湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数

第 4 章 锐角三角函数 4.1 正弦和余弦 教学目标 1. 了解当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一 事实 . 2. 使学生初步了解正弦的概念；能够正确地用sinA表示直角三角形中两边的 比 . 重点： 理解余弦、正弦的概念 难点： 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算 新课引入 画一个直角三角形，其中一个锐角为 65° ，量出 65° 角的对边长度和斜边长度，计算： = 与同桌和邻桌的同学交流， 看看计算出的比值 是否相等（精确到0.01）. 如图，（ 1）和（2）分别是小明、小亮画的直角三角形，其中∠ A =∠ A ′= 65°， ∠ C =∠ C ′= 90°. （ 1 ） （ 2 ） 小明量出∠ A 的对边 BC =3cm ，斜边 AB =3.3cm ， 算出： 小亮量出∠ A ′ 的对边 B ′ C ′=2cm ， 斜边 A ′ B ′=2.2cm ， 算出： 这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐角 ， 则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？ 由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 如图，△ ABC 和△ DEF 都是直角三角形，其中∠ A =∠ D = ， ∠ C =∠ F =90°，则 成立吗？为什么？ 新知探究 ∠ A = ∠ D = ， ∠ C = ∠ F = 90 ° ， ∵ △ DEF . Rt ∽ △ ABC ∴ Rt 即 ∴ ∴    这说明，在有一个锐角等于 的所有直角三角形中，角 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.   如图，在直角三角形中，我们把锐角 的对边与斜边的比叫作角 的正弦，记作sin ， 即    根据 “在直角三角形中， 30° 角所对的直角边 等于斜边的一半”，容易得到 sin 30 ° = 例题探究 例1 如 图， 在直角三角形 ABC 中，∠ C = 90°， BC =3， AB =5. （1）求sin A 的值； （2）求sin B 的值. 解： ∠ A 的对边 BC =3 ，斜边 AB =5. 于是 ∠ B 的对边是 AC ，根据勾股定理，得 AC 2 = AB 2 - BC 2 = 5 2 - 3 2 = 16. 于是 AC = 4. 因此 如何求 sin 45 ° 的值 ？ 如 图， 构造一个 Rt △ ABC ，使∠ C =90, ∠ A =45 ° . 于是 ∠ B =45 ° . 从而 AC=BC ． 根据勾股定理，得 AB 2 = AC 2 + BC 2 = BC 2 + BC 2 =2 BC 2 . 于是 AB = BC . 因此 如何求 sin 60 ° 的值 ？ 如 图， 构造一个 Rt △ ABC ，使∠ B =60 ° ， 则∠ A =30 ° ，从而 . 根据 勾股定理，得 AC 2 = AB 2 - BC 2 = AB 2 - 于是 因此 至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）的正弦值，而对于一般锐角 的正弦值，我们可以利用计算器来求. 例如求 50°角 的正弦值，可以在计算器上依次按 键 ，显示结果为0.7660… 如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角. 例 2 计算： sin 2 30 °- sin45 ° +sin 2 60 ° 解： sin 2 30 °- sin45 ° +sin 2 60 ° 如图， △ ABC 和△ DEF 都是直角三角形， 其中∠ A =∠ D = α ，∠ C =∠ F =90°，则 成立吗？为什么？ ∵ ∠ A = ∠ D = ，∠ C = ∠ F =90° ， ∴ ∠ B =∠ E . 从而 因此 由此可得，在有一个锐角等于 的所有直角三角形中，角 的 邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如图， 在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜边的比叫作角 的余弦，记作 ，即 斜边 角 的邻边 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 ， 例 3 求 cos30 ° ， cos60 ° ， cos45 ° 的值 ． 解： 课堂练习 1. 如图，在直角三角形 ABC 中 ，∠ C = 90°， BC =5， AB =13. （1）求 sin A 的值； （2）求 sin B 的值． 2. 计算：（ 1 ） sin 2 60 ° +sin 2 45 ° ； （ 2 ） 1 - 2sin 30 ° sin 60 ° . 3 . 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C =90 ° ， AC =5 ， AB =7. 求 cos A ，cos B 的值 ． 课堂小结 1. 锐角的余弦的概念 . 2. 熟记： 30°,45°,60° 这些特殊角的正弦余弦值 . 3. 