湘教版八年级数学上册第2章三角形

第 2 章 三角形 2.1 三角形 观察 观察下图，找一找图中的三角形，并把它们勾画出来 . 你 还能举出一些实例吗？   不在同一直线上的三条线段首尾相接 所构成 的图形叫作 三角形 .   三角形可用符号“△”来表示，如图中的三角形可 记作 “ △ ABC ” ，读作“三角形 ABC ”. 其中，点 A ， B ， C 叫作△ ABC 的 顶点 ； ∠ A ，∠ B ，∠ C 叫作△ ABC 的 内角 （简称△ ABC 的 角 ）； 线段 AB ， BC ， CA 叫作△ ABC 的 边 . 通常∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边 BC ， AC ， AB 可分别用 a ， b ， c 来表示 . 在三 角形中，有的三边各不相等，有的两边相等，有的三边都相等 . 两条边相等的三角形叫作 等腰三角形 . 在等腰三角形中，相等的两边叫作 腰 ， 另外一边叫作 底边 ， 两腰的夹角叫作 顶角 ， 腰 和底边的 夹角叫作 底角 . 腰 腰 底边 顶 角 底角 底角 三边都相等的三角形叫作 等边三角形 （或正三角形） . 等边三角形是特殊的等腰三角形 —— 腰和底边相等的等腰三角形 . 在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度之间有怎样的大小关系？为什么？ 动脑筋 在△ ABC 中， BC 是连接 B ， C 两点的一条线段， 由基本事实“两点 之间，线段 最短”可得 AB + AC > BC . 同理可得 AB + BC > AC ， AC + BC > AB . 结论 三角形的任意两边之和大于第三边. 一般地，我们可以得出： 做一做 有三根木棒，其长度分别为 2 cm ， 3 cm ， 6 cm ，它们能否首尾相接构成一个三角形？ 举 例 例 1 如 图， D 是△ ABC 的边 AC 上一点， AD=BD ，试 判断 AC 与 BC 的大小 . 解 在△ BDC 中， 有 BD + DC > BC （三角形的任意两边之和大于第三边） . 又 AD = BD ， 所以 BD + DC = AD + DC = AC ， 所以 AC > BC . 练习 1. （ 1 ）如图，图中有几个三角形？把它们 分别表示 出来 . 答：五个三角形 . （ 2 ）如图，在 △ DBC 中，写出 ∠ D 的对边， BD 边的对角 . 答： ∠ D 的对边是 BC ， BD 边的对角是∠ BCD . 2. 三根长分别为 2 cm ， 5 cm ， 6 cm 的小木棒 能首尾 相接构成一个三角形吗？ 答：能 . 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的 高线 ，简称三角形的 高 . 如图， AH ⊥ BC ，垂足为点 H ，则线段 AH 是△ ABC 的 BC 边上的高 . 如图，试画出图中 △ ABC 的 BC 边上的高 . 做一做 D 在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的 角平分线 . 如图， ∠ BAD =∠ CAD ，则线段 AD 是△ ABC 的一条角平分线 . 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的 中线 . 如图， BE=EC ，则线段 AE 是△ ABC 的 BC 边 上的中线 . 任意画一个三角形，画出三边上的中线 . 你发现了什么？ 做一做 E F D E F D 事实上，三角形的三条中线相交于一点 . 我们把这三条中线的交点叫作三角形的 重心 . 如图，△ ABC 的三条中线 AD ， BE ， CF 相交于点 G ，则点 G 为△ ABC 的重心 . G 举 例 例 2 如 图， AD 是△ ABC 的中线， AE 是△ ABC 的高 . （ 1 ）图中共有几个三角形？请分别列举出来 . 解 （ 1 ）图中有 6 个三 角形， 它们分别是： △ ABD ， △ ADE ， △ AEC ， △ ABE ， △ ADC ， △ ABC . （ 2 ）其中哪些三角形的面积相等？ 解： 因 为 AD 是△ ABC 的中线， 所以 BD=DC . 因为 AE 是△ ABC 的高，也是 △ ABD 和△ ADC 的高， 所以 S △ ABD = S △ ADC . 又 练习 1 . 利用 三角尺（或直尺）、量角器任意画出 一个 三角形，并画出其中一条边上的中线、高 以及 这条边所对的角的平分线 . 2. 如图， AD 是△ ABC 的高， DE 是△ ADB 的中线， BF 是△ EBD 的角平分线，根据已知条件填空： ADC 90 AE AB EBF DBE 动脑筋 在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作（如图），知道三角形的内角和是 180° ，你能说出这些方法的原理吗？ 上述两种操作都是将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角 . 结论 三角形的内角和等于 180 ° . 举 例 例 3 在△ ABC 中，∠ A 的度数是∠ B 的度数的3倍 ，∠ C 比∠ B 大15°，求∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数. 解： 设 ∠ B 为 x ， 则 ∠ A 为 (3 x )° ，∠ C 为 ( x + 15)° ， 从而 有 3 x + x +( x +15)=180 . 解 得 x =33 . 所以 3 x =99 ， x +15 =48 . 答： ∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数 分别为 99° ， 33° ， 48°. 议一议 一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？ 三角形的内角和等于 180° ，因此最多有一个直角或一个钝角 . 三角形中，三个角都是锐角的三角形叫 锐角三角形 ， 有一个角是直角的三角形叫 直角三角形 ， 有一个角是钝角的三角形叫 钝角三角形 . 