计数原理排列组合中常见 11 类错误题型
（一）至少问题
例题 1 某班有 20 名女生和 19 名男生，从中选出 5 人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不
少于 2 人的选法共有（ ）
A． 2 2 1
20 19 35C C C B． 5 5 5
39 20 19C C C
C． 5 1 4 4 1
39 20 19 20 19C C C C C D． 2 3 3 2
20 19 20 19C C C C
【解析】从中选出 5 人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于 2 人
当选出 5 人为 2 女 3 男时，共有不同选法为 2 3
20 19C C 种，当选出 5 人为 3 女 2 男时，共有不同选法为 3 2
20 19C C 种
即选出 5 人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于 2 人选法有 2 3 3 2
20 19 20 19C C C C 种，选 D
巩固 1 假设 200 件产品中有 3 件次品，现在从中任取 5 件，其中至少有 2 件次品的抽法有（ ）
A． 2 2
3 198C C 种 B． 2 3 3 2
3 197 3 197( )C C C C 种
C． 3 4
200 197C C 种 D． 5 1 4
200 3 197( )C C C 种
【解析】根据题意，“至少有 2 件次品”可分为“有 2 件次品”与“有 3 件次品”两种情况
“有 2 件次品”的抽取方法有 C32C1973 种，“有 3 件次品”的抽取方法有 C33C1972 种
则共有 C32C1973+C33C1972 种不同的抽取方法，故选 B
（二）不相邻问题插空法
例题 2 有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者
不相邻，不同的排法共有（ ）种
A．48 B．72 C．78 D．84
【解析】五个小球全排列共有： 5
5 120A 种排法
当两个红色小球与两个黄色小球都相邻时，共有： 2 2 3
2 2 3 24A A A 种排法
当两个红色小球相邻，两个黄色小球不相邻时，共有： 2 2 2
2 2 3 24A A A 种排法
当两个红色小球不相邻，两个黄色小球相邻时，共有： 2 2 2
2 2 3 24A A A 种排法
颜色相同的小球不相邻的排法共有：120 24 24 24 48 种排法，选 A
巩固 2 7 人并排站成一行，如果甲、乙两人不相邻，那么不同的排法总数是
A．1440 B．3600 C．4320 D．4800
【解析】除甲、乙以外的 5 人全排列，共有 5
5A 种结果，5 人排队后会出现 6 个空，从中选出 2 个排甲、乙，
有 2
6A 种结果。所以满足条件的排队总数=
5 2
5 6
120 30 3600A A （种），故选 B
（三）相邻问题大元素法
例题 3 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种
数是 ( )
A．36 B．24 C．72 D．144
【解析】根据题意，把 3 位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，
插入到 2 位男生全排列后形成的 3 个空中的 2 个空中，故有 2 2 2
3 2 3 72A A A 种，选C ．
巩固 3 2019 年 7 月 1 日迎来了我国建党 98 周年，6 名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6 名
老党员中有 3 名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的 3 名党员站在一起，且满足
条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片 0.5 元（不含过塑费），且有一半的照片需要
过塑，每张过塑费为 0.75 元.若将这些照片平均分给每名老党员（过塑的照片也要平均分），则每名老党员
需要支付的照片费为（ ）
A．20.5 B．21 元 C．21.5 元 D．22 元
【解析】捆绑法求得照片总数为 3 4
3 4 144A A ，每名老党员需要支付照片费为 144 0.5 72 0.75 216
元
（四）分配问题
例题 4 高三年级有 8 个班级，分派 4 位数学老师任教，每个教师教两个班，则不同的分派方法有（ ）
A． 2 2
8
2 2
6 4 2A A A A B． 2 2
8
2 2
6 4 2C C C C C． 2 2 2 2 4
6 4 28 4C C C C A D．
2 2 2 2
8 6 4 2
4!
