最新青岛版八年级数学上册第1章全等三角形PPT

第 1 章 全等三角形 1.1 全等三角形 知识点一：全等形的概念 (1) (2) (3) (4) 观察下列四组图片 , 每组图片的形状和大小有什么关系 ? 能够完全重合的平面图形 , 叫做全等形 . 它们的形状相同 , 大小相等 . 全等形： 交流与发现 秦兵马俑坑发现于 1974 年，它被国际上誉为“世界第八大奇迹”。 (1) 图中的兵哪几个是全等形？ 练习 1 ： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 知识点二：全等三角形的定义及表示方法 观察与思考 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。 记作：△ A B C ≌ △ A 1 B 1 C 1 A B C A 1 B 1 C 1 当两个全等三角形完全重合时 , 互相重合的顶点叫做 对应顶点 , 互相重合的边叫做 对应边 , 互相重合的角叫做 对应角 . 对应角： ∠ A 和∠ A 1 ,∠B 和∠ B 1 , ∠C 和∠ C 1. 对应顶点： 点 A 和点 A 1 , 点 B 和点 B 1 , 点 C 和点 C 1 . 对应边： AB 和 A 1 B 1 ,AC 和 A 1 C 1 ,BC 和 B 1 C 1 . A A 1 C C 1 B B 1 观察与思考 温馨提示：记两个三角形全等时，通常把 表示 对应顶 点的 字母写在对应位置上 , 这样 有利 于解题！ 知识点三：全等三角形的性质 A A 1 C C 1 B B 1 A 1 C 1 B 1 A C B 观察与思考 观 察下图中的两个三角形 , 哪些边分别对应相等 , 哪些角分别对应相等 ? ∠ A=∠A 1 , ∠B=∠B 1 , ∠C=∠C 1 . AB=A 1 B 1 , . AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相 等 . 例 1 . 如图，已知△ABC △FED， 那 么AC∥FD吗？ 为什么？ F D C B A E 1 2 3 4 ∴AC∥FD （已知） （全等三角形的对应角相等） （平角的定义） （等角的补角相等） （内错角相等，两直线平行） 知识点四：满足几个元素对应相等就能判定两个三角形全等？ 两个三角形 , 具备哪些条件才全等呢 ? 两个条件 （ 1 ）三 角形的 一个角 , 一条边 对应相等 （ 2 ）三角形的 两条边 对应相等 （ 3 ）三角形的 两个角 对应相等 三个条件 一个条件 （ 1 ）有 一条边 对应相等的三角形 （ 2 ）有一 个角 对应相等的三角形 （ 1 ）三 角形的 三个角 对应相等 。 （ 3 ）三 角形的 一条边和两个角 对应相等 。 （ 4 ）三 角形的 三条边 对应相等 。 （ 2 ）三 角形的 两条边和一个角 对应相等 。 一个条件 （ 1 ）有 一条边 对应相等的三角形 一个条件 （ 2 ）有一 个角 对应相等的三角形 两个条件 （1) 三角形的 一个角 , 一条边 对应相等 两个条件 （1) 三角形的 一个角 , 一条边 对应相等 7.2cm 7.2cm 4.2cm 4.2cm 两个条件 （ 3 ）三角形的 两个角 对应相等 两个条件 （1） 三角形的 一个角 , 一条边 对应相等 （ 2 ）三角形的 两条边 对应相等 （ 3 ）三角形的 两个角 对应相等 只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等 . （ 1 ）有 一条边 对应相等的三角形 （ 2 ）有一 个角 对应相等的三角形 通过刚才研究的实例，你发现了什么结论？ (1) 三角形的 三个角 对应相 等 . 三个条件 (3) 三角形的 一条边和两个角 对应相 等 . (4) 三角形的 三条边 对应相 等 . (2) 三角形的 两条边和一个角 对应相 等 . 那么三个条件行不行呢？ 今天你们学会了什么？ 知识点一：全等形的概念 能够完全重合的平面图形 , 叫做全等形 . 它们的形状相同 , 大小相等 . 全等形： 知识点二：全等三角形的定义及表示方法 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形 . 记作：△ABC ≌ △A 1 B 1 C 1 温馨提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母 写在对应位置上 , 这样有利于解题！ 知识点三：全等三角形的性质 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 知识点四：满足几个元素对应相等就能判定两个三角形全等？ 只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等 . 第 1 章 全等三角形 1.2 怎样判定三角形全等 三角形全等的判定定理（ SAS ） 思考 (2) 三条边 (1) 三个角 (3) 两边一角 (4) 两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况 : SSS 不能 ! ? 继续探讨三角形全等的条件： 两边一角 思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边 与这一个角的位置上有几种可能性呢？ A B C A B C 图一 图二 在图一中， ∠ A 是 AB 和 AC 的 夹角， 符合图一的条件，它可称为 “两边及其夹角”。 符合图二的条件， 通常 说成 “两边和其中一边的对角” 探究 在 纸上的不同位置分别画一个三角形 , 它的 一个 角为 50°, 夹这个角的两边分别为 2 cm,2.5 cm . 将这两个三角形叠在一起 , 它们完全重合吗？ 由此你能得到什么结论？ 探究 在 △ ABC 和△ A ’ B ’ C 中 , ∠ ABC = ∠ A ’ B ’ C , AB = A ’ B ’, BC = B ’ C ’ . (1) △ ABC 和△ A ’ B ’ C ’ 的位置关系如图 2-38. 图 2-38 A ’ B ’ C ’ 探究 (2) △ ABC 和△ A ’ B ’ C ’ 的位置关系 如图 2-39. 图 2-39 在△ ABC 和△ A ’ B ’ C ’ 中 , ∠ ABC = ∠ A ’ B ’ C ’ , AB = A ’ B ’, BC = B ’ C ’ . 探究 (3) △ ABC 和△ A ’ B ’ C ’ 的位置关系如图 2-40. 图 2-40 在△ ABC 和△ A ’ B ’ C ’ 中 , ∠ ABC = ∠ A ’ B ’ C ’ , AB = A ’ B ’, BC = B ’ C ’. 探究 (4) △ ABC 和△ A ’ B ’ C ’ 的位置关系如图 2-41. 图 2-41 C A B A ’’ B ’’ C ’’ 在△ ABC 和△ A ’ B ’ C ’ 中 , ∠ ABC = ∠ A ’ B ’ C ’ , AB = A ’ B ’, BC = B ’ C ’. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 . ( 可简写成“边角边”或“ SAS ”). S —— 边 A —— 角 结论 注意： 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形 不一定全等 .( 即没有“ 边边角 ”或“ SSA ” 这种判定定理 ). 例 2 已知：如图 2-42, AB 和 CD 相交于点 O , 且 AO=BO , CO=DO . 求证：△ ACO ≌△ BDO . “ 边角边 ” 图 2-42 举 例 证明： 在△ ACO 和△ BDO 中 , AO = BO , ∠ AOC = ∠ BOD （对顶角相等） , CO=DO , ∴△ ACO ≌ △ BDO （ SAS ） . 全等三角形的判定 SSS 1 ．掌握三角形全等的“边边边”定理． 2 ．了解三角形的稳定性． 3 ．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作 、 归纳获得数学结论的过程． ①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD ④ ∠A=∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C=∠F A B C D E F 1 、 什么叫全等三角形？ 能够重合 的两个三角形叫全等三角 形 . 2 、全等三角形有什么性质？ A B C D E F ①AB=DE ③ CA=FD ② BC=EF ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F 1. 满足这六个条件可以保证 △ ABC ≌△ DEF 吗？ 2. 如果只满足这些条件中的一部分 , 那么能保证 △ ABC ≌△ DEF 吗 ? 思考： ① 三角 ； ② 三边； ③ 两边一角； ④ 两角一 边 . 3. 如果满足 三个 条件，你能说出有哪几种可能的情况？ 探索三角形全等的条件 已知两个三角形的三个内角分别为 30° ， 60° ， 90 °, 它们一定全等吗？ 这说明有三个角对应相等的两个三角形 不一定全 等 . ⑴ 三个角 已 知两个三角形的三条边都分别为 3 cm 、 4 cm 、 6 cm , 它 们一定全等吗？ 3cm 4cm 6cm 4cm 6cm 3cm 6cm 4cm 3cm ⑵ 三条边 问题： 把你画的三角形与其他同学所画的三 角形进行 比较，它们能够互相重合吗？ 三角形全等的条件 ： 三 边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“ SSS” ） . 探索三角形全等的条件 证明：∵ BD=CE ∴ BD-ED=CE-ED ，即 BE=CD . C A B D E 在 △ AEB 和 △ ADC 中 ， AB=AC AE=AD BE=CD ∴ △AEB ≌ △ ADC (SSS). 例 : 如图， AB=AC ， AE=AD ， BD=CE ，求证：△ AEB ≌ △ADC. 当堂测试 如图，已知 AB=CD ， AD=CB ， E 、 F 分别是 AB ， CD 的中点，且 DE=BF. 求证：①△ ADE≌△CBF,②∠A=∠ C. A D B C F E ∴△ADE≌△ CBF, ∴∠A=∠ C. 证明 :∵ 点 E,F 分别是 AB,CD 的中 点 , ∴ AE= AB, CF= CD. ∵ AB=CD, ∴ AE=CF. 