湘教版九年级数学上册第2章一元二次方程

第 2 章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 1、什么叫方程？什么叫方程的解？我们学了哪些方程？ 2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗? 知识回顾 重点： 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念 . 难点 ： 尝试的方法求简单的二元一次方程的解 . 重 、 难点 新课引入 问题一 如 图， 某住宅小区内有一栋旧建筑，占地为一边长为35 m的正方形.现打算拆除建筑并在其正中间铺上一面积为900 m 2 的正方形草坪，使四周留出的人行道的宽度相等， 问 : 人行道 的宽度为多少米？ 35cm 35cm x x x x 解： 设人行道的宽度 为 x m ，则草坪的边长为 ( )m . 35 - 2 x 根据题意，列出方程 ( 35 - 2 x ) 2 = 900. 把方程通过移项，写成 ( 35 - 2 x ) 2 - 900 = 0. 即 4 x 2 -140 x +325= 0 . 问题二 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆 . 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程 . 分析： 问题涉及的等量关系是： 两年后的汽车拥有量 = 前年的汽车拥有量 × （1+年平均增长率） 2 . 解： 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x . 根据等量关系，可以列出方程 化简，整理得 上述两个方程有什么共同特点？ 如果一个方程通过整理可以使右边为 0 ，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做 一元二次方程 ，它的一般形式是： 4 x 2 -140 x +325=0 ax 2 + bx + c =0（ a ， b ， c 是已知数 ， a ≠0）， 其中 a ， b ， c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数 项 . 例： 下列方程是否为一元二次方程，若是，指出其二次项系数、一次项系数和常数 项 . 3x(1-x)+10=2(x+2) 解： 去括号， 得 整理， 得 3x-3x 2 +10=2x+ 4 . -3x 2 +x+6=0 可以写 成 3 x 2 -x-6=0 二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是 6 . 例： 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 + ax + a =0 的一个根是 3 ，求 a 的值 . 解： 由 题意 , 得 把 x =3 代入方程 x 2 +ax+a=0 得， 3 2 +3 a + a = 0 . 1 .关于x的方程(k－3)x 2 ＋ 2x－1＝0,当 k   时，是一元二次方程． ≠3 2 .一元二次方程(2x＋1)(x－2)＝5－3x的二次项系数、一次项系数及常数项之和为______． － 5 课堂练习 3. 已知关于 x 的方程 ( k 2 － 1) x 2 ＋ ( k ＋ 1) x － 2 ＝ 0. (1) 当 k 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的 根 . (2) 当 k 取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．   1. 了解 一元二次方程的概念和一般形式 . 2. 会 求 一元二次方程 的二次项系数 , 一次项系数和常数项 . 3. 注意 : 一元二次方程的二次项系数不能为零 . 课堂小结 第 2 章 一元二次方程 2.2 一元二次方程 的解法 2.2 一元二次方程 的解法 — 配方 法 教学重点： 运用开平方法解形如（ x + m ） 2 = n ( n ≥0) 的方程；领会降次 — 转化的数学思想 . 教学重、难点 教学难点： 通过根据平方根的意义解形如 x 2 = n 的 方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如 ( x+m ) 2 = n ( n≥ 0) 的方程 . 如何解本章 2.1节“动脑筋”中的方程： x 2 - 2500 = 0 呢 ？ 把方程写成 x 2 =2500. 这表明 x 是 2500 的平方根，根据平方根的意义，得 x= 或 x= . 因此，原方程的解为 x 1 = 50, x 2 = - 50. 对于实际问题中的方程 x 2 -2500=0 而言 ， x 2 =-50是否符合题意？ 答 ： x 2 = - 50不合题意，因为圆的半径不可能为负数，应当舍去 . 而 x 1 = 50符合题意，因此该圆的半径为 50 cm. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 例1 解方程：4 x 2 -25=0. 解： 原方程可化为 x 2 = . 根据平方根的意义，得 x = 或 x = ， 因此，原方程的根为 x 1 = ， x 2 = . 