C C C C
【解析】分两步，第一步将高三 8 个班级，两两一组分 4 组，共有
2 2 2 2
8 6 4 2
4
4
C C C C
A
种分法，第二步将 4 位数学
老师分配到这 4 组，共有 4
4A 种情况，所以不同的分派方法有
2 2 2 2
8 6 4 2
4
4
C C C C
A
4
4A = 2 2
8
2 2
6 4 2C C C C ，选 B
巩固 4 将 3 名教师，5 名学生分成 3 个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每地至少去
1 名教师和 1 名学生，则不同的安排方法总数为（ ）
A．1800 B．1440 C．300 D．900
【解析】先将 3 名教师安排到甲、乙、丙三地有 3
3A 6 种分法
然后安排 5 名学生，将 5 名学生可分为 1，1，3 三组，也可分为 2，2，1 三组
则安排到三地有
1 1 3 2 2 1
35 4 3 5 3 1
32 2
2 2
C C C C C C A 150A A
种方法
根据分步乘法原理，可知不同的安排方法总数为 6 150 900 种，故选 D.
（五）特殊元素优先
例题 5 10 名运动员中有 2 名老队员和 8 名新队员，现从中选 3 人参加团体比赛，要求老队员至多 1 人入
选且新队员甲不能入选的选法有（ ）
A．77 种 B．144 种 C．35 种 D．72 种
【解析】按照老队员的人数分两类:
(1)只选一名老队员,则新队员选 2 名(不含甲)有 1 2
2 7C C 42
(2)没有选老队员,则选 3 名新队员(不含甲)有 3
7 35C
所以老队员至多 1 人入选且新队员甲不能入选的选法有: 42 35 77 种，故选 A
巩固 5 中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数。某校国学社团周末
开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射”不能排在第一，“数”不能排在
最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有______种.
【解析】第一种情况，当“射”排最后一位时，共有 5
5 120A 种方法
第二种情况，当“射”排中间 4 个位置中的 1 个时共有 1 1 4
4 4 4 384A A A 种方法
不同的排列方式共有384 120 504 种
所以“六艺”讲座不同的排课顺序共有 504 种
巩固 6 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种
数是 ( )
A．36 B．24 C．72 D．144
【解析】根据题意，把 3 位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，
插入到 2 位男生全排列后形成的 3 个空中的 2 个空中，故有 2 2 2
3 2 3 72A A A 种，选C
（六）涂色问题
例题 6 如图，用 5 种不同的颜色把图中 A 、 B 、C 、 D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，
则不同的涂法共有( )
A．200 种 B．160 种 C．240 种 D．180 种
【解析】涂 A 有 5 种涂法， B 有 4 种，C 有 3 种，因为 D 可与 A 同色，故 D 有 3 种，
∴由分步乘法计数原理知，不同涂法有5 4 3 3 180 种．故答案选 D。
巩固 7 如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色 1、黄
色 2、黄色 3、金色 1、金色 2，其中黄色 1、黄色 2、黄色 3 是三种不同的颜色，金色 1、金色 2 是两种不
同的颜色，要求红色不在两端，黄色 1、黄色 2、黄色 3 有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（ ）
A．120 种 B．240 种 C．144 种 D．288 种
【解析】不考虑红色的位置，黄色 1、黄色 2、黄色 3 有且仅有两个相邻的涂色方案有 2 2 3 2
3 2 3 4 432C A A A
种. 这种情况下，红色在左右两端的涂色方案有 2 2 1 2 2
3 2 2 2 3 144C A C A A 种；从而所求的结果为
432 144 288 种，故选 D.
巩固 8 如图所示的几何体是由一个正三棱锥 P－ABC 与正三棱柱 ABC－A1B1C1 组合而成，现用 3 种不同
颜色对这个几何体的表面染色(底面 A1B1C1 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有( )
A．24 种 B．18 种 C．16 种 D．12 种
【解析】先对正三棱锥 P－ABC 三个表面染色，有 3
3A 种
再对正三棱柱 ABC－A1B1C1 三个表面染色有 2
2A 种
所以共有 3
3A 2
2 12A 种，选 D.
