浙教版八年级数学上册第2章测试题及答案

浙教版八年级数学上册第 2 章测试题及答案 2.1 图形的轴对称 一、选择题 1. 如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图的位置，经白球撞击后沿箭头 方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是 ( ) A. ① B. ② C. ⑤ D. ⑥ （第 1 题图） （第 2 题图） 2. 如图，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打 3 个洞，则纸片展开后是    A. B. C. D. 3. 如图，直线 m 表示一条河，点 M , N 表示两个村庄，计划在 m 上的某处修建一个水泵向两个村庄 供水．在下面四种铺设管道的方案中，所需管道最短的方案是    （图中实线表示铺设的管道） A. B. （第 3 题图） C. D. 4. 如图，在折纸活动中，小明制作了一张 △ ABC 纸片，点 D ， E 分别在边 AB , AC 上，将 △ ABC 沿 着 DE 折叠压平， A 与 A ʹ 重合，若 ∠ A = 75 ∘ ，则 ∠ 1 + ∠ 2 =    A. 15䁚 ∘ B. 21䁚 ∘ C. 1䁚5 ∘ D. 75 ∘ （第 4 题图） （第 5 题图） 5. 如图，四边形 ABCD 中，∠ C = 5䁚 ∘ , ∠ B = ∠ C = 9䁚 ∘ ,E,F 分别是 BC,DC 上的点，当 △ AEF 的周长最 小时，∠ EAF 的度数为    A. 5䁚 ∘ B. 䁚 ∘ C. 7䁚 ∘ D. 䁚 ∘6. 如图，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点 A 落在 A ʹ 处， BC 为折痕，如果 BD 为 ∠ A ʹ BE 的 平分线，则 ∠ CBD =    A. 䁚 ∘ B. 9䁚 ∘ C. 1䁚䁚 ∘ D. 7䁚 ∘ （第 6 题图） （第 7 题图） 7. 如图，四边形 ABCD 中，∠ BAD = 11䁚 ∘ ，∠ B = ∠ D = 9䁚 ∘ ，在 BC , CD 上分别找一点 M ， N ，使 △ AMN 的周长最小，此时 ∠ MAN 的度数为 ( ) A. 䁚 ∘ B. 䁚 ∘ C. 5䁚 ∘ D. 5 ∘8. 如图，三角形 ABC 是在 2 × 2 的正方形网格中以格点为顶点的三角形，那么图中与三角形 ABC 成 轴对称且也以格点为顶点的三角形共有    （第 8 题图） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题 9. 如图，在直角坐标系中，已知点 A − , ， B 5, ，在 x 轴上找一点 P ，使 PA + PB 最小，则点 P 坐标为 ． （第 9 题图） （第 10 题图） 10. 如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线 l 对称，请在图上补全字母，写出这个单词所指的物品 是 . 11. 如图，在正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个 被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 种． （第 11 题图） （第 12 题图） 12. 如图， l 是 △ ABC 的边 AB 的垂直平分线， D 为垂足， E 是 l 上任意一点，且 AC = 5 ， BC = ， 则 △ AEC 的周长的最小值为 ． 13. 如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后， B ， D 两点落在点 B ʹ， D ʹ处，若得 ∠ AOB ʹ = 䁚 ∘ ，则 ∠ B ʹ OG 的度数为 ． （第 13 题图） 14. 如图，正方形 ABCD 的面积是 2， E ， F ， P 分别是 AB ， BC ， AC 上的动点， PE + PF 的最小值等于 ． （第 14 题图） （第 15 题图） 15. 将 △ ABC 沿着平行于 BC 的直线折叠，点 A 落到点 A ʹ，若 ∠ C = 12䁚 ∘ ，∠ A = 2 ∘ ，则 ∠ A ʹ DB 的 度数为 ． 16. 象棋在我国具有悠久的历史，其中马的行棋规则是“马走日”，即马每步走日字格的对角点，又称“马 踩八方”，如图 1 中的马走一步可以有 8 种不同的选择，走向 8 个日字格的对角点.在图 2 中的象棋棋盘 中，每个小正方形方格的边长都是 1． （1）若图 2 中马必须先走到直线 上，再走到“将”的位置，（把每个棋子看作是在正方形方格顶点上 的点），则马走的路径之和最短是 ． （2）若图 2 中对马的行走路线不作限制，且使马走到“将”的位置走过的路径之和最短，共有 种 不同的方法． （第 16 题图） 三、解答题 17. 如图，需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到 ， 两个城市的距离之和最小，请作出机 场的位置． （第 17 题图） 18. 课本中，把长与宽之比为 2 的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题： Ⅰ.将一张标准纸 㤹㈮ 㤹 对折，如图①，所得的矩形纸片 如 是标准纸．请给予证明． （第 18 题图①） Ⅱ.在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片 ABCD AB 㤹 进行如下操作： 第一步：沿过点 A 的直线折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处，折痕为 AE （如图②甲）； 第二步：沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在 AD 边上的点 N 处，折痕为 DG （如图②乙 ）．此时点 E恰好落在 AE 边上的点 M 处； 第三步：沿直线 DM 折叠（如图②丙 ），此时点 G 恰好与点 N 重合． 请你研究，矩形纸片 ABCD 是否是一张标准纸?请说明理由． （第 18 题图②） Ⅲ. 不难发现，将一张标准纸如图③一次又一次对折后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸 㤹㈮ ， = 1 ， 㤹 = 2 ，问第 5 次对折后所得的标准纸的周长是多少?探索并直接写出第 2䁚12 次对 折后所得的标准纸的周长． （第 18 题图③） 19. 如图， 如， 是一个台球桌面，有黑白两球分别置于 , 两点的位置上，试问怎样撞击白球 ， 经桌面 , 如 连续反弹后，能准确击中黑球 ? （第 19 题图） 20. 如图，点 为 ∠ th 内一点，分别在 t 与 th 上找点 , ，使 △ 的周长最小． （第 20 题图） 21. 如图，△ t 的顶点 t 在直线 上，且 t = ． Ⅰ. 作出 △ t 关于直线 成轴对称的图形 △ 㤹t㈮ ，且使点 的对称点为点 㤹 ； Ⅱ. 在（1）的条件下， 㤹 与 ㈮ 的位置关系是 ； Ⅲ. 在（1）（2）的条件下，连接 ㈮ ，如果 ∠ ㈮ = 2 ∠ ㈮ ，求 ∠ t㤹 的度数． （第 21 题图） 参考答案 一、1. A 2. D 3. D 4. A 5. B 6. B 7. B 8. D 二、9. 1,䁚 10.书 11. 3 12. 1 13. 5䁚 ∘ 14. 2 15. 112 ∘ 16. 5 ；6 三、17. 解： 如答图. （第 17 题答图） 18. 解：（1） 是标准纸．理由如下： 矩形 㤹㈮ 是标准纸， ∴ 㤹 = 2 ． 由对折的含义知： 如 = 1 2 㤹 ， ∴ 如 = 1 2㤹 = 2 㤹 = 2 2 = 2 ． 