例2 解方程 ： 解： 根据平方根的意义，得 2 x +1 = 或 2 x +1 = ， 因此，原方程的根为 x 1 = ， x 2 = . 课堂练习 1. 解 下列方程： （ 1 ） 9 x 2 - 49=0 ； （ 2 ） 36 - x 2 =0 ； （ 3 ） ( x +3 ) 2 - 16=0 ； （ 4 ） ( 1 - 2 x ) 2 - 3=0. 2. （ 1 ） ( a ± b ) 2 ＝ ； （ 2 ） 把完全平方公式从 右边到左边使用 ， 在下列各题中， 填上适当的数，使等式成立： ① x 2 + 6 x + ＝ ( x + ) 2 ； ② x 2 - 6 x + ＝ ( x - ) 2 ； ③ x 2 + 6 x +5 = x 2 + 6 x + - + 5 = ( x + ) 2 - . a 2 ± 2 ab ＋ b 2 9 3 3 9 9 9 3 4 点拨： ③ 就是 把式子写成 ( x + n ) 2 + d 的形式 理解新知 解方程： x 2 + 4 x = 12. 解： x 2 + 4 x + 2 2 - 2 2 = 12 ， 因此， 有 x 2 + 4 x + 2 2 = 2 2 + 12. 即 ( x + 2 ) 2 = 16. 根据平方根的意义， 得 x + 2 = 4 或 x + 2 = -4. 解得 x 1 = 2 ， x 2 = - 6. 一般地， 像上面这样， 在方程 x 2 + 4 x = 12 的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方． 配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法． 如何用配方法解本章 2.1 节“动脑筋” 中的方程② ： 25 x 2 + 50 x - 11 = 0 呢？ 这个方程的二次项系数是 25 ，如果二次项系数为 1 ， 那就好办 了 . 我们 可以直接将左边化为 ( x + n ) 2 的 形式 . 由于方程 25 x 2 + 50 x - 11 = 0 的二次项系数不为 1 ， 为了便于配方， 我们可根据等式的性质， 在方程两边同除以 25 ， 将二次项系数化为 1 ， 得 x 2 + 2 x - ＝ 0 那么现在你会利用配方法解这个方程这个方程了么？ x 2 + 2 x - ＝ 0 x 2 + 2 x +1 2 - 1 2 - ＝ 0 配方， 得 因此 ( x + 1) 2 = 由此得 x + 1 = 或 x + 1 = ， 解得 x 1 =0.2 ， x 2 = - 2.2 二次项系数化为 1 25 x 2 + 50 x - 11 = 0 方程左边配成完全平方 将方程转化为两个一元一次方程 两个一元一次方程分别求解 用配方法解一元二次方程 的一般步骤 : 移项 : 把常数项移到方程的右边； 配方: 方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方 : 根据平方根意义，方程两边开平方； 求解 : 解一元一次方程； 定解 : 写出原方程的解 . 例 市区内有一块边长为 15 米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到 289 平方米，这块绿地的边长增加了多少米？ 解： 设这块绿地的边长增加了 x 米 ，则 有 ( 15 ＋ x ) 2 ＝ 289 ，解得 x 1 ＝ 2 ， x 2 ＝－ 32( 舍去 ) ． 所以 这块绿地的边长增加了 2 米 .   2.2 一元二次方程 的解法 — 公式 法 教学目标 学会用公式法解一元二次方程，其一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出a、b、c 的 值 . 2、求出b 2 -4ac 的值. 特别注意:当b 2 -4ac ≥0 时原方程有实数 解 . 3、代入求根公式 4、写出方程的 解x 1 =？，x 2 =? 用配方法解关于 x 的方程： ax 2 + bx + c =0 解 : 把方程两边都除以 a ， 得 移项， 得 配方， 得 即 ∵ 4 a 2 0， ∴ 当 b 2 -4 ac ≥ 0 时 ， ,即 > 一元二次方程 （ a ≠0 ） 在 b 2 -4 ac ≥0 时，它的根为 ( b 2 - 4 ac ≥ 0) 我们通常把这个式子叫作一元二次方程的求根公式 . 运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系数 a ， b ， c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与系数 a ， b ， c 之间的一个关系 . 用公式法解方程 x 2 - x -2=0 解： a ＝ 1 ， b ＝ - 1 ， c ＝ - 2. 因而 b 2 - 4 ac ＝ (- 1) 2 - 4 × 1 × (- 2) ＝ 1 ＋ 8 ＝ 9 ＞ 0 ， 所以 x ＝ 因此， 原方程的根为 x 1 ＝ 2 ， x 2 ＝ - 1. 用公式法解方程： 解： 即 这里 因而 b 2 - 4 ac ＝ (- 7) 2 - 4 × 1 × (- 18) ＝ 49 ＋ 72 ＝ 121 ＞ 0 ， 课堂练习 用公式法解下列方程： 小结： 1. 回顾一元二次方程的求根公式是什么？它是如何推导的？ 3. 应用公式法解一元二次方程的基本步骤有哪些？ 