湘教版九年级数学上册第3章图形的相似

第 3 章 图形 的相似 3.1 比例 线段 3.1 比例线段 — 比例 的基本性质 复习回顾 在小学，我们已经知道，如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说这四个数成比例. 现在我们学习了实数，把这四个数理解为实数，写成式子就是： 如果 a : b=c : d 或 ，则称 a ， b ， c ， d 成比例，其中 b ， c 称为比例内项， a ， d 称为比例外项. 如果 a ， b ， c ， d 成比例， 即 ，那么 ad=bc 吗？ 在式子 两边同乘 bd ，得 ad=bc . 比例的基本性质 : 如果 , 那么 ad=bc ． 如果 ad=bc ，其中 a , b , c , d 为非零实数，那么 成立吗 ？与同伴交流！ 例 1 已知四个非零实数 a ， b ， c ， d 成比例，下列各式成立吗？若成立，请说明理由. ① ② ④ ③ 由此得到 由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立. 由①式 得 ad =bc. 在上式两边同除以 cd ，得 在①式两边都加上1，得 3.1 比例线段 — 比例 的基本性质 重 点 、 难点 重点： 线段的比和成比例线段的概念及其有关计算.黄金分割的定义及黄金分割比的探索. 难点： 判断四个数或四条线段成比例.黄金分割点的定义及相关计算类问题. 如图 3-1 ， 在方格纸上（设小方格边长为单位 1 ）有△ ABC 和△ A′B′C′ ， 它们的顶点都在格点上 . 试求出线段 AB ， BC ， AC ， A′B′ ， B′C′ ， A′C′ 的长度， 并计算 AB 与 A′B′ ， BC 与 B′C′ ， AC 与 A′C′ 的长度的比值 . 一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段 AB ， A′B′ 的长度分别 为 m ， n ， 那么把它们的长度的比 叫作这两条线段 AB 与 A′B′ 的比 (ratio) ， 记作 ，或 AB ∶ A′B′ ＝ m ∶ n . 如果 的比值 为 k ， 那么上述式子也可写成： 或 AB ＝ ｋ · A′B′ . 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作 成比例线段 ， 简称为 比例线段 . 例如，已知四条 线段 a ， b, c ， d ，若 ，则 a ， b ， c ， d 是比例线段. 已知线段 a ， b ， c ， d 的长度分别为0.8 cm ，2 cm，1.2 cm，3 cm，问 a ， b ， c ， d 是比例线段吗？ 例题探究 ∴ ， 即 a ， b ， c ， d 是比例线段. 解： 黄金分割 古希腊数学家、天文学家 欧多克塞斯 (Eudoxus，约前400—约前347)曾经提出一个问题： 能否将一条线段 AB 分成不相等的两部分，使较短线段 CB 与较长线段 AC 的比等于线段 AC 与原线段 AB 的比？ 即使 得 成立 ？ 如果这能做到的话，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 ，点 C 叫作线段 AB 的 黄金分割点 ，较长线段 AC 与原线段 AB 的比叫作 黄金分割比 . 如图，设线段 AB 的长度为 1 个单位， AC 的长度 为 x 个单位，则 CB 的长度为 (1- x ) 个单位 . ① 根据①式，列出方程： ② 由于 x ≠0，因此方程②两边同 乘 x ，得 1 – x = x 2 ， 即 x 2 + x - 1=0. ③ 因为 解得 （舍去）. 所以我们一定可以把一条线段黄金分割， 黄金分割比 为 , 它约等于0. 618 . 线段黄金分割的比值引起了人们极大的注意. 许多建筑物的轮廓矩形(例如古希腊时期的巴台农神庙的正面轮廓矩形)的高与宽之比，门窗的宽与高之比都约等于0.618，这样看上去美观. 巴台农神庙 印度泰姬陵正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比. 著名画家达•芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用.通过上面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美. 课堂小结 线段之间的一种数量关系：四条线段成比例 . 感受 到成比例线段围成的图形在形状上也有美妙的关系！ 