浙教版九年级数学上册第2章简单的概率事件

第 2 章 简单事件的概率 2.1 事件的可能性 判断下列事件哪些必然会发生，哪些必然不会发生，哪些可能发生，也可能不发生？ 1 . 在 地面上向空中抛 掷一石块， 石块终将落下。 2 . 有 一匹马奔跑的速度是 70 米 / 秒。 3. 杭州明年五一节当天的最高气温是 35 ℃ 。 4. 射击运动员射击一次，命中 10 环 （ 必然不会发生 ） （ 必然会发生 ） （可能发生也可能不发生） （可能发生也可能不发生） 在一定条件下 一定会发生的事件叫做 必然事件 一定不会发生的事件叫做 不可能事件 可能会发生，也可能不发生的事件 叫做 不确定事件或随机事件 一个普通的玻璃杯从高空落下会摔破。 这是什么事件？ 你能把它改编成必然事件吗？ 一个普通的玻璃杯从高空落下，落在水泥地上会摔破。 不确定事件 必然事件 注意  判断一个事件属于哪类事件，要注意发 生的条件。 在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜 色外其余都相同。 （ 1） 从箱子里摸出 1 个球，是黑球。这属于哪类事件？摸出 1 个球，是白球或者是红球 ，这属于哪一类事件？ 解 ：（ 1 ） 因为箱子里没有黑球，所以摸出 1 个球是黑球这一事件是不可能事件。 因为箱子里只有白球和红球 ，所以摸出1个球，是白球或者是 红 球这一事件是必然事件。 （2）从箱子里摸出1个球，有几种不同的可能 （摸到不同的球就表示不同的可能）？它们属于哪一类事件？ 解：（ 2 ）因为箱子里放有 3 个球，所以从箱子里摸出一个球有 3 种不同的可能。摸出一个白球，或者摸出一个红球 ，都属于不确定事件。 （3）从箱子里摸出1个球，放回，摇匀后再摸出1个球，这样先后摸得的两球有几种不同的可能？ 由表或树状图可知，共有 9 种不同的可能 列表或画树状图是人们用来确定事件发生的所有不同可能结果的常用方法。它可以帮助我们分析问题，避免重复和遗漏，既直观又条理分明。 事件发生的可能性大小往往是由 发生事件的条件 来决定的，因此，我们可能通过比较 各事件发生的条件 及其 发生的影响来 比较事件发生的可能性大小 判断下列哪些事件是必然事件、不可能事件或不确定事件： 1 、我市每年都会下雨； 2 、明天的太阳从西方升起来； 3 、掷 两个骰子两个 6 朝上； 4 、异号两数相乘，积为正数； 5 、某种电器工作时，机身发热 . 请考虑下面问题： （ 1 ）如果你和象棋职业棋手下一盘象棋，谁赢的可能性大？ （2）有一批成品西装，经质量检验，正品率达到98%.从这批西装中任意抽出1件，是正品的可能性大，还是次品的可能性大？ （3）任意抛一枚均匀的硬币，出现正面朝上、反面朝上的可能性相等吗？ 事件发生的可能性是有大小的 . 其大小是由发生事件的 条件来决定的 . （4）一个游戏转盘如图，红、黄、蓝、绿四个扇形的圆心角度数分别是90°，60°，90°，120°.让转盘自由转动，当转盘停止后，指针落在哪个区域的可能性最大？在哪个区域的可能性最小？有可能性相等的情况吗？为什么？ 60° 90° 120°      90° 可能性的大小与数量的多少有关. 数量多（所占的区域面积大）⇔可能性大 数量少（所占的区域面积小）⇔ 可能性小 例1 某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒．当人或车随意经过该路口时，遇到哪一种灯的可能性最大?遇到哪一种灯的可能性最小?根据什么? 分析：事件“遇到红灯”发生的条件是“红灯时间设置40秒”，事件“遇到绿灯”发生的条件是“绿灯时间设置60秒”，所以人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，遇到黄灯的可能性最小. １、从放有９个红球和１个黑球的口袋中任意摸出一个球(这些球除顔色外都相同)，问哪一种顔色的球被摸到的可能性较大？请说明理由.   ２、有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同. 现将它们背面朝上(如图)，从中任意摸出一张. 1 1 1 3 4 3 (1)摸到几号卡片的可能性最大？摸到几号卡片的可能性最小？ (2)摸到的号码是奇数，和摸到的号码是偶数的可能性，哪个大？ 3、某公交车站共有1路、12路、31路三路车停靠，已知1路车8分钟一辆；12路车5分钟一辆、31路车10分钟一辆，则在某一时刻，小明去公交车站最先等到几路车的可能性最大. 