矩形纸片 如 也是标准纸． （2）是标准纸．理由如下：设 = 㤹㈮ = ， 由图形折叠可知： ㈮h = 㤹㈮ = ㈮， = ， ㈮， ⊥ ． 由图形折叠可知：△ ≌ △ 如 ， ∴ ∠ ㈮ = 1 2 ∠ ㈮ = 5 ∘ ， ∴△ ㈮， 是等腰直角三角形， 在 Rt △ ㈮， 中， ㈮ = ， 2 + ㈮， 2 = 2 ， ∴ ㈮ = 2 = 2 ， 矩形纸片 㤹㈮ 是一张标准纸． （3） 第 次对折后所得的标准纸的周长为： 2+ 2 ， 第 2䁚12 次对折所得的标准纸的周长为： 1+ 2 21䁚䁚5 ． 19. 如答图. （第 19 题答图） 20. 如答图. （第 20 题答图） 21. （1） 如答图 1. （第 21 题答图） （2） 平行 （3） 如答图 2，由（1）可知，△ t 与 △ 㤹t㈮ 关于直线 对称， 所以 △ t ≌ △ 㤹t㈮ ． 所以 = 㤹㈮ ， t = t㤹 ， t = t㈮ ． 所以 ∠ t㈮ = ∠ t㈮ ． 所以 ∠ t + ∠ t㈮ = ∠ 㤹㈮t + ∠ t㈮ ，即 ∠ ㈮ = ∠ 㤹㈮ ． 因为 ∠ ㈮ = 2 ∠ ㈮ ， 所以 ∠ 㤹㈮ = 2 ∠ ㈮ ． 所以 ∠ 㤹㈮ = ∠ ㈮ ． 由（2）可知， 㤹 ∥ ㈮ ， 所以 ∠ 㤹㈮ = ∠ ㈮ ． 所以 ∠ 㤹㈮ = ∠ 㤹㈮ ． 所以 㤹 = 㤹㈮ ． 因为 t = ， 所以 t = t㤹 = 㤹 ，即 △ t㤹 为等边三角形． 所以 ∠ t㤹 = 䁚 ∘ ． 2.2 等腰三角形 一、选择题 1．等腰三角形两边的长分别为 4 和 8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．16 B．18 C．20 D．16 或 20 2．等腰三角形一边长为 2，周长为 5，那么它的腰长为（ ） A. 3 B.2 C.1.5 D.2 或 1.5 3. 下列轴对称图形中，对称轴最少的是（ ） A．等腰三角形 B．长方形 C．正方形 D．圆 4.等腰三角形底边长为 5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm ,则腰长为（ ） A．2cm B．8cm C．2cm 或 8cm D．以上都不对 5.等腰三角形的周长是 13，各边长均为自然数，这样的三角形有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 二、填空题 6.如图，在△ABC 中，AB=AC. （1）若∠1=∠2，BD=3 cm，则 BC= cm； （2）若 BD=CD，∠1=30°，则∠BAC= . （3）若 AD⊥BC，∠B=∠C，CD=4 cm，则 BC= cm. （第 6 题图） 7.等腰三角形的底边长是 8，则它的腰长 x 的取值范围是 . 8.已知等腰△ABC 的底边 BC=8 cm，且｜AC-BC｜=2 cm，则腰 AC 的长为 . 9.如图在△ABC 中，AB=AC,点 D 在边 AC 上，且 AD=DB=BC,若△ABD 的周长比△ABC 的周长少 3 cm，则可以 计算线段 CD 的长为 cm. （第 9 题图） 10.已知等腰三角形一腰上的中线把周长分成 15 和 11 两部分，则这个等腰三角形的底边长是 ． 三、解答题 11.已知等腰三角形的腰长是底边的 3 倍，周长为 35 cm，求等腰三角形各边的长. 12.已知：如图，AD 平分∠BAC，AB=AC，请你说明△DBC 是等腰三角形. （第 12 题图） 13.已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 的解，求这个三角形的各边长。 14.如图，已知直角△ABC，∠ABC=90°,请以直线 AC 为对称轴，作与△ABC 轴对称的图形，所得图形与原 图形所组成的图形是等腰三角形吗？请说明理由。 （第 14 题图） 15.如图，在等腰△ABC 中，AB=AC,BE=CD,BD 与 CE 交于点 O，求证：△OBC 为等腰三角形. （第 15 题图） A B C D x+2y=4 3x+y=7{ 参考答案 一、1.C 2.D 3.A 4.B 5.D 二、6.6，60°，8 7.x>4 8.10cm 或 16cm 9.3 10.7 三、 11.5，15，15 12.略 13.2，2，1 14.略 15.略 2.3 等腰三角形的性质定理 一、选择题 1. 如图，有一个△ 㤹 ，今以点 为圆心， 长为半径画弧，交 㤹 于点 ㈮ ，以点 㤹 为圆心， 㤹长为半径画弧，交 㤹 于点 ，若 ∠ = 䁚 ∘ ，∠ 㤹 = ∘ ，则关于 ㈮ ， ， ， 㤹㈮ 的大小关系 正确的是    （第 1 题图） A. ㈮ = B. ㈮ C. = 㤹㈮ D. 㤹㈮ 2. 在等边三角形 㤹 中，已知 㤹 边上的中线 ㈮ = 1 ，则 △ 㤹 中 㤹 处的角平分线长等于    A. 4 B. 16 C. 1 D. 2 3. 如图，已知 △ 㤹 是等边三角形，点 t 是 㤹 上任意一点， t ， t如 分别与两边垂直，等边三角 形的高为 2 ，则 t + t如 的值为    A.1 B.3 C. 2 D. 4 （第 3 题图） （第 4 题图） 4. 如图，在 △ 㤹 中， = 㤹 ， ㈮ 是 ∠ 㤹 的平分线， ㈮ ⊥ ， ㈮如 ⊥ 㤹 ，垂足分别是 ， 如 ，则下列四个结论：① ㈮ 上任意一点到点 㤹 的距离与到点 的距离相等；② ㈮ 上任意一点 到 的距离与到 㤹 的距离相等；③ ㈮ = 㤹㈮ ， ㈮ ⊥ 㤹 ；④ ∠ ㈮ = ∠ 㤹㈮如 ；其中，正确 的个数是( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 5. 已知等边三角形的边长为 3，点 为等边三角形内任意一点，则点 到三边的距离之和为    A. 2 B. 2 C. 2 D. 不能确定 6. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 䁚 ∘ ，则其顶角的度数为    A. 䁚 ∘ B. 12䁚 ∘C. 䁚 ∘ 或 15䁚 ∘ D. 䁚 ∘ 或 12䁚 ∘7. 如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠ 1 + ∠ 2 的度数    A. 12䁚 ∘ B. 2䁚 ∘ C. 䁚䁚 ∘ D. 䁚 ∘ （第 7 题图） （第 8 题图） 8. 如图，线段 t㈮ 的一个端点 t 在直线 上， t㈮ 与直线 的夹角为 5 ∘ ．以 t㈮ 为一边作等腰 三角形使第三个顶点也在直线 上，这样的等腰三角形能作出 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 9. 如图，△ 㤹 是等边三角形， ㈮ ， 分别是 㤹 ， 㤹 上的两点，且 ㈮ = 㤹 ， ， ㈮ 相交于点 t ，则 ∠ ㈮t 的度数为    A. 12䁚 ∘ B. 1䁚 ∘ C. 115 ∘ D. 11䁚 ∘ （第 9 题图） （第 10 题图） 10.如图 1，已知三角形纸片 㤹 ， = 㤹 ，∠ 㤹 = 5 ∘ ．将其折叠，如图 2，使点 与点 重合， 折痕为 ㈮ ，点 ， ㈮ 分别在 ， 㤹 上，那么 ∠ ㈮㤹 的度数为 ( ) A. 1䁚 ∘ B. 15 ∘ C. 2䁚 ∘ D. 25 ∘ 二、填空题（共 10 小题；共 50 分） 11. 若等边三角形的边长为 ，则它的面积是 ． 12. 如图， 㤹㈮ 与 互相垂直平分， ㈮ ⊥ ㈮ ，∠ ㈮ = 7䁚 ∘ ，则 ∠ 㤹㈮ = ． （第 12 题图） 13. 等边三角形 㤹 的两条角平分线 ㈮ 与 㤹 交于点 t ，则 ∠ t㤹 等于 ． 14. 等边三角形的两条中线相交所成钝角的度数是 ． 15. 如图，在 △ 㤹 中，分别以 㤹 ， 㤹 为边作等边三角形 㤹㈮ 和等边三角形 㤹 ，连接 ， ㈮ 交于点 t ，则 ∠ t 的度数为 ． （第 15 题图） （第 16 题图） 16. 