ）今年小明 b 岁、小明爸爸 a 岁，小明比他爸爸小（ a–b ）岁； （ 2 ）长方形的长为 a 厘米，宽为 b 厘米，长方形的面积是 ab 平方厘米。 1. 用代数式表示： (1) x 的平方与 y 的平方的和 ； x 与 y 和的平方 . (2) 若两个正方形的边长分别为 a 厘米和 b 厘米 （ a ＞ b ），则它们的面积相差 平方厘米 . x 2 +y 2 ( x +y) 2 a 2 -b 2 练一练 2. 已知代数式 2a+3b ，用自然语言表示为： 用它的实际意义可解释为： a 的 2 倍与 b 的 3 倍的和 . 符合要求即可 . 第 5 章 代数式与函数的初步认识 5.3 代数式的值 5.3 代数式的值 (2) x 的 4 倍与 3 的差可以表示为 ____________. (1) a 与 b 的和的平方可以表示为 ___________. (3) 汽车上有 a 名乘客，中途下去 b 名，又上来 c 名， 现在汽车上有 ___________ 名乘客 . 4x-3 (a+b) 2 (a-b+c) 填空 学校举办庆元旦智力竞赛，竞赛的记分方法是：开始前，每位参赛者都有 100 分作为底分，竞赛中每答对一道题加 10 分，答错或不答得 0 分 . 小亮代表七年级一班参加竞赛，共答对了 x 个问题，他的最后得分是多少？ 根据记分方法，他的最后得分是 分 . 100+10 x 如果小亮答对 2 个问题 , 即 x =2, 他的最后得分是？ 计算：当 x =2 时 , 原式 =100+10×2=120( 分 ). 这里， 120 是代数式 100+10 x 当 x =2 时的值 . 知识讲解 100+10x 的值是由字母 x 所取的值确定的。要想确定代数式 100+10x 的值，必须先给定字母 x 的值 . 想一想 （ 1 ）若小亮答对了 3 个问题，怎样计算其得分？ 议一议 （ 2 ）代数式的值是由谁的取值确定的？ 探索与发现 用数代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算得出的结果，叫做 代数式的值 . 代数式的值 例 1 当 a=-2 时，求代数式 a³-3a²+2a+15 的值 . 解：当 a=-2 时， a³-3a²+2a+15 = （ -2 ） ³-3× （ -2 ） ²+2× （ -2 ） +15 =-8-12-4+15 =-9 。 例 2 为了保护黄河流域的生态环境 , 减少水土流失 , 共青团中央等部门共同发起了“保护母亲河行动” , 要在沿河流域大力植树 , 号召青少年积极捐赠 . 某地的捐赠办法是：捐款 10 元可种植 3 棵柳树，捐款 5 元可种植 1 棵杨树 . 某中学八年级有 x 名同学，每人捐款 10 元种植柳树；七年级有 y 名同学每人捐款 5 元种植杨树 . （ 1 ）该校七、八年 级 同学共捐款多少元？这些钱能种植树木多少棵？ （ 2 ）如果 x=98,y=102, 那么这个学校七、八年 级 同学共捐款多少元？能种植树木多少棵？ 解 （ 1 ）八年级同学共植树 3x 棵，七年级同学共植树 2y 棵，该校七、八年级同学共植树（ 3x+2y) 棵 . (2) 在代数式 3x+2y ，分别用 98 带替 x, 用 102 代替 y, 得 3 × 98+2 × 102=498 （棵） . 由此可知，七、八年级同学共植树 498 棵 . 思 维 拓 展 (1) 已知： 2 x - y =3 ， 那么 4 x -3-2 y = ______________________. (2) 已知： 2 x 2 +3 x -5 的值是 8 ，求代数式 4 x 2 +6 x -15 的值 . 2(2x- y)-3 =2×3-3 =3 解：因为 2 x 2 +3 x = 13 所以 4 x 2 +6 x =26 即 4 x 2 +6x-15= 26-15 =11 。 【 解析 】 当 a=1,b=2 时， a 2 -ab =1 × 1-1×2=-1 ． 