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 直 角三角形可用符号“ Rt△ ” 来表示，例如直角三角形 ABC 可以记作“ Rt△ ABC ”. 在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边 . 两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形 . 如图， 把△ ABC 的一边 BC 延长，得到∠ ACD . 像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作 三角形的外角 . 对外角 ∠ ACD 来说，∠ ACB 是与它相邻的内角，∠ A ，∠ B 是与它不相 邻的内角 . D 探究 在图中，外角∠ ACD 和与它不相邻的内角∠ A ，∠ B 之间有什么大小关系？ 我觉得可以利用“三角形的内角和等于 180°” 的结论 . 因为 ∠ ACD +∠ ACB = 180° ， ∠ A +∠ B +∠ ACB = 180° ， 所以 ∠ ACD -∠ A -∠ B = 0 （等量减等量，差相等 ）， 于是 ∠ ACD =∠ A +∠ B . 结论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 练习 1. 填空： （ 1 ） 在△ ABC 中，∠ A = 60° ，∠ B =∠ C ， 则∠ B = ； （ 2 ） 在△ ABC 中，∠ A -∠ B = 50° ，∠ C -∠ B = 40° ， 则∠ B = . 60° 30° 2. 如图， AD 是△ ABC 的角平分线，∠ B = 36° ， ∠ C = 76° ，求∠ DAC 的度 数 . 答： ∠ DAC 的度数是 34 °. 3. 如图， ∠ CAD =100° ，∠ B =30° ，求 ∠ C 的度 数 . 答： ∠ C 的度数是 70 °. 第 2 章 三角形 2.2 命题与证明 学习 目标 1. 学会判断命题的真假 2. 掌握如何证明命题 引入 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角 叫 三角形 的外角 . 我们前面学习了许多有关三角形的概念，如： 不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形 叫 三角形 . 像这样，对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的 定义 . 例如：“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是“ 代数式 ”的定义 . “ 同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线”是“ 平行线 ”的定义 . 下列叙述事情的 语句， 哪些是对事情作出了判断？ （ 1 ）三角形的内角和等于 180°; （ 2 ）如果 | a | = 3 ，那么 a = 3; （ 3 ） 1 月份有 31 天 ; （ 4 ）作一条线段等于已知线段 ; （ 5 ）一个锐角与一个钝角互补吗？ 一 般地， 对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作 命题 . 如 上述语句 中 , （ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）都是命题，（ 4 ）（ 5 ）没有对事情作出判断 ，不 是命题 . 观察 下列命题的表述形式有什么共同点？ （ 1 ）如果 a = b 且 b = c ，那么 a = c ； （ 2 ）如果两个角的和等于 90° ，那么这两个 角互 为余角 . 它们的表述形式都是“如果……，那么……”. 命题通常写成“如果 …… ，那么 ……” 的形式，其中“如果”引出的部分就是 条件 ，“那么”引出的部分就是 结论 . 例如，对于上述命题（ 2 ）， “ 两个角的和等于 90°” 就是条件， “ 这两个角互为余角”就是结论 . （ 2 ）如果两个角的和等于 90° ，那么这两个角互为余角 . 有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联词“如果”、“那么” . 如：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以简写成“对顶角相等”； “ 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等” 可以简写成“同角的余角相等” . 做一做 （ 1 ）指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果 …… ，那么 ……” 的形式： 命题 条件 结论 ①能被 2 整除的数是偶数 ②有公共顶点的两个角是对顶角 ③两直线平行，同位角相等 ④同位角相等，两直线平行 那么这个数是偶数 如果一个数能被 2 整除 那么这两个角是对顶角 如果两个角有公共顶点 那么它们的同位角相等 如果两条直线平行 那么这两条直线平行 如果 两个同位角相等 （ 2 ）上述命题③与④的条件与结论之间有什么联系？ ③ 两直线平行，同位角相等 . ④ 同位角相等，两直线平行 . 命题 ③与④的条件与结论互换了位置 . 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为 互逆命题 ，其中一个叫作 原命题 ，另一个叫作 逆命题 . 例如，上述命题③与④就是互逆命题 . 从以 上 我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题 . 1. 下列 语句， 哪些是命题，哪些不是命题？ （ 2 ）两点 之间，线段 最短； （ 4 ）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 . （ 3 ）任意一个三角形的三条中线都相交于一点吗？ （ 1 ）如果 x =3 ，求 的值； 2. 将下列命题改写成“如果 …… ，那么 ……” 的形式 . （1）两条直线相交，只有一个交点； （ 2 ）个位数字是 5 的整数一定能被 5 整除； （ 3 ）互为相反数的两个数之和等于 0 ； （ 4 ）三角形的一个外角大于它的任何一个内角 . 