如图，在 △ 㤹 中， = 㤹 ，∠ = 䁚 ∘ ，点 ㈮ 在 㤹 上， ㈮ = 㤹 ，则 ∠ ㈮ 的度数 是 . 17. 如图，在△ 㤹 中， ㈮ ， h 分别垂直平分 和 㤹 ，且分别交 㤹 于点 ㈮, ，若 ∠ ㈮ = 5䁚 ∘ ， 则∠ 㤹 = ，若△ ㈮ 的周长为 19 cm ，则 㤹 = cm ． （第 17 题图） 18. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 2䁚 ∘ ，则这个等腰三角形的底角为 ． 19. 等腰三角形的底边长为 1䁚 cm, 一腰上的中线把三角形的周长分成两部分，其中一部分比另一部分 长 cm ，则这个三角形的腰长是 . 20. 如图，△ 㤹 为等边三角形，点 在 的延长线上，点 ㈮ 在 㤹 边上，且 ㈮ = 㤹 ．若 △ 㤹 的边长为 4， = 2 ，则 ㈮ 的长为 ． （第 20 题图） 三、解答题 21. 如图， 是等边 △ 㤹 内一点，连接 ， ， 㤹 ，以 为边作 ∠ h = 䁚 ∘ ，且 h = ， 连接 㤹h ，观察并猜想 与 㤹h 之间的大小关系，并说明理由． （第 21 题图） 22. 如图，在 △ 㤹 中，∠ = 1 2 ∠ 㤹 = 1 2 ∠ 㤹 ， ㈮ 是角平分线，求 ∠ 及 ∠ ㈮㤹 的度数. （第 22 题图） 23. 已知：如图， ， t ， 㤹 三点在一条直线上，△ t 和 △ 㤹t㈮ 都是等边三角形， 㤹 ， ㈮ 交于 点 ．求证： Ⅰ. 㤹 = ㈮ ； Ⅱ. ∠ = 䁚 ∘ ． （第 23 题图） 24. 已知：如图，△ 㤹 中， = 㤹 ， ㈮ ， 在 㤹 边上，且 ㈮ = ． 求证： ㈮ = 㤹 ． （第 24 题图） 25. 在等边 △ 㤹 的外侧作直线 ，点 关于直线 的对称点为 ㈮ ，连接 ㈮ ， 㤹㈮ ，设 㤹㈮ 交 直线 于点 ． Ⅰ. 依题意补全图 1，若 ∠ = 䁚 ∘ ，求 ∠ 㤹 的度数； Ⅱ. 如图 2，若 䁚 ∘ ∠ 9䁚 ∘ ，判断直线 和 㤹㈮ 相交所成的锐角的度数是否为定值， 若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由． 参考答案 一、1. D 2. C 3. C 4. D 5. B 6. D 7. B 8. D 9. A 10. B 二、11. 12. 7䁚 ∘ 13. 12䁚 ∘ 14. 12䁚 ∘ 15. 12䁚 ∘ 16. 䁚 ∘ 17. 115 ∘ ； 1918. 5 ∘ 或 55 ∘ 19. cm 或 1 cm 20. 2 三、21. = 㤹h ．理由如下： △ 㤹 是等边三角形， = 㤹 ，∠ 㤹 = 䁚 ∘ ． ∠ 㤹 = ∠ h = 䁚 ∘ ， ∠ = ∠ 㤹h ． 在 △ 和 △ 㤹h 中， = 㤹, ∠ = ∠ 㤹h, = h,△ ≌ △ 㤹h ， = 㤹h ． 22. 因为 ㈮ 是 ∠ 㤹 的平分线，所以 ∠ ㈮ = ∠ ㈮㤹 = 1 2 ∠ 㤹 . 因为 ∠ = 1 2 ∠ 㤹 = 1 2 ∠ 㤹 ， 所以 ∠ = ∠ ㈮ = ∠ ㈮㤹 . 所以 ∠ ㈮㤹 = ∠ + ∠ ㈮ = ∠ ㈮㤹 + ∠ ㈮ = ∠ 㤹 = ∠ 㤹 . 设 ∠ ＝ ∘ ， ∠ + ∠ 㤹 + ∠ 㤹 = 1䁚 ∘ ， 5 ∘ = 1䁚 ∘ ， = ∘ . ∠ = ∘ ， ∠ ㈮㤹 = 72 ∘ . 23. （1） 在 △ t㤹 和 △ t㈮ 中， t = t, ∠ t㤹 = ∠ t㈮ = 䁚 ∘ + ∠ t㈮, t㤹 = t㈮,∴△ t㤹 ≌ △ t㈮ ． ∴ 㤹 = ㈮ ． （2） ∵△ t㤹 ≌ △ t㈮ ， ∴ ∠ 㤹 = ∠ t㈮ ． ∵ ∠ ㈮t + ∠ t㈮ = 䁚 ∘ ， ∴ ∠ ㈮t + ∠ 㤹 = 䁚 ∘ ， ∴ ∠ = ∠ ㈮t + ∠ 㤹 = 䁚 ∘ ． 24. ∵ = 㤹 ， ∴ ∠ = ∠ 㤹 . ∵ ㈮ = ， ∴ ∠ ㈮ = ∠ ㈮ . ∵ ㈮ ， 在 㤹 边上， ∴ ∠ ㈮ = ∠ 㤹 . ∴△ ㈮ ≌ △ 㤹 . ∴ ㈮ = 㤹 . 25. （1） 补全图形 1，如答图．连接 ㈮ ． 点 ㈮ 与点 关于直线 对称， ∴ ⊥ ㈮ ， 平分 ㈮ ． ∴ ㈮ = ，∠ ㈮ = ∠ = 䁚 ∘ ． ∵△ 㤹 是等边三角形， ∴ = 㤹 ，∠ 㤹 = 䁚 ∘ ． ∴ ㈮ = 㤹 ． ∴ ∠ 㤹㈮ = ∠ ㈮㤹 ． ∵ ∠ 㤹㈮ = ∠ 㤹 + ∠ + ∠ ㈮ = 12䁚 ∘ ， ∴ ∠ 㤹㈮ = 1䁚 ∘ −12䁚 ∘ 2 = 䁚 ∘ ． （2） 直线 和 㤹㈮ 相交所成的锐角的度数是定值，为 䁚 ∘ ． 连接 ㈮ ， ． （第 25 题答图） 点 ㈮ 与点 关于直线 对称， ∴ ⊥ ㈮ ， 平分 ㈮ ． ∴ ㈮ = ， ㈮ = ． ∴ ∠ ㈮ = ∠ ㈮ ，∠ ㈮ = ∠ ㈮ ． ∴ ∠ ㈮ − ∠ ㈮ = ∠ ㈮ − ∠ ㈮ ． 即 ∠ ㈮ = ∠ ． ∵ ㈮ = = 㤹 ， ∴ ∠ 㤹 = ∠ ㈮ ． ∴ ∠ = ∠ 㤹 ． ∵ ∠ 㤹 + ∠ 㤹 = 12䁚 ∘ ， ∴ ∠ + ∠ 1 + ∠ 㤹 = 12䁚 ∘ ． ∴ ∠ 㤹 + ∠ 1 + ∠ 㤹 = 12䁚 ∘ ． 即 ∠ 1 + ∠ 㤹 = 12䁚 ∘ ． ∴ ∠ 㤹 = 1䁚 ∘ − 12䁚 ∘ = 䁚 ∘ ． ∴ ∠ ㈮ = 12䁚 ∘ ． 由对称性可得 ∠ = ∠ ㈮ = 䁚 ∘ ． 直线 和 㤹㈮ 相交所成的锐角的度数是 䁚 ∘ ． 2.4 等腰三角形的判定定理 一、选择题 1. 下列条件能判定三角形为等边三角形的有（ ） （1）有一个角是 䁚 ∘ 三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高与中线重合的三角 形；（4）有一个角为 䁚 ∘ 的等腰三角形． A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 如图，在 △ 㤹 中， ㈮ = ㈮ = 㤹 ， △ ㈮ 为等边三角形，则图中等腰三角形的个数是（ ） （第 2 题图） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列四个说法，正确的有 （ ） ①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于 䁚 ∘ 的三角形是等边三角形③有一个角是 䁚 ∘ 的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形． A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 4. 两角的平分线的交点和两边的垂直平分线的交点重合的三角形是 （ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 5. 下面给出的几种三角形：①有两个角为 䁚 ∘ 的三角形；②三个外角都相等的三角形；③ 一边上的 高也是这边上的中线的三角形；④有一个角为 䁚 ∘ 的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A. 4 个 B. 3 个 C.2 个 D. 1 个 6. 下列三角形：① 有两个角等于 䁚 ∘ ；② 有一个角等于 䁚 ∘ 的等腰三角形；③ 三个外角（每个顶 点处各取一个外角）都相等的三角形；④ 一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等 边三角形的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④ 7. 已知 △ 㤹 的三边长分别为 3，4，6，在 △ 㤹 所在平面内画一条直线，将 △ 㤹 分割成两个 三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 （ ） A. 6 条 B. 7 条 C. 8 条 D. 9 条 8. 