湘教版九年级数学上册第3章测试题及答案

湘教版九年级数学上册第3章测试题及答案 ‎3.1 比例线段 一、选择题 ‎ ‎1.下列线段，能成比例的是（   ） ‎ A. 3cm、6cm、8cm、9cm                                    B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm                                    D. 3cm、6cm、9cm、18cm ‎2.如果4a=5b（ab≠0），那么下列比例式变形正确的是（  ） ‎ A.                                 B.                                 C.                                 D. ‎ ‎3.如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中项，那么c=（  ） ‎ A.                                        B.                                        C.                                        D. ‎ ‎4.在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（  ） ‎ A. 2000000                       B. 20000                       C. 4000000                       D. 40000‎ ‎5.如果  =， 那么的值是（  ） ‎ A.                                           B.                                           C.                                           D. ‎ ‎6.相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面（  ） ‎ A. 2.4米                               B. 2.8米                                C. 3米                               D. 高度不能确定 ‎7.已知=， 则 的值是（  ） ‎ A. 3                                          B. 4                                          C. -4                                          D. -3‎ ‎8.如果2:7=x:4，那么x的值是(           ) ‎ A. 14                                          B.                                     ‎ ‎ C.                                           D. ‎ 二、填空题 ‎ ‎9.如图，若点P是AB的黄金分割点，则线段AP，PB，AB满足关系式________，即AP是________与________的比例中项．‎ ‎ ‎ ‎10.如果=， 那么=________. ‎ ‎11.已知 = = ≠0，则 =________． ‎ ‎12.已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=2，则PB=________ ． ‎ ‎13.在比例尺为1：6000的地图上，图上尺寸为1cm×2cm的矩形操场，实际尺寸为________． ‎ 三、解答题 ‎14.已知a、b、c是△ABC的三边长，且≠0，求： （1）的值． （2）若△ABC的周长为90，求各边的长． ‎ ‎15.如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求点C、D之间的距离．  ‎ ‎16.已知a：b：c=2：3：4，且2a+3b﹣2c=10，求a﹣2b+3c的值． ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.D 2.A 3. C 4.B 5.A 6.A 7.A 8.B ‎ 二、填空题 ‎9. PB AB 10. 11.7 12.或3- 13.60m×120m ‎ 三、解答题 ‎14.解：（1）设=k，则a=5k，b=4k，c=6k， 所以==； （2）5k+4k+6k=90，解得k=6， 所以a=30，b=24，c=36． ‎ ‎15.解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴AC=BD=80× =40﹣40， ∴CD=BD﹣（AB﹣BD）=2BD﹣AB=80﹣160． ‎ ‎16.解：∵a：b：c=2：3：4， ∴设a=2k，b=3k，c=4k， 而2a+3b﹣2c=10， ∴4k+9k﹣8k=10，解得k=2， ∴a=4，b=6，c=8， ∴a﹣2b+3c=4﹣12+24=16． ‎ ‎3.2 平行线分线段成比例 一、选择题 ‎1.如图，若DC∥FE∥AB，则有（  ） ‎ ‎ ‎ A.                      B.                      C.                      D. ‎ ‎2.如图，在△ABC中，点D、F在AB边上，点E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=3：2：1，若AG=15，则CE的长为（  ）  ‎ A. 9                                          B. 15                                          C. 12                                          D. 6‎ ‎3.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB=2∶1，则AE∶EC 的值是（ ） ‎ A. 1∶2                                    B. 1∶3                                    C. 2∶3                                    D. 2∶1‎ ‎4.如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB：AP=2：5，AQ=20cm，则CQ的长是（   ） ‎ A. 8cm                                  B. 12cm                                  C. 30cm                                  D. 50cm 二、填空题 ‎5.如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知 =， 则=________ ．  ‎ ‎6.如图，在△ABC中，点D、点E分别在AB、BC边上，且DE∥AC，DE=2，AC=3，BE=4，则BC的长度 为________ ． ‎ ‎7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果=m，=n．那么m与n满足的关系式是：m=________ （用含n的代数式表示m）． ‎ ‎8.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=________．‎ ‎ ‎ ‎9.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC=________cm． ‎ 三、解答题 ‎10.如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12，求四边形DECF的周长．‎ ‎ ‎ ‎11.如图，在▱ABCD中，EF∥AB，FG∥ED，DE：DA=2：5，EF=4，求线段CG的长． ‎ ‎12.已知：如图，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，连接MD，交CE于点H. （1）求证：MB=MD； （2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形． ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.D 2.A 3.D 4.B ‎ 二、填空题 ‎5. 6.6 7.2n+1 8. 9.12 ‎ 三、解答题 ‎10.解：∵DE∥AC，DF∥BC，‎ ‎∴四边形DFCE是平行四边形， ∴DE=FC，DF=EC. ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△ABC， ∴ . ∵AC=8，BC=12， ∴AF=2，DF=3. ∴FC=AC﹣AF=8﹣2=6. ∴DE=FC=6，DF=EC=3. ∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE=3+6+3+6=18． 答：四边形DECF的周长是18. ‎ ‎11.解：∵EF∥AB， ∴ ===.又EF=4， ∴AB=10. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=10. ∵FG∥ED， ∴==， ∴DG=4， ∴CG=6． ‎ ‎12.证明：（1）延长BM交DE的延长线于N，如图， ∵∠ABC=∠CDE=90°， ∴AB∥DN， ∴=， 而点M为AE的中点， ∴AM=ME， ‎ ‎∴BM=MN， ∴DM为Rt△BDN的斜边上的中线， ∴MB=MD. （2）∵AB∥NE， ∴==1，即AB=NE. ∵AB=BC，DC=DE， ∴BD=BC+CD=AB+DE=NE+DE=DN， ∴△BDN为等腰直角三角形， ∴DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°. ∵AB=BC，DC=DE， ∴△ABC和△CDE都是等腰直角三角形， ∴∠CED=∠ACB=∠45°， ∴∠CED=∠N，∠ACB=∠BDM， ∴CE∥BN，AC∥DM， ∴四边形MGCH为平行四边形， 而∠GMH=90°， ∴四边形MGCH为矩形． ‎ ‎ 3.3 相似图形 ‎ 一、选择题 ‎ ‎1.我们已经学习了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，是相似图形的是（  ） ‎ A. ①③                                     B. ①②                                     C. ①④                                     D. ②③‎ ‎2.下列两个图形一定相似的是（  ） ‎ A. 任意两个等腰梯形               B. 任意两个菱形               C. 任意两个正方形               D. 任意两个矩形 ‎3.下列说法，不一定正确的是（  ） ‎ A. 所有的等腰直角三角形都相似                             B. 所有的等边三角形相似 C. 所有的矩形相似                                                      D. 直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形相似 ‎4.在一张由复印机放大复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1cm变成了4cm，那么这次复印的面积变为原来的（  ） ‎ A. 不变                                      B. 2倍                                      C. 3倍                                      D. 16倍 ‎5.如图的各组图形，相似的是（  ） ‎ A. （1）（2）（3）          B. （2）（3）（4）          C. （1）（3）（4）          D. （1）（2）（4）‎ 二、填空题 ‎ ‎6.给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的是________ （填序号）． ‎ ‎7.（1）同一张底片印出来的不同尺寸的照片是________图形； （2）正对且平行平面镜的一幅画在平面镜里的像与原画之间的关系是________； 用放大镜看这幅画，看到的放大后的像与原画之间的关系是________； （3）下列各组图形，肯定是相似图形的是________（只填序号）． ①半径不等的两个圆；②边长不等的两个正方形；③周长不等的两个正六边形；④面积不等的两个矩形；⑤边长不等的两个菱形． ‎ ‎8.若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的________倍． ‎ ‎9.如图，E、P、F分别是AB、AC、AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD________ （填“是”或“不是”）相似图形． ‎ 三、解答题 ‎ ‎10.将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图（1）所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？ ‎ ‎ （1） （2） （3）‎ ‎11.请任意画出两个相似的图形． ‎ ‎12.如图，是两个相似圆柱，它们的相似比为2：3，求它们的体积之比．  ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.C 2.C 3.C 4.D 5.B ‎ 二、填空题 ‎ 6.①②④⑤ 7.相似 全等 相似 ①②③ 8.5 9.是 ‎ 三、解答题 ‎10.解：∵三角形、矩形对应边外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等， ∴变化前后的两个三角形、矩形都不相似. ∵正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等， ∴变化前后的两个正方形相似． ‎ ‎11.