12路车间隔时间最短，31路车间隔时间最长，所以小明去公交车站最先等到12路车的可能性最大. 4、盒子中有8个白球、4个黄球和2个红球，除颜色外其他相同.任意摸出一个球，可能出现哪些结果？哪一种可能性最大？哪一种可能性最小？ 任意摸出一个球，可能摸出白球、黄球或红球.任意摸出一个球，摸出白球可能性最大，摸出红球可能性小. 有的同学认为：抛掷两枚均匀的硬币，硬币落地后，朝上一面只可能有以下三种情况： 1、全是正面； 2、一正一反； 3、全是反面，因此这三个事件发生的可能性是相等的，你同意这种说法吗？若不同意，你认为哪一个事件发生的可能性最大，为什么？ 第一枚 第二枚 正 正 正 反 反 反 你会取胜吗 ? 游戏规则如下： １、游戏双方按顺序(１，２，３，４，……)   轮流报数； ２、各方每次只准报１个或２个数； ３、规定其中一方先报，报到数字22者为胜. 请玩一玩，并探究有没有必胜的策略？ 第 2 章 简单事件的概率 2.2 简单事件的概率 随机事件 ②明天，地球还会转动 ③煮熟的鸭子，飞了 ④在0 0 C下，这些雪融化 下列现象哪些是 必然发生 的，哪些是 不可能发生 的？ ① 木柴燃烧 , 产生热量 ① 可能出现 哪些点数 ？ 请考虑以下问题：掷一次骰 子，在骰子向上的一面上 ② 出现的点数 大于 0 吗？ ③ 出现的点数 会是 7 吗？ ④ 出现的点数 会是 4 吗？ 质地均匀 的骰子 tóu 这两个问题的结果有什么共同点？ 抽到的序号是 1 吗？ 出现的点数是 4 吗？ 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为 随机事件 . 可能发生也可能不会发生       冠军属于外国选手是 不可能事件 冠军属于王楠是 随机事件 冠军属于中国是 必然事件 我国 运动员张怡宁、王楠在最后决赛中会师 冠军属于中国 冠军属于王楠 冠军属于外国选手 （ 5 ）经过城市中某一有交通信号灯的路口， 遇到红灯； （ 4 ）度量三角形的内角和，结果是 360° ； （ 3 ）掷一枚骰子，向上的一面是 6 点； （ 2 ）篮球队员在罚线上投篮一次，未投中； 下列事件中，哪些是必然发生的，哪些是不可能 发生的，哪些是随机事件。 （ 1 ）通常加热到 100 ℃ 时，水沸腾； 必然事件 随机事件 随机事件 不可能发生 随机事件 （ 6 ）汽车累积行驶 1 万公里 , 从未出现故障。 随机事件 现在有一个盒子， 4 个黄球， 3 个白球，每个球 除颜色外全部相同。 请你们按要求把球放入盒子中：   ① 任意摸出一球是黄球是不可能事件 ② 任意摸出两球，一个是黄球，一个是  白球是必然事件 ③ 任意摸出三个球，两个是黄球，  一个是白球是随机事件 摸球游戏 在一定条件下必然发生的事件，叫做 必然事件 ； 在一定条件下不可能发生的事件，叫做 不可能事件 ； 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做 随机事件 ； 概率的意义 温故知新 下面的一些事件是什么事件？ （ 1 ）“导体通电时，发热”； （ 2 ）“抛一块石头，下落”； （ 3 ）“标准大气压下且温度低于 0℃ 时，冰融化”； （ 4 ）“在常温下，焊锡熔化”； （ 5 ）“某人射击一次，中靶”； （ 6 ）“掷一枚硬币，出现正面”。 在同样条件下，随机事件可能发生，也可能不发生，那么它发生的可能性有多大呢？这是我们下面要讨论的问题。 我们从抛掷硬币这个简单问题说起。 实验：让学生以同桌为一小组，每人抛掷 50 次，记录正面朝上的次数 。 表 1  抛掷硬币试验结果表 抛掷次数  （ n ） 正面向上次数  （频数 m) 频率（ m/n) 2048 4040 12000 24000 30000 72088 1061 2048 6019 12012 14984 36124 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4996 0.5011 抛掷次数（ n) 2048 4040 12000 24000 30000 正面朝上次数 (m) 1061 2048 6019 12012 14984 频率 (m/n) 0.518 0.506 0.501 0.5005 0.4996 历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示： 结论：当抛硬币的次数很多时 , 出现下面的频率值是 稳定的 , 接近于常数 0.5, 在它附近摆动 . 