练 习 3. 写出下列命题的逆命题： （ 1 ）若两数相等，则它们的绝对值也相等； （ 2 ）如果 m 是整数，那么它也是有理数； （ 3 ）两直线平行，内错角相等； （ 4 ）两边相等的三角形是等腰三角形 . 4.在下列空格上填写适当的概念： （ 1 ）垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的 . （ 2 ）在数轴上，表示一个实数的点与原点 的距 离叫作这个实数 的 . 垂直平分线 绝对值 练 习 议一议 下列 命题，哪些是正确的，哪些是错误的？说一说 你的理由 . （ 1 ）每一个月都有 31 天； （ 2 ）如果 a 是有理数，那么 a 是整数； （ 3 ）同位角相等； （ 4 ）同角的补角相等 . 错误 错误 错误 正确 上面五个 命题， 命题 (4) 是正确的， 命题 (1)(2)(3) 都是错误的 . 我们把正确的命题称为 真命题， 把错误的命题称为 假命题 . （ 1 ）每一个月都有 31 天； （ 2 ）如果 a 是有理数，那么 a 是整数； （ 3 ）同位角 相等 . （ 4 ）同角的补角相等 . 结论 （ 1 ）如果 a 是整数，那么 a 是有理数； 解 : 如果 a 是整数， 根据有理数的定义：“整数和分数统称为有理数 ” , 得出 a 是实数 . 因此命题 (1) 为真． （ 2 ）如果 a 是有理数，那么 a 是 整数 . 解 : 0.5 是有理数， 因此命题 (2) 为假． 但是 0.5 不是整数 . 像此例的第 (1) 题那样，从一个命题的条件出发，通过讲道理 ( 推理 ) ，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作 证明 . 像此例的第 (2) 题那样，找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作 举反例 . 判断下列命题为真命题是根据什么呢？ 分别 根据有理数、等腰（等边）三角形的定义 作出判断 ． （ 1 ）如果 a 是整数，那么 a 是有理数； （ 2 ）如果 三角形 ABC 是 等边三角 形，那么它是 等腰三角形 ． 从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真 . 对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的，那么除了根据定义外，还能根据什么来推理，去判断命题的真假呢？ 数学 中有些命题的正确性是 人们在长期 实践中总结 出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的 真命题 叫作 基本 事实 . 有些 命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的 真命题 叫作 定理 . 古希腊数学家 欧几里得 (Euclid ， 约公元前 330— 前 275) 对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为 公理 . 欧几里得 本书中，我们把少数真命题作为 基本事实 . 例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短； 经 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . 人们可以用 定义 和 基本事实 作为推理的出发点，去判断其他命题的真假 . 基本事实 同位角相等，两直线平行 . 内错角相等，两直线平行 . 同旁内角互补，两直线平行 . 我们把经过证明为真的命题叫作 定理 . 例如，“三角形的内角和等于 180°” 称为“ 三角形内角和定理” . 定理也可以作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的 推论 . 例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“ 三角形的外角 定理” . 当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题 . 例如，“如果∠ 1 和∠ 2 是对顶角，那么∠ 1=∠2” 是真命题，但它的逆命题“如果∠ 1=∠2 ，那么∠ 1 和∠ 2 是对顶角”就是假命题 . 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的 逆定理 ，这两个定理叫作 互逆定理 . 我们前面学过的定理中就有互逆的定理 . 例如，“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”是互逆的定理 . 采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和” 等 于多少度 . 从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于 360° ，但是剪拼时难以真正拼成一个周角， 只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近 360° ，但不能很准确地都得 360° ． 另 外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为 360° ．此时猜测出的命题仅仅是一种猜想， 未必都是真命题．要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明 . 证明命题“三角形的外角和为 360 ° ” 是真命题 . 动脑筋 已知： 如 图，∠ BAF ， ∠ CBD 和∠ ACE 分别是 △ ABC 的三个外角 . 求证 ︰∠ BAF +∠ CBD +∠ ACE = 360 °. 证明 : ∵∠ BAF =∠2+∠3 ， ∴∠ BAF +∠ CBD +∠ ACE =2(∠1+∠2+∠3 ) . ∠ CBD =∠1+∠3 ， ∠ ACE =∠1+∠2 （三角形外角定理）， ∵∠1+∠2+∠3=180°( 三角形内角和定理 ) ， ∴∠ BAF +∠ CBD +∠ ACE =2×180°=360°. 经过刚才三站的“证明”之旅，你能说出完整的几何命题证明需要 哪几个步骤 吗？ （ 1 ）根据题意，画出 图形 . （ 2 ）结合图形，写出 已知、求证 . （ 3 ）写出证明过程，并且步步有 依据 . 依据 ( 定义 )( 定理 )( 推论 )( 基本事实 ) （真命题） 条件 结论 数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发， 运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通 过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立 . 证明的每一步都必须要有根据 . 推理 例 1 已知 ：如图，在△ ABC 中，∠ B =∠ C ，点 D 在线段 BA 的延长线上，射线 AE 平分∠ DAC . 求证： AE ∥ BC . 证明： ∵∠ DAC =∠ B +∠ C （三角形外角定理 ） , ∠ B =∠ C （已知 ） , ∴ ∠ DAC =2∠ B （等式的性质 ） . 又∵ AE 平分∠ DAC （已知 ） , ∴∠ DAC =2∠ DAE （角平分线的定义 ） , ∴∠ DAE =∠ B （等量代换 ） , ∴ AE ∥ BC （同位角相等，两直线平行 ） . 例 2 已知：∠ A ，∠ B ，∠ C 是△ ABC 的内角 . 求证：∠ A ，∠ B ，∠ C 中至少有一个角大于或等于 60°. 分析 这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个 ”“有 两个 ”“ 有三个”这三种情况 . 如果直接来证明，将 很烦琐 ，因此，我们将从另外一个角度来证明 . 证 明： 假 设 ∠ A ，∠ B ，∠ C 中 没有一个角大于或 等 于 60 ° , 即∠ A ＜ 60° ，∠ B ＜ 60° ，∠ C ＜ 60° ， 则∠ A +∠ B +∠ C ＜ 180°. 这与“三角形的内角和等于 180°” 矛盾， 所以假设不正确 . 因此，∠ A ， ∠ B ， ∠ C 中至少有一个角大于或等于 60°. 像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为 反证法 . 反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定 结论， 导出矛盾，肯定结论” . 反证法的步骤： 假设结论的反面成立 → 逻辑推理得出矛盾 → 肯定原结论正确 2. 已知：如图，直线 AB ， CD 被直线 MN 所截，∠ 1=∠2. 求证：∠ 2=∠3 ，∠ 3+∠4=180°. 证明： ∵ ∠ 1=∠2 ， ∴ ∠2 =∠3 （两直线平行 , 内错角相等 ） , ∠3+∠4=180° （两直线平行 , 同旁内角互补） . ∴ AB ∥ CD （同位角相等，两直线平行 ） . 3. 已知：如图， AB 与 CD 相交于点 E . 求 证：∠ A +∠ C =∠ B +∠ D . 证明： ∵ AB 与 CD 相交于点 E ， ∴ ∠ AEC =∠ BED （对顶角相等 ） . 又∵∠ A +∠ C +∠ AEC =∠ B +∠ D +∠ BED =180 ° （ 三角形内角和等于 180° ）， ∴∠ A +∠ C =∠ B +∠ D . 4. 已知：如 图 , 有 a 、 b 、 c 三条直线，且 a// c,b //c. 求证： a// b. A a b c 证明：假设 a 与 b 不平行， 则可设它们相交于点 A . 那么过点 A 就有两条直线 a 、 b 分别与直线 c 平行， 这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直 线平行”矛盾 , 故假设不 成立 . ∴ a // b . 证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步 第二步 第三步 画出图形 写出已知、求证 写出证明的过程 根据题意 根据命题的条件和结论，结合图形 通过分析，找出证明的途径 第 2 章 三角形 2.3 等腰三角形 我们前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊的性质呢？ 探究 任意画一个等腰三角形 ABC ，其中 AB=AC ，如图 . 作△ ABC 关于顶角平分线 AD 所在 直 线 的轴反射， 由于∠ 1=∠2 ， AB=AC ，因此： D 1 2 AB AB B AD 射线 AB 的像是射线 AC ， 射线 AC 的像是射线 ； 线段 AB 的像是线段 AC ， 线段 AC 的像是线段 ； 点 B 的像是点 C ， 点 C 的像是点 ； 线段 BC 的像是线段 CB . 从而等腰三角形 ABC 关于直线 对称 . 由于点 D 的像是点 D ， 因此线段 DB 的像是线段 ， 从而 AD 是底边 BC 上的 . 由于射线 DB 的像是射线 DC ， 射线 DA 的像是射线 ， 因此∠ BDA ∠ CDA= ° ， 从而 AD 是底边 BC 上的 . 由于射线 BA 的像是射线 CA ， 射线 BC 的像是射线 ， 因此∠ B ∠ C . DC 中线 DA = 90 高 CB = 结论 由此得到等腰三角形的性质定理： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 等腰三角形的两底角相等 ( 简称“等边对等角” ). 结论 等腰三角形底边上的高 、 中线及顶角平分线重合 ( 简称为“三线合一” ). 动脑筋 因为△ ABC 是等边三角形， 所以 AB=BC=AC ， 从而∠ C = ∠ A = ∠ B . 由三角形内角和定理可得 ：∠ A = ∠ B = ∠ C =60 ° . 如图，△ ABC 是等边三角形，那么∠ A ，∠ B ，∠ C 的大小之间有什么关系呢？ 由此得到等边三角形的如下性质： 等边三角形的三个内角相等，且都等于60°. 结论 由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线 . 例 1 已知：如图，在△ ABC 中， AB=AC ，点 D ， E 在 边 BC 上，且 AD = AE . 求 证： BD = CE . 