解：如图，正方形ABCD和正方形EFGH是相似的图形． 正三角形ABC和正三角形DEF是相似的图形． ‎ ‎12. 解：小圆柱的体积是（2a）2π•2b=23a2bπ， 大圆柱的体积是（3a）2π•3b=33a2bπ， 所以小圆柱与大圆柱的体积之比为23：33 ． 即小圆柱与大圆柱的体积的比为8：27． ‎ ‎3.4 相似三角形的判定与性质 一、选择题  ‎ ‎1.下列命题错误的是（     ） ‎ A. 两个全等的三角形一定相似                                 B. 两个直角三角形一定相似 C. 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例     D. 相似的两个三角形不一定全等 ‎2.如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（  ） ‎ A. ∠B=∠ACD                    B. ∠ADC=∠ACB                    C.                     D. AC2=AD•AB ‎3.如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（  ）  ‎ A. 1：3                                   B. 1：5                                   C. 1：6                                   D. 1：11‎ ‎4.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（  ） ‎ A. =                       B.                       C.                       D. ‎ ‎5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（   ） ‎ A. 2：3                                 B. 2：5                                 C. 4：9                                 D. ： ‎ 二、填空题 ‎6.若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF=________． ‎ ‎7.如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：EB=2：3，若△AED的面积是4m2，则四边形DEBC的面积为________. ‎ ‎8.如图，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D为AC上一点，DC=AC．在AB上取一点E得△ADE．若图中两个三角形相似，则DE的长是________ ． ‎ ‎9.将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于________. ‎ 三、解答题 ‎10.如图，在△ABC中，点D在BC边上，有下列三个关系式： ① BAC=90°，② = ，③AD⊥BC． 选择其中两个式子作为已知，余下的一个作为结论，写出已知，求证，并证明． 已知： 求证： 证明： ‎ ‎ ‎ ‎11.如图，△AED∽△ABC，相似比为1：2．若BC=6，则DE的长是多少？ ‎ ‎12.如图，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分线，E是AC上的一点，且CD2=BC·CE，AD=6，AE=4． ‎ ‎ （1）求证：△BCD∽△DCE； （2）求证：△ADE∽△ACD； （3）求CE的长． ‎ 参考答案 一、选择题 ‎ 1.B 2.C 3.C 4.A 5.C ‎ 二、填空题 ‎6.4：9 7.21 8.6或8 9.1：3 ‎ 三、解答题 ‎10.解：已知①③， 求证：②， 证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∴∠BAD=∠C， ∴△ABD∽△CAD， ∴ ． ‎ ‎11.解：∵△AED∽△ABC， ∴DE：CB=1：2. ‎ ‎∵BC=6， ∴DE：6=1：2， ∴DE=3． ‎ ‎12.解：（1）如图，∵CD2=BC·CE，∴. 又∵∠1=∠2，∴△BCD∽△DCE. （2）∵△BCD∽△DCE，∴∠3=∠4. ∴∠ADC=∠AED. 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD. （3）∵△ADE∽△ACD，∴，即. ∵AD=6，AE=4，∴，解得CE=5. ‎ ‎3.5 相似三角形的应用 一、选择题 ‎ ‎1.某同学利用影长测量学校旗杆的高度，在同一时刻，他测得自己的影长0.8米，旗杆的影长7米，已知他的身高1.6米，旗杆的高度为(      )米. ‎ A. 20                                         B. 7                                         C. 14                                         D. 12‎ ‎2.如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，为了测量A、B之间的距离，小天想了一个办法：在地上取一点C，使它可以直接到达A﹑B两点，连接AC、BC，在AC上取一点M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于点N，测得MN=38m，则A、B两点间的距离为（  ） ‎ A. 76m                                   B. 95m                                   C. 114m                                   D. 152m ‎3.数学兴趣小组的小明想测量教学楼前的一棵树的高度．下午课外活动时他测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m．但当他马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图）．他先测得留在墙壁上的树影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮他算一下，下列哪个数字最接近树高（    ）m． ‎ ‎ ‎ A. 3.04                                     B. 4.45                                     C. 4.75                                     D. 3.8‎ ‎4.雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2米远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40米，该生的眼部高度是1.5米，那么旗杆的高度是（  ） ‎ A. 30米                                    B. 40米                                    C. 25米                                    D. 35米 ‎5.如图，为某市某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，现在踏脚着地，则捣头点E上升了（  ）米．  ‎ A. 0.6                                        B. 0.8                                        C. 1                                        D. 1.2‎ 二、填空题 ‎6.如图，课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，在地面上C处放一小镜子，当镜子离旗杆AB底端6米，小明站在离镜子3米的E处，恰好能看到镜子中旗杆的顶端，测得小明眼睛D离地面1.5米，则旗杆AB的高度约是________ 米． ‎ ‎7.如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB=________米． ‎ ‎ ‎ ‎8.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是________m． ‎ 三、解答题 ‎9.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm． ‎ ‎10.如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）．‎ ‎ ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.C 2.D 3.B 4.A 5.B ‎ 二、填空题 ‎6.3 7.4 8.1 ‎ 三、解答题 ‎9.解：设正方形的边长为x mm， 则AI=AD﹣x=80﹣x. ∵EFHG是正方形， ∴EF∥GH， ∴△AEF∽△ABC， ∴ 即. 解得x=48mm. 故这个正方形零件的边长是48mm． ‎ ‎10.解：根据题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH.‎ 在Rt△ABE和Rt△CDE中， ∵AB⊥BH，CD⊥BH， ∴CD∥AB. 可证得： △CDE∽△ABE ∴ ①， 同理： ②. 又CD=FG=1.7m， 由①、②可得： ， ‎ 即 ， 解之得：BD=7.5m. 将BD=7.5代入①得： AB=5.95m≈6.0m． 答：路灯杆AB的高度约为6.0m． ‎ ‎3.6 位似 一、选择题 ‎ ‎1.下列各组图形中不是位似图形的是（  ） ‎ A.               B.               C.               D. ‎ ‎2.如图，在平面直角坐标系中，以P（4，6）为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（  ） ‎ A. （4，2）                           B. （4，4）                           C. （4，5）                           D. （5，4）‎ ‎3.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（   ） ‎ ‎ ‎ A. 1：3                                    B. 3：1                                    C. 9：1                                    D. 1：9‎ ‎4.△ABO与△A1B1O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心对称，其中点A（5，2），则点A1的坐标是（  ） ‎ A. （5，﹣2）                    B. （﹣5，﹣2）                    C. （﹣2，﹣5）                    D. （﹣2，5）‎ ‎5.如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（    ）‎ ‎ ‎ A. 2：3                                    B. 3：2                                    C. 4：5                                    D. 4：9‎ 二、填空题 ‎6.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为________ . ‎ ‎7.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是________ ． ‎ ‎8.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为 ________. ‎ ‎9.如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为． 则点A的对应点A′的坐标为________ ．  ‎ 三、解答题 ‎10.如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比． ‎ ‎ ‎ ‎11.在图中，△ABC的内部任取一点O，连接AO、BO、CO，并在AO、BO、CO这三条线段的延长线上分别取点D、E、F，使 ===， 画出△DEF．你认为△DEF与△ABC相似吗？为什么？你认为它们也具有位似形的特征吗？  ‎ ‎12.如图，在△ABC中，已知DE∥BC． （1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？ ‎ ‎（2）它们是位似图形吗？如果是，请指出位似中心． ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.D 2.B 3.D 4.B 5.A ‎ 二、填空题 ‎6.1：4 7.﹣（a+3）  8.4：9 9.（﹣， ）或（， ﹣）  ‎ 三、解答题 ‎10.解：∵点B的坐标是（4，0），点D的坐标是（6，0）， ∴OB=4，OD=6， ∴ = = . ∵△OAB与△OCD关于点O位似， ∴△OAB与△OCD的相似比 .‎ ‎11.解：相似．如图， ∵=，∠AOE=∠BOD， ∴△DOE∽△AOB， ∴==， 同理===， ∴△DEF∽△ABC， 它们也具有位似形的特征．  ‎ ‎12.解：（1）△ADE与△ABC相似． ∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE； （2）是位似图形．由（1）知：△ADE∽△ABC． ∵△ADE和△ABC的对应顶点的连线BD，CE相交于点A， ‎ ‎∴△ADE和△ABC是位似图形，位似中心是点A． ‎