（七）数字整除问题
例题 7 由数字 0，1，2，3 组成的无重复数字且能被 3 整除的非一位数的个数为（ ）
A．12 B．20 C．30 D．31
【解析】两位数：含数字 1，2 的数有 2
2A 个，或含数字 3，0 的数有 1 个. 三位数：含数字 0，1，2 的数有 1 2
2 2C A
个，含数字 1，2，3 有 3
3A 个. 四位数：有 1 3
3 3C A 个. 所以共有 2 1 2 3 1 3
2 2 2 3 3 31 31A C A A C A 个，
故选 D.
巩固 9 如果把个位数是1，且恰有3 个数字相同的四位数叫做“伪豹子数”那么在由1，2 ，3 ，4 ，5 五个
数字组成的有重复数字的四位数中，“伪豹子数”共有（ ）个
A．16 B．12 C． 28 D． 20
【解析】相同数不为 1 时，四位数的个位数是 1，其他 3 个相同的数可能是 2,3,4,5 共 4 种
相同数为 1 时，四位数的个位数是 1，在 2,3,4,5 中选一个数放在十位或百位或千位上，共有 1 1
4 3 12C C 种
则共有 4+12=16 种，故选 A
（八）正难则反
例题 8 某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击 4 次，每
次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同.员工甲
按规定依次点击了 4 次，直到第 4 次才获奖.则他获得奖次的不同情形种数为 ( )
A．9 B．12 C．18 D．24
【解析】根据题意，若员工甲直到第 4 次才获奖，则其第 4 次才集全“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包
则甲第 4 次获得的红包有 3 种情况
前三次获得的红包为其余的 2 种，有 32 2 6 种情况
则他获得奖次的不同情形种数为 3 6 18 种，选 C
巩固 10 把 20 个相同的小球装入编号分别为①②③④的 4 个盒子里，要求①②号盒每盒至少 3 个球，③④
号盒每盒至少 4 个球，共有（ ）种方法.
A． 3
9C B． 3
19C C． 3 4
9 4C A D． 14 3
20 5C C
【解析】设四个盒子中装的小球个数分别为 a ，b ， c ， d ，则 20a b c d
要求①②号盒每盒至少 3 个球，③④号盒每盒至少 4 个球
令 2w a ， 2x b ， 3y c ， 3z d ，则 w ， x ， y ， z 都大于或等于 1，且 10w x y z
问题相当于将 10 个球分成四部分，在 10 个球的 9 个间隔里选三个隔开，有 3
9C 种方法，选 A
（九）避免出错---彻底分类
例题 9 今有 6个人组成的旅游团,包括 4 个大人，2 个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆
不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘 3 人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘
车方式有( )种
A． 204 B． 288 C．348 D．396
【解析】第一类：只用两辆缆车，
若两个小孩坐在一块，则有 2 1 2 2
3 4 2 2 24C C C A 种乘车方式；
若两个小孩不坐在一块，则有
2 2
2 1 24 2
3 2 22
2
36C CC C AA
种乘车方式
第二类：用三辆缆车
若两个小孩坐在一块，则有 1 2 2 3
4 2 3 3 72C C C A 种乘车方式
若两个小孩不坐在一块，则有
1 1
2 2 32 1
4 3 32
2
216C CC A AA
种乘车方式
综上不同的乘车方式有 24 36 72 216 348 种，故选 C
巩固 11 某学校要安排 2 名高二的同学，2 名高一的同学和1名初三的同学去参加电视节目《变形记》，有五
个乡村小镇 A、B、C、D，E（每名同学选择一个小镇）由于某种原因高二的同学不去小镇 A，高一的同学
不去小镇 B，初三的同学不去小镇 D 和 E，则共有________种不同的安排方法（用数字作）
