浙教版九年级数学上册第4章测试题及答案

浙教版九年级数学上册第4章测试题及答案 ‎4.1 比例线段 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1. 若 ，则 的值为 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ [来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎2. 若 ，则 的值为 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎3. 若 ，则 的值为 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎4. 如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形 内，点 是 的黄金分割点，，若 ，则 长为 ( )‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎5. 如果 ，那么 的值是 ( )[来源:Z.Com]‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ [来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎6. 已知 （），那么下列比例式中正确的是 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎7. 已知点 是线段 的黄金分割点 ，，则线段 的长是 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎8. 若 ，则下列等式中不正确的是 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎9. 把 长的线段进行黄金分割，则较长线段的长 （ ，精确到 ） 是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎10. 若 ，则  ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎11. 已知线段 、 满足 ，则  ．‎ ‎ ‎ ‎12. 如果 （），且 ，那么  ．‎ ‎ ‎ ‎13. 若 ，则  ．‎ ‎ ‎ ‎14. 如果线段 是 ， 的比例中项，且 ，，则  ．‎ ‎ ‎ ‎15. 若 （，， 均不为 ），则 的值为  ．‎ ‎ ‎ ‎16. 若 ，则  ．‎ ‎ ‎ ‎17. 已知 ，则  ．‎ ‎ ‎ ‎18. 如图所示，乐器上的一根弦 ，两个端点 固定在乐器面板上，支撑点 是靠近点 的黄金分割点（即 是 与 的比例中项），支撑点 是靠近点 的黄金分割点，则   ，   ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19. 已知 中，，， 平分 交 于 ，过 作 交 于 ，作 平分 交 于 ，过 作 交 于 ，则线段 的长度为  ．（用含有 的代数式表示）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20. 如图， 中， ，若 分别是 的中点，则 ；‎ ‎ 若 分别是 的中点，则 ；‎ ‎ 若 分别是 的中点，则 ； ；若 分别是 的中点，则  ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎21. 已知 ，， 是 的三边长，且 ．‎ Ⅰ 求 的值；‎ Ⅱ 若 的周长为 ，求各边的长．‎ ‎ ‎ ‎22. 已知 ，求 的值．‎ ‎ ‎ ‎23. 证明：如果 ，那么 ．‎ ‎ ‎ ‎24. （1）已知 ，那么 、 、 等于多少?‎ Ⅱ 已知 ，你能得出哪些结论?‎ ‎ ‎ ‎25. 如图（1），点 将线段 分成两部分，如果 ，那么称点 为线段 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 将一个面积为 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 、 ，如果 ，那么称直线 为该图形的黄金分割线．‎ ‎ ‎ Ⅰ 研究小组猜想：在 中，若点 为 边上的黄金分割点，如图（2），则直线 是 的黄金分割线．你认为对吗?为什么?‎ Ⅱ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?‎ Ⅲ 研究小组在进一步探究中发现：过点 任作一条直线交 于点 ，再过点 作直线 ，交 于点 ，连接 ，如图（3），则直线 也是 的黄金分割线．请你说明理由．‎ Ⅳ 如图（4），点 是平行四边形 的边 的黄金分割点，过点 作 ，交 于点 ，显然直线 是平行四边形 的黄金分割线，请你画一条平行四边形 的黄金分割线，使它不经过平行四边形 各边的黄金分割点．‎ 答案 第一部分 ‎1. A 2. D 3. A 4. B 5. A ‎ ‎6. A 7. A 8. D 9. C 10. D ‎ 第二部分 ‎11. ‎ ‎12. ‎ ‎13. ‎ ‎14. ‎ ‎15. ‎ ‎16. ‎ ‎17. ‎ ‎18. ； ‎ ‎19. ‎ ‎20. 第三部分 ‎21. （1） 设 ，，，．‎ 所以 ．‎ ‎      （2） 由题意得，，解得 ．‎ 所以 ，，．‎ ‎22. 设 ，‎ 则 ，‎ 所以 ．‎ ‎23. 