最新青岛版八年级数学上册第5章几何证明初步PPT

第 5 章 几何证明初步 5.1 定义与命题 1 、定义 : 对 名称和术语的含义 加以描述 , 作出 明确的规定 , 也就是给出它们的 定义 . 2 、命题的 定义 : 判断一件事情的句子 , 叫做 命题 . 3 、命题的 结构 :每个命题都由 条件 和 结论 两部分组成. 条件 是已知事项, 结论 是由已事项推断出的事项. 4 、命题的 特征 :一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 5 、命题的 分类 : 真命题和假命题 ( 举反例判 断假命题 ). 下列句子哪些是命题？是命题的，指出 是真命题还是假命题？ 1 、猫有四只脚； 2 、 画一条曲线； 3 、 三角形两边之和大于第三边； 4 、四边形都是正方形； 5 、潮湿的空气； 6 、对顶角相等； 7 、全等三角形的对应边成相等； 8 、过点 P 作线 段 MN 的垂 线 . 复 习 练 习 复 习 练 习 把下列命题改写成“如 果 … 那么 …” 的 形式 ，并指出命题的条件和结 论 . 1 、对顶角相等； 2 、钝角大于它的补角； 3 、等角的补角相等； 4 、两直线平行，同位角相 等 . 1. 如果两个角是对顶角，那么它们是相等的； 2.如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角； 3.如果两个角相等，那么它们的补角也相等； 4.如果两条直线互相平行，那么同位角相等. 如何证实一个命题是真命题呢 用我们以前学过的观察 , 实验 , 验证特例等方法 . 这些方法往往并不可靠 . 哪已经知道的真命题又是如何证实的 ?. 想一想 能不能根据已经知道的真命题证实呢 ? 哦 …… 那可 怎么办 古希腊数学家欧几里得 (Eyclid, 公元前 300 前后 ). 公理 : 公认的真命题称为公理 . 原名 : 某些数学名词称为原名 . 证明 : 除了公理外 , 其它真命题的正确性都通过推理的方法证实 . 推理的过程称为证明 . 定理 : 经过证明的真命题称为定理 . 读一读 有关概念、公理 条件 1 定理 1 有关概念、公理 条件 2 定理 2 定理 3 …… …… 1. 两点确定一条直 线 . 2. 两点之 间，线 段最 短 . 3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂 直 . 4. 两直线被第三条直线所截 , 如果同位角相等 , 那么这两条直线平 行 . 5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平 行 . 6. 两边及夹角对应相等的两个三角形全 等 . 7. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全 等 . 8. 三边对应相等的两个三角形全 等 . 本套教材选用如下命题作为公理 : 原名、公理、证明、定理的定义及它们的关系 小结 推 理 推理的过程叫 证明 经过证明的真命题叫 定理 证实其它命 题的 正确 性 原名、公理 一些条件 + 谁 得 优？ A ， B ， C ， D ， E 五名学生猜自己的数学成绩： A 说：“如果我得优，那么 B 也得 优 . ” B 说：“如果我得优，那么 C 也得 优 . ” C 说：“如果我得优，那么 D 也得 优 . ” D 说：“如果我得优，那么 E 也得 优 . ” 大家都没有说错，但只有三个人得 优 . 请 问：得 优的是哪三个人？ 第 5 章 几何证明初步 5.2 为什么要证明 01 学习目标 05 随堂练习 06 课堂小结 03 问题探究 02 情境引入 04 新知探究 1. 运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否． 2. 经历观察、验证、归纳等过程 , 认识证明的必要性，培养推理意识． 3. 了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等． a b 考考你的眼力 （ 1 ）线段 a 与线段 b 哪个比较长？ a b c d 考考你的眼力 谁与线段 d 在 一条直线上？ （ 2 ）下图中的四边形是正方形吗？ （ 3 ）如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长 1 m 的铁丝将地球迟到围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？ （ 1 ）代数式 n 2 -n+11 的值是质数吗？取 n=0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 试一试，你能否由此得到结论：对所有自然数 n ， n 2 -n+11 的值都是质数？ 思考探究，获取新知 （ 2 ）如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别是 AB ， AC 的中点，连接 DE.DE 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系？ 