某乒乓球质量检查结果表 抽取球数 n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1992 优等品频率 m/n 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951 概率的定义： 一般地，在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生的频率 m/n 稳定在某个常数 p 的附近，那么这个常数就叫做 事件 A 的 概率 ，记作 P （ A ） =P. 必然事件的概率和不可能事件的概率分别是多少呢？ P( 必然事件 ) ＝ 1 P( 不可能事件 ) ＝ 0 记随机事件A在n次试验中发生了m次，那么有0≤m≤n, 0≤m/n≤1 于是可得 0≤P(A) ≤1. 显然，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 大家试验，抛掷一个骰子，它落地时向上的的数为 1 的概率是多少？ 第 2 章 简单事件的概率 2.3 用频率估计概率 用列举法求 概率的条件是什么 ? (1) 实验的所有结果是有限个 (n) (2) 各种结果的可能性相等 . 当 实验的所有结果不是有限个 ; 或各种可能结果发生的可能性不相等时 . 又该如何求事件发生的概率呢 ? 2.3 用频率估计概率 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果 . 投篮次数（ n ） 50 100 150 200 250 300 350 投中次数（ m ） 28 60 78 104 123 152 251 投中频率（ ） 把全班同学分成 10 组，每组同学掷一枚硬币 100 次，整理同学们获得的试验数据，并记录在表中 . 第一组的数据填在第一列，第一、二组的数据之和在第二列， … ， 10 个组的数据之和填在第 10 列 . 根据上表中的数据，在图中标注出对应的点. 投掷次数 n O 0.5 1 100 200 300 400 600 800 900 500 700 1000 “正面向上”的频率 n m 请同学们根据试验所得数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？ 在抛掷一枚硬币时，结果不是“正面向上”就是“反面向上”，因此，从上面提到的试验中也能得到相应“反面向上”的频率 . 当“正面向上”的频率逐渐稳定到 0.5 时，“反面向上”的频率呈现什么规律吗？容易看出，“反面向上”的频率也相应地稳定到 0.5 ，于是我们也用 0.5 这个常数表示“反面向上”发生的可能性的大小，至此，试验验证了我们的猜想：抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半） . 因为在 n 次试验中，事件 A 发生的频数 m 满足 0≤ m ≤ n ，所以 ，进而可知频率 所稳定到的常数 p 满足 0≤ p ≤1 ，因此 0≤P( A ) ≤1 。 上面我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件发生的可能性的大小 . 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 会稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的 概率 ，记为 P （ A ）＝ p . 事件一般用大写英文字 母 A ， B ， C … 表示 历史上，有人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，他们的试验结果见表 试验者 抛掷次数（ n ） “正面向上”次数（ m ） “正面向上”频率（ ） 莫弗 2048 1061 0.518 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势有何规律？ 观 察 在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在 0.5 的左右摆动 . 