因为 ，可设 ，‎ 所以 ，，‎ 所以 ，‎ ‎ ，‎ 所以 ．‎ ‎24. （1） ；‎ ‎ ；‎ 因为 ‎ 所以 ‎ 所以 ．‎ ‎      （2） ；；； 等．‎ ‎25. （1） 直线 是 的黄金分割线．‎ 理由如下：‎ 设 的边 上的高为 ，‎ ‎ ，，，‎ 所以 ， .‎ 因为点 为边 的黄金分割点，所以有 ，‎ ‎ ，‎ ‎ 直线 是 的黄金分割线．‎ ‎      （2） 因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时 ，即 ，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．‎ ‎      （3） 因为 ，所以 和 的公共边 上的高也相等，‎ 所以有 .‎ 设直线 与 交于点 .‎ 所以 .‎ 所以 ，‎ ‎ . ‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ 直线 也是 的黄金分割线．‎ ‎      （4） 画法不唯一，现提供两种画法；‎ 画法一：如图 ，取 的中点 ，再过点 作一条直线分别交 ， 于 ， 点，则直线 就是平行四边形 的黄金分割线．‎ 画法二：如图 ，在 上取一点 ，连接 ，再过点 作 交 于点 ，连接 ，则直线 就平行四边形 的黄金分割线．‎ ‎4.2 由平行线截得的比例线段 两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的____成比例．‎ A组 基础训练 ‎1．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC.若AD＝4，DB＝2，则AE∶EC等于( )‎ A. B．2 C. D. 第1题图 2． ‎(杭州中考)如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，‎ c于点D，E，F，若＝，则等于( )‎ 第2题图 A. B. C. D．1‎ ‎3．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )‎ 第3题图 A.＝ ‎ B.＝ C.＝ ‎ D.＝ 4． 如图，DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：＝，＝，＝，＝，其中正确的比例式的个数有( )‎ 第4题图 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5． 如图，AD与BC相交于点E，AB∥CD，若BE∶EC＝2∶3，AD＝4，则AE＝____．‎ 第5题图 4． 如图，已知l1∥l2∥l3，AM＝3cm，BM＝5cm，CM＝4.5cm，EF＝12cm，则DM＝____cm，EK＝____cm，FK＝____cm.‎ 第6题图 5． 如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝1∶2∶3，若EG＝3，则AC＝________．‎ 第7题图 6． 如图，点E是AC中点，且BC∶CD＝3∶2，CG∥DF交AB于点G，则AF∶FG＝________，BG∶GF＝________，BF∶FA＝__________．‎ 第8题图 ‎9．已知线段AB，在AB上求作一点C，使AC∶CB＝2∶3.(保留作图痕迹，不要求写作法)‎ 第9题图 ‎10．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，AD∶DB＝2∶3，BC＝20cm，求BF的长．‎ 第10题图 ‎11．如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AD＝3，CE＝4，求AB的长．‎ 第11题图 ‎12．如图，已知AB∥MN，BC∥NG，求证：＝.‎ 第12题图 B组 自主提高 ‎13．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，过点B作BE∥CD交AC的延长线于点E.‎ 第13题图 ‎(1)求证：BC＝CE；‎ ‎(2)求证：＝.‎ ‎14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B>∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F.‎ ‎(1)求证：DE＝EF；‎ ‎(2)连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B＝∠A＋∠DGC.‎ 第14题图 参考答案 ‎【课堂笔记】‎ 对应线段 ‎【课时训练】‎ ‎1－4.BBAB 5.1.6 6.7.5 4.5 7.5 7.9 8.1∶1 3∶2 5∶2 9.图略．‎ 10． BF＝8cm. 11.AB＝2＋3. 12.∵AB∥MN.∴＝.又∵BC∥NG.∴＝，∴＝. 13.(1)∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∵BE∥CD，∴∠CBE＝∠BCD，∠CEB＝∠ACD.∴∠CBE＝∠CEB.∴BC＝CE; (2)∵BE∥CD，∴＝.又∵BC＝CE，∴＝. 14．(1)∵DE∥BC，∴＝，∵点D为边AB的中点，∴AE＝EC，∵CF∥AB，∴＝＝1，∴DE＝EF; (2)∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACG，∴∠A＋∠DGC＝∠ACG＋∠DGC＝∠DHC，∵∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，∴AD＝DC，∴∠A＝∠ACD，又∵∠ACB＝∠CDG＝90°，∴∠B＝∠DHC.