实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确 . 因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明 . 归纳 1. 最近有很长一段时间没有下雨了 . 并且今天是艳阳高照，那么晚上不会下雨，这个判断是 _____ 的 . （填“正确”或“不正确”） 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 若∠ 1=∠2 ，则∠ 1 与∠ 2 是对顶角 B. 若∠ 1 与∠ 2 是对顶角，则∠ 1=∠2 C. 若直线 a∥b,a⊥c, 则 b⊥c D. 若∠ 1+∠3=90° ，∠ 2+∠3=90° ，则∠ 1=∠2 运用新知，深化理解 A 不准确 3. 如图，甲沿着 A-C-B 由 A 到 B ，乙沿着 A-D-E-F-B 由 A 到 B ，同时出发，速度相等，则（ ） A. 甲先到 B. 乙先到 C. 甲乙同时到 D. 不确定 C 4. 在梯形 ABCD 中， AD∥BC ，点 E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点，连结 EF,EF 与 AD 和 BC 有怎样的位置关系和数量关系？你的结论对所有的梯形都成立吗？ 5. 当 a=1,b=2 时， 1 2 +2 2 > 2×1×2; 当 a=-1,b=3 时，（ -1 ） 2 +3 2 > 2× （ -1 ） ×3 ；当 a=-0.5,b=-3 时，（ -0.5 ） 2 + （ -3 ） 2 > 2×(-0.5)×(-3). 于是猜想：对于任意实数总有 a 2 +b 2 > 2ab 成立 . 这个结论正确吗？说明理 由 . 通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确？说说你的经验与困惑，与同学交流 . 颜回是孔子最得意的门生，有一次孔子周游列国，困于陈蔡之间七天没饭吃，颜回好不容易找到一点粮食，便赶紧埋锅造饭，米饭将熟之际，孔子闻香抬头，恰好看到颜回用手抓出一把米饭送入口中；等到颜回请孔子吃饭，孔子假装说：“我刚刚梦到我父亲，想用这干净的白饭来祭拜他．”颜回赶快接着说：“不行，不行，这饭不干净，刚刚烧饭时有些烟尘掉入锅中，弃之可惜，我便抓出来吃掉了．”孔子这才知道颜回并非偷吃饭，心中相当感慨，便对弟子说：“所信者目也，而且犹不可信；所恃者心也，而心犹不足恃．弟子记之，知人固不易矣！” 第 5 章 几何证明初步 5.3 什么是几何证明   “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，这是对顶角的性质，你能证明它的正确性吗？ 情境导入 教学目标 1. 理解并掌握定理、证明的概 念 . 2. 掌握几何证明的步骤和书写格式 . 重难点： 几 何证明过程的步骤和书写格式 . 预习诊断 1. 有关基本事实、定理的说法：（ 1 ）基本事实是命题；（ 2 ）定理是由基本事实、定义、已知条件或已经证明的真命题推出的；（ 3 ）真命题是基本事实；（ 4 ）命题是被证明的正确的基本事实；（ 5 ）定理不一定是由基本事实推出的。其中正确的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 2. 如图 1, 点 B 是△ ADC 的边 AD 的延长线上的一点 ,DE ∥ AC, 若∠ C=50 ° , ∠ BDE=60 ° 则∠ CDB= （ ） A.70 ° B.100 ° C.110 ° D.120 ° 3. 如图 2 ，直线 PQ ∥ MN,C 是 MN 上的一点， CE 交 PQ 于 A,CF 交 PQ 于 B, 且∠ ECF=90 ° ，如果∠ FBQ=50 ° ，则∠ ECM 的度数为 ( ) A.60° B.50° C.40° D.30°             图（ 1 ） 图（ 2 ） 命题有真命题与假命题之分 想一想 有一些命 题 是 人们经过长期实践后而公认为正确的命题 叫基本事实 基本事实 有什么作用呢 基本事实 可以作为证实其它真命题的依据 . 1. 两点确定一条直线 . 2. 两点之 间 , 线 段最短 3. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 . 4. 同位角相等 , 两直线平行 . 5. ASA; SAS; SSS. 6. 全等三角形的对应边相等 , 对应角相等 . 7. 等式的基本性质 . 8. 不等式的基本性质 . 读一读 本套教材选用如下命题作为 基本事实 : 在等式或不等式中 , 一个量可以用它的等量来代替 . 例如 : 如果 a=b,b=c , 那 么 a=c . 这 一性质也看作基本事实 , 称为“ 等量代换 ” . 其它基本事实 如何证明一个命题是真命题呢？ 能不能根据已经知道的真命题证实呢 ? 那已经知道的真命题又是如何证实的 ?. 想一想 除 基本事实 外，命题的真实性都必须经过证明。 