从一定的高度落下的图钉，落地后可能图钉尖着地，也可能图钉尖不找地，估计一下哪种事件的概率更大，与同学合作，通过做实验来验证一下你事先估计是否正确？ 你能估计图钉尖朝上的概率吗？ 【 拓展 】 你能设计一个利用频率估计概率的实验方法估算该不规则图形的面积的方案吗 ? 了解了一种方法 - --- 用多次试验频率去估计概率 体会了一种思想： 用样本去估计总体 用频率去估计概率 弄清了一种关系 ------ 频率与概率的关系   当 试验次数很多或试验时样本容量足够大 时 , 一件事件发生的 频率 与相应的 概率 会非常接近 . 此时 , 我们可以用一件事件发生的 频率 来估计这一事件发生的 概率 . 第 2 章 简单的概率事件 2.4 概率的简单应用 1. 什么叫概率？ 事件发生的 可能性的大小 叫这一事件发生的 概率 . 2. 概率的计算公式： 若事件发生的所有可能结果总数为 n ，事件Ａ发生的可能结果数为 m ，则Ｐ（Ａ）＝ 3. 估计概率 在实际生活中，我们常用 频率 来估计 概率 ，在大量重复的实验中发现频率 接近 于哪个数，把这个数作为概率． 学科网 1. 如果有人买了彩票，一定希望知道中奖的 概率 有多大． 那么怎么样来估计中奖的概率呢？ 2. 出门旅行的人希望知道乘坐哪一种交通工具发生事故的 可能性 较小？ 概率与人们生活密切相关，在生活，生产和科研等各个领域都有着广泛的应用． 例 1. 某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同，以每 10000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖１个，一等奖 10 个，二等奖 100 个，问１张奖券中一等奖的概率是多少？中奖的概率是多少？ 解 : 因为 1 0000 张奖券中能中一等奖的张数是 10 张 , 所以 1 张奖券中一等奖的概率是 : 又因为 10000 张奖券中能中奖的奖券总数是 1+10+100=111( 张 ) 所以 1 张奖券中奖的概率是 例 2. 生命表又称死亡表 , 是人寿保险费率计算的主要依据 , 如下图是中国人民银行发布的中国人寿保险经验生命表 , (1) 某人今年 61 岁 , 他当年死亡的概率 . (2) 某人今年 31 岁 , 他活到 62 岁的概率 . 对 l x 、 d x 的含义举例说明：对于出生的每 1000000 人，活到 30 岁的人数 l 30 ＝ 984635 人 (x ＝ 30) ，这一年龄死亡的人数 d 30 ＝ 868 人，活到 31 岁的人数 l 31 ＝ 984635 － 868 ＝ 983767 ( 人 ) ． 年龄 x 生存人数 l x 死亡人数 d x 0 1 1000000 999278 722 603 30 31 984635 983767 868 917 61 62 63 64 891725 882371 872005 860590 9354 10365 11415 12515 79 80 516376 480804 35563 36631 81 82 444173 406763 37410 37858 (2000-2003年)男性表的部分摘录, 根据表格估算下列概率(精确到0.0001) (1) 某人今年 61 岁 , 他当年死亡的概率 . (2) 某人今年 31 岁 , 他活到 62 岁的概率 . 解： (1) 由表知 , 61 岁的生存人数 l 61 = 891725 , 61 岁的死亡人数 d 61 = 9354 , 所以所求死亡的概率为： (2) 由表知 l 31 = 983767 , l 62 = 882371 , 所以所求的概率为： 年龄 x 生存人数 l x 死亡人数 d x 0 1 1000000 999278 722 603 30 31 984635 983767 868 917 61 62 63 64 891725 882371 872005 860590 9354 10365 11415 12515 79 80 516376 480804 35563 36631 81 82 444173 406763 37410 37858 ( 1 )一个80岁的人在当年死亡的概率是多少? ( 2 )一个61岁的人,他活到82岁的概率是多少? ( 3 )如果有10000个80岁的人参加寿险投保,当年死亡的人均赔偿金为a元,那么估计保险公司需支付当年死亡的人的赔偿金额为多少元? 