如图， ㈮ 为 △ 㤹 内一点， 㤹㈮ 平分 㤹 ， ㈮ 㤹㈮ ， = ㈮ ，若 㤹 = 5 ， 㤹 = ， 则 ㈮ 的长为 ( ) A.2 B. 1 C. 5 2 D. 2 （第 8 题图） 9. 在平面直角坐标系中， t 为坐标原点，已知 ,1 ，在 轴上确定点 ，使得 △ t 为等腰 三角形，则符合条件的点 共有 ( ) A. 4 个 B.3 个 C. 2 个 D. 1 个 10. 直线与两坐标轴分别交于 ， 两点，点 㤹 在坐标轴上，若 △ 㤹 为等腰三角形，则满足条件 的点 㤹 最多有 ( ) A. 4 个 B.5 个 C. 7 个 D. 8 个 二、填空题 11. 在 △ 㤹 中，如果 = 㤹 ， （只添加一个条件），则 △ 㤹 为等边三角形． 12. 如图， ㈮ 是 △ 㤹 的边 㤹 上的高，添加一个条件使 △ 㤹 是等腰三角形： （写 一个即可）． （第 12 题图） 13. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易 收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆 t = t = 1 cm ，若衣架收拢时， t = 䁚 ∘ ， 如图②，则此时 ， 两点之间的距离是 cm ． （第 13 题图） 14. 如图， ㈮ ∥ 㤹 ， ㈮ 平分 㤹 ，则图中的等腰三角形是 ． （第 14 题图） （第 15 题图） 15. 如图，在等边三角形 㤹 的边 㤹 上任取一点 ㈮ ，作 ㈮ = 䁚 ∘ ,㈮ 交 㤹 的外角平分线 于点 ，则 △ ㈮ 是 三角形． 16. 在平面直角坐标系中， t 为坐标原点，已知点 1,1 ，在 轴上确定点 h ，使 △ th 为等 腰三角形，则符合条件的点 h 有 个． 17. 如图， ㈮ 是 △ 㤹 的中线， ㈮㤹 = 䁚 ∘ ， 㤹 = ，把 △ 㤹 沿直线 ㈮ 折叠，点 㤹 落在 㤹处，连接 㤹 ，则 㤹 的长为 ． （第 17 题图） （第 18 题图） 18. 如图，一只船从 处出发，以 1 海里/时的速度向正北航行，经过 1䁚 小时到达 处，分别从 ， 处望灯塔 㤹 ，测得 h㤹 = 2 ∘ ， h㤹 = ∘ ，则 处与灯塔 㤹 的距离为 . 19. 已知 t = 䁚 ∘ ，点 在 t 上，且 t = 2 ，点 关于直线 t 的对称点是 h ，则 h = ． 20. 如图， △ 㤹 中， ㈮ ， 分别是 㤹 ， 上的点， ㈮ 与 㤹 交于点 t ，给出下列三个条件： ① t = ㈮㤹t ；② t = 㤹㈮t ； ③ = 㤹㈮ ． 上述三个条件中，哪两个条件可判定 △ 㤹 是等腰三角形（用序号写出一种情形）： ． （第 20 题图） 三、解答题 21. 已知：如图，在锐角三角形 㤹 中， = 㤹 ，两条高 ㈮ ， 㤹 相交于点 t ，求证： t = t㤹 ． （第 21 题图） 22. 如图，在等腰三角形 㤹 中， = 㤹 ， ㈮ 是 △ 㤹 的角平分线， 是 㤹 延长线上一点， 且 㤹 = 㤹㈮ ， ㈮ = ㈮ ． Ⅰ. 求证： △ 㤹 是等边三角形； Ⅱ. 如果把 ㈮ 改为 △ 㤹 的中线或高（其他条件不变），请判断（1）中结论是否依然成立?（不 要求证明） （第 22 题图） 23. 从① = 㤹 ；② ㈮ = 㤹㈮ ；③ = ㈮㤹 ；④ = 㤹 四个等式中选出两个作为条 件，证明 △ ㈮ 是等腰三角形（写出一种即可）． （第 23 题图） 24. 如图， △ 㤹 是等边三角形， ㈮ 㤹 于点 ㈮, 为 㤹 的中点，连接 ㈮ ．求证： ㈮ = ㈮㤹 ． （第 24 题图） 25. 数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为 ∘ 的等腰三角形具有一种特性，即经过它某 一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）． Ⅰ.已知：如图①，在 △ 㤹 中， = 㤹 ， = ∘ ，直线 ㈮ 平分 㤹 交 㤹 于点 ㈮ ．求 证： △ ㈮ 与 △ ㈮㤹 都是等腰三角形； Ⅱ.在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、 图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个 底角的度数； Ⅲ .接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直 线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的 示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是 等腰三角形．） Ⅳ.请你写出两个符合③中一般规律的非等腰三角形的特征． （第 25 题图） 参考答案 一、1. B 2. C 3. D 4. C 5. B 6. D 7. B 8. A 9. C 10. D 二、11. 㤹 = （答案不唯一） 12. ㈮ 是 △ 㤹 的中线（答案不唯一） 13. 18 14. △ ㈮ 15. 等边 16. 4 17. 3 18. 180 海里 19. 2 20. ①③ 三、21. ㈮ = 㤹 ， ㈮ = 㤹 . = 㤹 ， 㤹 = 㤹 ． t㤹 = t㤹 ， t = t㤹 ． 22. （1） 㤹㈮ = 㤹 ， = 㤹㈮ . 㤹 = 2 ． 又 ㈮ = ㈮ ， = ㈮㤹 . ㈮ 是 △ 㤹 的角平分线， 㤹 = 2㈮㤹 = 2 . 㤹 = 㤹 . = 㤹 ． 又 = 㤹 ， = 㤹 = 㤹 ． △ 㤹 是等边三角形． （2） 当 ㈮ 为 △ 㤹 的中线或高时，结论依然成立． 23. 选择的条件是：① = 㤹 ② ㈮ = 㤹㈮ （或①③，①④，②③） 证明： 在 △ ㈮ 和 △ 㤹㈮ 中， = 㤹, ㈮ = 㤹㈮, ㈮ = ㈮, ㈮ ≌ 㤹㈮ AAS ． ㈮ = ㈮㤹 ． 在 △ ㈮ 中， ㈮ = ㈮ ， = ㈮ ，即 △ ㈮ 为等腰三角形． 24. △ 㤹 是等边三角形， 㤹 = 䁚 ∘ ． ㈮ 㤹 于点 ㈮ ， ㈮㤹 = 9䁚 ∘ ． 是 㤹 中点， ㈮ = 1 2 㤹 = 㤹 ． △ ㈮㤹 是等边三角形. ㈮ = ㈮㤹 ． 25.（1）如答图①. 在 △ 㤹 中， = 㤹 ， 㤹 = 㤹 ， = ∘ ， 㤹 = 㤹 = 1 2 1䁚 ∘ − ∠ = 72 ∘ . ㈮ 平分 㤹 ， 1 = 2 = ∘ ， = 1 + = 72 ∘ ， 1 = ， = 㤹 ， ㈮ = ㈮,㈮ = 㤹 ， △ ㈮ 与 △ ㈮㤹 都是等腰三角形． （2） 如答图②③. （3） 如答图④⑤. （4） 特征一：直角三角形（直角边不等）； 特征二： 倍内角关系，如图④． 䁚 ∘ 5 ∘ ，其中， 䁚 ∘ ， ∘ ， 1䁚 7 ∘ ； 特征三： 倍内角关系，如图⑤． 䁚 ∘ 5 ∘ ，其中， 䁚 ∘ ， ∘ ． ① ② ③ ④ ⑤ （第 25 题答图） 2.5 逆命题和逆定理 一、选择题 1. 下列语句正确的是（ ） A.每个定理都有逆定理 B.每个命题都有逆命题 C.真命题的逆命题一定是真命题 D.假命题的逆命题一定是假命题 2．下列命题的逆命题正确的是（ ） A.全等三角形的面积相等 B.全等三角形的对应角相等 C.直角都相等 D.全等三角形的三边对应相等 3．等腰三角形两底角相等的逆命题是（ ） A.如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等 B.如果一个三角形的两个底角相等，那么它是等腰三角形 C.两底角相等的三角形是等腰三角形 D.有两个角相等的三角形是等腰三角形 4. 下列定理有逆定理的是（ ） A.对顶角相等 B.成轴对称的两个图形是全等图形 C.等边三角形是等腰三角形 D.两直线平行，同位角相等 5. 