推理的过程叫做证明 基本事实 通过推理的方法得到证实的真命题叫 定 理 . 已知：如图，∠ AOC 与∠ BOD 是对顶 角 . 求证：∠ AOC=∠ BOD. O A C B D “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，这是对顶角的性质，你能证明它的正确性吗？ 合作探究 你能找出条件和结论吗？并转化为图形语言和符号语 言 . 证明：∵∠ AOC 与∠ BOD 是对顶角（ ） , ∴∠ AOC+∠AOD=180° ， ∠ AOD+∠BOD=180° （ ） . ∴∠ AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD （ ） , ∴∠ AOC=∠BOD （ ） . 通过证明以上两个定理，你认为几何证明的步骤应分哪几步？在书写格式上应注意哪些问题？ 根据题意，画出图 形 结合图形，写出已知、求 证 写出证明过 程 注意事项： 1. 图形中要标出必要的字母和符 号 . 2. 已知、求证要用符号语 言 . 3 . 证明的每一步都要有依 据 . 合作探究 步骤 一个命题是否正确，需要经过理由充足，使人信服的推理论证才能得出结论，这样的推理过程叫做“ 证明 ” . 观 察、试验等是发现规律的重要 途径 ，而证明则是确认规律的必要 步 骤 . 点拨 第 5 章 几何证明初步 5.4 平行线的性质定理和判定定理 一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角∠ B 是 130 ° ，第二次拐的角∠ C 是多少度？ B C 议一议 画 出直线 AB 的平行线 CD ，结合画图过程思考画出的平行线，已有一对同位角的关系是怎样的？是不是每一对同位角都具有这样的关系呢？ 公理：两直线平行，同位角相 等 . 两 条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那 么内错 角、同旁内角有什么关系呢？ 证 明：两条直线被第三条直线所截 ，内 错角相 等 . 1 2 b c 3 a 已知： 直线 a∥b ，∠ 1 和∠ 2 是 直线 a ， b 被直线 c 截出的内错角 . 求证： ∠ 1=∠2. 证明： ∵ a∥b( 已知 ) ， ∴∠ 2 ＝∠ 3( 两条直线平行，同位角相等 ). ∵∠1 ＝∠ 3( 对顶角相等 ) ， ∴∠ 1=∠2( 等量代换 ) . 证 明：两条直线被第三条直线所截 ，同 旁内角互 补 . 1 2 b c 3 a 已知： 直线 a∥b ，∠ 1 和∠ 2 是直 线 a ， b 被直线 c 截出的同旁内角 . 求证： ∠ 1+∠2=180°. 证明： ∵ a∥b ( 已知 ), ∴∠2 ＝∠ 3 ( 两条直线平行，同位角相等 ). ∵∠1+∠3 (1 平角 =180 °), ∴∠1+∠2=180 ° ( 等量代换 ) . 练一练 1 、已知平行线 AB 、 CD 被直线 AE 所 截 . A E D C B 1 2 3 4 从∠ 1 ＝ 110 ° ，可以知道 ∠ 2 是多少度，为什么？ 从∠ 1=110 ° ，可以知道 ∠ 3 是多少度，为什么？ 从∠ 1=110 ° ，可以知道 ∠ 4 是多少度，为什么？ 练一练 2 、 如图是梯形有上底的一部分，量 得 ∠ A=115 ° ，∠ D ＝ 100 ° ，梯形另外 两个 角各是多少度？ B A C D 练一练 3 、 如图， A 、 B 、 C 、 D 在同一直线上， AD ∥ EF ． ∠ E = 78 ° 时，∠ 1 、∠ 2 各等于多少度？为什么？ ∠ F=58 ° 时，∠ 3 、∠ 4 各等于多少度？为什么？ A E B F D C 平行的的判定与性质： 证明的一般步骤 两直线平行 → ← 性质 判定 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？ 同位角相等，两直线平 行 . 内错角相等，两直线平 行 . 同旁内角互补，两直线平 行 . 两条直线都和第三条直线平行，则 这两 条直线互相平 行 . 在同一平面内，不相交的两条直线 叫做 平行线． ——— 公理 证 明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 分析：这是一个文字证明题，需要先把命题的文 字语言转化成几何图形和符号语 言 . 1 2 3 a b c 证明： ∵∠ 1 与∠ 2 互补（已知 ） , ∴∠ 1+∠2=180° （互补定义 ） , ∴∠ 1=180° －∠ 2 （等式的性质 ） . ∵∠ 3+∠2=180° （平角定义 ） , ∴∠ 3=180° －∠ 2 （等式的性质 ） , ∴∠ 1=∠3 （等量代换 ） . ∴ a ∥ b （同位角相等，两直线平行 ） . 已知： ∠ 1 和∠ 2 是直线 a 、 b 被直线 c 截 出的同旁内角 ， 且 ∠ 1 与∠ 2 互 补 . 求 证： a ∥ b ． 议一议 小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？ 