理解： 0° ~ 90° 间正弦值、余弦值的变化规律： （ 1 ） 0 ＜ sin α ＜ 1 ， 0 ＜ cos α ＜ 1 ； （ 2 ）正弦值随角度的增加而增大，余弦值随角度的增加反而减小 . 第 4 章 锐角 三角函数 4.2 正切 教学目标 1 、理解并掌握正切的含义，能够用 tan α 表示直角三角形中两边的 比值 . 2 、掌握特殊角的正切 值 . 3 、能够用正切进行简单的 计算 . 重点 ： 理解正切的定义以及 如何求锐角的正切值． 难点 ： 理解正切的定义, 探索并认识正切. 新课引入    我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个锐角的对边（或邻边）与斜边的比值也就确定（是一个常数） . 那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？   如图， △ ABC 和△ DEF 都是直角三角形， 其中∠ A= ∠ D =α ，∠ C = ∠ F = 90 ° ，则 成立吗 ？ 为什么 ？ ∴ Rt△ ABC ∽Rt△ DEF. ∴ 即 BC·DF = AC·EF ， ∴ ∠ A= ∠ D = ，∠ C = ∠ F = 90 ° ， ∵ 由此可得，在有一个锐角等于 的所有直角三角形中，角 的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关 ． 如何求 tan 30 ° ， tan60 ° 的值呢 ？ 从而  AC 2 = AB 2 - BC 2 = ( 2 BC ) 2 - BC 2 =3 BC 2 . 解： 如图，构造一个 Rt △ ABC ，使∠ C =90 ° ， ∠ A =30 ° ， 于是 BC = AB ， ∠ B =60 ° . 由此得出 AC = BC . 因此   因此 求 tan 45 ° 的值 ． 现在我们把 30 ° ， 45 ° ， 60 ° 的正弦、余弦、正切值列表归纳如下： α 30 ° 45 ° 60 ° sin α cos α tan α 从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角 α ，都有唯一确定的比值 sin α ( 或 cos α ， tan α ) 与它对 应 ， 并且我们还知道，当锐角 α 变化时，它的比值 sin α ( 或 cos α ， tan α ) 也随之变化 . 因此我们把锐角的正弦、 余弦和 正切统称为 角 α 的 锐角三角函数 . 1. 在 Rt△ ABC 中，∠ C =90 ° ， AC =7 ， BC =5 ，求 tan A ， tan B 的值 ． 计算： 2. （ 1 ） 1 + tan 2 60 ° ； （ 2 ） tan30°cos 30°. 3. 如 图 ， 在 矩形 ABCD 中 ， E 是 BC 边上的 点 ， AE ＝ BC ， DF ⊥ AE ， 垂足 为点 F ， 连接 DE . (1) 求证： AB ＝ DF ； (2) 若 AD ＝ 10 ， AB ＝ 6 ，求 tan ∠ EDF 的值． 课堂小结 观察特殊角的三角函数表，发现规律： (1) 当 时 ,α 的正弦值随着角度的增大 而增大， 随着角度的减小而减小 ; (2) 当 时 , α 的余弦值随着角度的增大而减小， 随着 角度的减小而增大 ; (3) 当 时 , α 的正切值随着角度的增大而增大， 随着 角度的减小而 减小 . 第 4 章 锐角三角函数 4.3 解 直角三角形 教学目标 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 重点： 理解解直角三角形的概念；学会解直角三角形 难点： 三角函数在解直角三角形中的应用 新课引入 在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题 . 对于这类问题，我们一般利用前面已学的锐角三角函数的有关知识来解决 . 1.直角三角形的三边之间有什么关系？ 2.直角三角形的锐角之间有什么关系？ 3.直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ 如图，在直角三角形 ABC 中，∠ C =90 ° ，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别记作 a ， b ， c . a 2 + b 2 = c 2 ( 勾股定理 ) ∠ A + ∠ B =90 ° . 在一个直角三角形中，除直角外有 5 个元素（ 3 条边、 2 个锐角），要知道其中的几个素就可以求出其余的元素？ 如果知道的2个元素都是角，不能求解.因为此时的直角三角形有无数多个. 已知2个元素，且至少有一条边就可以求 出其他因素 了.   在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素. 解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程． 例 1 在 Rt△ ABC 中， a =5 ，求 ∠ B ， b ， c . 解 : 又 ∵ ∴ ∵ ∴ 例 2 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C =90° ， cos A = ， BC = 5 ， 试求 AB 的长 . 分析：在直角三角形中，已知一边和另两边的关系，常用勾股定理方程思想解决 . ∴ 设 AB=x ，则 AC = x . 又 ∴ 解： ∵ ∠ C = 90 ° ， ， ∴ AB 的长为 解得 （舍去） . 课堂练习 1. 在 Rt△ ABC 中， b =3 cm ， 求 a ， c 的长度 . 