湘教版八年级数学上册第4章一元一次不等式（组）

第 4 章 一元一次不等式（组） 4.1 不等式 用适当的式子表示下列数量关系 : 1. 甲班有 a 人 , 乙班有 b 人 , 已知甲班比乙班少 1 人 , 怎样表示 a 与 b 之间的关系？ 2. 汽车每小时行驶 v 千米 ,2 小时后路程超过了 160 千米 , 怎样表示 v 与 160 之间的关系 ? 做一做 a=b-1 2v>160 等式： 不等式： 下列问题中的数量关系应该用怎样的式子来表示 : (1) 如图 , 是公路上对汽车的限速标志 , 表示汽车在该路段行驶的速度 不得超过 40km/h, 用 v (km/h) 表示汽车的速度 , 怎样表示 v 与 40 之间的关系 ? v≤40 (2) 根据科学家测定，太阳表面的温度 不低于 6 000℃ ， 设太阳表面的温度为 t （℃），怎样表示 t 与 6 000 之间的关系？ t≥ 6 000 (3) 如图，天平左盘放 3 个质量相等的乒乓球，右盘放 5 g 砝码，设每个乒乓球的质量为 x （ g ），怎样表示 x 与 5 的数量关系？ 3x ＞ 5 (4) 如图 , 小聪与小明玩跷跷板 , 大家都不用力时 , 跷跷板左低、右高 , 小聪的身体质量为 p (kg), 书包的质量为 2kg, 小明的身体质量为 q (kg), 怎样表示 p , q 之间的关系 ? q5, v ≤40 这样用 ＜，＞，≤，≥，≠ 连接而成的数学式子叫做 不等式． ＜，＞，≤，≥，≠ 这些符号叫 不等号． 符号 读法 ＜ ＞ ≤ ≥ ≠ 不 大于 不 小于 小于 大于 不 等于 知识 篇 关键词语 不等号 第一类 — 明显 的不等关系 比 … 大 大于 > 小于 < ≤ 至多 不 大于 不 超过 ≥ 不 小于 不 低于 至少 超过 低于 比 … 小 注意 “ 不 ” 字哦！ 1 、判断下列式子哪些是不等式？ 若不是，请 说明理由。 (1)2>0 (2)a 2 +1 ＞ 0 (3)3x 2 +2x (4)x ＜ 2x+1 (5)x=2x-5 (6)a+b≠c 练习 1 (1 ) （ 2 ）（ 4 ）（ 6 ）是不等式 选择适当的不等号填空 (1) 2____3 (2) - ____-3 (3) -a 2 ____ 0 (4) a 2 +b 2 ____ 0 (5) 若x ≠ y,则-x____-y ＜ ＞ ≤ ≥ ≠ (6) 实数 a,b 在数轴上的位置如图 , 则 a+b____ 0,b-a____0, ∣a∣ ____ ∣b∣ a 0 b ＜ ＞ ＞ 试一试 ≥ 例 1 根据下列数量关系列不等式： （ 1 ） y 的 2 倍与 6 的和比 1 小； （ 2 ） x 2 减去 10 不大于 10 ； （ 3 ）设 a ， b ， c 为一个三角形的三条边长，两边 之和大于第三 边 ; （ 4 ） a 是正 数 . 2y+6c ， a+c>b ， b+c>a 小结： 1 、确定不等量关系两边的代数式 2 、抓住 关键词 ，选准 不等号 再探新知 a>0 1 、小明和小华在探究数学问题 . 小明说 :” 3y ＜ 4y .” 小华认为小明说错了 , 聪明的你觉得呢 ? 拓展练习 2 、用不等式表示： （ 1 ） a 与 b 的平方和大于 3 （ 2 ） x 与 y 差的平方不小于 2 （ 3 ） m 与 2 的差是非负数 3 、填空 （ 1 ）某食品包装袋上标有“净含量 385 克 5 克”， 则 食品的合格净含量 x 的范围是 ________ （ 2 ）写出满足不等式 的 所有 正整数： ______ （ 3 ）写出满足不等式 的 最小 整数： ______ 拓展练习 第 4 章 一元一次不等式（组） 4.2 不等式的基本性质 双 休日，小明进行上网、学习、体育运动的时间分别为 a 小时、 b 小时、 c 小时 . 已知 a > > 1 +(-1 ) _ 0.5 +(-1) 1 -2 _ 0.5 -2 1 - (-3 ) __0.5 - (-3) 1 若 a>b ， 则 a +c __b +c ； a -c __b -c . > > 猜想 b a b+c a+c c c b-c a-c b a c c 把 a>b 表示在数轴上， 不妨设 c>0 ∴a+c>b+c ∴a-c>b-c 数形 结合、 平移思想   不等式的两边都加上（或都减去） 同一个数 ，所得到的不等式仍成立 . 如果 a ＞ b ，那么 a+c ＞ b+c ， a-c ＞ b-c ； 如果 a ＜ b ，那么 a+c ＜ b+c ， a-c ＜ b-c. 即 选择适当的不等号填空，并说明理由 . > ≥ ≥ ≤ 温馨提示：在不等式的基本性质中， a 、 b 、 c 代表的可以是数字、字母，还可以是多项式。 比较大小 8 ＿＿ 12 8×4 ＿＿ 12×4 8÷4 ＿＿ 12÷4 8×( － 4) ＿＿ 12×( － 4) 8÷( － 4) ＿＿ 12÷( － 4) ＜ ＜ ＜ ＞ ＞ 想一想：从上面的变化 , 你 发现了什么 ? 探索学习 猜想 如果 a ＞ b ，且 c ＞ 0 ， 那么 ac ＞ bc ， ＞ ； 如果 a ＞ b ，且 c ＜ 0 ， 那么 ac ＜ bc ， ＜ . 