证明：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 1 2 3 a b c 已知： ∠ 1 和∠ 2 是直线 a 、 b 被直线 c 截出的内错角，且∠ 1=∠2 ． 求证： a ∥ b . 证明： ∵∠ 1=∠2 （已知）， ∠ 1+∠3=180° （平角定义 ） , ∴∠ 2+∠3=180° （等量代换 ） . ∴∠ 2 与∠ 3 互补（互补的定义 ） . ∴ a ∥ b （同旁内角互补，两直线平行 ） . 想一想 借助“同位角相等，两直线平行”这一公理， 你还能证明哪些熟悉的结论呢？ 答：如果两条直线都和第三条直线垂直，那 么这两条直线平 行 . 已知：如图，直线 a ⊥ c , b ⊥ c ．求证： a ∥ b ． a b c ┐ ┐ 1 2 练一练 蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每 个四 边形的形状如图所示，其中∠ α=109°28 ′,∠ β=70 °32 ′, 试确定这三个四边形的形 状 . 小结 第 5 章 几何证明初步 5.5 三角形内角和定理 内角三兄弟之争 在 一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结 . 可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说： “ 你凭什么度数最大，我也要和你一样大！ ”“ 不行啊！ ” 老大说： “ 这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了 ……”“ 为什么？ ” 老二很纳闷 . 同学们，你们知道其中的道理吗？ 1 . 知识目标 （ 1 ）三角形的内角和定理的证明 . （ 2 ）掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题 . (3) 理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用 . 2. 教学重点 （ 1 ）三角形内角和定理的证明 . （ 2 ） 三角形内角和定理的推论 . 3. 教学难点 （ 1 ）三角形内角和定理的证明方法 . （ 2 ） 三角形的外角、三角形内角和定理的推论 . 我们知道三角形三个内角的和等于 180°. 你还记得这个结论的探索过程吗 ? 1 1 2 A B D 2 3 C (1) 如图 , 当时我们是把∠ A 移 到了∠ 1 的位置 ,∠ B 移 到了∠ 2 的位置 . 如果不实际移动∠ A 和 ∠ B , 那么你还有 其他方 法可以达到同样的效果吗 ? (2) 根据前面的公理和定理 , 你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗 ? 你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗 ? 与 同伴交流 . 三角形内角和定理 : 三角形三个内角的和等于 180°. 已知 : 如图 ,△ ABC . 求证 :∠ A +∠ B +∠ C =180°. 证明 : 作 BC 的延长线 CD , 过点 C 作 CE ∥ AB , 则 你还有 其他方 法来证明三角形内角和定理吗 ? ∠1=∠ A ( 两直线平行 , 内错角相等 ), ∠2= ∠ B ( 两直线平行 , 同位角相等 ). 又∵∠ 1+∠2+ ∠ 3=180° ( 平角的定义 ), ∴ ∠ A +∠ B + ∠ ACB =180° ( 等量代换 ). 分析 : 延长 BC 到 D , 过点 C 作 射线 CE ∥ AB , 这样 , 就相当于把∠ A 移到了∠ 1 的位置 , 把∠ B 移 到了∠ 2 的位置 . 这里的 CD , CE 称 为辅助线 , 辅助线通常画成虚线 . A B C E 2 1 3 D 在证明三角形内角和定理时 , 小明的想法是把三个角“凑”到 A 处 , 他过点 A 作直线 PQ ∥ BC ( 如图 ), 他的想法可以吗 ? 请你帮小明把想法化为实际行动 . 小明的想法已经变为现实 , 由此你受到什么启发 ? 你有新的证法吗 ? 证明 : 过点 A 作 PQ ∥ BC , 则 A B C ∠1=∠ B ( 两直线平行 , 内错角相等 ), ∠2=∠ C ( 两直线平行 , 内错角相等 ), 又∵∠ 1+∠2+ ∠ 3 =180 ° ( 平角的定义 ), ∴ ∠ BAC +∠ B + ∠ C =180 ° ( 等量代换 ). P Q 2 3 1 根据下面的图形 , 写出相应的证明 . 你还能想出 其他证 法吗 ? (1) A B C P Q R T S N (3) A B C P Q R M T S N (2) A B C P Q R M 试一试 三角形内角和定理 三角形内角和定 理：三 角形三个内角的和等于 180°. 在 △ ABC 中 , ∠ A +∠ B +∠ C = 180°. ∠ A +∠ B +∠ C = 180° 的几种变形 : ∠ A = 180 ° – (∠ B +∠ C ). ∠ B = 180 ° – (∠ A +∠ C ). ∠ C = 180 ° – (∠ A +∠ B ). ∠ A +∠ B = 180 ° – ∠ C . ∠ B +∠ C = 180 ° – ∠ A . ∠ A +∠ C = 180 ° – ∠ B . 