湘教版九年级数学上册第4章测试题及答案

湘教版九年级数学上册第4章测试题及答案 ‎4.1 正弦和余弦 一、选择题 ‎1.方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（ ） ‎ A.                                         B.                                         C.                                         D. 2‎ ‎2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosA的值是（    ） ‎ A.                                        B.                                        C.                                        D. ‎ ‎3.如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB的值为（  ） ‎ A.                                         B.                                         C.                                         D. 1‎ ‎4.已知∠A为锐角，且cosA≥， 则（  ） ‎ A. 0°＜∠A≤60°                  B. 60°≤∠A＜90°                  C. 0°＜∠A≤30°                  D. 30°≤∠A＜90°‎ 二、填空题 ‎5.若α是锐角，且sinα=1﹣3m，则m的取值范围是________ ；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是________ . ‎ ‎6.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD=________ ．  ‎ ‎7.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=， 那么AB=________. ‎ 三、解答题 ‎8.如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα=， 求t的值． ‎ ‎9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=8，AB=10，求cos∠BCD的值． ‎ ‎10.如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图，已知壁画AB的底端距离地面的高度BC=1m，在壁画的正前方点D处测得壁画底端的俯角∠BDF=30°，且点D距离地面的高度DE=2m，求壁画AB的高度． ‎ 参考答案 一、选择题 ‎ 1.A 2.D 3.B 4.A ‎ 二、填空题 ‎ 5.0＜m＜ sin41°、cos46°、cos37°、cos21° 6. 7.6 ‎ 三、解答题 ‎8.解：过A作AB⊥x轴于B． ∴. ∵， ∴. ∵A（t，4）， ∴AB=4， ∴OA=6， ∴． ‎ ‎9.解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠BDC=∠ACB=90°. ∴∠B+∠BCD=90°，∠BCD+∠ACD=90°， ∴∠BCD=∠A. ∵AB=10，AC=8， ∴cos∠BCD=cosA===． ‎ ‎10.解：先过点B作BG⊥DE于点G． ∵DE⊥CE，EC⊥CF，DF⊥AC， ∴四边形DECF是矩形. ∵BC=1m，DE=2m， ∴EG=BC=1m，DG=BF=1m. 在Rt△DBF中， ∵∠BDF=30°，BF=1m， ∴DF= = = . 同理，在Rt△ADF中， ∵∠ADF=60°，DF= ， ∴AF=DF•tan60°= × =3m． ∴AB=AF+BF=3+1=4m． 答：壁画AB的高度是4米． ‎ ‎4.2 正切 一、选择题 ‎1.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（   ） ‎ A.                                           B.                                           C.                                           D. ‎ ‎2.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（   ）‎ ‎ ‎ A. 2                                        B.                                         C.                                         D. ‎ ‎3.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（   ）‎ ‎ ‎ A. msin35°                              B. mcos35°                              C.                               D. ‎ ‎4.如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于， 则sin∠CAB=（  ） ‎ A.                                       B.                                       C.                                       D. ‎ ‎5.已知sinα＜cosα，那么锐角α的取值范围是（  ） ‎ A. 30°＜α＜45°                    B. 0°＜α＜45°                    C. 45°＜α＜60°                    D. 0°＜α＜90°‎ ‎6.在△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值（   ） ‎ A. 不变                               B. 缩小3倍                               C. 扩大3倍                               D. 扩大9倍 二、填空题 ‎7.计算：2sin60°+tan45°=________ . ‎ ‎8.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝________． ‎ ‎9.用计算器求cos36°23′55″的值，按键顺序为：________ ，显示________ ，所以cos36°23′55″=________ ．（精确到0.0001） ‎ ‎10.图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα= ，tanβ= ，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则点P到水面OA的距离是________ m． ‎ 三、解答题 ‎11.（1）计算：； （2）先化简，再求值：（a﹣2）（a+2）﹣a（a﹣2），其中a=﹣1． ‎ ‎12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tan∠A=，求BC的长和sin∠B的值． ‎ ‎13.如图，小明要测量河内小岛B到河边公路AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=50米，求小岛B到公路AD的距离． ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.A 2.B 3.A 4.B 5.B 6.A ‎ 二、填空题 ‎7. 8. 9.cos 36°23′55″ =  0.8049 0.8049 10.‎ 三、解答题 ‎11.解：（1）原式=4+2×﹣8×﹣3=4+﹣﹣3=1； （2）原式=（a﹣2）（a+2﹣2）=（a﹣2）a=a2﹣2a=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3． ‎ ‎12.解：∵tan∠A==， ∴AC=2BC. 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ， 即（2BC）2+BC2=102 ， 解得BC=2， ∴AC=2BC=4， sin∠B===． ‎ ‎13.解：过B作BE⊥AD于E. ∵∠BAD=30°，∠BCE=60°， ∴∠ABC=30°． ∴∠ABC=∠BAD=30°． ∴BC=AC=50（米）． 在Rt△BCE中，sin∠BCD= = ． 解得BE=25 （米）． 答：小岛B到公路AD的距离是25 米． ‎ ‎4.3 解直角三角形 一、选择题 ‎1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=4，BC=3，则tan∠ACD的值为（   ） ‎ A.                                           B.                                           C.                                           D. ‎ ‎2.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（  ） ‎ A. 等腰三角形                    B. 等边三角形                    C. 等腰直角三角形                    D. 直角三角形 ‎3.在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且sinB=，则∠C的正弦值等于（  ） ‎ A.                                     B.                                     C.                                      D. ‎ ‎4.