答案： -1 1. （株洲 · 中考）当 a=1,b=2 时，代数式 a 2 -ab 的 值是 ． 【 解析 】 选 B. =1+4×1× +4× （ ） 2 =1+2+1=4 ． 2. （怀化 · 中考）若 x=1 ， ，则 的值是（  ）． A ． 2 B ． 4 C ． D ． 【 解析 】 6+8a-4b=6+4(2a-b)=14. 答案： 14 3. （宿迁 · 中考）若 2a-b=2 ，则 6+8a-4b= . 【 解析 】 选 C. 设输入的有理数是 x ，则李老师编制的程序 所代表的代数式为： 2(x 2 -1), 当 x=-1 时， 2(x 2 -1)=0 ，再 令 x=0, 所以 2(x 2 -1)=2(0-1)= -2 ． 4. 数学课上，李老师编制了一个程序，当输入任意一个 有理数时，显示屏上的结果总是为输入的有理数的平方 与 1 的差的 2 倍，若输入 -1 ，并将显示的结果再次输入， 则这时显示的结果是（ ）． A ． 0 B ． -1 C ． -2 D ． -4 答案： （ 1 ） 6%a 千克 ～ 7.5%a 千克；（ 2 ）亮亮的血液质 量大约在 2.1 千克到 2.625 千克之间 . 5. 人体血液的质量约占人体体重的 6% ～ 7.5% ． （ 1 ）如果某人体重是 a 千克，那么他的血液质量大约 在什么范围内？ （ 2 ）亮亮的体重是 35 千克，他的血液质量大约在什么 范围内？ 通过本课时的学习，我们需要掌握： 会求代数式的值，对于一个代数式，它所含的 字母取不同的值时，所得代数式的值一般也不同， 所以在求代数式的值时，要注意解题步骤： （１）指出字母的取值 . （２）抄写代数式 . （３）代入．（４）计算． 第 5 章 代数式与函数的初步认识 5.4 生活中的常量与变量 5.4 生活中的常量与变量 交流与发现 解答下列问题并与同学交流 （ 1 ）在 5.3 节中，小亮在智力竞赛中答对了 x 个问题，得分是 100+10 x , 如果用 y ( 分）代表小亮的得分 . ① 计算当 x 取下列数值时 y 的值，并填写下表 : 答对题数 x ／个 1 2 3 4 5 得分 y ／分 110 120 130 140 150 ② 在这个问题中，哪些量保持不变？ 哪些量可以取不同的数值？ 100;10 x,y 一种杂志每册定价 5.80 元，买 3 册应付款 元； 买 5 册应付款 ____ 元；如果买 x 册，应付款 y 元，那么 y 用关于 x 的代数式表示为 y= _______ . 在以上这个过程中，变化的量是 ___________ ． 不变化的量是 __________ ． 17.4 29 5.80x x ， y 5.80 一个长方形的推拉窗，窗扇高 1.5 米，如果活动窗扇 拉开的距离为 x 米 , 活动窗扇拉开后的通风面积为 y 平方米， 那么 y 用关于 x 的代数式表示为 y= ______________ . 在以上这个过程中，变化的量是 __________ ． 不变化的量是 __________ ． x 1.5 1.5 x x ， y 1.5 (4) 小亮设计了一个计算机程序，输入和输出的数据如下表： 输入（ x ） … 1 2 3 4 … 输出（ y ） … … 1 2 3 4 5 8 11 — — — 2 — 当输入的数据是 8 和 10 时，输出的数据分别是多少？ 当输入的数据用 x 来表示时，输出的数据 y 怎样用关于 x 的代数式表示？ — — ＿＿ x 3x-1 8 23 10 29 在某一问题中，保持不变的量叫做 常量 ，可以取不同数值的量，叫做 变量 。 总结 列出下列关系式，并指出式中的常量和变量。 1. 一辆汽车以 100 千米 / 时的速度在公路上行驶， 所走路程 s （千米）与行驶时间 t （时）之间的 关系式 __________, 其中常量是      ， 变量是      。 2. 海拔每上升 1 千米，气温就下降 6 ℃ ，某时刻， 地面气温为 20 ℃ ，高出地面 x 千米处的气温为 y℃ 关系式 __________, 其中常量是      ， 变量是      。 