认识了一个最特别的数 ，比值是它的线段围成的图形最美丽. 第 3 章 图形的相似 3.2 平行线分线段成比例 教学目标 掌握基本事实：平行线分线段成比例. 了解“两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等”，“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例”. 重点： 掌握平行线分线段成比例的基本事实以及推论的应用. 难点： 基本事实的理解以及推论的应用. 新课引入 下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道: AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 互相平行，且若 AB = BC ,你能猜想出什么结果呢？ a b c 如图,已知直线 a ∥ b ∥ c ，直线 l 1 ， l 2 被直线 a , b , c 截得的线段分别为 AB , BC 和 A 1 B 1 ， B 1 C 1 ，且 AB = BC . 在△ BAA 2 和△ BCC 2 中， ∠ABA 2 =∠CBC 2 ， BA=BC ， ∠BAA 2 =∠BCC 2 ， 因此△ BAA 2 ≌ △ BCC 2 ， 从而 BA 2 = BC 2 , 所以 A 1 B 1 = B 1 C 1 . 两条直线被一组平行线所截 ， 如果在其中一条直线上截得的线段相等 ， 那么在另一条直线上截得的线段也相等 . 由此可以得到： 如图，任意两条直线 l 1 ， l 2 ，再画三条与 l 1 ， l 2 相 交的直线 a ， b ， c ， 分别 度量 l 1 ， l 2 被直线 a ， b ， c 截得的线段 AB ， BC ， A 1 B 1 ， B 1 C 1 的 长度， 与 相等吗？ 任意平移直线 c ， 再测量 AB ， BC ， A 1 B 1 ， B 1 C 1 的长度， 与 也相等吗？ e a b c f d 证明： 假设 ，则把线段 AB 二等分，分点 D .过点 D 作直线 d ∥ a ，交 l 2 于点 D 1 ．如 图，把 线段 BC 三等分．三等分点为 E ， F ， 分别过点 E ， F 作直线 e ∥ a ， f ∥ a ，分别交 l 2 于点 E 1 , F 1 . 由此得到以下基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 我们把以上基本事实简称为 平行线分线段成比例 . 例题探究 如图，在△ ABC 中，已知 DE ∥ BC ，则 和 成立吗？为什么？ 如上图，过点 A 作直线 MN ，使 MN ∥ DE ， ∵ DE ∥ BC ，∴ MN ∥ DE ∥ BC . 同时还可以得到 因此 AB ， AC 被一组平行线 MN ， DE ， BC 所截，则由平行线分线段成比例可知， 由此得到以下结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段 成比例 . 如图，已知 AA 1 ∥ BB 1 ∥ CC 1 ， AB =2， BC =3， A 1 B 1 =1.5， 求 B 1 C 1 的长. 解： 由 平行线分线段成 比例可知， 课堂练习 1 ． 如图， AC ， BD 相交于点 O ，直线 MN 过点 O ，且 BA//MN//CD ， 已知 OA= 3 ,OB= 1 ,OD= 2, 求 OC 的长 . 2. 如图 , 点 D ， E 分别在△ ABC 的边 AB ， AC 上，且 DE ∥ BC ，若 AB= 3 ， AD= 2 ， EC= 1.8 , 求 AC 的长 . 课堂小结 1、两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等； 2、 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 3、 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成 比例 . 第 3 章 图形的相似 3.3 相似 图形 教学目标 1. 认识 日常生活中相似的图形，了解相似图形的概念，能正确识别相似的 图形 . 2. 让 学生亲身经历观察、操作、探究相似图形的过程 ，进一步 理解相似图形的本质特征，感知相似图形在现实生活中的 应用 . 重点： 认识相似图形，并学会画简单的相似图形的方法 难点： 画已知图形的相似形 新课引入 分别观察下面两组图，说一说它们有什么相同和不同？ 