【解析】如果初三学生去 A ，则高二学生选1人去 B ，另外三人去 , ,C D E ，故方法数有 1 3
2 3 12C A 种
如果初三学生去 B ，则高一学生选1人去 A ，另外三人去 , ,C D E ，故方法数有 1 3
2 3 12C A 种
如果初三学生去C ，则高二学生选1人去 B ，高一学生选1人去 A ，另外两人去 ,D E ，有 1 1 2
2 2 2 8C C A 种
故总的方法数有12 12 8 32 种
（十）空间几何体与排列组合
例题 10 已知两条异面直线 a，b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为
A．40 B．16 C．13 D．10
【解析】分两类情况讨论：第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面；第 2 类，
直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面．
根据分类加法计数原理知，共可以确定 8＋5＝13 个不同的平面，故选 C．
巩固 12 在一个质地均匀的四面体中，一个面上标有数字 1，一个面上标有数字 2，另外有两个面上标有数
字 3，将该正四面体抛掷三次，则向下一面的数字之和为 7 的情况有________种
【解析】因为四面体中,一个面上标有数字 1,一个面上标有数字 2,另外有两个面上标有数字 3,当将该正四面
体抛掷三次,则向下一面的数字之和为 7 的情况有两类:
当组合为 2,2,3 时,可能有 1 1
3 2 6C C 种情况
当组合为 1,3,3 时,可能有 1 1 1
3 2 2 12C C C 种情况
综上可知,所有出现向下一面的数字之和为 7 的情况有 6 12 18 种
（十一）排列组合综合问题
例题 11 空间中不共面的 4 点 A，B，C，D，若其中 3 点到平面 的距离相等且为第四个点到平面 的 2
倍，这样的平面 的个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．48
【解析】第一种情况，A，B，C，D 点在平面 的同侧.
当平面 ∥平面 BCD 时，A 与平面 的距离是 与平面 BCD 的距离的 2 倍.
这种情况下有 4 个平面.
第二种情况，A，B，C，D 中有 3 个点在平面 的一侧，第 4 个点在平面 的另一侧，这时又有两种情形：
一种情形是平面 与平面 BCD 平行，且 A 与平面 距离是平面 与平面 BCD 距离的 2 倍.这时有 4 个平面.
另一种情形如图 a 所示，图中 E，F 分别是 AB，AC 的中点，K 是 AD 的三等分点中靠近 A 的分点，A，B，
C 到平面 EFK（即平面 ）的距离是 D 到平面 EFK 距离的一半.
∵EF 可以是 AB，AC 的中点的连线，又可以是 AB，BC 的中点的连线，或 AC，BC 的中点的连线，
∴这种情形下的平面 有 3×4=12（个）.
第三种情况，如图 b 所示，在 A，B，C，D 四点中，平面 两侧各种有两点.
容易看出：点 A 到平面 EFMN（平面 ）的距离是 B，C，D 到该平面距离的 2 倍。
就 A，C 与 B，D 分别位于平面 两侧的情形来看，就有 A 离平面 远，B 离平面 远，C 离平面 远，D
离平面 远这四种情况.
又“AC，BD 异面，则这样的异面直线共有 3 对
∴平面 有 4×3=12（个）.
综上分析，平面 有 4+4+12+12=32（个），选 C
巩固 13 若矩阵 1 2 3 4
1 2 3 4
a a a a
b b b b
满足下列条件：①每行中的四个数均为集合{1，2，3，4}中不同元素；
②四列中有且只有两列的上下两数是相同的，则满足①②条件的矩阵的个数为( )
A．48 B．72 C．144 D．264
【解析】第一步，排列第一行，有 4
4 24A 种排列方法；
第二步，由题意知有且只有两列的上下两数是相同的，选择{1,2,3,4}中的两个数作为与上列相同的数字，
有 2
4 6C 种取法，而对于剩余两数，为使不与上列数字相同，有且只有一种排法，
因此，满足题中条件的矩阵的个数共有 24 6 144 个，故选 C.