不等式的两边都乘（或都除以） 同一个正数 ， 所得的不等式仍成立 ; 不等式的两边都乘（或都除以） 同一个负数 ，必须 改变不等号的方向 ， 所得的不等式成立 . 如果 a ＞ b ，且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ， ＞ ； 如果 a ＞ b ，且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc ， ＜ . 即 选择适当的不等号填空，并说明理由 . > > > 等式 不等式 基本性质 1 基本性质 2 基本性质 3 若 a ＜ b ， b ＜ c ，则 a ＜ c 如果 a ＞ b, 那 么 a+c ＞ b+c ， a-c ＞ b-c 如果 a=b, 那么 a+c=b+c,a-c=b-c 若 a=b,b=c, 则 a=c 等式与不等式的基本性质的区别与联系 特殊值法 : 设 a=-1 ，则 2a=-2. ∵-2 ＜ -1 ， ∴ 2a ＜ a. 例 1  已知 a 2. 解下列不等式： （ 1 ） 3 x -1 > 2(2-5 x ) ； （ 2 ） . 解 （ 1 ） 原不等式为 3 x -1 > 2(2-5 x ) 去括号，得 3 x -1 > 4-10 x 移项，得 3 x +10 x > 1+4 化简，得 13 x > 5 两边同除以 13 ， x > （ 2 ） 原不等式 为 去分母，得 2( x +2 )≥ 3(2 x -3) 去括号，得 2 x +4 ≥ 6 x -9 移项，得 2 x -6 x ≥ -4-9 化简 ，得 4 x ≥ -13 两边同除以 -4 ，得 x ≤- 一个不等式的解集常常可以借助数轴 直 观地表示出来 . 先在数轴上标出表示 2 的点 A 则点 A 右边所有的点表示的数都大于 2 ，而点 A 左边所有的点表示的数都小于 2 因此可以像图那样表示 3 x >6 的解集 x >2. 动脑筋 如何在数轴上表示出不等式 3 x ＞ 6 的解集呢？ 容易解得不等式 3 x ＞ 6 的解集是 x ＞ 2. 0 1 2 3 4 5 6 -1 A 把 表示2 的点 Ａ 画成空心圆圈，表示解集不包括2 . 例 2 解 不等式 12-6 x ≥ 2(1-2 x ) ，并把它的解集 在数轴 上表示 出来 . 举 例 解 首先将括号去掉 去括号，得 12 -6 x ≥ 2-4 x 移项，得 - 6 x+ 4 x ≥ 2-12 将同类项放在一起 合并同类项， 得 - 2 x ≥ -10 两边都除以 -2 ，得 x ≤ 5 根据 不等式的基本 性质 2 原不等式的解集在数轴上表示如 图 . - 1 0 1 2 3 4 5 6 解集 x ≤5 中包含 5 ，所以在数轴上将表示 5 的点画成实心圆点 . 举 例 解 解这个不等式， 得 x ≤ 6 x ≤6 在数轴上表示如图所示： - 1 0 1 2 3 4 5 6 根据题意，得 x +2 ≥ 0 所以当 x ≤6 时，代数式 x +2 的值大于或等于 0. 由图可知，满足条件的正整数有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6. 例 3 当 x 取什么值时，代数式 x +2 的值大于或等于 0 ？求 出所有满足条件的正整数 . 练习 1. 解下列不等式，并把它们的解集 在数轴上 表示出来： （ 1 ） 4 x -3 < 2 x +7 ； （ 2 ） . 解 （ 1 ） 原不等式为 4 x -3 < 2 x +7 移项，得 4 x -2 x < 3+7 化简，得 2 x < 10 两边同除以 2 ，得 x -2 解得 y > 3 解 - 1 0 1 2 3 4 5 中考 试 题 例 1 去分母，得 6+3 x ≥4 x +2. 移项、合并 同类项，得 x ≤4. 所以正整数 解为 1 ， 2 ， 3 ， 4. 解 求 不等式 的 正整数解 . 首先求出不等式的 解集 ， 然后 求出正整数解 . 分析 中考 试题 例 2 已知 且 x > y ，则 k 的取值范围是 . 分析 ①×3-②×2 ，得 x = 7 k +5 . ③ 将③代入① ， 得 3(7 k +5 )-2 y =3 k +1. 化简，整理，得 y =9 k +7. ∵ x > y ， ∴ 7 k +5>9 k +7. 解得 k b,c>0 ，那么 ac>bc( 或 a/c>b/c) 如果 a>b,c190 x > 在本题中， x 应是 ___ 数而且不能超过 ____ ，所 以小 明至少要答对 ____ 道题。 20 整 13 3 . 某种 彩电出厂价为每台 1 800 元，各种管理费约为出厂价的 12 % ，商家零售价为每台多少元时，才能保证毛利率不低于 15%( 精确到 10 元 )? 分析 : 本题要清楚两个基本公式 : 出厂价 + 管理费 = 成本 ; 解 : 设每台零售价为 x 元 , 则成本价为 1 800+1 800 12 % 由 题意，得 解得 x ≥ 2 318.4 ( 精确到 10 元 ) ， 取 x=2 320. 答 : 当 零售价为 2 320 元 时，商家 毛利率不低于 15 %. 自我挑战 1. 已知关于 x 的不等式 (a+1)x