这里的结论 , 以后可以直接运用 . A B C 观察下面一组图形中∠ 1 在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？ B C A 1 D A C B 1 D A C B 1 D 外角定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的 角叫 做三角形的外角 . 三个特征 : 1 .∠1 的顶点在三角形的一个顶点上 ; 2 .∠1 的一条边是三角形的一条边 ; 3 .∠1 的另一条边是三角形的某条边的延长线 . · · · 大家一起画一画 想一想 : 1. 每 一个三角形有几个外角？ 2. 每 一个顶点处相对应的外角 有几个？ 3. 这 些外角中有几个外角相等？ 4. 三 角形的每一个外角与三角 形的三个内角有什么位置关系 ? 画一个三角形，再画出它所有的外角 . A B D E F C 外 角 A B D E F C 外 角 归纳 ： 　　 1 、每一个三角形都有 ６个 外 角 . 2 、每一个顶点相对应的外角都有 ２个 . 4 、一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角 . 3 、这 6 个外角中有 3 个外角相等 . 探究 : 你能用推理的方法来论证 ∠ ACD = ∠ B + ∠ A 吗？ 你能用几种方法呢？相信你一定能行！ D A B C D ∵ ∠ ACD + ∠ ACB =180° 又 ∵ ∠ A + ∠ B + ∠ ACB =180 ° ， ∴ ∠ A + ∠ B = ∠ ACD . 解： A B C ∴ ∠ ACD =180 ° － ∠ ACB ∴ ∠ A + ∠ B = 180 ° - ∠ ACB ， （邻补角的定义 ）， （三角 形的内 角 和为 180 ° ） . 方法一 : 1 （作 CE // BA ） 由平行线的性质 把两个内角转换 可得 A E 方法二： 擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？哪位同学证明一下 . C B D 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 . D A C B ∵ ∠ ACD = ∠ A + ∠ B ， ∴∠ ACD ﹥ ∠ A ， ∠ ACD ﹥ ∠ B 结论： 3. 三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有怎样的大 小关 系 ? 三角形外角的性质： 性质 1 ：三 角形的 一个外角 等 于 与 它 不相邻的两个内角 的 和 . ∠ B +∠ C =∠ CAD 性质 2 ：三 角形的 一个外角 大于 任 何一 个与它 不相邻的内角 . ∠ CAD > ∠ B ， ∠ CAD > ∠ C A B C D 证明： ∵∠ EAC = ∠ B + ∠ C ( 三角形的一个外角等 于与它 不相邻的两个内角的和 ) ， ∠ B = ∠ C ( 已知 ) ， ∴∠ B = ∠ EAC ( 等式性质 ). A C D B E · · 例 1 已知 : 如 图，在 △ ABC 中 , AD 平 分外角∠ EAC ,∠ B = ∠ C . 求证： AD ∥ BC . ∵ AD 平 分∠ EAC ( 已知 ) ， ∴∠ DAE = ∠ EAC ( 角平分线的定义 ). ∴∠ DAE = ∠ B ( 等量代换 ) ， ∴ AD ∥ BC ( 同位角相等 , 两直线平行 ). 这 里运 用了公理 “ 同位角相等，两直线平行 ” . 例 2 已知：如图 , 在△ ABC 中 , ∠1 是它的一个外角 , E 为 边 AC 上一点 , 延长 BC 到 D , 连接 DE . 求证 : ∠1 >∠2. 证明：∵ ∠ 1 是△ ABC 的一个外角 ( 已知 ) ， ∴ ∠1 >∠3 ( 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 ). ∵ ∠3 是△ CDE 的一个外角 ( 外角定义 ) ， ∴ ∠3 >∠2 ( 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 ) ， ∴ ∠1 >∠2 ( 不等式的性质 ). C A B F 1 3 4 5 E D 2 跟踪练习 1. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角 , 则这个三角形是 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 C 2. 如 图 , 若∠ A = 32°,∠ B = 45°,∠ C = 38°, 则∠ DFE 等 于 ( ) A.120° B.115° C.110° D.105° F E D C B A B 3 . 