∴∠B＝∠A＋∠DGC.‎ 第14题图 ‎4.3 相似三角形 ‎1．对应角相等，____的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形____叫做相似比．‎ ‎2．相似三角形的对应角相等，____．‎ A组 基础训练 ‎1．已知△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝30°，∠B＝50°，AC与DF是对应边，则∠F等于( )‎ A．50° B．80° C．100° D．150°‎ ‎2．下列说法正确的是( )‎ A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的等边三角形都相似 C．所有的直角三角形都相似 D．两相似三角形必是全等三角形 ‎3．如图，若A，B，C，D，E，F，G，H，O都是5×7方格纸中的格点，为使△DME∽△ABC，则点M应是F，G，H，O点中的( )‎ A．F B．G C．H D．O 第3题图 4． 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论中一定正确的是( )‎ 第4题图 A．AB2＝BC·BD B．AB2＝AC·BD C．AB·AD＝BD·BC D．AB·AD＝AD·CD ‎5．如图，△ADE∽△ABC，AD∶DB＝3∶2，则△ADE与△ABC的相似比为____．‎ 第5题图 6． 如图，△AOC∽△BOD，若OA∶OB＝2∶3，AC＝4cm，则BD＝____cm.‎ 第6题图 7． 如图，△DEF∽△DGH，若∠GDE＝25°，则∠HDF＝____．‎ ‎  ‎ 第7题图 ‎8．一个三角形的各边之比为3∶5∶6，与它相似的另一个三角形的最大边长为30cm，则它的最小边长为____cm.‎ ‎9．如图是两个相似的三角形，求∠C，∠D，x的值．‎ 第9题图 ‎10．如图，已知△ADE∽△ABC，且∠AED＝∠C，AD＝2，AB＝4，DE＝1.8.求：‎ ‎(1)BC的值；‎ ‎(2)AE∶AC的值．‎ 第10题图 ‎11．如图，已知△ABC∽△ADE，DE⊥AB，BC⊥AD，垂足分别为E，C.‎ ‎(1)写出这两个相似三角形对应边的比例式；‎ ‎(2)若AE＝5，AD＝13，CD＝3，求BC的长．‎ 第11题图 B组 自主提高 ‎12．△ABC和△DEF的各角的度数与各边的长度如图所示，那么△ABC与△DEF相似吗？为什么？‎ 第12题图 ‎13．如图，D是AB的中点，△ABC∽△ACD，且AD＝2，∠ADC＝65°.‎ ‎(1)写出△ABC与△ACD的对应边成比例的比例式；‎ ‎(2)求AC的值及∠ACB的度数．‎ 第13题图 ‎14．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，且AE＝3，点F在AC上，连结EF.若△AEF与△ABC相似，求AF的长．‎ 第14题图 参考答案 ‎【课堂笔记】‎ ‎1．对应边成比例 对应边的比 2.对应边成比例 ‎【课时训练】‎ ‎1－4.CBBA 5.3∶5 6.6 7.25° 8.15 9.∵△ABC中，∠B＝30°，∠A＝45°，‎ ‎∴∠C＝180°－30°－45°＝105°，∵△ABC∽△DEF，∴∠D＝∠A＝45°，∠C＝∠F＝105°，＝‎ eq \f(DF,EF)，即＝，解得x＝2. 10.(1)∵△ADE∽△ABC，∴＝，∵AD＝2，AB＝4，DE＝1.8，∴＝，∴BC＝3.6； (2)∵△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，即AE∶AC＝1∶2.‎ 11． ‎(1)∵△ABC∽△ADE，∴＝＝； (2)∵AD＝13，CD＝3，∴AC＝AD－CD＝10，∴＝，∴AB＝26，∴BC＝＝24.‎ 12． 相似，∵∠A＝∠D＝75°，∠B＝∠E＝60°，∠C＝∠F＝45°，又∵BC∶EF＝AB∶DE＝AC∶DF＝2∶3，∴△ABC∽△DEF. ‎ 13． ‎(1)∵△ABC∽△ACD，∴＝＝； (2)由(1)知：＝，又AB＝2AD＝4，∴＝，∴AC＝2(负值舍去)．由△ABC∽△ACD，∠ADC＝65°，‎ ‎∴∠ACB＝∠ADC＝65°. ‎ 14． 分情况讨论(如图)：①当△ABC∽△AEF时，＝，∴＝，∴AF＝2；‎ ‎②当△ABC∽△AFE时，＝，∴＝，∴AF＝4.5.综上所述，AF的长为2或4.5.‎ 第14题图 ‎4.4 两个三角形相似的判定 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1. 如图，四边形 的对角线 ， 相交于 ，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若 ，则下列结论中一定正确的是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. ①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 ‎ ‎ ‎2. 下列判断中，不正确的是 ‎ ‎ A. 两直角边长分别是 ， 和 ， 的两个直角三角形相似 ‎ B. 斜边和一直角边长分别是 ， 和 ， 的两个直角三角形相似 ‎ C. 两条边长分别是 ， 和 ， 的两个直角三角形相似 ‎ D. 