青岛版九年级数学上册第4章一元二次方程

第 4 章 一元二次方程 4.1 一元二次方程 4.1 一元二次方程 1、什么叫方程？什么叫方程的解？我们学了哪些方程？ 2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗? 知识回顾 重点： 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念 . 难点 ： 尝试的方法求简单的二元一次方程的解 . 重 、 难点 新课引入 问题一 如图所示，某住宅小区内有一栋旧建筑，占地 为边 长为35 m的正方形.现打算拆除建筑并在其正中间铺上一面积为900 m 2 的正方形草坪，使四周留出的人行道的宽度相等，问人行道的宽度为多少米？ 35cm 35cm x x x x 解： 设人行道的宽度为 x m ，则草坪的边长为 m . 35 - 2 x 根据题意，列出方程 ( 35 - 2 x ) 2 = 900 把方程通过移项，写成 ( 35 - 2 x ) 2 - 900 =0 即 4 x 2 -140 x +325=0 问题二 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆 . 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程 。 分析： 问题涉及的等量关系是： 两年后的汽车拥有量 = 前年的汽车拥有量 × （1+年平均增长率） 2 . 解： 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x . 根据等量关系，可以列出方程 化简，整理得 上述两个方程有什么共同特点？ 如果一个方程通过整理可以使右边为 0 ，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做 一元二次方程 ，它的一般形式是： 4 x 2 -140 x +325=0 ax 2 + bx + c =0（ a ， b ， c 是已知数 ， a ≠0）， 其中 a ， b ， c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。 例： 下列方程是否为一元二次方程，若是，指出其二次项系数、一次项系数和常数项。 3x(1-x)+10=2(x+2) 解： 去括号，得： 整理，得： 3x-3x 2 +10=2x+4 -3x 2 +x+6=0 可以写成 ： 3x 2 -x-6=0 二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6。 例： 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 + ax + a =0 的一个根是 3 ，求 a 的值 . 解： 由题意得 把 x =3 代入方程 x 2 +ax+a=0 得， 3 2 +3 a + a =0 9+4 a =0 4 a = -9 1 .关于x的方程(k－3)x 2 ＋ 2x－1＝0,当 k 　 时，是一元二次方程． ≠3 2 .一元二次方程(2x＋1)(x－2)＝5－3x的二次项系数、一次项系数及常数项之和为______． － 5 课堂练习 3. 已知关于 x 的方程 ( k 2 － 1) x 2 ＋ ( k ＋ 1) x － 2 ＝ 0. (1) 当 k 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根； (2) 当 k 取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 　 1. 了解 一元二次方程的概念和一般形式 . 2. 会判别一元二次方程的二次项系数 , 一次项系数和常数项 . 3. 注意 : 一元二次方程的二次项系数不能为零 . 课堂小结 第 4 章 一元二次方程 4.2 用配方法解一元二次方程 用配方法求解一元二次方程 开心练一练： (1) (2) 2、下列方程能用直接开平方法来解吗? 1 、 用直接开平方法解下列方程 : 静心想一想： (1) (2) (3) 能否把 (3) 转化成 (x+b) 2 =a(a≥0) 的 形式呢 ? (1) (2) (3) =( + ) 2 =( ) 2 =( ) 2 左边 : 所填常数等于一次项系数一半的平方 . 右边 : 所填常数等于一次项系数的一半 . 填上适当的数或式,使下列各等式成立. 大胆试一试： 共同点： ( ) 2 =( ) 2 (4) 观察 (1)(2) 看所填的常数与一次项系数之间有什么关系 ? (1)(2) 的结论适合于 (3) 吗 ? 适用于 (4) 吗 ? 现在你会解方程 吗 ? 把常数项移到方程右边得： 两边同加上 得 ： 即 两边直接开平方得： 解: ∴原方程的解为 如何配方 ? 例 1: 用配方法解方程 解 : 配方得： 开平方得： 移项得： ∴原方程的解为： 一次项系数变为负又如何配方呢 ? 例 2: 你能用配方法解方程 吗？ 解 : 配方得 ： 开平方得： 移项得： ∴ 原方程的解为： 化二次项系数为 1 得 ： 想一想用配方法 解一元二次方程 一般有哪些步骤? 