举 例 证 明 : 作 AF ⊥ BC ，垂足为点 F ， 则 AF 是等腰三角形 ABC 和等腰三角形 ADE 底边上的高，也是底边上的中线. ∴ BF=CF ， ∴ BF - DF = CF - EF ， DF=EF ， 即 BD=CE. F 如图的三角测平架中 ， AB = AC ， 在 BC 的中点 D 挂一个重锤 ， 自然下垂 ， 调整架身 ， 使点 A 恰好在 铅 垂 线 上 . （ 1 ） AD 与 BC 是否垂直 ， 试 说 明理 由 . （ 2 ） 这时 BC 处于水平位置 ， 为 什么 ？ 议一议 练习 1. 如图，在△ ABC 中， AB=AC ， AD 为 BC 边上的 高，∠ BAC =49° ， BC = 4 ，求∠ BAD 的 度数 及 DC 的长 . 答：∠ BAD= 24.5° ， DC= 2. 2 . 如 图，点 P 为等边三角形 ABC 的边 BC 上一点，且∠ APD = 80° ， AD=AP ，求∠ DPC 的度数 . 答： ∠ DPC = 20 ° . 我们知道 ， 等腰三角形的两底角相等，反过来， 两 个角相等的 三 角 形是等腰三角形吗 ？ 探究 如图，在△ ABC 中，如果∠ B =∠ C ，那么 AB 与 AC 之间有什么关系吗？ 我测量后发现 AB 与 AC 相等 . 3cm 3cm 事实上，如图，在△ ABC 中，∠ B =∠ C . 沿过点 A 的直线把∠ BAC 对折， 得∠ BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D ， 则∠ 1=∠2. 又∠ B =∠ C ， 由三角形内角 和定理得 ∠ ADB =∠ ADC . D 1 2 沿 AD 所在直线折叠， 由于∠ ADB =∠ ADC ，∠ 1=∠2 ， 所以射线 DB 与射线 DC 重合， 射线 AB 与射线 AC 重合 . 从而点 B 与点 C 重合， 于是 AB = AC . 结论 有两个角相等的三角形是等腰三角形 ( 简称 “等角对等边” ) . 结论 三个角都是 60° 的三角形是等边三角形 . 由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理： 例 2 已知：如图，在△ ABC 中， AB=AC ，点 D ， E 分 别是 AB ， AC 上的点，且 DE ∥ BC . 求证：△ ADE 为等腰三角形 . 举 例 证明 ∵ AB = AC ， ∴ ∠ B =∠ C . 又∵ DE ∥ BC ， ∴ ∠ ADE =∠ B ，∠ AED =∠ C . ∴ ∠ ADE =∠ AED . 于是△ ADE 为等腰三角形 . 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？ 动脑筋 如图，在等腰三角形 ABC 中， AB=AC . 由三角形内角和 定理 , 得 ∠ A +∠ B +∠ C = 180°. 如果顶角∠ A =60° ， 那么∠ B +∠ C = 180°-60°=120°. 又 AB = AC ， ∴ ∠ B =∠ C . ∴ ∠ B =∠ C =∠ A =60°. ∴ △ ABC 是等边三角形 . 由此得到另一条等边三角形的判定定理： 结论 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 例 3 已知：如图，△ ABC 是等边三角形，点 D ， E 分 别在 BA ， CA 的延长线上，且 AD = AE . 求证：△ ADE 是等边三角形 . 举 例 证明 ∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ BAC =∠ B =∠ C = 60°. ∵∠ EAD =∠ BAC = 60° ， 又 AD = AE ， ∴△ ADE 是等边三角 形 （有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形） . 练习 1. 已知：等腰三角形 ABC 的底角∠ ABC 和 ∠ ACB 的平分线相交于点 O . 求证：△ OBC 为等腰三角形 . A B C D E O 证明 ∵∠ ABC 和 ∠ ACB 的平分线相交于点 O ， ∴ ∠ ABD= ∠ DBC= ， ∠ ACE= ∠ ECB= ， ∴ ∠ DBC = ∠ ECB ， ∴ △ OBC 是等腰三角形 . 又∵ △ ABC 是等腰三角形， ∴ ∠ ABC = ∠ ACB ， A B C D E O 2. 已知：如图， CD 平分∠ ACB ， AE ∥ DC ， AE 交 BC 的延长线于点 E ，且∠ ACE = 60°. 求 证：△ ACE 是等边三角形 . 证 明 : ∵ CD 平分∠ ACB ， ∴ 在△ ACE 中，∠ CAE= 180°- ∠ E -∠ ACE = 60 °, 又∵∠ ACE =60° ， ∴ ∠ BCD= ∠ E= 60° ， ∴ ∠ ACD = ∠ DCB . ∴ ∠ ACD= ∠ DCB= 60 °. 又 ∵ AE ∥ DC ， ∴ ∠ CAE = ∠ ACE =∠ E= 60 °, ∴△ ACE 是等边三角形 . 3. 已知：如图， AB = BC ，∠ CDE = 120°， DF ∥ BA ，且 DF 平分∠ CDE .求 证：△ ABC 是等边三角形. 证 明 : ∵ AB=BC ， ∴△ ABC 是等边三角形 . 又∵∠ CDE =120° ， DF 平分∠ CDE . ∴ ∠ FDC= ∠ ABC= 60° ， ∴ △ ABC 是 等腰三角形 . ∴ ∠ EDF= ∠ FDC= 60 °. 又∵ DF ∥ BA ， 中考 试题 例 1 一个等腰三角形 两边长分别是 2 cm 和 5 cm ，则这个 三角形的周长 为（ ） A.9 cm B.12 cm C.9 cm 或 12 cm D.14 cm B 解析 另一边长为 2 cm 或 5 cm ， 2 ， 2 ， 5 不符合三角形三边关系定理 ， ∴ 周长为 5+5+2=12 （ cm ） . 中考 试题 例 2 若等腰三角形中有一个角等于 50 ° ，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A . 50 ° B . 80 ° C . 65 ° 或 50 ° D. 50 ° 或 80 ° 解析 因为 50 ° 可作为等腰三角形的一顶角或一底角，故选 D. D 第 2 章 三角形 2.4 线段的垂直平分线 操作 指出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴。 