2. 在 Rt△ ABC 中， c =16 cm ， 求 a ， b 的长度 . 课堂小结 解直角三角形的依据 (1) 三边之间的关系 : a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 （勾股定理）； (2) 锐角之间的关系 : ∠ A ＋ ∠ B ＝ 90º ； (3) 边角之间的关系 : tan A ＝ a b sin A ＝ a c cos A ＝ b c 面积公式： 第 4 章 锐角三角函数 4.4 解 直角三角形的应用 教学 重点 、 难点 重点： 善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 难点： 根据实际问题构造合适的直角三角形. 新课引入 在日常生活中，我们经常会碰到一些与直角三角形有关的实际问题 . 对于这些问题，我们可以用所学的解直角三角形的知识来加以解决 . 动脑筋 某探险者某天到达如图所示的 点 A 处时，他准备估算出离他的目的地 —— 海拔为 3 500 m 的山峰顶点 B 处的水平距离 . 他能想出一个可行的办法吗？ 如右 图， BD 表示点 B 的海拔， AE 表示点 A 的海拔， AC ⊥ BD ，垂足为点 C. 先测量出海拔 AE ，再 测量出 仰角∠ BAC ，再用 锐角三角函数的知识就可求出 A ， B 两点之间的水平距离 AC ．    如图，如果测得点 A 的海拔 AE 为 1600 m ，仰角 求出 A ， B 两 点之间的水平距离 AC （结果保留整数）. 在 Rt△ ABC 中， ∵ BD = 3500 m ， AE = 1600 m ， AC ⊥ BD ， ∠ BAC = 40° ， 因此， Ａ ， B 两点之间的水平距离 AC 约为 2264 m. 解： 例题探究 例1 如图， 在离上海东方明珠塔底部1 000 m 的 A 处， 用仪器测得塔顶的仰角∠ BAC 为 25° ， 仪器距地面高 AE 为1.7 m . 求上海东方明珠塔的高度 BD （结果精确到 1 m）. 分析：在直角三角形中，已知一角和它的邻边，求对边利用该角的正切即可 . 解： 如图，在 Rt △ ABC 中，∠ BAC =25 ° ， AC =100m ， 因此 答： 上海东方明珠塔的高度 BD 为 468 m. 从而 （ m ） . 因此，上海东方明珠塔的 高度为 （ m ） . 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BD ，问哪条路比较陡？ 探究 右边的路 BD 陡些． 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ 例 2 如图，一山坡的坡度为 i =1:2. 小刚从山脚 A 出发， 沿山坡向上走了 240 m 到达点 C . 这座山坡的坡角是多少度 ？ 小刚上升了多少米 ？ （角度精确到 0.01° ，长度 精确到 0.1 m ） i =1:2 在 Rt △ ABC 中，∠ B =90 ° ，∠ A =26.57 ° ， AC =240m ， 因此 解： 用 表示坡角的大小，由题意可得 因此 ≈ 26.57°. 答： 这座山坡的坡角约为 26.57° ，小 刚上升了约 107.3 m ． 从而 （ m ）．    如图，一艘船以 40 km/h 的速度向正东航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 60 ° 方向上，继续航行 1 h 到达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东 30 ° 方向上 . 已知在灯塔 C 的四周 30km 内有暗礁 ． 问：这 艘船继续向东航行是否安全 ？ 作 CD ⊥ AB ，交 AB 延长线于点 D . 设 CD=x km . 解： 这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 30km ． 如果大于 30km ， 则安全，否则不安全 ． 分析： 在 Rt △ ACD 中， ∵ ∴ 同理，在 Rt △ BCD 中， ∵ ∴ 因此，该船能继续安全地向东航行 ． 解得 又 课堂练习 1. 如图，某厂家新开发的一种电动车的大灯 A 射出的光线 AB ， AC 与地面 MN 所形成的夹角∠ ABN ， ∠ ACN 分别为 8° 和 15° ，大灯 A 与地面的距离为 1 m ，求该车大灯照亮地面的宽度 BC （不考虑其他因素，结果精确到 0.1 m ）． D 2. 一种坡屋顶的 设计如图 ， 已知 屋顶的宽度 l 为10m，坡屋顶的高度 h 为3. 5 m . 求斜面 AB 的长度和坡角 （ 的长度 精确到0.1m，角度精确到1°）. 某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告： A 船说 B 船在它的正东方向， C 船在它的北偏东55°方向； B 船说 C 船在它的北偏西35°方向； C 船说它到 A 船的距离 比它到 B 船的距离远 40 km . 求 A ， B 两船的距离（结果精 确到0. 1 km ）. 3 . 课堂小结 1. 在直角三角形中，任一锐角的三角函数只与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关 . 2. 在直角三角形中，已知一条边和一个角，或已知两条边，就可以求出其他的边和 角 . 3. 有些关于图形的实际问题，我们可以结和已知条件，恰当地构造出直角三角形，画出图形，将实际问题转化为解直角三角形的问题.