两个等腰直角三角形相似 ‎ ‎ ‎3. 如图所示，有点光源 在平面镜上方，若点 恰好在点光源 的反射光线上，并测得 ，，，且 ，则点光源 到平面镜的距离 的长度为 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎4. 如图，在正方形网格上有 个三角形：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．② ⑥中与①相似的是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. ②③④ B. ③④⑤ C. ④⑤⑥ D. ②③⑥‎ ‎ ‎ ‎5. 下列 的正方形网格中，小正方形的边长均为 ，三角形的顶点都在格点上，则与 相似的三角形所在的网格图形是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ ‎ ‎6. 如图，小明在做选择题"如图，四边形 中，，，，，则 的长为多少"时遇到了困难．小明通过测量发现，试题给出的图形中，，，且各角度符合条件，因此小明猜想下列选项中最可能正确的是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎7. 如图， 是 的边 上的一点，那么下列四个条件不能单独判定 的是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ ‎ ‎8. 如图， 是 的边 上一点，，，．如果 的面积为 ，那么 的面积为 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎9. 若两个扇形满足弧长的比等于它们的半径的比，则称这两个扇形相似．如图所示，如果扇形 与扇形 是相似扇形，且半径 （ 为不等于 的常数），那么下面的四个结论：‎ ‎ ① ；‎ ‎ ② ；‎ ‎ ③ ；‎ ‎ ④扇形 与扇形 的面积之比为 ．‎ ‎ 成立的个数为 ‎ ‎ ‎ ‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个[来源:Z.Com]‎ ‎ ‎ ‎10. 如图，在 中，， 于点 ， 于点 ， 为 边的中点，连接 ，，则下列结论：① ；② ；③ 为等边三角形；④当 时，．其中正确的个数是 ( )‎ ‎ ‎ ‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎ ‎ 二、填空题 ‎11. 两边   且夹角   的两个三角形相似．利用这种方法判定两个三角形相似时，寻找的条件必须满足“两边夹一角”，如果改为“两边与一组对应角相等”，这两个三角形就不一定相似了．‎ ‎ ‎ ‎12. 如图，在 中，，点 在 上．要使 ，可添加的一个条件是  ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13. 的三边长分别为 ，，， 的两边长分别为 ，，当 的第三边长为  时，．‎ ‎ ‎ ‎14. 如图，在四边形 中，，，，，，如果边 上的点 ，使得以 ，， 为顶点的三角形与 ，， 为顶点的三角形相似，这样的点 有   个．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎15. 在 中，， 是 边上的高，并且 ，则 的度数为  ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16. 如图，在平面直角坐标系中，点 为 轴上的一点，且点 坐标为 ，过点 的直线 轴，点 为直线 上的一动点，连接 ， 交直线于点 ，则 的值为  ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17. 已知 的三边长分别为 ，，， 的两边长分别为 和 ，要判定 ，那么 的第三边长应为  ．‎ ‎ ‎ ‎18. 如下图，矩形纸片 中，，，点 是边 上的动点．现将纸片折叠，使点 与点 重合，折痕与矩形边的交点分别为 ，．‎ ‎ （1）当点 恰好为 的中点时，折痕 的长度为  ；‎ ‎ （2）设 ，要使折痕始终与边 ， 有交点， 的取值范围是  ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19. 如图，在 中，，，，动点 从点 开始沿边 向点 以每秒 个单位长度的速度运动，动点 从点 开始沿边 向点 以每秒 个单位长度的速度运动，连接 ，点 ， 分别从点 ， 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 秒（）．‎ ‎ （1）当   秒时，点 ，， 所构成的三角形与 相似．‎ ‎ （2）在整个运动过程中，线段 的中点所经过的路程长为  ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， 的坐标分别 ，， 是 的中点，过 作 轴的垂线垂足为 ．动点 从点 出发，沿 向 匀速运动，过点 做 轴的垂线，垂足为 ，连接 ，．当 所在直线与 所在直线第一次垂直时，点 的坐标为  ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎21. 如图，在锐角三角形 中，， 上的高 ， 相交于点 ，写出图中的两对相似三角形．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22. 如图，在 中，，， 是两条高．求证；．