已知下列命题：①若 a=b，则 a2=b2；②若 x＞0，则|x|=x；③两直线平行，内错角相等；④直角三角形 的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题 6．命题“两直线平行，内错角相等”的条件是_________，结论是________，这个命题的逆命题的条件是 ___________，结论是__________． 7．命题“如果 a>0，b>0，那么 ab>0”的条件是___________，结论是_________，这个命题的逆命题是 ___________． 8. 命题：“质数都是奇数“的逆命题是： 9．命题：“绝对值相等的两个数一定是相反数”的逆命题是： 10.线段垂直平分线性质定理的逆定理是____________ ． 三、解答题 11.写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。 (1)相等的角是内错角； (2)有一个角是 60°的三角形是等边三角形． 12．已知命题“若 a＞b，则 a2＞b2”． (1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例； (2)写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反 例 13．写出符合下列条件的一个原命题： （1）原命题和逆命题都是真命题． （2）原命题是真命题，但逆命题是假命题． 14．已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”． (1)写出此命题的逆命题； (2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出“已知”，“求证”，“证明”；如果是假 命题，请举反例说明． 15．如图，在△ABC 中，边 AB，BC 的垂直平分线相交于点 P. (1)求证：PA＝PB＝PC. (2)点 P 是否也在边 AC 的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？ （第 15 题图） 参考答案 一、1.B 2.D 3.D 4.D 5.B 二、6.两直线平行 内错角相等 内错角相等 两直线平行 7.a>0 b>0 ab>0 如果 ab>0，那么 a>0，b>0 8.奇数都是质数 9.互为相反数的两个数的绝对值一定相等 10.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 三、11.(1) 内错角是相等的角；假命题 (2) 等边三角形有一个角是 60°；真命题 12.（1）假命题，反例略（2）若 a2＞b2，则 a＞b 假命题，反例略 13.（1）（2）略 14.（1）有两边上的高相等的三角形是等腰三角形（2）真命题；证明略 15.（1）略（2）点 P 在边 AC 的垂直平分线上，结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点 2.6 直角三角形 一、选择题 1. 木杆 斜靠在墙壁上，当木杆的上端 沿墙壁 ht 竖直下滑时，木杆的底端 也随之沿着射 线 t 的方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点 随之下落的路线，其中正确的是    A. B. C. D. 2. 如图，把一块含有 5 ∘ 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果 ∠ 1 = 2䁚 ∘ ，那么 ∠ 2的度数是    （第 2 题图） A. 䁚 ∘ B. 25 ∘ C. 2䁚 ∘ D. 15 ∘3. 若直角三角形的两条直角边的长分别为 5 和 12 ，则斜边上的中线长是    A. 1 B. 6 C. 晦5 D. 不能确定 4. 在 △ 㤹 中，若 ∠ − ∠ = ∠ 㤹 ，则此三角形是    A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 无法确定 5. 如图，在 △ 㤹 中，∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ，∠ ∠ 㤹 ， ㈮ ， ， 如 分别是 △ 㤹 的高、角平分线、 中线．则 ∠ ㈮ 与 ∠ 如 的大小关系是    A. ∠ ㈮ ∠ 如 B. ∠ ㈮ = ∠ 如 C. ∠ ㈮ ∠ 如 D. 与 ∠ 㤹 的度数有关，无法判断 （第 5 题图） （第 6 题图） 6. 如图，已知点 − 1,䁚 和点 1,2 ，在坐标轴上确定点 ，使得 △ 为直角三角形，则满足 这样条件的点 共有 ( ) A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 7 个 7. 折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力 的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学 猜想．把一张直角三角形纸片按照图 ①~④ 的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结 论 ( ) （第 7 题图） A. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B. 在直角三角形中，如果一个锐角等于 䁚 ∘ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D. 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 8. 下列说法中错误的是    A. 三角形的中线、角平分线、高线都是线段 B. 任意三角形的三个内角和都是 1䁚 ∘C. 三角形按角分可分为锐角三角形、直角三角形和等边三角形 D. 直角三角形的两锐角互余 9. 如图，在 △ 㤹 中， 㤹㈮ ⊥ 于点 ㈮ ， ⊥ 㤹 于点 ， 如 为 㤹 的中点， ㈮ = 5 ， 㤹 = ， 则 △ ㈮如 的周长是    A. 21 B. 1 C. 1 D. 15 （第 9 题图） （第 10 题图） 10. 如图，在 Rt △ 㤹 中，∠ 㤹 = 9䁚 ∘ , ∠ = 25 ∘ ， ㈮ 是 上一点，将 Rt △ 㤹 沿 㤹㈮ 折叠， 使 点 落在 㤹 边上的 ʹ 处，则 ∠ ㈮ ʹ 等于    A. 25 ∘ B. 䁚 ∘ C. 5 ∘ D. 䁚 ∘ 二、填空题 11. 如图，在 Rt △ 㤹 中，∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ， ㈮ 为斜边 的中点， = 1䁚 cm ，则 㤹㈮ 的长为 cm ． （第 11 题图） （第 12 题图） 12. 如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点 t ，则 ∠ t㤹 + ∠ t㈮ = ． 14. 如图，在△ 㤹 中，∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ， 㤹㈮ ⊥ ，图中互余的角有 对，相等的锐角有 对． （第 14 题图） （第 15 题图） 15. 如图，在 △ 㤹 中，∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ， 㤹㈮ 是 边上的高，则图中与 ∠ 相等的角是 ． 16. 在 △ 㤹 中，∠ + ∠ = ∠ 㤹 ，△ 㤹 是 三角形． 17. 如图，在 △ 㤹 中，∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ，点 ㈮ 在 㤹 上， 为 的中点， ㈮ ， 㤹 相交于点 如 ， 且 ㈮ = ㈮ ．若 ∠ = 2䁚 ∘ ，则 ∠ ㈮如 等于 °． （第 17 题图） （第 18 题图） 18. 