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（  ） ‎ A. 45                                 B. 5                              C.                               D. ‎ ‎5.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=， AC=3，那么AB的长为（  ） A. 3sinα                              B. 3cosα                              C.                              D. ‎ ‎6.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=， 则AD的长为（  ） ‎ A. 2                                         B.                                          C.                                          D. 1‎ ‎7.在△ABC中，若|sinA-|+（cosB-）2=0，则∠C的度数是（  ） ‎ A. 30°                                       B. 45°                                       C. 60°                                       D. 90°‎ 二、填空题 ‎8.如图，已知tanO=， 点P在边OA上，OP=5，点M、N在边OB上，PM=PN，如果MN=2，那么PM=________．  ‎ ‎9.在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=________ ． ‎ ‎10.在△ABC中，AB=12， AC=13，cos∠B=， 则BC边长为________ ． ‎ ‎11.如图，AD⊥CD，∠ABD=60°，AB=4m，∠ACB=45°，则AC=________．‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎12.在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形各个角的度数. ‎ ‎13.如图，在△ABC中，∠A=105°，∠B=30°，AC=2．求BC的长． ‎ ‎ ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.A 2.D 3. C 4. B 5.D 6.D 7.D ‎ 二、填空题 ‎8. 9. 10.7或17 11. 2m ‎ 三、解答题 ‎12.解：设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度， 那么根据三角形内角和定理，得 所以x+4x+90°=180°， 解得x=18°.所以4x=72°. 答：这个直角三角形各个角的度数分别为18°，72°，90°.‎ ‎13.解：∵∠A=105°，∠B=30°，∴∠C=45°． 过点A作AD⊥BC于点D， ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ADC中， ∵∠ADC=90°，∠C=45°，AC=2， ∴∠DAC═∠C=45°． ∵sinC= ， ∴AD= ． ∴AD=CD= ． 在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=30°． ∵AD= ， ∴AB=2 ． ∴由勾股定理，得BD= ． ∴BC=BD+CD= ． ‎ ‎4.4 解直角三角形的应用 一、选择题 ‎1.某铁路路基的横断面是一个等腰梯形（如图），若腰的坡比为2：3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为（     ） ‎ A. 7米                                     B. 9米                                     C. 12米                                     D. 15米 ‎2.在湖边高出水面50m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观其在湖中之像的俯角为60°，则飞艇底部P距离湖面的高度为（参考等式： = ）（   ） ‎ A. 25 +75                      B. 50 +50                      C. 75 +75                      D. 50 +100‎ ‎3.如图，小明在300米高的楼顶上点A处测得一塔的塔顶D与塔基C的俯角分别为30°和60°，则塔高CD为（  ） ‎ A. 100米                               B. 100米                               C. 180米                               D. 200米 ‎4.某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距50海里．客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠BAP=（  ） ‎ A.                                        B.                                        C.                                        D. ‎ ‎5.如图，从位于六和塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°．若此观测点离地面的高度CD为30米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，则A，B之间的距离为（  ）米． ‎ A. 30+10                                  B. 40                                  C. 45                         D. 30+15‎ 二、填空题 ‎6.如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后由E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处，已知AC⊥BC于C，DE∥BC，AC=200.4米，BD=100米，∠α=30°，∠β=70°，则AE的长度约为________米．（参考数据：sin70≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.25）． ‎ ‎7.如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，则建筑物CD的高度为________m（结果不作近似计算）． ‎ ‎8.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为________ cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）‎ ‎ ‎ ‎9.如图，在高2 m，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，地毯的长度至少需________m（精确到0.1米）．‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎19.五一期间，小明随父母到某旅游胜地参观游览，他在游客中心O处测得景点A在其北偏东72°方向，测得景点B在其南偏东40°方向．小明从游客中心走了2千米到达景点A，已知景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果精确到0.1千米） （参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84） ‎ ‎22.如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC=12m，求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）.（参考数据：≈1.73，≈1.41 ）‎ ‎23.南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+ ）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离． ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1. D 2. D 3.D 4.A 5.A ‎ 二、填空题 ‎6. 160 7. 12 8.2.7 9.5.5 ‎ 三、解答题 ‎19.解：如图，过点O作OC⊥AB．‎ ‎ ∵AB∥OF， ∴∠A=72°，∠B=40°. ∴在Rt△AOC中， AC=2×cos72°≈2×0.31=0.62（千米）， OC=2×sin72°≈2×0.95=1.9（千米）.‎ 在Rt△BOC中， =tan40°， 即 ≈0.84， BC≈ =2.26（千米）， ∴AB=0.62+2.26=2.88（千米）． ‎ ‎22.解：∵∠BEC=60°，∠BDE=30°， ∴∠DBE=60°﹣30°=30°， ∴BE=DE=20. 在Rt△BEC中， BC=BE•sin60°=20× =10 ≈17.3（米）， ‎ ‎∴AB=BC﹣AC=17.3﹣12=5.3（米）. 答：旗杆AB的高度为5.3米. ‎ ‎23.解：如图，作AD⊥BC，垂足为D. 由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°． 设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x. 在Rt△ABD中，可得BD= x. 又∵BC=20（1+ ），CD+BD=BC， 即x+ x=20（1+ ）， 解得：x=20. ∴AC= x=20 （海里）． 答：A、C之间的距离为20 海里． ‎