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ） （ 6 ） （ 7 ） 问题 怎样做出一条线段的垂直平分线？ 2. 过点 E 、 F 作直线。 1. 分别以点 A 、 B 为圆心， 大于 长为半径，画弧 交于点 E 、 F ； 尺规作图 作法： 探究 测量 证明 测量线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离 已知，如图，直线 MN 经过线段 AB 的中 点 O ，且 MN ⊥ AB , P 是 MN 上任 意 一点 . 求证 ： . 线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。 线段垂直平分线上的 点到线段 两端的距离 相等 . 定理 如图 ，在四边形 ABCD 中，直线 AC 垂直平分 BD 于点 O . （ 1 ）图中有多少对全等三 角形，请把它们写出来； （ 2 ）任选（ 1 ）中一对全等 三角形加以 证明 . 例 1 范例学习 针对性训练 1 、如 图， DE 是线段 AB 的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ） A ． ED = CD B ． ∠ DAC = ∠B C ． ∠ C ＞ 2 ∠B D ． ∠ B + ∠ADE =90° 2 、如图，在△ ABC 中， BC 的中垂线交斜边 AB 于点 D ，图中相等的线段有（ ） A 、 1 组 B 、 2 组 C 、 3 组 D 、 4 组 针对性训练 3 、已知，如图， y 轴垂直平分线段 BC ，点 A 在 y 轴上，点 B 、 C 在 x 轴上。 （ 1 ）若点 C 的坐标为（ 3 ， 0 ），则点 B 的坐标是 ________ ； （ 2 ）若点 B 的坐标为（ m ， 0 ），则点 C 的坐标是 ________ 。 针对性训练 4 、已知如图， DE 是△ ABC 的边 AB 的垂直平分线， D 为垂足， DE 交 AC 于点 E ，且 AC ＝ 8 ， BC ＝ 5 ，则△ BEC 的 周长为 _______ 。 针对性训练 5 、公路 l 同侧的 A 、 B 两村，共同出资在公路边修建一个停靠站 C ，使停靠站到 A 、 B 两村距离相等，你如何确定停靠站 C 的位置。 针对性训练 思考 你 能写出上述定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 逆命题 定理 与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。 定理 范例学习 例 2 已知：如图， DE 、 DF 分别是 △ ABD 和△ ACD 的高， DE ＝ DF 。求 证： AD 垂直平分 EF 。 整理小结 一个方法 证明线段相等的新方法：利用线段垂直平分线的性质。 两条定理 线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。 与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 三种作图 折纸 过中点作垂线 尺规作图法 第 2 章 三角形 2.5 全等三角形 能够完全重合的两个图形叫做 全等图形。 下列同一类的图形有什么特点？ 下面各组图形是不是全等图形？为什么？ （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ）边长都是 10 cm 的两个正方形。 （ 4 ）半径相等的两个圆。 两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的 对应顶点 ，如 A 与 D , 互相重合的边叫做全等三角形的 对应边 ，如 AB 与 DE 。 互相重合的角叫做全等三角形的 对应 角 ， 如 ∠ A 与∠ D 。 F E D C B A 能够 重合 的两个三角形叫做 全等三角形 。 三角形全等的表示方法 “ 全等”可用“ ≌ ”来表示，如 Δ ABC 和 Δ DEF 全等，记做“ Δ ABC ≌Δ DEF ” ，读 做“三角形 ABC 全等于三角形 DEF” 。 注意 表示两个三角形全等时，通常把 对应顶点的字母写在对应位置上。 F E D C B A 已知图中的两个三角形全等，请你找出它们的对应角和对应边，并用符号表示这两个三角形全等。 练一练 如图，已知 Δ OCA ≌ Δ OBD ， 请说出它们的对应边和对应角。 O D C B A 对应边： CO 和 BO ， 对应角：∠ A 和∠ D ， ∠ C 和∠ B ， ∠ COA 和∠ BOD 。 AO 和 DO 。 CA 和 BD ， 答案 ： AB=CD ， AD=CB ， BD=DB 练一练： 请找出右图中对应的 边 . A B C D ABD≌ CDB 1 、已知： A B C D E ABC≌ AED 2 、已知： 请找出右图中对应的 角 . 答案： A B C D E 3 、已知： ABC≌ DCE 请找出图中对应的 顶点 . 答案 :A 与 D ， B 与 C ， C 与 E . 总结 寻找对应元素的规律 （ 1 ）有公共边的，公共边是对应边； （ 2 ）有公共角的，公共角是对应角； （ 3 ）有对顶角的，对顶角是对应角； （ 4 ）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边； （ 5 ）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；   两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有变化吗？由此你能得到什么结论？ 观察与思考 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 ∵ △ABC ≌ △DFE , ∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE （            ） , ∴ ∠ A= ∠ D, ∠ B= ∠ F , ∠ C= ∠ E （ ） . 