练一练 观察与思考 (1) 如图 5-4-1 ：是某地 2011 年 6 月 28 日的气温变化图，观察 图 5-4-1 ，回答下列问题： ①这天＿＿＿时气温最 高，最高气温是＿＿＿； ②这天共有＿＿＿个 小时气温在 31 ℃ 以上； ③这天的 9 时、 12 时、 21 时的气温分别 是＿＿＿、 ＿＿＿、 ＿＿； 15 37℃ 10 31℃ 33℃ 26℃ 图 5-4-1 这幅图还提供了很多信息，如这天气温的变化范围是 23 度 -37 度； 0 时与上午 9 时的气温都是 26 度； 12 时到 15 时温度上升最快， 3 小时内上升了 6 度；从 15 时到 18 时，气温缓慢下降， 3 小时内只下降 1 度等 . ④ 这天从＿＿＿时到＿＿＿时气温逐渐上升； ⑤在这幅图中哪些量是变量？ 这些图还提供了哪些信息？与同学交流 . 3 15 T; t (2) 山青水库的蓄水量 Q 与最大水深 h 之间的关系，经过测量如下表所示： 最大水深 h ／ 米 0 5 10 15 20 25 30 35 蓄水量 Q ／万立方米 0 20 40 90 160 275 437.5 650 根据上表，回答下列问题： ①当最大水深为 20 米时水库的蓄水量是多少？当最大水深为 30 米时，蓄水量是多少？ ②在这个问题中，哪些量是变量？ Q h 160 万立方米 437.5 万立方米 最大水深 h 的值在表内第一行各值中选取，对于水深 h 每取一个确定的值，蓄水池 Q 的值也随着唯一确定 . 看图回答： (1) 这天的 6 时、 10 时和 14 时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温． 1. -1 ℃ 2 ℃ 5 ℃ (2) 这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ (3) 这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 最高气温是 5 ℃ 最低气温是 -3℃ 3 ～ 14 时气温在逐渐升高 14 ～ 24 时气温在逐渐降低 2.收音机刻度盘的波长和频率分别是用米 (m) 和千赫兹 (kHz) 为单位标刻的．下面是一些对应的数值： 观察上表回答： (1) 波长 l 和频率 f 数值之间有什么关系 ? (2) 波长 l 越大，频率 f 就 ________ ． （ 3 ）在这个问题中，哪些量是变量？哪些量是常量？ 解 :(1) l 与 f 的乘积是一个定值，即 lf ＝ 300 000 ， 或者说 (2) 波长 l 越大，频率 f 就越小 ． （ 3 ）变量是：波长、频率，常量是： 300 000. 波长 l （ m ） 300 500 600 1 000 1 500 频率 f （ KHz ） 1 000 600 500 300 200 3. 表示两个量之间关系的方法： （ 1 ）自然语言叙述 （ 2 ）代数式 （ 3 ）列表 （ 4 ）图像 4. 认识图，在图上寻找我们需要的信息 课堂小结 1. 在某一问题中，保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量，叫做变量 . 2. 常量与变量必须存在于一个变化过程中 . 常量与变量不是绝对的，而是对一个变化过程而言的 . 第 5 章 代数式与函数的初步认识 5.5 函数的初步认识 5.5 函数的初步认识 学习目标: 1.通过实例进一步认识常量与变量，理解自变量与函数的定义，能列出实例中的两个变量之间的等量关系，从而写出简单的函数关系式。 2.经历从具体实例中抽象出函数的过程，发展观察分析抽象概括等思维能力。 3.使学生认识到数学知识来源于生活，从而体会到学习函数的必要性，提高学习数学的兴趣。 [问题一]：一台彩色电视机屏幕的对角线长度是34英寸，它合多少厘米？(提示:1英寸 = 2.54厘米 ) 交流与发现 思考下面的问题,并与同学交流。 [问题二]:说一说，你家的电视机是多少英寸的，合多少厘米？ [问题五]： 通过研究，你会发现变量y与x之 间有什么关系？ [问题四]：在y与x的关系式中，哪些是常量？哪些是变量？ [问题三]：如果某种电视机屏幕的对角线长是x英尺，换算为公制是y厘米，试写出y与x之间的关系式； 在同一个变化过程中，有两个变量 x 和 y ，如果对于变量 x 的每一个确定的值，都能随之确定一个 y 值，我们就把 y 叫做 x 的 函数 ，其中 x 叫做 自变量 。如果自变量 x 取 a 时， y 的值是 b ，就把 b 叫做 x = a 时的 函数值 。 知识归纳 例如，在上面的问题 中 ， 86.36 是关于 x 的代数式 2.54 x 当 x =34 时的值，也叫做函数 y =2.54 x 当 x =34 时的函数值。 如果一个变量与另一个变量之间的 函数关系可以用一个数学式子 表示出来，我们就把这个数学式子叫做该 函数的 表达式 。 例 1. 人行道用同样大小的小正方形水泥地砖铺设而成 . 下图中的每一个小正方形 表示一块 地砖 . ① ② ③ （ 1 ）按图① ② ③ … 的次序铺设水泥地砖，铺设 第④个图形将需要多少块地砖？ （ 2 ）如果用 n 表示上述图形中的序号， s 表示第 n 个图形中地砖的块数，写出 s 与 n 之间的表达式 . 指出在这个问题中哪些量是常量，哪些量是变量，哪个量是哪个量的函数 . 解： （ 1 ）图①中有 3 ×5 块地砖，图②中有 5 ×5 块地砖图③中有 5 ×7 块地砖 . 从第 2 个图形开始，每个图形都比它前面的一个图形多 2 列地砖，因此第④个图形应当 5×9=45 块地砖 . （2）根据（1）中发现的规律，第n个图形中地砖的块数应当是5（2n+1),即S=5(2n+1).在这个问题中，5,2,1是常量，S和n是变量，S是n的函数 . (3)当n=100时， S=5 ×(2 ×100+1)=1 005(块）. (3)铺设序号为100的图形时，需要多少块地砖？ 1. 下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）   A. 矩形的一条边长是 6 cm ，它的面积 S cm 与 另一边长 x cm 的关系   B. 正方形的面积与周长的关系   C. 圆的面积与周长的关系   D. 某图形的面积与它所在的平面的位置关系 D 2. 函数 y=-3x+7 中，当 x ＝ 2 时，函数值为 ( ) A ． 3 B ． 2 C ． 1 D ． 0 C 随堂检测 3. 一般地，如果在一个 _________ 中，有两个 ________ ， 例如 x 和 y ，对于 x 的每 — 个值， y 都有 ______________ 与之对应，我们就说 x 是 ________________ ，此时也称 y 是 x 的 __________. 4. 火车以 60 千米／时的速度行驶，它行驶的路程 s( 千米）和所用时间 t （小时）的关系式是 __________ 常量是 __________ 变量是 __________. 变化过程 变量 唯一确定的值 自变量 函数 s=60t 60 s , t 5. 观察下图，根据表格中的问题回答下列问题： 梯形个数 n 1 2 3 4 5 …… 图形周长 l 5 8 11 14 17 …… 1. 写出 l 与 n 的关系式，在这个关系式中，哪个量是常量，哪个量是变量？ 2. 求 n =11 时的图形周长 . l =3 n +2 常量： 3 、 2 变量 l 、 n 35 在同一个变化过程中，有两个变量 x 和 y, 如果对于变量 x 的每一个确定的值，都能随之确定一个 y 值，我们就把 y 叫做 x 的函数，其中 x 叫做自变量 . 如果自变量 x 取 a 时， y 的值是 b, 就把 b 叫做 x=a 时的函数值 . 如果一个变量与另一个变量之间的函数关系可以用一个数学式子表示出来，我们就把这个数学式子叫做该函数的表达式。 课堂小结