直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的 . 日常生活中我们会碰到很多这样形状相同、大小不一定相同的图形 . 如 图， 右边的△ 是由左边的△ ABC 放大得到的 . 这两个三角形相似吗？分别度量它们的三个角和三条边，它们的对应角相等吗？对应边成比例吗？ 我发现这两个三角形相似，且它们的对应角相等，对应边成比例 . 反过来 ， 我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作 相似三角形 . 如果 △ ABC 与△ A 1 B 1 C 1 相似，且点 A 1 ， B 1 ， C 1 分别与点 A ， B ， C 对应， 则记作：△ ABC ∽ △ A 1 B 1 C 1 ， 读作：△ ABC 相似于△ A 1 B 1 C 1 . 由此得到相似三角形的性质： 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 . 相似三角形的对应边的比叫作相似比. 一般地，若△ ABC 与△ A 1 B 1 C 1 的相似比为 k ，则△ A 1 B 1 C 1 与△ ABC 的相似比为 . 特别地，如果相似比 k =1 ， 那么 △ ABC ≌△ A 1 B 1 C 1 .因此，三角形全等是三角形相似的特例. 例题探究 如图， 已知 △ ABC ∽ △ A 1 B 1 C 1 ，且 ∠ A =48°， AB =8， A 1 B 1 =4， AC =6， 求∠ A 1 的大小和 A 1 C 1 的长. 解： ∵ △ ABC ∽ △ A 1 B 1 C 1 ， ∴ ∠ A= ∠ A 1 ， 又 ∵ ∠ A =48°， AB =8， A 1 B 1 =4， AC =6， ∴ ∠ A 1 = 48° ， ， 得 A 1 C 1 =3 . 类似地，对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫作 相似多边形 . 相似多边形的对应边的比叫作 相似比 . 对于相似多边形， 有 相似 多边形的对应角相等，对应边成比例 . 课堂练习 已知△ ADE ∽△ ABC ，点 A 、 D 、 E 分别与点 A 、 B 、 C 对应，且相似比为 . 若 DE= 4 cm ， 求 BC 的长. 1. 解： ∵ △ ADE ∽△ ABC, ∴ ∴ 课堂小结 多边形相似的定义： 如果两个边数相同的多边形满足对应角相等， 对应边的比相等，那么这两个多边形相似 . 多边形相似特征： 相似多边形的对应角相等，对应边成比例 . 相似比： 相似多边形的对应边的比叫作相似比 . 第 3 章 图形的相似 3.4 相似三角形 的判定与性质 教学目标 了解 相似三角形的判定方法会用平行法判定 两个三角形相似 . 重点： 用平行法判定两个三角形相似 难点： 平行法判定三角形相似定理的推导 例题探究 例 1 ：在 △ ABC 中，已知点 D , E 分别是 AB , AC 边的中点 . 求证： △ ADE ∽ △ ABC . △ ADE ∽ △ ABC . A B C D E 例 2 ：点 D 为 △ ABC 的边 AB 的中点，过点 D 作 DE BC 交 AB 于点 E, 延长 DE 至点 F ，使 DE=EF . 求证：△ BFE ∽ △ ACB . A B C D E F 求证 : △ ABC ∽ △ A'B'C'. 已知：在△ ABC 和△ A'B'C' 中 , 证明： 在 △ ABC 的边 AB 、 AC 上，分别截取 AD=A ‘ B ’ ， AE=A ‘ C ’ ， 连接 DE . ∵ AD=A ' B ,∠A=∠ A ' ， AE=A ' C ' ， ∴ △ A DE ≌ △ A'B'C' ， ∴ ∠ ADE =∠ B ' . 又∵ ∠ B ' =∠B ， ∴ ∠ ADE =∠ B ， ∴ DE//BC ， ∴ △ ADE ∽ △ ABC . ∴ △ A'B'C ' ∽ △ ABC . 由此得到相似三角形的判定定理1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 即：两角分别相等的两个三角形相似. C A A ' B B ' C ' 若 ∠ A =∠ A ' ， ∠ B =∠ B ', 则 △ ABC ∽ △ A ' B ' C ' . ∴△ ADE ≌ △ ∴△ ∽△ ABC. 由此得到相似三角形的 判定定理2 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似． 