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23. 如图，四边形 和四边形 都是矩形，且点 恰好在 上．若 ，，则  ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎24. 网格图中每个方格都是边长为 的正方形．若 ，，，，， 都是格点，试说明 ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎25. 阅读下面材料：‎ ‎ 小骏遇到这样一个问题：画一个和已知矩形 面积相等的正方形．‎ ‎ 小骏发现：延长 到 ，使得 ，以 为直径作半圆，过点 作 的垂线，交半圆于点 ，以 为边作正方形 ，则正方形 即为所求．‎ ‎ ‎ ‎ 请回答：， 和 的数量关系为  ．‎ ‎ 参考小骏思考问题的方法，解决问题：‎ ‎ 画一个和已知平行四边形 面积相等的正方形，并写出画图的简要步骤．‎ ‎ ‎ 答案 第一部分 ‎1. B 2. C 3. C 4. B 5. B ‎ ‎6. A 7. C 8. D 9. D 10. D ‎ ‎[来源:Z.Com]‎ 第二部分 ‎11. 成比例；相等 ‎12. 答案不唯一．如 或 等．‎ ‎13. ‎ ‎14. ‎ ‎15. ‎ ‎16. ‎ ‎17. ‎ ‎18. （1）；（2） ‎ ‎19. ； ‎ ‎20. ‎ 第三部分 ‎21. ，．‎ ‎22. ， 是两条高，‎ ‎ ，，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎23. ‎ ‎24. ，，，，，，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎25. ．‎ 解决问题：‎ 方法一：‎ 过点 作 于点 ，延长 到 ，使得 ，以 为直径作半圆，过点 作 垂线，交半圆于点 ，以 为边作正方形 ，正方形 即为所求．‎ 方法二：‎ 如图，过点 作 于点 ，过点 作 交 延长线于点 ，将平行四边形转化为等面积矩形，后同小骏的画法．‎ ‎4.5 相似三角形的性质及其应用 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1. 如图，身高为 的某学生想测量学校旗杆的高，当他站在 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得 ，，则旗杆的高度是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ [‎ ‎2. 两个相似多边形，一组对应边的长分别是 和 ，如果它们的面积之和是 ，那么较大的多边形面积为 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎3. 如图是幻灯机的工作原理图，其中幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离为 ，幻灯片与屏幕间的距离为 ，幻灯片上的图案的高度是 ，屏幕上图案的高度应为 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎4. 某块面积为 的多边形草坪，在某市政建设规划设计图纸上的面积为 ，这块草坪某条边的长度是 ，则它在设计图纸上的长度是 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎5. 如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点 ，在近岸取点 ，，使得 ，， 在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得 ，然后又在垂直 的直线上取点 ，并量得 ．如果 ，则河宽 为 ( )‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎6. 如图， 中， 是中线，，，则线段 的长为 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎7. 如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 ，在近岸取点 ，，，使得 ，，点 在 上，并且点 ，， 在同一条直线上．若测得 ，，，则河的宽度 等于 ( )‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎8. 某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为 ，其中一块草坪的周长是 ，则另一块草坪的周长是 ( )‎ ‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎ ‎ ‎9. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔 ， 是 的中点， 是水平的，在阳光的照射下，塔影 留在坡面上．已知铁塔底座宽 ，塔影长 ，小明和小华的身高都是 ，同一时刻，小明站在点 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 和 ，那么塔高 为 ( )．‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎10. 如图，以 为圆心， 为半径的圆与 轴交于 ， 两点， 是 上异于 ， 的一动点，直线 ， 分别交 轴于 ，，以 为直径的 与 轴交于 ，，则 的长 ( )．