如图，把△ ACB 沿 DE 折 叠，当点 A 落 在四边形 BCED 内部时，∠ DAE 与 ∠ 1, ∠2 之间有一种数量关系保持不变，这一规律 是（ ） A .∠ A = ∠1+∠2 B. 2∠ A = ∠1+∠2 C. 3∠ A = 2∠1+∠2 D. 3∠ A = 2 （∠ 1+∠2 ） B D A A C E 1 2 B 4. 如 图 , ∠1=_______. 140 ° 80 ° 1 120 ° 5. 已知等腰三角形的一个外角为 150°, 则它的底角为 _ ____. 30 或 75° 6. 如 图 , ∠ A = 50°,∠ B = 40°,∠ C = 30°, 则∠ BDC =________. D C B A 120° 7. 已知：如图，在△ ABC 中 ， 外角∠ DCA =100 °,∠ A =45 °. 求：∠ B 和 ∠ ACB 的 大小 . A B C D 解 :∵ ∠ DCA 是 △ ABC 的 一个外角 ( 已知 ), ∴ ∠ B = ∠ DCA - ∠ A =100 ° - 45° = 55 °( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ). 又∵ ∠ DCA + ∠ BCA = 180° ( 平角 =180°). ∴ ∠ ACB = 80° ( 等式的性质 ). 100° 45° 已知 : 国旗上的正五角星形如 图 . 求 :∠ A +∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E 的 度数 . 解 :∵∠1 是△ BDF 的 一个外角 ( 外角 的定义 ), 分析 : 设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中 , 运用三角形内角和定理来求解 . ∴ ∠1=∠ B + ∠ D ( 三角形的一个外角等 于与它 不相邻的两个内角的和 ). ∴ ∠2=∠ C + ∠ E ( 三角形的一个外角等 于与它 不相邻的两个 内角 的和 ). 又∵∠ A + ∠1+∠2=180°( 三角形内角和定理 ). 又∵ ∠ 2 是△ EHC 的 一个外角 ( 外角 的定义 ), A B C D E F 1 H 2 ∴ ∠ A + ∠ B +∠ C +∠ D +∠ E =180°( 等 式的性 质 ). 拔尖自助餐 1.(1) 如图 ( 甲 ) ，在五角星图形中，求∠ A +∠ B +∠ C +∠ D + ∠ E 的度数 . (2) 把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和 与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？ A E A B C D A E ( 甲 ) E B C D D C B ( 乙 ) ( 丙 ) 相等，也可凑到一个三角形中 . 当堂检测 １ . 在△ ABC 中 , 若∠ A ＋∠ B ＝∠ C , 则△ ABC 是（ ） A. 锐 角三角形 　　 B. 直角三角形 　 C . 钝 角三角形 　 D . 等 腰三角形 ２ . 一 个三角形至少有（ ） A. 一个锐角　 B. 两个锐角　 C. 一个钝角　 D. 一个直角 B B 证明：∵ ∠ 1 +∠4=180 °, ∠2 +∠5=180 °, ∠3 +∠6=180 °, ∴ ∠1+ ∠2 + ∠3 +∠ 4 +∠ 5 +∠ 6 =3× 180°=540 °. 又∵ ∠ 4+ ∠5 + ∠6= 180° ( 三角形内角和定理 ), ∴ ∠1 +∠2 +∠3=540 ° - 180°= 360 °. 3. 已知：∠ 1 ，∠ 2 ，∠ 3 是△ ABC 的三个外角． 求证：∠ 1+∠2+∠3=360°. C A B 3 1 2 6 4 5 4. 在△ ABC 中 ,∠ A =80°,∠ B =∠ C , 求∠ C 的度数 . 解： ∵ 在△ ABC 中 ,∠ A +∠ B +∠ C =180° ， ∠ A =80° ， ∴∠ B +∠ C =100°. ∵∠ B =∠ C ， ∴∠ B =∠ C =50°. A B C 5. 已知三角形三个内角的度数之比为 1:3:5 ，求这三个内角的度数 . 解：设三个内角度数分别为： x , 3 x , 5 x . 根据题意得 x +3 x +5 x =180° ， 解得 x =20°. 答：三个内角度数分别为 20°,60°,100°. 三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于 180°. 在 △ ABC 中 , ∠ A +∠ B +∠ C =180°. 推论 1: 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 . 推论 2: 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 . 小 结 第 5 章 几何证明初步 5.6 几何证明举例 一、预习诊断 1. 具备下列条件的两个三角形中，不一定全等的是 ( ) A. 有 两边一角对应相等 B. 