如图，在 △ 㤹 中，∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ， 㤹㈮ ⊥ 于点 ㈮ ，∠ = 䁚 ∘ ， 为 的中点，则 ∠ 㤹㈮为 ． 19. 如图， t ⊥ t ，垂足为 t ， ， h 分别是射线 t ， t 上的两个动点，点 㤹 是线段 h 的 中点，且 h = ．则动点 㤹 运动形成的路径长是 ． （第 19 题图） （第 20 题图） 20. 如图，在 Rt △ 㤹 中， ㈮ ， 为斜边 上的两个点，且 ㈮ = 㤹 ， = 㤹 ，则 ㈮㤹 的大 小为 ． 三、解答题 21. 已知：如图，在四边形 㤹㈮ 中，∠ 㤹 = ∠ ㈮㤹 = 9䁚 ∘ ， 是 㤹 的中点．求证： ㈮ = ． （第 21 题图） 22. 如图，在 Rt △ 㤹 中，∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ， ㈮ 是 上一点，且 ∠ 㤹㈮ = ∠ ．求证： 㤹㈮ ⊥ ． （第 22 题图） 23. 如图，在 Rt △ 㤹 中，∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ， ㈮ 是 㤹 边上的中线， ㈮ ⊥ 㤹 于点 ㈮ ，交 延 长线于点 ，若 ∠ = 5 ∘ ，求 ∠ ㈮ 的度数． （第 23 题图） 24. 图 1，图 2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 ．点 和 点 在小正方形的顶点上． Ⅰ. 在图 1 中画出 △ 㤹 （点 㤹 在小正方形的顶点上），使 △ 㤹 为直角三角形（画一个即可）； Ⅱ. 在图 2 中画出 △ ㈮ （点 ㈮ 在小正方形的顶点上），使 △ ㈮ 为等腰三角形（画一个即 可）． （第 24 题图） 25. 已知，点 是 △ 㤹 的边 上一动点（不与 ， 重合）分别过点 ， 向直线 㤹 作垂 线，垂足分别为 ， 如 ， h 为边 的中点． Ⅰ. 如图 1，当点 与点 h 重合时， 与 如 的位置关系是 ， h 与 h如 的数量关系 是 ； Ⅱ. 如图 2，当点 在线段 上不与点 h 重合时，试判断 h 与 h如 的数量关系，并给予证 明； Ⅲ. 如图 3，当点 在线段 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立?请画出图形并给予 证明． （第 25 题图） 参考答案 一、1. D 2. B 3. C 4. B 5. B 6. C 7. C 8. C 9. C 10. D 二、11. 5 12. 1䁚 ∘ 14. 4；2 15. ∠ 㤹㈮ 16. 直角 17. 䁚 18. 䁚 ∘ 19. π 20. 5 ∘三、21. ∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ，点 是 㤹 的中点， = 1 2 㤹 ，同理可证 ㈮ = 1 2 㤹 . ㈮ = ． 22. ∵ ∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 9䁚 ∘ ． ∵ ∠ 㤹㈮ = ∠ ， ∴ ∠ + ∠ 㤹㈮ = 9䁚 ∘ . ∴ ∠ ㈮㤹 = 9䁚 ∘ . ∴ 㤹㈮ ⊥ ． 23. ∵ ㈮ ⊥ 㤹 ，∠ = 5 ∘ ， ∴ ∠ = 55 ∘ ． 在 Rt △ 㤹 中，∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ， ㈮ 是 㤹 边上的中线， ∴ ㈮ = ㈮ ． ∴ ∠ ㈮ = ∠ = 55 ∘ ． ∴ ∠ ㈮ = 7䁚 ∘ ． 24.（1）如答图①.（2）如答图②. ① ② （第 24 题答图） 25.（1） ∥ 如 ； h = h如 ． （2） h = h如 ．证明如下： 如答图①，延长 h 交 如 于点 ㈮ ． ∵ ∥ 如 ， ∴ ∠ h = ∠ ㈮h ． 在 △ ㈮h 和 △ h 中， ∠ h = ∠ ㈮h, ∠ h = ∠ h㈮, h = h,∴△ ㈮h ≌ △ h （ AAS ）， ∴ h = h㈮ ． ∵ 如 ⊥ 㤹 ， ∴ 如h 是 Rt △ ㈮如 斜边上的中线， ∴ h = h如 = h㈮ ，即 h = h如 ． （3）（2）中的结论仍然成立．证明如下： 如答图②，延长 h ， 如 交于 ㈮ ． ∵ ∥ 如 ， ∴ ∠ h = ∠ ㈮ ． 在 △ h 和 △ h㈮ 中， ∠ h = ∠ ㈮h, ∠ h = ∠ h㈮, h = h,∴△ h ≌ △ h㈮ （ AAS ）， ∴ h = h㈮ ． ∵ 如 ⊥ 㤹 ， ∴ 如h 是 Rt △ ㈮如 斜边 ㈮ 上的中线， ∴ h = h如 ． ① ② （第 25 题答图） 2.7 探索勾股定理 一、选择题 1.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别是 a,b,c.若∠A+∠C=90°,那么下列等式中成立的是（ ） A. 2 2 2a b c  B. 2 2 2a c b  C. 2 2 2b c a  D.以上都不对 2. 如果直角三角形的三条边为 2，4，a，那么 a 的取值可以有（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 3.直角三角形两直角边的长分别为 3 和 4，则此直角三角形斜边上的中线长为（ ） Ａ．1.5 Ｂ．2 Ｃ．2.5 Ｄ．5 4. 已知△ABC 的三边长分别是 3cm，4cm，5cm，则△ABC 的面积是（ ） A.6cm2 B.7.5cm2 C.10cm2 D.12cm2 5. 如图 1，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积， 则这个三角形为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形 图 1 6. 在△ABC 中, AB2=(a+b)2, AC2=(a-b)2, BC2=4ab 且 a>b>0,则（ ） A. ∠A=90° B.∠B=90° C.∠C=90° D. △ABC 不一定是直角三角形 7.如图 2，在 ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点 E，F 是中线 AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ） A.6 B.12 C.24 D.30 图 2 图 3 8.如图 3 是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 5，高是 12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直 吸管在罐内部分．．．．a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ） A．12 13a≤ ≤ B．12 15a≤ ≤ C．5 12a≤ ≤ D．5 13a≤ ≤ 二、填空题 9.画一个直角三角形,使其两条直角边长分别是 3cm 和 4cm,则斜边长为 cm. 10.若一个三角形中有两个角分别为 40°，50°,则这个三角形是 三角形. 11.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 AB＝10，AC＝8，则 BC＝ ． 12.一个三角形的三边分别记为 , ,a b c ,若 2 2 2c a b  ,则这个三角形是 三角形. 13. 如图 4，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离欲到达点 B 200m，结果他在水中 实际游了 520m，求该河流的宽度为_______m. 图 4 14. 