1 、用配方法解下列方程 : 2 、用配方法将下列式子化a(x+h) 2 +k的形式。 (1)x 2 +8x-15=0 (2)x 2 -5x-6=0 (3)2x 2 -5x-6=0 (4) x 2 +px+q=0(p 2 -4q ＞ 0) (3) -3 x 2 -2x+1 (2) x 2 -x+1 (1) y 2 +y-2 （2）移项 （3）配方 （4）开平方 （5）写出方程的解 2 、用 配方法 解一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0) 的 步骤 ： 1 、 配方法： 通过配方 , 将方程的左边化成一个含未 知数的 完全平方式 , 右边是一个 非负常数 , 运用直接开平方求出方程的解的方法。 (1) 化二次项系数为 1 小结 第 4 章 一元二次方程 4.3 用公式法解一元二次方程 公式法是这样 产 生的 你能用配方法解方程 ax 2 +bx+c=0(a ≠0) 吗 ? 1. 化 1: 把二次项系数化为 1; 3. 配方 : 方程两边都加上一次项系数 绝对值 一半的平方 ; 4. 变 形 : 方程左分解因式 , 右边合并同类 ; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6. 求解:解一元一次方程 ; 7. 定 解 : 写出原方程的解 . 2. 移 项 : 把常数项移到方程的右边 ; 一般地,对于一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0) 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式 . 用求根公式解一元二次方程的方法称为 公式法 老师提示用 公式法 解一元二次方程的 前提 是 : 1. 必需是一般形式的一元二次方程 : ax 2 +bx+c=0(a≠0). 2.b 2 -4ac≥0. 当 时，方程有实数根吗？ 例 1 、用公式法解方程 5x 2 -4x-12=0 1. 变形 : 化已知方程为一般形式 ; 3. 计算 : b 2 -4ac 的值 ; 4. 代入 : 把有关数值代入公式计算 ; 5. 定根 : 写出原方程的根 . 2. 确定系数 : 用 a, b,c 写出各项系数 ; 例 2. 用公式法解方程 2x 2 +5x-3=0 解 : a=2 b=5 c= -3 ∴ b 2 -4ac=5 2 -4×2×(-3)=49 即 x 1 = - 3 x 2 = 求根公式 : X= ( a≠0, b 2 -4ac≥0 ) 解： a= ， b= ， c = . b 2 -4ac= = . x= = = . 即 x 1 = , x 2 = . （口答）填空：用公式法解方程 2x 2 +x-6=0 2 1 -6 1 2 -4×2×(-6) 49 -2 求根公式 : X= ( a≠0, b 2 -4ac≥0 ) a= ， b= ， c = . b 2 -4ac= = . x= = = . 即 x 1 = , x 2 = . 例 3 ：用公式法解方程 x 2 +4x=2 1 4 -2 4 2 -4×1×(-2) 24 解：移项，得 x 2 +4x-2=0 这里的 a 、 b 、 c 的值是什么？ 3 、代入 求根公式 : X= (a≠0, b 2 -4ac≥0 ) 1 、把方程化成一般形式 , 并写出 a ， b ， c 的值。 2 、求出 b 2 -4ac 的值。 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 4 、写出方程的解： x 1 =?, x 2 =? 例 4 解方程： 解 ： 结论：当 时，一元二次方程有两个 相等的实数根 . 思考题： 1 、关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 (a≠0) 。 当 a ， b ， c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？ 2 、 m 取什么值时，方程 x 2 +(2m+1)x+m 2 -4=0 有两个相等的实数解 关于一元二次方程 ，当 a ， b ， c 满足什么条件时，方程的两根互 为相反数？ 解： 一元二次方程 的解为： 解： 已知方程 求 c 和 x 的值 . 小结 用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤： ３ . 最后代入公式 当 时，有两个实数根 当 时，方程无实数解 １ . 先 写出 a ， b ， c ２ . 再求出 第 4 章 一元二次方程 2.4 用因式分解法解一元二次方程 教学目标 1、熟练掌握用因式分解法解一元二次方程。 2 、通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的思想。 重点 难点 重点：用因式分解法解一元二次方程 难点：正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0（ A、B表示两个因式） 用因式分解法求解一元二次方程 自学检测题 1 、 什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解？ 