年龄 x 生存人数 lx 死亡人数 dx 0 1 1000000 997091 2909 2010 30 31 976611 975856 755 789 61 62 63 64 867685 856832 845026 832209 10853 11806 12817 13875 79 80 488988 456246 32742 33348 81 82 422898 389141 33757 33930 例 2 变型 解： （ 3 ） 1 . 九年级三班同学作了关于私家车乘坐人数的统计, 在100辆私家车中,统计结果如下表: 每辆私家车乘客数目 1 2 3 4 5 私家车数目 58 27 8 4 3 根据以上结果 , 估计抽查一辆私家车而它载有超过 2 名乘客的概率是多少 ? 2 . 有一种游戏，班级里每位同学及数学老师的手中都有１点，２点，３点三张扑克，游戏规则一：每位同学任意抽一张，数学老师也抽一张，如果同学抽到的点数和老师抽到的点数相同，那么这位同学就获得一份小礼物；游戏规则二：每位同学任意抽两张，数学老师也抽两张，如果同学抽到的这两张点数和老师抽到的两张点数相同，那么这位同学获得一份小礼物．问： （１）游戏规则一，每位同学获得小礼物的概率是多少？ （２）游戏规则二，每位同学获得小礼物的概率是多少？ 1. 现有5根小木棒，长度分别为：2、3、4、5、7(单位：cm)，从中任意取出3根， (1)列出所选的3根小木棒的所有可能情况； (2)如果用这3根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率． 解： (1) 根据题意可得：所选的 3 根小木棒的所有可能情况为： (2 、 3 、 4) ， (2 、 3 、 5) ， (2 、 3 、 7) ， (2 、 4 、 5) ， (2 、 4 、 7) ， (2 、 5 、 7) ， (3 、 4 、 5) ， (3 、 4 、 7) ， (3 、 5 、 7) ， (4 、 5 、 7) ； (2) ∵ 能搭成三角形的结果有： (2 、 3 、 4) ， (2 、 4 、 5) ， (3 、 4 、 5) ， (3 、 5 、 7) ， (4 、 5 、 7) 共 5 种 2. 有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7． （1）请写出其中一个三角形的第三边的长； （2）设组中最多有n个三角形，求n的值； （3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率． 解：（ 1 ） 设三角形的第三边为 x ， ∵ 每个三角形有两条边的长分别为 5 和 7 ， ∴7﹣5 ＜ x ＜ 5+7 ，∴ 2 ＜ x ＜ 12 ， ∴ 其中一个三角形的第三边的长可以为 10 ． （ 2 ） ∵ 2 ＜ x ＜ 12 ，它们的边长均为整数， ∴ x=3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 ， ∴ 组中最多有 9 个三角形，∴ n=9 ； （ 3 ） ∵当 x=4 ， 6 ， 8 ， 10 时，该三角形周长为偶数， ∴ 该三角形周长为偶数的概率是 3 . 小明和小刚玩“石头、剪刀、布”的游戏，每一局游戏双方各自随机做出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，相同的手势是和局．（1）用树形图或列表法计算在一局游戏中两人获胜的概率各是多少？ 解：（ 1 ） 画树状图得： ∵ 总共有 9 种情况，每一种出现的机会均等，每人获胜的情形都是 3 种， ∴ 两人获胜的概率都是 （2） 由（1）可知，一局游戏每人胜、负、和的机会均等，都为 ，任选其中一人的情形可画树状图得： ∵ 总共有 9 种情况，每一种出现的机会均等，当出现（胜，胜）或（负，负）这两种情形时，赢家产生 . ∴ 两局游戏能确定赢家的概率为： 4. 小明和小刚玩“石头、剪刀、布”的游戏，每一局游戏双方各自随机做出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，相同的手势是和局． （2）如果两人约定：只要谁率先胜两局，就成了游戏的赢家． 用树形图或列表法求只进行两局游戏便能确定赢家的概率．