三 边对应相等 C. 两 角一边对应相等 D . 有 两直角边对应相等的两个直角三角形 2. 给出下 列命 题： ⑴形状相同的两个三角形是全等形； ⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边； ⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相 等 . 其中正确命题的个数有 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 教学目标 1.证明角角边定理； 2.根据判定两个三角形是否全等，进而推证有关线段或角相等. 回顾与思考 1. 全等三角形有什么性质？ 2. 全等三角形有哪些判定方法？其中哪几个是基本事实？不是基本事实的应如何进行证明？ 3. 证明命题的步骤是什么？ 二、精讲点拨 证明 ： 两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全 等 . （ 根据图形结合题意写出已直和求证，给出证明） 这样，全等三角形的判定就有了基本 事 SAS,ASA,SSS 以及定理 AAS ，利用它们和全等三角形的对应边、对应角相等就可以进一步推证全等三角形的有 关线段或角 相 等 . 例 1 已 知：如图， AB = A D ， B C = DC . 求 证：∠ B =∠ D . 分析：要证∠ B =∠ D ，只要证明它们所在的两个三角形全等即可，但是图中没有两个全等三角形时，应通过尝试 添加辅助线构造全等三角形 ，使待证的角或线段是这两个全等三角形的对应角或对应 边 . 你学会了吗？ 1. 已 知：如图， AB = CD ， AD = BC . 求 证：∠ A = ∠ C . 思考：怎样添加辅助线才能使∠ A 与 ∠ C 存 在于两个全等三角形中而且是两个三角形的对应角呢？ 2 、拓展延伸 已知 : 如图 , AB∥CD, ∠ 1=∠ 2 ，∠ 3=∠ 4. 求证： BC=AB+CD. 合作与探究 A B D C C B D A C B D A 两个全等三角形的对应边上的高线、对应边上的中线、对应角的平分线有什么性质呢？ 三、系统总结 1 、判定两个三角形全等的基本事实有： SAS,ASA,SSS, 判定定理是 AAS. 2 、证明两个角或两条线段相等时，可以考察它们是否在给出的两个全等三角形 中 . 如 果不在，应尝试 通过添加辅助线构造两个全等三角形 ，使待证的角或线段分别是两个全等三角形的对应角或对应 边 . 5.6 几 何证明举例（ 2 ） 一、预习诊断 1 .等腰三角形的一边长为 3 cm ,另一边长为 4 cm ,则它的周长是 ； 2 .等腰三角形的一边长为 3 cm ,另一边长为 8 cm ,则它的周长是 . 3 .等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为 ____ . 等 腰三角形一个角为 80 °，它的另外两个角 是 . 1 .进一步掌握证明的基本步骤和书写格 式 . 2.能用 “ 公理 ” 和 “ 已经证明的定理 ” 为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定 理 . 教学目标 回顾与思考 1. 什么叫等腰三角形？ 2. 根据本册第二章的学习你知道等腰三角形的哪些性质？ 3. 这些性质你是怎样得到的？ 这些性质都是真命题吗？你能用逻辑推理的方法对它们进行证明吗？ 二、精讲点拨 证明性质定理 1 ：等腰三角形的两个底角相等 . （简称：等边对等角） 已 知：如图 , 在△ ABC 中 , AB = AC . 求证：∠ B = ∠ C . 分 析 ：常见辅助 线作法 （ 1 ）作底边上的 高； （ 2 ）作顶角的平分 线；（ 3 ）作底边上的中 线 . 通过添加辅助线 把 △ ABC 分成两个 全等的三角形，只要证得被分成的两个 三角形全等即可得 ∠ B =∠ C . A B C D C B A 等腰三角形的性质定理1: 等腰三角形的两个底角相 等 . 在△ ABC 中 ， ∵ AC = AB （已知 ）， ∴ ∠ B = ∠ C （等边对等角 ） . 通过证明我们发现: 等腰三角形的两个底角相等 是真命 题 . 可 以作为证明其他命题的依 据 . 符号表示： 交流与发现 根据以上证明，我们还可以得到结论： 等腰三角形底边上的高平分底边并且平分顶 角 . 即 得到 ∠ BAD =∠ CAD 与 BD = CD ， 于是 得 性质定理 2 ： 等腰三角形的顶角平分线 ﹑ 底边上的中线﹑底边上的高互相重合 ( 简称“三线合一” ). A C B D A C B D ∥ ∥ ⑵∵AB=AC, 图 ⑵ 图 ⑶ ∟ 1 2 ∥ A C B D 1 2 性质定理2 符号语言 的应用 ∟ ⑴∵AB=AC, ∴AD⊥BC, BD=CD. ∠1=∠2, ∴AD⊥BC BD=CD, ∠1=∠2. ⑶∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠1=∠2. 图⑴ ∟ ∥ 1 2 交流与发现 你能写出“性质定理 1 ： 等腰三角形的两个底角等 ”的逆命题吗？