‎ ‎ ‎ ‎ A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 随 点 ‎ ‎ 二、填空题 ‎11. 利用影长测量物体的高度，通常利用“相似三角形对应边  ”的原理解决，在同一时刻物高与影长的比  ．‎ ‎ [来源:学§科§网]‎ ‎12. 同一时刻阳光下，哥哥的身高是 ，在地面上的影子长是 ，同一时刻测得弟弟的影子长是 ，则弟弟的身高是   ．‎ ‎ ‎ ‎13. 已知两个三角形相似，它们的一组对应边分别是 和 ，那么它们对应高的比等于  ．‎ ‎ ‎ ‎14. 如图，为测量电视塔 的高度（包括台阶高），小亮在他与电视塔之间竖立一根 高的标杆（即 ），当他距标杆 时（即点 处），塔尖 、标杆的顶端 与小亮的眼睛 恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是 ，标杆与电视塔之间的距离是 ，则电视塔的高度是   ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎15. 为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底 米的点 处，然后沿着直线 后退到点 ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点 ，再用皮尺量得 米，观察者目高 米，则树 的高度约为   米（精确到 米）．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16. 如图，小明用长为 的竹竿 做测量工具，测量学校旗杆 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的顶端 、 与 点在一条直线上，则根据图中数据可得旗杆 的高为   ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 是边长为 的正方形，顶点 ， 分别在 ， 轴的正半轴上，点 在对角线 上，且 ，连接 并延长 交边 于点 ，则点 与 的坐标分别为  ，  ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18. （1）如图，斜坡长 ，若沿斜坡向上走 时上升了 ，则到达坡顶点 时上升了   ；‎ ‎ ‎ ‎ （2）在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为 ，同时得—幢高楼的影长为 ，这幢高楼的高度是   ．‎ ‎ ‎ ‎19. 如图所示，在矩形 中，，，点 是边 上一点，若 与 相似，则满足条件的点 有   个．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20. 如图，某校有一呈梯形状的运动场，现只测量出 的面积为 ， 的面积为 ，则梯形状运动场的面积为  ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎21. 已知 ，若 与 的相似比为 ，则 与 的面积之比为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎22. 如图，为了测量山脚 ， 之间的距离，选定一点 ，量得 步， 步，在 的延长线上取点 ，使 步，在 的延长线上取点 ，使 步，量得 步．你知道 、 之间相距多少步吗?‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23. 如图，在 和 中，，，， 的周长是 ，面积是 ，求 的周长和面积．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎24. 如图，为了估算河的宽度，可以在河对岸选定一个目标点 ，在近岸取点 和 ，使点 ，， 共线且直线 与河垂直．在过点 且与 垂直的直线 上选择适当的点 ，确定 与过点 且垂直 的直线 的交点 ．测得 ，，，求河的宽度 ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎25. 已知四边形 中， 、 分别为 、 边上的点， 与 交于点 ．‎ Ⅰ 如图，若四边形 是矩形，且 ，求证：；‎ ‎ ‎ Ⅱ 如图，若四边形 是平行四边形，试探究：当 与 满足什么关系时，使得 成立?并证明你的结论；‎ ‎ ‎ Ⅲ 如图，若 ，，，，请直接写出 的值．‎ ‎ ‎ 答案 第一部分 ‎1. C 2. D 3. C 4. C 5. A ‎ ‎6. B 7. B 8. C 9. A 10. C ‎ 第二部分 ‎11. 成比例；相等 ‎12. ‎ ‎13. ‎ ‎14. ‎ ‎15. ‎ ‎16. ．‎ ‎17. 、 ‎ ‎18. （1）；（2） .‎ ‎19. ‎ ‎20. [Com]‎ 第三部分 ‎21. D 22. ，．‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ 又 ，‎ ‎ ．‎ 答：， 之间相距 步．‎ ‎23. 在 和 中，‎ ‎ ，，‎ ‎ ．‎ 又 ，‎ ‎ ，相似比为 ．‎ ‎ 的周长为 ，面积为 ．‎ ‎24. ，，‎ ‎ ．‎ ‎ ，‎ 即 ，，．‎ 解得 ．‎ 因此河的宽度 为 ．‎ ‎25. （1） 四边形 是矩形，‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎      （2） 当 时， 成立．