在△ ADE 与△ CBF 中 , AE=CF, AD=CB, DE=BF, 1 、三角形全等的条件 2 、三角 形的稳 定性在实际生活中的应用 3 、会使用“ SSS” 判定 两个三 角形全等 4 、掌握角平分线的尺规作图 ，能写出其简 单的作法 今天你有哪些收获？ 全等三角形的判定 AAS 两边分别相等且 其中一 组等边的对角相等的两个三角形不一定全等 3cm 2.5cm 2.5cm 3cm 45° 45° 两角一夹边 (ASA) 两角一对边 (AAS) ? 引入新课 学习 目标 1 . 掌握判定三 角形全等 的“ 角边角 ”“ 角角边 ”定理 ． 2 . 能 根据条件选择合适的判定进行推理论 证 . 在△ ABC与△DEF中 ，∠ A= ∠D , A C =D F , ∠C= ∠F. C A B Ｆ Ｄ Ｅ 预习反馈 C A B 角边角公 理 :两 角及其夹边分别相 等的两个三角形全等.( ASA ) Ｆ Ｄ Ｅ 在△ ABC与△DEF中， ∠ A= ∠D, A C =D F , ∠ C= ∠F. ∴△ ABC≌△DEF （ ASA ） . 预习反馈 在△ ABC与△DEF中，AB=DE, ∠A= ∠D, ∠C= ∠F. C A B Ｆ Ｄ Ｅ 预习反馈 C A B 角角边公理 :两角分别相等及其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等.( AAS ) Ｆ Ｄ Ｅ 在△ ABC与△DEF中， AB=DE, ∠A= ∠D, ∠C= ∠F. ∴△ ABC≌△DEF （ AAS ） . 预习反馈 全等三角形的判定方法 边角边 SAS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 . 边边边 SSS 角边角 ASA 角角边 AAS 有三边对应相等的两个三角形全等 . 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 . 两角分别相等及其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等 第 1 章 全等三角形 1.3 尺规作图 基本作图 在几何里 , 把限定用直尺和圆规来画图 , 称为 尺规作图 . 最基本 , 最常用的尺规作图 , 通常称 基本作图 . 其中 , 直尺是 没有 刻度的 ； 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的 . 下面介绍两种基本作图 : 1 、 作一条线段等于已知线段    利用直尺和圆规可以作出很多几何图形，你想知道我们是如何用圆规和直尺作一条线段等于已知线段的吗？ 已知： 线段 AB ． 求作： 线段 A’ B’ ， 使 A’ B’ ＝ AB ． A B 作法与示范 ： (1) 作射线 A’C’ ； A ’ C ’ (2) 以点 A ’ 为圆心， 以 AB 的长为半径 画弧， 交射线 A ’ C ’ 于点 B ’ ， B’ A ’ A ’ B ’ 就是所求作的线 段 . 示 范 作 法 已知： ∠ AOB . B O A 求作： ∠ A ’ O ’ B ’ 使 ∠ A ’ O ’ B ’ =∠ AOB . O ’ A ’ (2) 以点 O 为圆心， 任意长为半径 交 O A 于点 C ， (3) 以点 O ’ 为圆心， 画弧， C D 同样 ( OC ) 长为半径 画弧， C ’ (4) 以点 C ’ 为圆心， CD 长为半径 画弧， D ’ (5) 过点 D ’ 作射线 O ’ B ’. B ’ A ’ O ’ B ’ ∠ A ’ O ’ B ’ 就是所 求作的 角 . 作 法 示 范 (1) 作射线 O ’ A ’ ; 交 O B 于点 D ; 交 O ’ A ’ 于点 C ’ ; 交前面的弧于点 D ’ ， （ 2 ）作一个角等于已知角 你能画出红球在第一次反弹后的运动路线吗 ？ 用一用 数学小知识 打台球时 ， 球的 反射角 总是等于 入射角 . 入射角 反射角 O 1 、 已知： ∠ AOB. 利用尺规作： ∠ A ’ O ’ B ’ ， 使 ∠ A ’ O ’ B ’ = 2 ∠ AOB . B O A 独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。 作法一 : C A ’ B ’ ∠ A ’ O ’ B ’ 为所求 . B O A 作法二 : C D C ’ E B ’ O ’ A ∠ A ’ O ’ B ’ 为所求 . 已知 ，求作∠ ABC ， 使 ∠ ABC ＝ ＋ 尺规作图： b a 独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。 本节课你学到了什么 ? 画一个角等于已知角； 画一条线段等于已知线段。 画角、线段的倍数、和、差。 画法的语言： （ 1 ）画射线 ×× （ 2 ）以 × 点为圆心，以 ×× 长为半径画弧，交于点 ×   （ 3 ）∠ × 就是所求的角 还要注意 ： 1. 过点 x 、点 x 作直线；或作直线 xx ，射线 xx. 2. 连结两点 x 、 x ；或连结 xx; 3. 在 xx 上截取 xx=xx; 4. 以点 x 为圆心， xx 为半径作圆（弧）； ( 交 xx 于 x 点； ) 5. 分别以点 x ，点 x 为圆心，以 xx 为半径作弧，两弧相交于 x 点 .