即：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 . ,∠ A=∠A ' ， 则 △ ABC ∽ △ A'B'C '. A ' B ' A ' C ' = AB AC A ' B ' C ' A ' B ' C ' . ∵ ∠ A=∠A ' ， C A A ' B B ' C ' 若 相似三角形的 判定定理 3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 即三 边成比例的两个三角形相似. C A A ' B B ' C ' 课堂练习 1 .如图，已知点 O 在四边形 ABCD 的对角线 AC 上， OE∥ BC ， OF∥CD .试判断四边形 AEOF 与四边形 ABCD 是否相似，并说明理由. 2. 已知：在△ ABC 和 △ DEF 中，∠ A =48 ° ，∠ B =82 ° ，∠ D =48 ° ，∠ F =50 ° . 求证：△ ABC ∽△ DEF . 3 .如图, O 为△ ABC 内一点， D、E、F 分别是 OA、OB、 OC 的中点 .求证：△ ABC ∽△ DEF. A B C O D F E 课堂小结 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS） 相似三角形的判定方法 三边对应成比例,两三角形 相似（ SSS） 两角分别相等的两个三角形相似（AA） 一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形 相似( HL） 3.4.2 相似三角形的 性质 教学目标 掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系. 重点、难点 ： 相似三角形性质的应用. 新课引入 1. 如图 , △ ∽ △ ABC ，相似比为 k ， 分别作 BC ， 上的高 AD ， ． 求证： D ′ C′ D A B A ′ B ′ ┓ ┓ C 证明 : ∵△ ∽△ ABC ， ∴ ∠ B ′ = ∠ B ． 又∵ =∠ ADB =90 ° ， ∴△ ∽△ ABD . (两角对应相等的两个三 角形相似) 从而 (相似三角形的对应边成比例) 由此得出定理： 相似三角形的对应高的比等于相似比. 类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比 2、 如 图，已知 △ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′ ，相似比为 k ， AD 平分∠ BAC ， A ' D ' 平分 ∠ B ' A ' C ' ， E 、 E ' 分别为 BC 、 B ' C ' 的 中点 . 试 探究 AD 与 A ' D ' 的比值关系， AE 与 A ' E ' 呢？ A B C D E A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ ∵ △ ABC ∽ △ A ′ B ′ C ′ ， ∴ 由此得出定理： 相似三角形对应角平分线的比 , 对应中线的比都等于相似比. 由此得出定理： 相似三角形周长的比等于相似 比 3. 如图 ， Δ ABC ∽ Δ A'B'C ' ， 相似比为 k ，它们的面积比是多少？ A B C D A / B / C / D / 由此得出定理： 相似三角形的面积比等于相似比的平方 例题探究 例 1 CD 是 Rt△ ABC 斜边 AB 上的高， DE ⊥ AC ，垂足为点 E . 已知 CD =2 ， AB =6 ， AC =4, 求 DE 的长 . A B D C E 例2 已知 △ ABC ∽△ DEF ， BG 、 EH 分△ ABC 和△ DEF 的角平分线， BC ＝6cm, EF ＝4cm, BG ＝4.8cm.求 EH 的长. 解： ∵ △ ABC ∽△ DEF ，   解得 EH ＝ 3.2(cm) . A G B C D E F H （相似三角形对应角平 线的比等于相似比）， 课堂练习 1、 如图，已知DE∥BC，BD=3AD，S △ABC =48， 求△ ADE 的面积. 2 、如图 ，在 △ ABC 中， DE∥FG∥BC ， 且 DE 、 FG 把△ ABC 的面积三等分，若 BC=12cm ， 求 FG 的 长 . 课堂小结 相似三角形的性质 对应角相等 对应边成比例 对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 相似比等于对应边的比 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 第 3 章 图形的相似 3.5 相似三角形的应用 教学目标 1. 