如何证明这个逆命题是正确的？ 如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边） 已知：如图 , 在△ ABC 中 , ∠B=∠C. 求证： AB=AC 分析：是不是仍然可以做辅助线将原三角形 分成两个全等的三角形呢 ? 试试看。 A B C D 等腰三角形的判定定理 : 如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边 ） C B A 符号表示： 在△ABC中， ∵∠B=∠C （已知） ∴ AC=AB（等角对等边） 利用等腰三角形的性质定理和判定定理 证明 ： 学以致用 1、 等边三角形的每个内角都是 60 ° . 2、 三个角都相等的三角形是等边三 角形 . 如果一个三角形的每个内角都等于 60 ° ，那么这个三角形是等边三角 形 . 2 . 当等腰三角形的 顶角 是 60 ° 时 这个逆命题是真命 题 . 1. 当等腰三角形的 一个底角 等于 60 ° 角 时 思考： “等边三角形的每个内角都等于 60 ° ” 的逆命题是什么？这个逆命题是真命题吗？ 有一个角是 60 0 的等腰三角形是等边三角形吗？ 交流与发现 例 2 已 知：在 △ ABC 中， AB = AC ， D 是 AB 上的一点， DE ⊥ BC ， 交 BC 于 点 E ， 交 CA 的延长线于点 F . 求 证： AD = AF . 分析：从已知出发先由已知 AB = AC 利 用“ 等边对等角 ” 推得∠ B = ∠ C ，再由等角的余角相等推得 ∠ BDE = ∠ F , 进而得到 ∠ ADF = ∠ F , 最后根据“ 等角对等边 ” 推出 AD = AF . 三、系统总结 1. 等腰三角形的判定方法有下列两种： ①定义，②判定定理 2. 等腰三角形的判定定理与性质定理的区 别： 条件和结论刚好相反 3. 运用等腰三角形的判定定理时，应注意 在同一个三角形中 5.6 几 何证明举例（ 3 ） 一、预习诊断 给出下 列说法：①若直线 PE 是线段 AB 的垂直平分线，则 EA = EB ， PA = PB ；②若 PA = PB ， EA = EB ，则直线 PE 垂直平分线段 AB ；③若 PA = PB ，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点；④若 EA = EB ，则过点 E 的直线垂直平分线段 AB ．其中正确的个数有（　　） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 教学目标 1. 掌握并证明线段垂直平分线的性质定理与判定定理； 2. 掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证明的思 路 . 回顾与思考 1. 什么是线段的垂直平分线？ 2. 根据本册第二章的学习你知道线段的垂直平分线有什么性质？ 3. 这个性质你是怎样得到的？ 这个性质是真命题吗？你能用逻辑推理的方法，证明它的真实 性吗？ 二、精讲点拨 证明： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相 等 . 已知：直线 是线段 AB 的垂直平分线，垂足 为 ，点 P 是直线 上的任意一 点 . 求证： = . P C A B M D 合作与交流 1. 为什么以上证明要分（ 1 ）点 P 与 点 M 不 重合（ 2 ）点 P 与 点 M 重 合时 两种情况 ？ 2. 符号语言： 线段垂直平分线的性质定理： ∵点 P 在 线段 AB 的 垂直平分线 CD 上， ∴ PA = PB . 交流与发现 你 能说出线段垂直平分线性质定理的 逆命题 吗？ 它是真 命题吗？应如何证明它的真实性 ? 到 一条线段两个端 点的距 离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 . 要 证明这个命题成立，只要证明 经过 点 P 的 线段 AB 的 垂线，也平分线 段 AB 即可 . 注 意：也要分两种情 况 . C B A P 符号语言： 线段垂直平分线的判定定理： ∵ MA = MB , NA = NB ， ∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分 线 . 你会用吗？ 已知： AD ⊥ BC ， BD = DC ，点 C 在 AE 的垂直平分线上 求证： AB = AC = CE. 三、 系统总结 1. 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相 等 . 作用： 证明两条线段相 等 . 2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线 上 . 作用： 证明点在线段的垂直平分线 上 . 3. 符号语言 ： 性 质定理： ∵点 M 在线段 AB 的垂直平分线 上， ∴ MA = MB . 逆 定理： ∵ MA = MB ， ∴ 点 M 在线段 AB 的垂直平分线 上 .