青岛版九年级数学上册第3章对圆的进一步认识

第 3 章 对圆的进一步认识 3.1 圆的对称性 3.1  圆的对称性   你知道车轮为什么设计成圆形？设计成三角形、四边形又会怎样？从中你发现了什么？ 圆是中心对称图形 , 圆心是它的对称中心 . 圆绕着圆心旋转任何角度后 , 都能与自身重合 . (1) 在两张透明纸片上 , 分别作半径相等的⊙ O 和⊙ O ′.   (2) 在⊙ O 和⊙ O ′ 中，分别作相等的圆心角∠ AOB ,∠ A ′ OB ′ ， 连接 AB 、 A ′ B ′ . (3) 将两张纸片叠在一起 , 使⊙ O 与⊙ O ′ 重合 . ( 4) 固定圆心 , 将其中一个圆旋转某个角度 , 使得 OA 与 OA ′ 重合 . 你发现了什么 ? 请与同学交流 . O A B O A B A ′ B ′ 议一议 当 OA 与 O′A′ 重合时， ∵∠ AOB ＝∠ A′O′B ′ ， ∴ OB 与 O′B′ 重合 . 又∵ OA ＝ O′A ′ ， OB ＝ O′B′ ， ∴点 A 与点 A′ 重合，点 B 与点 B′ 重合 . ∴   ＝   重合， AB 与 A′B′ 重合，即   ＝   ， AB ＝ A′B′ .    在 同圆或等圆 中 , 相等的 圆心角 所对的 弧相等 , 所对的 弦相等 ． O A B O′ A ′ B ′ AB ＝ A ′ B ′ AB ＝ A ′ B ′ ∠ AOB ＝ ∠ A ′ O ′ B ′ 在同圆或等圆中 , 如果圆心角所对的弧相等 , 那么它们所对的弦相等吗 ? 这两个圆心角相等吗 ? 为什么 ? O A B O ′ A ′ B ′ AB ＝ A ′ B ′ AB ＝ A ′ B ′ ∠ AOB ＝ ∠ A ′ O ′ B ′ 议一议 在同圆或等圆中 , 如果圆心角所对的弦相等 , 那么圆心角所对的弧相等吗？它们圆心角相等吗？为什么？ O A B O ′ A ′ B ′ AB ＝ A ′ B ′ ∠ AOB ＝ ∠ A ′ O ′ B ′ AB ＝ A ′ B ′ 议一议 在 同圆或等圆 中 , 如果两个 圆心角 , 两条 弧 , 两条 弦 中有一组量相等 , 那么它们所对应的其余各组都分别相等 . AB ＝ A′B ′. AB ＝ A′B ′; 1 ．因为∠ AOB ＝∠ A′O ′ B ′ ，所以 2 ．因为 AB ＝ A′B ′, 所以 AB ＝ A′B ′; ∠ AOB ＝∠ A ′ O ′ B ′ . 3 ．因为 AB ＝ A′B ′ , 所以 ∠ AOB ＝∠ A ′ O ′ B ′ . AB ＝ A′B ′; O A B A ′ B ′ O ′ A O B C D 1° 的圆心角 1° 的弧 n ° 的圆心角 n ° 的弧 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 . 典型例题   例 1  如图 , AB 、 AC 、 BC 都是⊙ O 的弦 , ∠ AOC ＝∠ BOC . ∠ ABC 与 ∠ BAC 相等吗？为什么？ O A B C E D C B A    例 2  如图 , 在△ ABC 中 , ∠ C ＝ 90°, ∠ B ＝ 28°, 以 C 为圆心 , CA 为半径的圆交 AB 于点 D , 交 BC 与点 E ．求 AD 、 DE 的度数 . A B C D O 图 1 O A B C 图 2    1 ．如图 1, 在⊙ O 中 , AC ＝ BD ,∠ AOB ＝ 50º, 求∠ COD 的度数 .    2 ．如图 2, 在⊙ O 中 , AB ＝ AC ,∠ A ＝ 40º ，求∠ ABC 的度数 . 课堂练习 3. 如图 , 在同圆中 , 若 AB ＝ 2 CD , 则 AB 与 2 CD 的大小 关系是 ( ) ．    A ． AB ＞ 2 CD B ． AB ＜ 2 CD    C ． AB ＝ 2 CD D ． 不能确定 B D C B A O    拓展：在同圆中，若 AB ＞ CD ，那么 AB 与 CD 的大小关系关系如何？ 1 ．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．   2 ．在 同圆或等圆 中 , 如果两个 圆心角 , 两条 弧 , 两条 弦 中有一组量相等 , 那么它们所对应的其余各组都分别相等 . 