2 、用因式分解法解一元二次方程，其关键是什么？ 3 、用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么 ? 4 、用因式分解法解一元二方程，必须要先化成一般形式吗？ 因式分解主要方法 : (1) 提取公因式法 (2) 公式法 : a 2 － b 2 =(a+b) (a － b) a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 因式分解法 解方程 4x 2 =9 解：移项，得 利用平方差公式分解因式，得 可得 所以，原方程的根是 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。它的基本步骤是： (1) 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； (2) 将方程的左边分解因式； (3) 根据若 A · B=0, 则 A=0 或 B=0, 将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 填空 ： （ 1 ）方程 x 2 +x=0 的根是 ； （ 2 ） x 2 － 25=0 的根是 。 X 1 =0, x 2 =-1 X 1 =5, x 2 =-5 例 1 解下列一元二次方程： (3x － 4) 2 =(4x － 3) 2 . 解 : 移项，得 （ 3x-4) 2- (4x-3) 2 =0. 将方程的左边分解因式，得 [(3x-4)+(4x-3)][(3x-4)-(4x-3)]=0, 即 (7x-7) (-x-1)=0. ∴7x-7=0, 或 -x-1=0. ∴x 1 =1, x 2 =-1 (1) 4x 2 =12x; (2) (x -2)(2x -3)=6; (3) x 2 +9=-6x ; (4) 9x 2 =(x - 1) 2 (5) 用因式分解法解下列方程 ： 练一练 1. 解方程 x 2 － 2√3x=-3 2. 若一个数的平方等于这个数本身 , 你能求出这个数吗 ( 要求列出一元二次方程求解 )? 注意：当方程的一边为 0 时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便 . 练一练 因式分解法解一元二次方程的基本步骤： （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二 次方程转化为解两个一元一次方程。 能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例 1 这样的，移项后能直接因式分解就直接因式分解，否则移项后先化成一般式再因式分解 . 课堂小结 第 4 章 一元二次方程 4.5 一元二次方程根的判别式 4.5 一元二次方程根的判别式 教学目标 1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 　 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的范围. 新课引入 我们在运用公式法求解一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠0) 时，总是要求 b 2 -4 ac ≥0. 这是为什么？ 把方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠0) 配方后得到： 由于 a ≠0 ，所以 ＞ 0 ，因此我们不难发现： 此时，原方程有两个不相等的实数根. （ 1 ） 当 时， 由于正数有两个平方根，所以原方程的根为 此时，原方程有两个相等的实数根 . 当 时， （ 2 ） 由于 0 的平方根为 0 ，所以原方程的根为 由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程没有实数根 . 当 时， （ 3 ） 我们把 叫作一元二次方程 的根的判别式，记作“ Δ ” 即 Δ= ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠0 ) 综上可知，我们不难发现一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠0 ) 的根的情况可由 Δ= 来判断 . 当 Δ > 0 时， 原方程有两个不相等的实数根 ，其根为 当 Δ = 0 时， 原方程有两个相等的实数根 ，其根为 当 Δ < 0 时， 原方程没有实数根 . 例题： 已知关于 x 的方程 x 2 － 2( k ＋ 1) x ＋ k 2 ＝ 0 有两个不相等的实数根． (1) 求 k 的取值范围； (2) 求证： x ＝－ 1 不可能是此方程的实数根． (2) 证明：若 x ＝－ 1 是方程 x 2 － 2(k ＋ 1)x ＋ k 2 ＝ 0 的实数根，则有 ( － 1) 2 ＋ 2(k ＋ 1) ＋ k 2 ＝ 0 ，即 k 2 ＋ 2k ＋ 3 ＝ 0.∵Δ ＝ b 2 － 4ac ＝－ 8