全等三角形的性质 应用 全等三角形的对应边相等 全 等三角形的对应角相等 C B A D 1 2 例题 如图 ,AD 平分∠ BAC,AB=AC. △ABD 和△ ACD 全等吗 ?BD 与 CD 相等吗 ? ∠B 与∠ C 呢 ? 请说明理由 . 1 、能够       的两个图形叫全等形； 2 、两个全等三角形重合时，互相重合的 顶点叫做      ；互相重合的边叫做      ；互相重合的角叫做   ； 3 、 全等三角形的对应 边     ，对应角     ； 完全重合 对应顶点 对应边 对应角 相等 相等 小结 4 、记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在      ；例如△ ABC≌ △DFE ，对应顶点分别是 . 5 、两个三角形全等时，对应顶点所在的角是      ，对应边所对的角是   ，对应角所对的边是      。  对 应位置 点 A 和点 D 、点 B 和点 F 、点 C 和点 E 对应角 对应角 对应边 2.5 全等三角形（ 2 ） 三角形全等的判定定理（ SAS ） 思考 (2) 三条边 (1) 三个角 (3) 两边一角 (4) 两角一边 当 两个三角形满足六个 条件的 三个时，有四种情况 : 不能 ! ? ? ? 继续探讨三角形全等的条件： 两边一角 思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边 与这一个角的位置上有几种可能性呢？ A B C A B C 图一 图二 在图一中， ∠ A 是 AB 和 AC 的 夹角， 符合图一的条件，它可称为 “两边及其夹角”。 符合图二的条件 ，通常说 成 “两边和其中一边的对角” 探究 在 纸上的不同位置分别画一个三角形 , 它的一个角为 50°, 夹这个角的两边分别为 2cm,2.5cm. 将这两个三角形叠在一起 , 它们完全重合吗？ 由此你能得到什么结论？ 探究 (1) △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 的位置关系如图 2-38. 图 2-38 A ’ B ’ C ’ 在△ ABC 和△ A ′ B ′ C ′ 中 , ∠ ABC = ∠ A ′ B ′ C ′ , AB = A ′ B ′, BC = B ′ C ′ . 探究 (2) △ ABC 和△ A ’ B ’ C ’ 的位置关系如图 2-39. 图 2-39 在△ ABC 和△ A ’ B ’ C ’ 中 , ∠ ABC = ∠ A ’ B ’ C ’ , AB = A ’ B ’, BC = B ’ C ’ . 探究 (3) △ ABC 和△ A ’ B ’ C ’ 的位置关系如图 2-40. 图 2-40 在△ ABC 和△ A ’ B ’ C ’ 中 , ∠ ABC = ∠ A ’ B ’ C ’ , AB = A ’ B ’, BC = B ’ C ’ . 探究 (4) △ ABC 和△ A ’ B ’ C ’ 的位置关系如图 2-41. 图 2-41 C A B A ’ （ B ’ ） （ C ’ ） 在△ ABC 和△ A ’ B ’ C ’ 中 , ∠ ABC = ∠ A ’ B ’ C ’, AB = A ’ B ’, BC = B ’ C ’. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 . ( 可简写成“边角边”或“ SAS ”). S —— 边 A —— 角 结论 注意： 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形 不一定全等 .( 即没有“ 边边角 ”或“ SSA ” 这种判定定理 ). 例 2 已知 ：如图 2-42, AB 和 CD 相交于点 O , 且 AO=BO , CO=DO . 求证：△ ACO ≌△ BDO . “ 边角边 ” 图 2-42 举 例 证明： 在△ ACO 和△ BDO 中 , AO = BO , ∠ AOC = ∠ BOD （对顶角相等） , CO=DO , ∴△ ACO ≌ △ BDO （ SAS ） . （ 3 ）全等三角形 的判定 SSS 1 ．掌握三角形全等的“边边边”定理． 2 ．了解三角形的稳定性． 3 ．经历探索三角形全等条件的过程，体会 利用“边边边”定理操作 、 归纳、获得 数学结论的过程． ①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠ E ⑥ ∠C= ∠F A B C D E F 1 、 什么叫全等三角形？ 能够重合 的两个三角形叫 全等三角形。 2 、 全等三角形有什么性质？ A B C D E F ①AB=DE ③ CA=FD ② BC=EF ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F 1. 满足这六个条件可以保证 △ ABC ≌△ DEF 吗？ 2. 如果只满足这些条件中的一部分 , 那么能保证 △ ABC ≌ △DEF 吗 ? 思考： ① 三角 ； ② 三边； ③ 两边一角； ④ 两角一边。 3. 如果满足 三个 条件，你能说出有哪几种可能的情况？ 探索三角形全等的条件 已知两个三角形的三个内角分别为 30° ， 60° ， 90° ，它们 一定全等吗？   这说明有三个角对应相等的两个三角形 不一定全等 ⑴ 三个角 已知两个三角形的三条边都分别为 3cm 、 4cm 、 6cm 。它们一定全等吗？ 3cm 4cm 6cm 4cm 6cm 3cm 6cm 4cm 3cm ⑵ 三条边 问题： 把你画的三角形与其他同学所画的三 角形进行比较，它们能够互相重合吗？ 三角形全等的条件： 三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“ SSS” ） 探索三角形全等的条件 证明：∵ BD=CE ， ∴ BD-ED=CE-ED ，即 BE=CD 。 C A B D E 在 △ AEB 和 △ ADC 中， AB=AC ， AE=AD ， BE=CD ， ∴ △AEB ≌ △ ADC (sss ) 。 例 如 图， AB=AC ， AE=AD ， BD=CE ，求证：△ AEB ≌ △ADC 当堂测试 如图，已知 AB=CD ， AD=CB ， E 、 F 分别是 AB ， CD 的中点，且 DE=BF . 