通过本节课的学习 , 你对圆的对称性有哪些认识？ 3 ．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 . 课堂总结 第 3 章 对圆的进一步认识 3.2 确定圆的条件 3.2 确定圆的条件 1. 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆； 2. 会利用尺规过不在同一直线上的三个点作圆。 3. 了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念。 学习目标 确定直线的条件 (1) 经过一点可以作无数条直线； (2) 经过两点只能作一条直线 . ● A ● A ● B 1. 作圆 , 使它过已知点 A ，你能作出几个这样的圆 ? ● O ● A ● O ● O ● O ● O 2. 作圆 , 使它过已知点 A,B ，你能作出几个这样的圆 ? ● A ● B ● O ● O ● O ● O 例：作圆,使它过已知点A、B、C(不在同一条直线上),你能作出几个这样的圆? 不在 一条直线上的三个点确定一个圆. ● B ● C ● A ● O ┓ E D ┏ G F 三角形的三个顶点确定一个圆,这圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫做圆的内接三角形. 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的的交点,叫做三角形的外心. ● O A B C 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆,并说外心的位置与所在三角形的关系。 A B C ● O A B C C A B ┐ ● O ● O 1. 确定圆的条件。 2. 三角形的外接圆、外心。 课堂小结 已知条件 结论 1. 直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点： 由因导果 执果索因 综合法 分析法 结论 已知条件 A 、 B 、 C 三个人， A 说 B 撒谎， B 说 C 撒谎， C 说 A 、 B 都撒谎。则 C 在撒谎吗？为什么？ 学习目标 1.体会反证法的含义，知道证明一个命题除用直接证法外，还有间接证法。 2.了解用反证法证明命题的一般步骤。 实验与探究 1. 如果 A 、 B 、 C 三点在同一条直线上，经过点 A 、 B 、 C 能作出一个圆吗？ 2. 为什么过同一直线上的三个点不能作圆？怎样证明这个结论？ 在证明一个命题时 , 有时 先假设命题不成立 , 从 这样的 假设出发 , 经过推理 得出 和已知条件矛盾 , 或者与定义 , 公理 , 定理等 矛盾 , 从而得出 假设命题不成立是错误的 , 即所求证的命题正确。这种证明方法叫做 反证法 。 归纳总结 反证法的证明过程： 否定结论 —— 假设命题的结论不成立； 肯定结论 —— 由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。 推出矛盾 —— 从假设出发，经过一系列正确的推理， 得出 矛盾 ； 已知：如图，直线 a,b 被直线 c 所截， a∥b 求证： ∠1 = ∠2 已知 : 如图 , a∥c , b∥c 求证： a ∥b a b c 第 3 章 对圆的进一步认识 3.3 圆周角 一切立体图形中最美的是球 , 一切平面图形中最美的是圆 . —— 毕达哥拉斯 3.3 圆 周 角 （ angle in a circular segment ） A C B M N D E 生活 * 数学 ● O M N 你能给这类角起个名字吗？ 叫做 圆心角 . 顶点在圆上 的角叫做 圆周角 . A B C ，并且 两边都和圆相交 顶点在圆心的角 ● ● 指出图中的圆周角有哪些？ 以 A 为顶点： ∠ BAC 以 C 为顶点： ∠ ACB 以 B 为顶点： ∠ ABC ∠ CBD ∠ ABD 找一找 A B C D O 数学活动 —— 画一画 1. 画出 BC 所对的圆心角和 BC 所对的一个圆周角 . 2. 量一量这两个角的大小 . 3. 互相交流、讨论，你有什么发现？ ⌒ ⌒ B C O 数学活动 —— 画一画 A D E G F B C O 数学活动 —— 探特殊 圆心 O 在∠ BAC 的一边上 n ° 数学活动 —— 探一般 圆心 O 在∠ BAC 的一边上 圆心 O 在∠ BAC 的内部 圆心 O 在∠ BAC 的外部 A B C O A B C O 数学活动 —— 探一般 圆心 O 在∠ BAC 的一边上 圆心 O 在∠ BAC 的内部 D 作直径 AD ，将∠ BAC 转化 成∠ BAD 与∠ CAD 的和 . A B C O D O B A D O C A 即 数学活动 —— 探一般 圆心 O 在∠ BAC 的一边上 圆心 O 在∠ BAC 的外部 D 作直径 AD ，将∠ BAC 转化成∠ CAD 与∠ BAD 的差 . A B C O D O C A D O C B A 即 D O B A 数学活动 —— 归纳 圆心 O 在∠ BAC 的一边上 圆心 O 在∠ BAC 的内部 圆心 O 在∠ BAC 的外部 结论：同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半 . A B C O A B C O D C A B E F O 如图， AB ＝ CD ，那么∠ E 与∠ F 相等吗？ ⌒ ⌒ 结论： 等弧 所对的圆周角相等 . 数学活动 —— 归纳 圆心 O 在∠ BAC 的一边上 圆心 O 在∠ BAC 的内部 圆心 O 在∠ BAC 的外部 结论：同弧 或等弧 所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半 . A B C O A B C O 例 （ 1 ） E 同学在 A 同学的后排，谁的视角大一些？说明理由 . （ 2 ） D 同学在 A 同学的前排呢？ N M D A O E N G M A O H P Q 生活 * 数学 1. 如图，点 A 、 B 、 C 、 D 在⊙ O 上，点 A 与点 D 在点 B 、 C 所在直线的同侧，∠ BAC = 35°. （ 1 ）∠ BDC = °, 理由是 : （ 2 ）∠ BOC = ° , 理由是 : C A B O D . 35 70 在同圆中，同弧所对的圆周角相等 . 在同圆中，同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 . 随堂练习 2. 如图，已知 BD 是⊙ O 直径，点 A 、 C 在 ⊙ O 上， AB = BC ，∠ AOB =60° ，则 ∠ BDC 的度数是（ ） . A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° ⌒ ⌒ 等 弧 所对的圆周角等于 该弧所对的圆心角的一半 C 3. 如图，已知圆心角∠ AOB = 100 ° ， 则∠ ACB = ______ 度 . 1 130 A C B O 如果用小圆代表你们学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一点，但两圆之外的空白都是我们的无知面 . 圆越大其圆周接触的无知面就越多 . —— 芝诺 第 3 章 对圆的进一步认识 3.4 直线与圆的位置关系 3.4 直 线与圆 的位置关系 点和圆的位置关系有几种？ 点到圆心的距离为 d ，圆的半径为 r ，则： 点在圆外 d>r; 点在圆上 d=r ； 点在圆内 d 5cm d = 5cm d < 5cm 0cm ≤ 2 1 0 例： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？ ( 1 ) r=2cm； ( 2 ) r=2.4cm (3)r=3cm． B C A 4 3 分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需求出C到AB的距离d。 D d 解： 过 C 作 CD⊥AB ，垂足为 D 在△ ABC 中， AB= 5 根据三角形的面积公式有 ∴ 即圆心 C 到 AB 的距离 d=2.4cm 所以 (1) 当 r=2cm 时 , 有 d>r, 因此⊙ C 和 AB 相离。 B C A 4 3 D d （2）当r=2.4cm时, 有d=r, 因此⊙C和AB相切。 （3）当r=3cm时， 有d