‎ 证明：‎ 在 的延长线上取点 ，使 ，则 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎ ，即 ．‎ ‎      （3） ．‎ ‎4.6 相似多边形 ‎1．对应角____，对应边____的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形____的比叫做相似比．‎ ‎2．相似多边形的周长之比等于____，面积之比等于____．‎ A组 基础训练 ‎1．如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( )‎ A．1∶25 B．1∶5 C．1∶2.5 D．1∶ ‎2．如图，有两个形状相同的星星图案，则x的值为( )‎ A．15 B．12 C．10 D．8‎ 第2题图 ‎3．下列说法正确的是( )‎ A．所有的菱形都相似 ‎ B．所有的矩形都相似 ‎ C．所有的正六边形一定相似 ‎ D．所有的等腰三角形都相似 ‎4．一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，‎ 则这个多边形的最短边为( )‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ 5． 已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F上，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD等于( )‎ 第5题图 A. B. C. D．2‎ ‎6．如图，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于( )‎ 第6题图 A．0.618 B. C. D．2‎ ‎7．一张比例尺为1∶250的图纸上，一块多边形区域的周长是54cm，面积是280cm2，则该区域的实际周长是____，实际面积是___．‎ ‎8．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则CD＝____，∠D＝____．‎ 第8题图 ‎9．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB＝2，S矩形ABCD＝3S矩形ECDF，则S矩形ABCD＝________．‎ 第9题图 ‎10．如图，图中的两个四边形相似，试求未知边a，b的长度和角α的大小．‎ 第10题图 ‎11．两个相似多边形的一对对应边的边长分别是15cm和12cm.‎ ‎(1)它们的周长相差24cm，求这两个多边形的周长；‎ ‎(2)它们的面积相差270cm2，求这两个多边形的面积．‎ ‎12．如图，已知在梯形ABCD中，EF∥AB∥CD，AB＝9，CD＝4，若EF把梯形分成的两个小梯形相似，求EF的长．‎ 第12题图 B组 自主提高 ‎13．如图，M是四边形ABCD的对角线AC上的点，ME∥CD，MF∥BC，MC∶MA＝1∶3.‎ ‎(1)求证：四边形AFME∽四边形ABCD；‎ ‎(2)求四边形AFME与四边形ABCD的面积比．‎ 第13题图 ‎14．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．‎ 第14题图 请你解决下列问题：‎ ‎(1)当矩形的长和宽分别为2，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由；‎ ‎(2)边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．‎ 参考答案 ‎【课堂笔记】‎ ‎1．相等 成比例 对应边 2.相似比 相似比的平方 ‎【课时训练】‎ ‎1－5.DDCBB 6.B 7.135m 1750m2 8.10 95° 9.4 10.∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴＝＝.∵AD＝4，A′D′＝8，A′B′＝10，BC＝4.5，∴＝＝，∴a＝AB＝5，b＝B′C′＝9.∵∠A＝∠A′＝70°，∠C＝∠C′＝80°，∠B＝75°，∴∠D＝360°－70°－80°－75°，∴α＝135°. 11.(1)设较大多边形的周长为x，则较小多边形的周长为(x－24)，∵＝，∴x＝120，x－24＝96.答：两个多边形的周长分别为120cm、96cm；‎ ‎(2)设大的面积为y，小的面积为y－270，∵＝，∴y＝750，y－270＝480.答：这两个多边形的面积分别为750cm2，480cm2. 12.∵EF把梯形分成的两个小梯形相似，∴＝，∴EF2＝AB·CD＝9×4＝36，∴EF＝6. 13.(1)∵ME∥CD，∴△AME∽△ACD，∴＝＝，∠AME＝∠ACD，∠AEM＝∠D.同理可证△AMF∽△ACB，∴＝＝，∠AMF＝∠ACB，∠AFM＝∠B，∴＝＝＝，∠AFM＝∠B，∠FME＝∠BCD，∠AEM＝∠D，∠FAE＝∠BAD，∴四边形AFME∽四边形ABCD；‎ ‎(2)由(1)知＝＝＝. 14.(1)不存在．假设存在，设另一个矩形的边长分别为x，(1.5－x)，则x(1.5－x)＝1，x2－1.5x＋1＝0，b2－4ac＝1.52－4×1×1＝－1.75＜0，∴方程无实数根，即假设不成立，∴不存在； (2)不存在，减半正方形的边长为a，＝a2，得a＝0，不合题意，∴不存在．‎ ‎4.7 图形的位似 ‎1．