巩固 14 如图，平面 中有梯形 ABCD 与梯形 1111 DCBA 分别在直线l 的两侧，它们与l 无公共点，并且关
于l 成轴对称，现将 沿l 折成一个直二面角，则 A ， B ，C ， D ， 1A ， 1B ， 1C ， 1D 八个点可以确定平
面的个数是（ ）
A．56 B．44 C．32 D．16
【解析】由题设从八个顶点中任取三个确定的所有平面的个数 3
8 56C 个，其中六个平面
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , ,ABCD A B C D AA D D BB C C AB B A DCC D 中任取三个点所确定的平面个数为 3
46 24C 个，故
A ， B ，C ， D ， 1A ， 1B ， 1C ， 1D 八个点可以确定平面的个数是 3 3
8 46 56 24 32C C ，选 C
巩固 15 中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数.“礼”，礼节，即今德育：“乐”，
音乐，“射”和“御”，射箭和驾驭马车的技术，即今体育和劳动：“书”，书法，即今文学；“数”，算法，即今
数学。某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”必须
排在第一，“数”不能排在最后，“射”和“御”要相邻，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有（ ）
A．18种 B．36种 C． 72 种 D．144种
【解析】如果“射”或“御”排在最后，那么“射”和“御”有两种排法即 2
2A 种，余下 3 种才能共有 3
3A 种排法，故
此时共有 2 3
2 3 12A A 中排法；
如果“射”和“御”均不在最后，那么“射”和“御”有3 2 6 种排法，中间还余两个位置，两个位置可选一个给
“数”，有 2 种排法，余下两个位置放置最后的两个基本才能，有 2
2A ，故共有 24 种排法，
综上，共有 36 种排法，选 B.
巩固 16 已知数列{ }na ， { 1,0,1} , 1,2,3,4,5,6ia i .满足条件“ 1 2 3 4 5 60 3a a a a a a ”
的数列个数为_____.
【解析】因为 { 1,0,1} , 1,2,3,4,5,6ia i ，所以 ia 只能取 0 或 1
而 1 2 3 4 5 60 3a a a a a a
所以 1 2 3 4 5 6, , , , ,a a a a a a 中出现 0 的个数可以是 6 个，5 个，4 个，3 个。
若出现 6 个 0，则数列为常数数列，共有 1 个数列。
若出现 5 个 0，则出现一个 1，或一个 1 ，因而数列个数为 5 1
6 2 12C C 个数列。
若出现 4 个 0，出现两个 1，或两个 1 ，或一个 1、一个 1 ，数列个数为 4 2 2 1
6 2 2 2 60C C C C 个数列
若出现 3 个 0，则出现三个 1，或两个 1、一个 1 ，或一个 1、两个 1 ，或三个 1 ，因而数列的个数为
3 3
3 3 33 3
6 3 32 2
2 2
160A AC C CA A
个数列
综上所述，数列的个数为1 12 60 160 233 个
十大模板方法解决所有排列组合问题
（一）至少变恰好
例题 1 某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘 2 名，乙单位招聘 2 名，丙单位招聘 1 名，
并且甲单位要至少招聘一名男生，现有 3 男 3 女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ）
A．36 B．72 C．108 D．144
【解析】根据题意，分 3 步进行分析：
①单位甲在 6 人中任选 2 人招聘，要求至少招聘一名男生，有 2 2
6 3 12C C 种情况，
②单位乙在剩下的 4 人中任选 2 人招聘，有 2
4 6C 种情况，
③单位丙在剩下的 2 人中任选 1 人招聘，有 1
2 2C 种情况，
则有12 6 2 144 种不同的录取方案，选 D
巩固 1 2019 年高考结束了，有 5 为同学（其中巴蜀、一中各 2 人，八中1人）高考发挥不好，为了实现“南
开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到1 2 3、、三个班，每个班至少分配1位同学，为了让他们能更好
的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ）
A．84 B． 48 C．36 D． 28
【解析】设这五人分别为 1 2 1 2, , , ,A B B C C ,若 A 单独为一组时，只要 2 种分组方法；若 A 组含有两人时，有
1 1
4 2 8C C 种分组方法；若 A 组含有三人时，有 1 1
2 2 4C C 种分组情况；于是共有 14 种分组方法，所以分
配方案总数共有 3
314 84A ,故选 A.