求证：①△ ADE≌△CBF ； ②∠A=∠C. A D B C F E ∴△ADE≌△ CBF, ∴∠A=∠ C. 证明 :∵ 点 E,F 分别是 AB,CD 的中点 ∴ AE= AB , CF = CD. ∵ AB=CD,∴AE=CF, 在△ ADE 与△ CBF 中 , AE=CF, AD=CB, DE=BF, 全等三角形的判定 AAS 两边分别相等且其一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等 3cm 2.5cm 2.5cm 3cm 45° 45° 两角一夹边 (ASA) 两角一对边 (AAS) ? 引入新课 学习 目 标 1 ．掌握三角形全等的“ 角角边 ”定理． 2 ．能根据条件选择合适的 判定方法进行 推理 论证 . 在△ ABC与△DEF中，AB=DE, ∠A= ∠D, ∠C= ∠F. C A B Ｆ Ｄ Ｅ 预习反馈 C A B 角角 边定理 :两角分别相等及其中一组等角的对边也相等的两个三角形全 等 ( AAS ) . Ｆ Ｄ Ｅ 在△ ABC与△DEF中， AB=DE, ∠A= ∠D, ∠C= ∠F. ∴△ ABC≌△DEF （ AAS ） 预习反馈 全等三角形的判定方法 边角边 SAS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角 ASA 角角边 AAS 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 两角分别相等及其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等 第 2 章 三角形 2.6 用尺规作三角形 你已经学会用尺规作哪些图形？动手试一试 . 说一说 会作一条线段等于已知线段，会作线段的垂直平分线，…… 根据三角形全等的判定条件，已知三边、两边 及其 夹角、两角及其夹边，都可以确定唯一的一个 三角形 ，从而我们可以根据这些条件用尺规来作三角形 . 已知三边作三角形. 已知线段 a ， b ， c . 求作△ ABC ，使 AB = c ， BC = a ， AC = b . 已知底边及底边上的高线作等腰三角形. 如图，已知线段 a ， h . 求作△ ABC ，使 AB=AC ，且 BC=a ，高 AD=h. 分析 首先作出该等腰三角形的底边及底边的垂直平分线，然后在垂直平分线上以底边中点为一端点，截取长为 h 的线段来确定三角形另一个顶点 . 如何作一个角的平分线 ？ 如图，已知∠ AOB ，求作∠ AOB 的平分线 . 做一做 运用所学知识，请说一说：为什么 OC 是 ∠ AOB 的平分线？ 1. 如图，一个机器零件上的两个孔的中心 A ， B 已定好，又知第三个孔的中心 C 距 A 点 1.5m ，距 B 点 1.8m. 如何找出 C 点的位置呢？ 答：以点 A 为圆心， 1.5m 为半径画弧，再以点 B 为圆心， 1.8m 为半径画弧，两弧的交点即为第三个孔的中心 C . 练习 2. 如图，已知线段 a ， b ，求作等腰三角形，使它的腰长等于线段 a ，底边长等于线段 b . 如何作一个角等于已知角？ 如图，已知∠ AOB ，求作一个角，使它等于∠ AOB . 动脑筋 说一说 运 用所学知识，请说一说：为什 么 就是 所求作的角？ 如图，已知 和线段 a ， c . 求作△ ABC ，使 ， BC = a ， BA = c . 已知两边及其夹角作三角形 . 如图，已知 ， 和线段 a . 求作△ ABC ，使 ， ， BC = a. 已知两角及其夹边作三角形 . 练习 用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法） . 1. 用尺规作一个角等于 90°. 如 图， ① 在直线 l 上截取线段 PA 、 PB ， 使 PA=PB ; ② 分别以点 A 、 B 为圆心，大于 PA 的任意长度为半径画弧， 两弧相交于点 C . ③ 连接 CP ，则∠ CPA = ∠ CPB = 90 ° . 2. 如图，已知线段 a ， b ，求作一个直角三角形， 使它的两直角边分别为 a 和 b . 如图， ① 作∠ MCN =90 ° . ② 在射线 CM 上截取 CA=a ， 在射线 CN 上截取 CB=b. ③ 连接 AB ，则△ ABC 就是所求 作 的 三角形 . a b a b 小结与复习 1. 三角形的三边之间有怎样的关系？ 2. 什么叫三角形的高、角平分线、中线？ 3. 结合本章所学的知识，举出一个命题并 写出其 逆命题，再判断它们的真假 . 4. 等腰（等边）三角形具有哪些性质？ 如何判定一个三角形是等腰（等边）三角形？ 5. 线段的垂直平分线的性质定理是什么？ 如何作线段的垂直平分线？ 6. 全等三角形有哪些性质？ 如何判定两个三角形全等？ 本章知识结构 三 角 形 内角、外角、高、角平分线、中线 性质 等腰（等边）三角形的性质与判定 线段的垂直平分线 全等三角形 用尺规作三角形 任意两边之和大于第三边 内角和定理及其推论 性质 判定（ SAS 、 ASA 、 AAS 、 SSS ） 逆命题 命题 真命题 假命题 基本事实 定理及其推论 定义 互逆命题 举反例 证明 证明的依据 注意 1. 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题 . 2. 命题有真有假 . 要判断一个命题为真命题， 需要进行 证明，并且证明的过程要言必有据 . 要判断 一个 命题为假命题，只需举一个反例 . 3. 要证明某些线段或角相等时，可以考虑转化为 证明 两个三角形全等 . 中考 试题 例 1 如 图， 已知线段 a 、 b 、 c ，求作以 a 、 b 、 c 为边 的 三角形 . 解 ① 作一条线段 AB=c . ② 分别以 A 、 B 为圆心，以 b 、 a 为半径画弧 ，两 弧交于 C 点 . ③ 连接 AC 、 BC . 则△ ABC 就是所求作的三角形 . 中考 试题 例 2 已知：一个直角，线段 a 、 b ，如图 1 所示 . 求作：△ ABC ，使∠ C =90 ° ， AC=a ， BC=b . 解 如图 2 ， ① 作∠ MCN =90 ° . ② 在射线 CM 上截取 CA=a ，在 射线 CN 上截取 CB=b. ③ 连接 AB ，则△ ABC 就是所求作的三角形 .