下列结论：①三个角度之比为 1：2：3 的三角形是直角三角形；②三边长之比为 3：4：5 的三角形是 直角三角形；③三边长之比为 8：16：17 的三角形是直角三角形；④三个角度之比为 1：1：2 的三角形是 直角三角形.其中正确的有 .(填序号) 三、解答题 15. 已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， , , .AB c BC a AC b   (1)若 15, 20a b  ,求 c ； (2)若 9, 41a c  ,求 .b 16. 如图 5(1)，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯 子滑动后停在 DE 的位置上，如图 5(2)，测得 BD 长为 0.5 米，求梯子顶端 A 下落了多少米． 图 5 17. 如图 6 的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积. C A D B 图 6 18.阅读下列题目的解题过程： 已知 a，b，c 为 ABC 的三边，且满足 a c b c a b2 2 2 2 4 4   ，试判断 ABC 的形状。 解： a c b c a b A2 2 2 2 4 4   ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ABC c a b a b a b B c a b C           是直角三角形 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ； （2）错误的原因为： ； （3）本题正确的结论为： . 19.（1）如图 7①是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式； （2）如图 7②， Rt RtABC CDE△ ≌ △ ， B D   =90°，且 B C D， ， 三点共线． 试说明∠ACE=90°的理由； （3）伽菲尔德（ Garfield ，1881 年任美国第 20 届总统）利用（1）中的公式和图②证明了勾股定理（1876 年 4 月 1 日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该说明过程． a b b a ① a bc c A E DCB b a ② 图 7 参考答案 一、1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A 二、 9.5 10.直角 11.6 12.直角 13.480 14.①②④ 三、15.(1)25； (2) 40. 16.解：  22 2 22.5 1.5 2.5 1.5 0.5    =2-1.5=0.5（米） 17.解：连结 AC. ∵∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m， ∴AC= 2 2AD CD =15cm. ∵152+362=392, ∴AC2+BC2=AB2, 即∠ACB=902. ∴S= 1 2 ×15×36- 1 2 ×9×12=216m2 18.答案：∵AD =50cm，且 AE：ED=9：16，∴AE=18, ED=32. ∵BE2=AB2+AE2=900, CE2=DE2+CD2=1600. 又∵BE2+CE2=2500=BC2, ∴∠BEC 是直角. 19.解：（1）这个公式为 2 2 2( ) 2a b a ab b    ． （2） ABC CDE∵△ ≌△ ， BAC DCE  ∴ ． ACB DCE ACB BAC      ∴ =90°． 由于 B C D， ， 共线， 所以 180 ( )ACE ACB DCE     ° =180°-90°=90° （3）梯形 ABDE 的面积为 21 1 1( ) ( )( ) ( )2 2 2AB ED BD a b a b a b     · ； 另一方面，梯形 ABDE 可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成 21 1 1 2 2 2ab ab c  ． 所以， 2 21 1 1 1( )2 2 2 2a b ab ab c    ． 即 2 2 2a b c  ． 2.8 直角三角形全等的判定 一、选择题 1. 如图， t 平分 ∠ t ， ㈮ ⊥ t ， ⊥ t ，垂足分别为 ㈮ ， ，下列结论正确的是( ) A. ㈮ = B. = t C. ∠ ㈮t = ∠ t D. ㈮ = t㈮ （第 1 题图） （第 2 题图） 2. 如图， = 㤹 ， = 㤹 ，那么图中的全等三角形共有    A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 3. 如图，∠ ㈮㤹 = ∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ， ㈮ = ，有下列结论：① ㈮㤹 = 㤹 ；② 㤹 ⊥ ㈮ ；③ ㈮ = ； ④ ∠ 㤹㈮ = ∠ 㤹 ．其中正确的个数为    A. B. C. D. （第 3 题图） （第 4 题图） 4. 如图，△ 㤹 的三边 ， 㤹 ， 㤹 的长分别为 2䁚 ， 䁚 ， 䁚 ，其三条角平分线将 △ 㤹 分成三 个三角形，则 △ t △ t㤹 △ t㤹 = ( ) A. 111 B. C. 2 D. 2 5. 如图，已知 = 㤹 ， = 如 ， 与 㤹如 交于点 ㈮ ，则：① △ ≅ △ 㤹如 ；② △ ㈮如 ≅ △ 㤹㈮ ； ③ ㈮ 在 ∠ 㤹 的平分线上，以上结论中，正确的是    A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ （第 5 题图） （第 6 题图） 6. 如图，点 是矩形 㤹㈮ 的边 ㈮ 延长线上的一点，且 ㈮ = ㈮ ，连接 交 㤹㈮ 于点 t ， 连接 t ，下列结论不正确的是 ( ) A. △ t ≌ △ t㤹 B. △ t㤹 ≌ △ t㈮ C. △ t㈮ ≌ △ t㈮ D. △ t㈮ ≌ △ t㤹 7. 如图，在 △ 㤹 中，∠ 㤹 和 ∠ 㤹 的平分线交于点 ，过点 作 h ∥ 㤹 ，交 于点 ， 交 㤹 于点 h ，若 + 㤹h = 9 ，则线段 h 的长为 ( ) A. B. C. D. （第 7 题图） （第 8 题图） 8. 如图，已知 ∠ 1 = ∠ 2 ，要得到 △ ㈮ ≌ △ 㤹㈮ ，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是    A. = 㤹 B. ㈮ = ㈮㤹 C. ∠ ㈮ = ∠ ㈮㤹 D. ∠ = ∠ 㤹 9. 如图，在 △ 㤹 中，∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ，点 ㈮ 在边 上， 㤹 = ㈮ ， ㈮ ⊥ 交 㤹 于点 ，△ 㤹的周长为 12 ，△ ㈮ 的周长为 ，则 㤹 的长为 ( ) A. B. C. D. （第 9 题图） （第 10 题图） 10. 如图，已知 △ 㤹 与 △ 㤹㈮ 均是等边三角形，点 ， 㤹 ， 在同一条直线上， 与 ㈮ 相交 于点 t ， 与 㤹㈮ 相交于点 ， ， 㤹 与 ㈮ 相交于点 如 ，连接 t㤹 ， 如， ，则下列结论：① = ㈮ ； ② ， = 如 ；③ 如， ∥ ；④ ∠ t㤹 = ∠ t㤹 ．其中正确的结论个数为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题 11. 如图，已知 ⊥ h ， ⊥ h ，若 = ，那么点 在 ∠ h 的 ． （第 11 题图） （第 12 题图） 12. 如图， 是 㤹 上一点，过点 作 ㈮ ⊥ 于 点 ㈮ ，且 㤹 = ㈮ ，如果 㤹 = cm ， = 1䁚 cm ，那么 ㈮ = ． 13. 