（二）插空法
例题 2 电视台在电视剧开播前连续播放 6 个不同的广告，其中 4 个商业广告 2 个公益广告，现要求 2 个
公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）
A． 5
4 2
4A A B． 5
4 2
4C C C． 4 2
6 7A A D． 4 2
6 7C C
【解析】先排 4 个商业广告，有 4
4A 种排法，然后利用插空法，4 个商业广告之间有 5 个空，插 2 个公益广
告，有 2
5A 种排法，根据分步计数原理，所以共有 5
4 2
4A A 种排法，选 A.
巩固 2 某小区有排成一排的 7 个车位，现有3 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩下的 4 个车位连在一
起，那么不同的停放方法的种数为（ ）
A．18 B． 24 C．32 D． 64
【解析】首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共 7 个，
当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列 3
3A ，
当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列 3
3A ，
当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列 3
3A ，
当最右边三辆时，有车之间的一个排列 3
3A ，
总上可知，共有不同的排列法 3
34 24A 种结果，所以选 B
（三）特殊元素优先
例题 3 某所大学在 10 月份举行秋季越野接力赛，每个专业四人一组，其中计算机专业的甲、乙、丙、丁
四位大学生将代表本专业参加拉力赛，需要安排第一棒到第四棒的顺序，四个人去询问教练的安排，教练
对甲说：“根据训练成绩，你和乙都不适合跑最后一棒”；然后又对乙说：“你还不适合安排在第一棒”，仅从
教练回答的信息分析，要对这四名同学讲行合理的比赛棒次安排，那么不同情形的种数共有（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
【解析】根据条件乙只能安排在第二棒或第三棒；若“乙”安排在第二棒，此时有： 1 2
2 2C A 4 种，若“乙”
安排在第三棒，此时有： 1 2
2 2C A 4 种，则一共有 8 种，选 B.
（四）捆绑法
例题 4 为迎接建校80 周年校庆，双流区政府计划提升办学条件.区政府联合组
成工作组，与某建设公司计划进行 6个重点项目的洽谈，考虑到工程时间紧迫的现状，工作组对项目洽谈的
顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目的不同安
排方案共有（）
A． 240 种 B．188种 C．156种 D．120 种
【解析】第一类：当甲在第1位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有 4 种方法，
第二步，丙、丁内部排列用 2
2A 种方法，
第三步，其他三人共 3
3A 种方法，共 2 3
2 34A A 4 2 6 48 种方法；
第二类：当甲在第 2 位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有 3 种方法，
后面两步与第一类方法相同，共 2 3
2 33A A 3 2 6 36 种方法；
第三类：当甲在第 3 为时，与第二类相同，共36种方法；
总计，完成这件事的方法数为 48 36 36 120N ，故选 D.
巩固 3 某校迎新晚会上有 6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，
且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．120 种 B．156种 C．188种 D． 240 种
【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，
将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为 2 5
2 5 2 120 240A A ，
利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的，
因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有 240 1202
种，选 A.
（五）不在问题的间接法
例题 5 某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一
节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ）
A． 3
20 B． 3
13 C． 7
9 D． 17
78
【解析】设事件 A ：数学不排第一节，物理不排最后一节. 设事件 B ：化学排第四节.
4 1 1 3
4 3 3 3
5 5
5 5
78A C C AP A A A
，
3 1 1 2
3 2 2 2
5 5
5 5
14A C C AP AB A A
，故满足条件的概率是
7
39
P AB
P A
.故选 C.