会应用相似三角形的性质和判定解决实际问题． 2. 利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体的长度的问题，让学生体会数学转化的 思想 . 重点： 运用相似三角形解决实际 问题 . 难点： 在实际问题中建立 数学模型 . 新课引入 如图 3-32 ， A ， B 两 点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出 A ， B 间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 测量办法：在池塘外取一点 C ，使它可以直接看到 A ， B 两点， 连接并延长 AC ， BC ， 在 AC 的延长线上取一点 D ， 在 BC 的 延长线上取一点 E ，使 （ k 为正整数） 测量出 DE 的长度. 然后根据相似三角形的有关知识求出 A ， B 两点间的距离 . C D E 如果 ，且测得 DE 的长为 50 m ，则 A ， B 两点间的距离为多少？ ∵ ， ∠ ACB = ∠ DCE ， ∴ △ ABC ∽△ DEC ． ∴ ． ∵ DE = 50 m ， ∴ AB = 2 DE = 100 m . C D E 例题探究 O A B A′ B′ 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（ O ）、准星（ A ）、靶心点（ B ）在同一条直线上 . 在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到 A′ ，如图所示 . 已知 OA= 0.2m ， OB= 50m ， AA′= 0.0005m ，求李明射击到的点 B′ 偏离靶心点 B 的长度 BB′ （近似地认为 AA′ ∥ BB′ ） . 解： ∵ AA′∥BB′ ， ∴ △ OAA′ ∽△ OBB′ ． ∴ ． ∵ OA= 0.2m ， OB= 50m ， AA′= 0.000 5m ， ∴ BB′= 0.125m . 答： 李明射击到的点 B′ 偏离靶心点 B 的长度 BB′ 为 0.125m . 课堂练习 1. 如图，某路口栏杆的短臂长为 1m ，长臂长为 6m . 当短臂端点下降 0.5m 时，长臂端点升高多少米？ A B O C D 2. 如图，小红同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB ，她调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边 DE= 80 cm ， EF= 40 cm ，测得 AC= 1.5 m ， CD= 8 m ， 求树的高度 AB ． 课堂小结 相似三角形的应用主要有两个方面： 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 1. 测高 （不能直接使用皮尺或刻度尺量的） 2.测距 （不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. 第 3 章 图形 的相似 3.6 位似 教学目标 1. 理解位似图形在坐标系中的作图方法及坐标规律 2. 能按要求作出简单的平面图形运动后的图形以及对应的坐标变化 重点： 位似图形在坐标系中的坐标规律 难点： 位似图形的准确作图，动手实践能力的落实 新课引入 下图是运用幻灯机（点 Ｏ 表示光源）把幻灯片上的一只小狗放映到屏幕上的示意图，这两个图形之间有什么关系？ o 这两个图形的形状相同，但大小不同 ，它们是 相似 图形 . 分别在左、右两个小狗的头顶上取一点 A,A′; 再分别在狗尾巴尖上取一点 B,B′. o B ′ B A ′ A 发现点 A,A′ 与点 O 在一条直线上 . 点 B,B′ 与点 O 在一条直线上 . 分别量出线段 OA ， OA′, OB ， OB′ 的长度，计算 ( 精确到 0.1) ： 继续在左、右两只小狗上找出一些对应点，考察每一对对应点是否都与点 Ｏ 在一条直线上； 计算每一对对应点与 点 Ｏ 所 连的线段比，看它们是否与上述 ， 相等. 一般地，取定一个点 O ，如果一个图形 G 上每一个点 P 对应 于另一个图形 G ′上的点 P ′，且满足： （1） 直线 PP ′经过同一点 O ， （2） ，其中 k 是非零常数，当 k >0 时，点 P ′在射线 OP 上，当 k