2. 怎样通过一元二次方程的根的判别式 Δ = b 2 - 4 ac 判断根的情况？ 2.2 一元二次方程 的解法 — 因式分解 法 教学目标 1. 用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、完全平方公式等解一元二次方程及其应用 . 2. 三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与 区别 . 解方程： x 2 -3 x =0 方程的左边提取公因式 x ，得 x(x-3)=0 ，由此得 x=0 或 x-3=0, 即 x 1 =0 ， x 2 =3 像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程 的方法叫做因式分解 法 . 可以用公式法求解 例 用因式分解法解下列方程： x 2 - 10 x + 24 = 0. 解 配方， 得 x 2 - 10 x + 5 2 - 5 2 + 24 = 0 ， 因而 ( x - 5 ) 2 - 12 = 0 ， 把方程左边因式分解，得 ( x - 5 + 1 )( x - 5 – 1) = 0 ， 即 ( x – 4)( x – 6) = 0 ， 由此得 x - 4 = 0 或 x - 6 = 0. 解得 x 1 = 4 ， x 2 = 6. 从例中可以看出， 我们能把方程 x 2 - 10 x + 24 = 0 的左边因式分解后， 写成 x 2 - 10 x + 24 = ( x - 4 )( x – 6)= 0 ，则 4 和６就是原方程的两个根 . 一般地，若我们能把方程 x 2 + bx + c = 0 的左边进行因式分解后， 写成 x 2 + bx + c = ( x - d )( x – h )= 0 ，则 d 和 h 就是方程 x 2 + bx + c = 0 的两个根 . 反过来，如果 d 和 h 是方程 x 2 + bx + c = 0 的两个根，则方程的左边可以分解成 x 2 + bx + c = ( x - d )( x – h )= 0 . 我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方程的特点，选择合适的方法来求解 . 如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？ 公式法适用于所有一元二次方程 . 因式分解法（有时需要先配方）适用于所有一元二次方程 . 配方法是为了推导出求根公式 ，以及先配方，然后用因式分解法 . 解一元二次方程的基本思路都是 ： 将一元二次方程转化为一元一次方程，即 降次 ， 其本质是把 ax 2 + bx + c = 0 （ a ≠ 0 ）的左端的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即 ax 2 + bx + c = a （ x - x 1 ）（ x - x 2 ），其中 x 1 和 x 2 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个根 . 解下列方程： （ 1 ） x 2 - 7 x =0 ； （ 2 ） 3 x 2 = 5 x . 1. 因式分解法是一种比较简单的解方程的方法，我们是如何通过因式分解把一元二次方程降次的呢？ 2. 利用因式分解法解一元二次方程的主要步骤有哪些？ 归纳总结 第 2 章 一元二次方程 2.3 一元二次方程根的判别式 教学目标 1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2.能运用根的判别式， 判别方程根的情况和进行有关的推理论证 ； 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的范围. 新课引入 我们在运用公式法求解一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0) 时，总是要求 b 2 -4 ac ≥0. 这是为什么？ 把方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠0) 配方后得到： 由于 a ≠0 ，所以 ＞ 0 ，因此我们不难发现： 此时，原方程有两个不相等的实数根. （ 1 ） 当 时， 由于正数有两个平方根，所以原方程的根为 此时，原方程有两个相等的实数根 . 当 时 ， （ 2 ） 由于 0 的平方根为 0 ，所以原方程的根为 由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程没有实数根 . 当 时， （ 3 ） 当 Δ > 0 时， 原方程有两个不相等的实数根 ，其根为 当 Δ = 0 时， 原方程有两个相等的实数根 ，其根为 当 Δ < 0 时， 原方程没有实数根 . 例 已知关于 x 的方程 x 2 － 2( k ＋ 1) x ＋ k 2 ＝ 0 有两个不相等的实数根． (1) 求 k 的取值范围； (2) 求证： x ＝－ 1 不可能是此方程的实数根． (2) 证明：若 x ＝－ 1 是方程 x 2 － 2(k ＋ 1)x ＋ k 2 ＝ 0 的实数根，则有 ( － 1) 2 ＋ 2(k ＋ 1) ＋ k 2 ＝ 0 ，即 k 2 ＋ 2k ＋ 3 ＝ 0.∵Δ ＝ b 2 － 4ac ＝－ 8