巩固 4 某公司安排五名大学生从事 A B C D、 、 、 四项工作,每项工作至少安排一人且每人只能安排一项
工作， A 项工作仅安排一人，甲同学不能从事 B 项工作,则不同的分配方案的种数为（ ）
A．96 B．120 C．132 D． 240
【解析】若甲同学在 A 项工作，则剩余 4 人安排在 B、C、D 三项工作中，共有 1 2 1 1
3 4 2 1 36C C C C 种
若甲同学不在 A 项工作，，则在 C 或 D 工作，共有 1 1 1 1 1 2
4 2 3 3 2 3( ) 96C C C C C C 种，共 36+96=132 种，选 C
巩固 5 某次文艺汇演为，要将 A，B，C，D，E，F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：
序号 1 2 3 4 5 6
节目
如果 A，B 两个节目要相邻，且都不排在第 3 号位置，那么节目单上不同的排序方式有
A．192 种 B．144 种 C．96 种 D．72 种
【解析】由题意知 A，B 两个节目要相邻，且都不排在第 3 号位置，
可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，
A，B 两个节目可以排在 1，2 两个位置，可以排在 4，5 两个位置，可以排在 5，6 两个位置，
这两个元素共有 种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，
节目单上不同的排序方式有 ，选 B．
（六）走街道问题
例题 6 如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，
则从 M 到 N 不同的走法共有（ ）
A．10 B．13 C．15 D．25
【解析】因为只能向东或向北两个方向，向北走的路有 5 条，向东走的路有 3 条，走路时向北走的路有 5
种结果，向东走的路有 3 种结果，根据分步计数原理知共有 3 5 15 种结果，选 C
（七）隔板法
例题 7 设有 1n 个不同颜色的球，放入 n 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放
法有（ ）
A． 1 !n 种 B． 1 !n n 种 C． 1 1 !2 n 种 D． 1 1 !2 n n 种
【解析】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得 2
1 ! ( 1)!2n
nC n n 选 D
巩固 6 将 4 个大小相同，颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里
球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）种．
A．7 B．10 C．14 D．20
【解析】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，
分析可得，1 号盒子至少放一个，最多放 2 个小球，分情况讨论：
①1 号盒子中放 1 个球，其余 3 个放入 2 号盒子，有 C41＝4 种方法；
②1 号盒子中放 2 个球，其余 2 个放入 2 号盒子，有 C42＝6 种方法；
则不同的放球方法有 4+6=10 种，选 B．
（八）回归原始的方法
例题 8 某次演出共有 6 位演员参加，规定甲只能排在第一个或最后一个出场， 乙和丙必须排在相邻的顺
序出场，请问不同的演出顺序共有（ ）
A．24 种 B．144 种 C．48 种 D．96 种
【解析】第一步，先安排甲有 1
2A 种方案；第二步，安排乙和丙有 2 1
2 4A A 种方案；第三步，安排剩余的三个
演员有 3
3A 种方案，根据分步计数原理可得共有 1 2 1 3
2 2 4 3 96A A A A 种方案.故选 D.
巩固 7 如图，下有七张卡片，现这样组成一个三位数：甲从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数
字写在百位，然后把卡片放回；乙再从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在十位，然后把卡
片放回；丙又从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在个位，然后把卡片放回。则这样组成的
三位数的个数为（ ）
A． 21 B． 48 C． 64 D．81
【解析】第一步：甲从七张卡片中随机抽出一张，抽到的不同取值为 1,2,3,4，共 4 种情况；
第二步：乙从七张卡片中随机抽出一张，抽到的不同取值为 1,2,3,4，共 4 种情况；
第三步：丙从七张卡片中随机抽出一张，抽到的不同取值为 1,2,3,4，共 4 种情况；
因此，这样组成的三位数的个数为 4 4 4 64 ，故选 C
（九）涂色
例题 9 现有 5 种不同的颜色，给四棱锥 P-ABCD 的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能
相同，一共有（ ）种方法.