如果两个图形不仅____，而且每组对应点所在的直线都____，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做____，位似图形是相似图形的特殊情形，其位似比也就是____．‎ ‎2．位似图形上任意一对对应点到____的距离之比等于____．‎ ‎3．若原图形上点的坐标为(x，y)，以原点为位似中心，象与原图形的位似比为k，则象上的对应点的坐标为____或____．‎ ‎4．画位似图形的步骤：‎ ‎(1)确定位似____；‎ ‎(2)连结图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)；‎ ‎(3)按位似比进行取点；‎ ‎(4)顺次连结各点，所得的图形就是所求图形．‎ A组 基础训练 ‎1．下列说法正确的是( )‎ A．若两个图形是相似图形，则这个图形一定是位似图形 B．两个正方形是位似图形 C．位似图形是相似图形 D．两个全等图形是位似图形 2． 如图，△ABC和△DEF是位似图形，且D是OA的中点，则等于( )‎ 第2题图 A. B. C. D. ‎3．如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1＝PA，则AB∶A1B1等于( )‎ 第3题图 A. B. C. D. ‎4．下列四图中的两个三角形是位似三角形的是( )‎ 第4题图 A．图(3)、图(4) B．图(2)、图(3)、图(4)‎ C．图(2)、图(3) D．图(1)、图(2)‎ ‎5．如图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )‎ 第5题图 A．点M B．点N C．点O D．点P ‎6．已知图形A与图形B是以坐标原点为位似中心的位似图形，且位似比为3∶1，若图形A上一点的坐标为(3，1)，则它在图形B上的对应点的坐标是______________．‎ ‎7．已知△DEF是△ABC的位似图形，位似中心是原点O，点D的坐标为(－2，3)，它的对应点为A(6，－9)，则△DEF与△ABC的位似比为___．‎ ‎8．已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，△A′B′C′的面积为6cm2，周长是△ABC的一半．若AB＝8cm，则AB边上的高等于____cm.‎ ‎9．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)．‎ ‎(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；‎ ‎(2)以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.‎ 第9题图 ‎10．如图，已知B′C′∥BC，C′D′∥CD，D′E′∥DE.‎ ‎(1)求证：四边形BCDE位似于四边形B′C′D′E′.‎ ‎(2)若＝3，S四边形BCDE＝20，求S四边形B′C′D′E′.‎ 第10题图 B组 自主提高 11． 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是( )‎ 第11题图 A．(2，4) B．(－1，－2) C．(－2，－4) D．(－2，－1)‎ ‎12．如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)．‎ ‎(1)以O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2∶1)，画出图形；‎ ‎(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；‎ ‎(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出M的对应点M′的坐标．‎ 第12题图 ‎13．如图，正三角形ABC的边长为3＋.‎ ‎(1)如图，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)；‎ ‎(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长．‎ 第13题图 参考答案 ‎【课堂笔记】‎ ‎1．相似 相交于同一点 位似中心 相似比 2.位似中心 位似比 3.(kx，ky) (－kx，－ky) 4.中心 ‎【课时训练】‎ ‎1－5CABBD 6.或 7. 1∶3 8. 6 ‎ ‎9.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.‎ 第9题图 (2) ‎△A2B2C2即为所求． ‎ 10. ‎(1)证明：∵B′C′∥BC，C′D′∥CD，D′E′∥DE，∴＝＝＝＝＝.又四边形BCDE与四边形B′C′D′E′对应顶点相交于一点A，‎ ‎∴四边形BCDE位似于四边形B′C′D′E′. ‎ (2) 解：∵＝3，∴＝，∴四边形BCDE与四边形B′C′D′E′位似之比为.‎ ‎∵S四边形BCDE＝20，∴S四边形B′C′D′E′＝＝. ‎ ‎11.C ‎ ‎12.解：(1)如图，△OB′C′就是所求图形.‎ ‎ 第12题图 (3) B′(－6，2)，C′(－4，－2); (3)(－2x，－2y)．‎ ‎13.解：(1)如图，正方形E′F′P′N′即为所求. ‎ 第13题图 (2) 设正方形E′F′P′N′的边长为x，∵△ABC为正三角形，∴AE′＝BF′＝x.‎ ‎∵E′F′＋AE′＋BF′＝AB，∴x＋x＋x＝3＋，∴x＝，即x＝3－3.‎