如图， ， 㤹㈮ 相交于点 t ， = 㤹㈮ ，试添加一个条件使得 △ t㈮ ≌ △ 㤹t ，你添加的条件 是 （只需写一个）． （第 13 题图） （第 14 题图） 14. 如图，在 △ 㤹 中， ㈮ 平分 ∠ 㤹 ， = ， 㤹 = 2 ，且 △ ㈮ 的面积为 ，则 △ 㤹㈮ 的 面积为 ． 15. 如图， Rt △ t ≌ Rt △ 㤹㈮ ，且 − 1,䁚 ， 䁚,2 ，则点 㤹 的坐标是 ． （第 15 题图） （第 16 题图） 16. 如图，已知 ∠ ㈮㤹 = ∠ 㤹 ， 㤹 = ㈮㤹 ， 则 ∠ + ∠ ㈮㤹 = ． 17. 如图，在 △ 㤹 中， ㈮ 为 ∠ 㤹 的平分线， ㈮ ⊥ 于点 ， ㈮如 ⊥ 㤹 于 点 如 ，△ 㤹的面积是 5 cm 2 ， = 1 cm ， 㤹 = 1 cm ，则 ㈮ = ． （第 17 题图） 18. 阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 小芸的作图步骤如下： 老师说：“小芸的作图步骤正确，且可以得到 ㈮如 = 㤹 ”． 请回答：得到 ㈮如 = 㤹 的依据是 ． 19. 如图，在 △ 㤹 中，∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ， ㈮ 平分 ∠ 㤹 ， 㤹 = 1䁚 cm ， ㈮ = cm ，则点 ㈮ 到 的 距离是 cm ． （第 19 题图） （第 20 题图） 20. 如图，四边形 㤹㈮ 中， ∥ 㤹㈮ ，点 是边 ㈮ 上的点， 平分 ∠ 㤹 ， 㤹 平分 ∠ 㤹㈮ ， 有下列结论：① ㈮ = + 㤹㈮ ，② 为 ㈮ 的中点，③ 㤹 = + 㤹㈮ ，④ ⊥ 㤹 ，其中正 确的有 ．（填序号） 三、解答题 21. 如图，已知 ⊥ 如㤹 于点 ， ㈮ ⊥ 如㤹 于点 ， ， ㈮如 相交于点 ， 㤹 ， ㈮ 相 交于点 h ， 如 = 㤹 ， 㤹 = ㈮如 ．求证：∠ = ∠ ㈮ ． （第 21 题图） 22. 根据条件画图，并回答问题： Ⅰ. 画 Rt △ 㤹 ，使 ∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ， = cm ，斜边 㤹 上的高 ㈮ = 2晦 cm ． 画图： 你画出的符合条件的三角形有 个． 根据你的作图，得出结论： 一条直角边和 对应相等的两个直角三角形 （填 “一定”“不一定”或“一定不”） 全等． Ⅱ. 画 △ 㤹 ，使 = 2晦5 cm ， 㤹 = cm ， 㤹 边上的高 ㈮ = 1晦5 cm ． 画图： 你画出的符合条件的三角形有 个． 根据你的作图，得出结论： 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形 （填“一定”“不一定”或“一定不”） 全等． Ⅲ .判断下面的命题是否正确，如果正确，请尝试证明；如果不正确，请举出反例. ①有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 ． ②有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 ． ③有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 ． 23. 如图， 㤹㈮ ⊥ ， ⊥ 㤹 ，垂足分别为点 ㈮ ， ， ， 㤹㈮ 相交于点 t ，且 t = t㤹 ，求证： ∠ 1 = ∠ 2 ． （第 23 题图） 24. 已知 Rt △ 㤹 ≌ Rt △ ㈮ ，其中 ∠ 㤹 = ∠ ㈮ = 9䁚 ∘ ． Ⅰ. 将这两个三角形按图①方式摆放，使点 落在 上， ㈮ 的延长线交 㤹 于点 如 ． 求证： 如 + 如 = ㈮ ； Ⅱ. 改变 △ ㈮ 的位置，使 ㈮ 交 㤹 的延长线于点 如 （如图②），则（1）中的结论还成立吗? 若成立，加以证明；若不成立，写出此时 如 ， 如 与 ㈮ 之间的等量关系，并说明理由． （第 24 题图） 25. 已知：在平面直角坐标系中，△ 㤹 的顶点 ， 㤹 分别在 轴、 轴上，且 ∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ， 㤹 = 㤹 ． Ⅰ. 如图①，当 䁚, − 2 ， 㤹 1,䁚 ，点 在第四象限时，则点 的坐标为 ； Ⅱ. 如图②，若 t 平分 ∠ 㤹 ，交 㤹 于点 ㈮ ，过点 作 ⊥ 轴，垂足为 ，则 与 ㈮ 之间的数量关系是 ． Ⅲ .如图③，当点 㤹 在 轴的正半轴上运动，点 在 轴的正半轴上运动，点 在第四象限 时，作 ㈮ ⊥ 轴于点 ㈮ ，试判断① t㤹+㈮ t 与② t㤹−㈮ t 中 是定值（只填序号），并 求出这个定值． ① ② ③ （第 25 题图） 参考答案 一、1. A 2. C 3. D 4. C 5. D 6. A 7. D 8. B 9. A 10. D 二、11. 角平分线上 12. 2 cm 13. ㈮ = 㤹 14. 1晦5 15. − ,1 16. 1䁚 ∘17. cm 18. 斜边、直角边（ ），全等三角形对应边相等． 19. 20. ②③④ 三、21. ⊥ 㤹如 ， ㈮ ⊥ 㤹如 ， ∠ 㤹 = ∠ ㈮如 = 9䁚 ∘ ． 如 = 㤹 ， 如 + = 㤹 + ， 即 如 = 㤹 ． 在 Rt △ 㤹 和 Rt △ ㈮如 中， 㤹 = ㈮如, 㤹 = 如, Rt △ 㤹 ≌ Rt △ ㈮如 ． ∠ = ∠ ㈮ ． 22. （1） 如答图. 1 ；斜边上的高；一定 （2） 如答图. 个；不一定 （3） ①（×）；②√； ③√． （第 22 题答图） 23. ∵ 㤹㈮ ⊥ ， ⊥ 㤹 ， ∴ ∠ t㈮ = ∠ t㤹 = 9䁚 ∘ ． 在 △ t㈮ 和 △ 㤹t 中， ∠ t㈮ = ∠ t㤹, ∠ t㈮ = ∠ 㤹t, t = t㤹,∴△ t㈮ ≌ △ 㤹t AAS ． ∴ t㈮ = t ． ∴ ∠ 1 = ∠ 2 ． 24. （1） 连接 如 ， 如答图①. 因为 Rt △ 㤹 ≌ Rt △ ㈮ ， 所以 㤹 = ， 㤹 = ㈮ ． 因为 ∠ 㤹 = ∠ ㈮ = 9䁚 ∘ ， 所以在 Rt △ 㤹如 与 Rt △ 如 中， 如 = 如, 㤹 = 晦所以 △ 㤹如 ≌ △ 如 HL ． 所以 㤹如 = 如 ． 所以 如 + 如 = 如 + 㤹如 = 㤹 ． 所以 如 + 如 = ㈮ ． （2） 不成立， 如 − 如 = ㈮ ． 连接 如 ，如答图②， 因为 Rt △ 㤹 ≌ Rt △ ㈮ ， 所以 㤹 = ， 㤹 = ㈮ ． 因为 ∠ 㤹 = ∠ ㈮ = 9䁚 ∘ ， 所以在 Rt △ 㤹如 与 Rt △ 如 中， 如 = 如, 㤹 = 晦所以 △ 㤹如 ≌ △ 如 HL ． 所以 㤹如 = 如 ． 所以 如 − 如 = 如 − 㤹如 = 㤹 ． 所以 如 − 如 = ㈮ ． ① ② （第 24 题答图） 25. （1） , − 1（2） ㈮ = 2证明：分别延长 㤹 ， 交于点 如 ，如答图①． ∵ 㤹 = 㤹 ， 㤹 ⊥ 㤹 ， ∴ ∠ 㤹 = ∠ 㤹 = 5 ∘ ． ∵ ㈮ 平分 ∠ 㤹 ， ∴ ∠ 㤹㈮ = 22晦5 ∘ ，∠ ㈮ = 9䁚 ∘ − ∠ ㈮ − ∠ ㈮ = 22晦5 ∘ ． 在 △ 㤹如 和 △ 㤹㈮ 中， ∠ 㤹如 = ∠ 㤹㈮, 㤹 = 㤹, ∠ 㤹如 = ∠ 㤹㈮ = 9䁚 ∘ ,∴△ 㤹如 ≌ △ 㤹㈮ ． ∴ 如 = ㈮ ． 在 △ 和 △ 如 中， ∠ = ∠ 如, = , ∠ = ∠ 如,∴△ ≌ △ 如 ． ∴ = 如 ． ∴ ㈮ = 2 ． （3） ② 如答图②，作 ⊥ t㤹 于 ，则 ㈮ = t ． ∵ ∠ 㤹t + ∠ 㤹t = 9䁚 ∘ ，∠ 㤹t + ∠ 㤹 = 9䁚 ∘ ， ∴ ∠ 㤹t = ∠ 㤹 ． 在 △ 㤹t 和 △ 㤹 中， ∠ 㤹 = ∠ 㤹t = 9䁚 ∘ , ∠ 㤹 = ∠ 㤹t, 㤹 = 㤹,∴△ 㤹t ≌ △ 㤹 ． ∴ 㤹 = t ． ∴ t + ㈮ = t㤹 ． ∴ t㤹−㈮ t = 1 ． ① ② （第 25 题答图）