A．240 B．360 C．420 D．480
【解析】当顶点 A,C 同色时，顶点 P 有 5 种颜色可供选择，点 A 有 4 种颜色可供选择，点 B 有 3 种颜色可
供选择，此时 C 只能与 A 同色，1 种颜色可选，点 D 就有 3 种颜色可选，共有5 4 3 1 3 180 种；
当顶点 A,C 不同色时，顶点 P 有 5 种颜色可供选择，点 A 有 4 种颜色可供选择，点 B 有 3 种颜色可供选择，
此时 C 与 A 不同色，2 种颜色可选，点 D 就有 2 种颜色可选，共有5 4 3 2 2 240 种；综上可得共有
180 240 420 种，故选 C.
巩固 8 一个正方形花圃，被分为 5 份 A、B、C、D、E，种植红、黄、蓝、绿 4 种颜色不同的花，要求相
邻两部分种植不同颜色的花,则不同的种植方法有（ ）．
A．24 种 B．48 种 C．84 种 D．96 种
【解析】区域 A、C、D 两两相邻，共有 种不同的种植方法，
当区域 E 与区域 A 种植相同颜色的花时，种植 B、E 有 种不同的种植方法，
当区域 E 与区域 A 种植不同颜色的花时，种植 B、E 有 种不同的种植方法，
∴不同的种植方法有 种，选 D
巩固 9 如图为我国数学家赵爽 约 3 世纪初 在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5
种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则 区域涂色不相同的
概率为
【解析】提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，
根据题意，如图，设 5 个区域依次为 ,分 4 步进行分析：
，对于区域 ，有 5 种颜色可选；
，对于区域 与 区域相邻，有 4 种颜色可选；
，对于区域 ，与 区域相邻，有 3 种颜色可选；
，对于区域 ，若 与 颜色相同， 区域有 3 种颜色可选，
若 与 颜色不相同， 区域有 2 种颜色可选， 区域有 2 种颜色可选，则区域 有 种选择，
则不同的涂色方案有 种，
其中， 区域涂色不相同的情况有：
，对于区域 ，有 5 种颜色可选；
，对于区域 与 区域相邻，有 4 种颜色可选；
，对于区域 与 区域相邻，有 2 种颜色可选；
，对于区域 ，若 与 颜色相同， 区域有 2 种颜色可选，
若 与 颜色不相同， 区域有 2 种颜色可选， 区域有 1 种颜色可选，
则区域 有 种选择，不同的涂色方案有 种，
区域涂色不相同的概率为 ,故选 D．
（十）平均分堆与不平均分堆
例题 10 《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元 2 世纪）所著，该书主要记述了：
积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种
计算器械的使用方法某研究性学习小组3 人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人 4 种、另两
人每人5 种计算器械，则不同的分配方法有（ ）
A．
4 5 5 3
14 10 5 3
2
2
C C C A
A B．
4 5 5 2
14 10 5 2
3
3
C C C A
A C．
4 5 5
14 10 5
2
2
C C C
A D． 4 5 5
14 10 5C C C
【解析】先将14 种计算器械分为三组，方法数有
4 5 5
14 10 5
2
2
C C C
A
种，再排给3 个人，方法数有
4 5 5
314 10 5
32
2
C C C AA
种，
故选 A.
巩固 10 为了落实中央提出的精准扶贫政策，永济市人力资源和社会保障局派 3 人到开张镇石桥村包扶 5 户
贫困户，要求每户都有且只有1人包扶，每人至少包扶1户，则不同的包扶方案种数为（ ）
A．30 B．90 C．150 D． 210
【解析】由题意可知，这 3 人所包扶的户数分别为1、1、3 或1、 2 、 2 ，
利用分步计数原理知，不同的包扶方案种数为
1 2
3 35 4
5 32
2
5 610 6 1502
C CC AA
，选 C.
巩固 11 某班有 50 人，从中选 10 人均分 2 组（即每组 5 人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的
选派法有（ ）
A． 10 5
50 10C C B．
10 5
50 10
2
C C C． 10 5 2
50 10 2C C A D． 5 5 2
50 45 2C C A
【解析】先分组得
10 5
50 10
2
C C
，再一组打扫教室，一组打扫操场，得不同选法
10 5
2 10 550 10
2 50 10A =2
C C C C
，选 A
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