2021 年安徽省示范高中皖北协作区第 23 届高考数学联考试卷
（文科）（4 月份）
一、选择题（每小题 5 分）.
1．已知集合 A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|0＜x＜1}，则 A∩B＝（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（0，1） D．（0，2）
2．已知 i 为虚数单位，（1+i）z＝|1+i|2，则复数 z 的虚部为（ ）
A．0 B．1 C．﹣i D．﹣1
3．已知 a＝0.30.2，b＝ ，c＝log5 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
4．设双曲线 ＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y＝ x，则该双曲线的离心率
为（ ）
A． B．2 C． D．
5．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a5+a6＝a2+5，则 S17＝（ ）
A．5 B．17 C．85 D．170
6．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著
名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．十部书的名称是：
《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五
经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》、《算经十书》标
志着中国古代数学的高峰．《算经十书》这 10 部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了
解我国古代数学的重要文献．这 10 部专著中据说有 6 部成书于魏晋南北朝时期．其中《张
丘建算经》、《夏侯阳算经》就成书于魏晋南北朝时期．某中学拟从《算经十书》专著
中的魏晋南北朝时期的 6 部算经中任选 2 部作为“数学文化”进行推广学习，则所选 2
部专著中至少有一部是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量 ＝（1，0），| |＝ ，且 ⊥（ ﹣ ），则| +2 |＝（ ）
A．2 B． C． D．5
8．函数 f（x）＝ 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．某几何体的三视图如图，俯视图中圆的半径为 1．且其内接四边形为正方形，则该几何
体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 f（x）＝sin
ω
x（sin
ω
x+cos
ω
x）﹣ （
ω
＞0）在区间（0，
π
）上恰有 1 个最
大值点和 1 个最小值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．在四面体 ABCD 中，△BCD 是边长为 2 的等边三角形，△ABD 是以 BD 为斜边的等腰
直角三角形，平面 ABD⊥平面 ABC，则四面体 ABCD 的外接球的表面积为（ ）
A．8
π
B．
π
C．6
π
D．2
π
12 ． 已 知 数 列 {an} 满 足 an ＞ 0 ， 其 前 n 项 和 ， 数 列 {bn} 满 足
，其前 n 项和为 Tn.若 对任意 n
∈
N*恒成立，则实数
λ的取值池围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 z＝x﹣2y 的最大值为 ．
14．已知函数 f（x）＝x2lnx+x，则 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ．
15．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，点 A 在抛物线 C 上，且满足|AF|＝3，则以点 A 为
圆心，AF 为半径的圆截 y 轴所得弦长为 ．
16．已知函数 f（x）＝ ，若函数 g（x）＝f（f（x））﹣af（x）+a+1 恰有 5
个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 ．
三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共
60 分
17．如图，在平面四边形 ABCD 中，AD＝1，BD＝ ，∠BAD＝ ．
（Ⅰ）求边 AB 的长；
（Ⅱ）若∠CBD＝ ，BC＝BD，求△ABC 的面积．
18．有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁．中国高铁经过十几年的发展，取得了
举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变．中国的高铁技术
不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁．高铁可以说是中国一张
行走的名片．截至到 2020 年，中国高铁运营里程已经达到 3.9 万公里．如表是 2013 年至
2020 年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展：
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码 x 1 2 3 4 5 6 7 8
运营里程 y（万
公里）
1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.9 3.5 3.9
根据以上数据，回答下面问题．
（Ⅰ）甲同学用曲线 y＝bx+a 来拟合，并算得相关系数 r1＝0.97，乙同学用曲线 y＝cedx
来拟合，并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数 r2＝0.99，试问哪一个更适合作为
y 关于 x 的回归方程类型，并说明理由；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程（系数精确到 0.01）．
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式： ，
．
参考数据： ＝42.00，
令 w＝lny， ＝
1.15．
19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA＝BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝ ，
AC 与 BD 交于点 O，点 M 在线段 PA 上，且 PM＝3MA．
（Ⅰ）证明：OM∥平面 PBC；
（Ⅱ）求三棱锥 P﹣MCD 的体积．
20．在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 分别为椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的右顶点和
上顶点，△OAB 的面积为 ，且椭圆 C 的离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设斜率不为 0 的直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F，且与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，
过 M 作直线 x＝4 的垂线，垂足为 Q．试问：直线 QN 是否过定点？若过定点，请求出定
点的坐标；若不过定点，请说明理由．
21．已知函数（x）＝ax+sinx，x
∈
（0，+∞）．
（Ⅰ）当 a＝﹣ 时，函数 f（x）的极大值点从小到大次记为 x1，x2，x3，…，xn，…，
求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）若 f（x）≤xex 恒成立，求实数 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原
点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线 C1 与曲线 C2 交于两点 A，B，求 的值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．设函数 f（x）＝|2x+1|+|x+ |．
（Ⅰ）求函数 f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数 f（x）的最小值为 m，且正实数 a，b，c 满足 a+b+c＝m，证明： ．
参考答案
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知集合 A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|0＜x＜1}，则 A∩B＝（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（0，1） D．（0，2）
解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，
∴A∩B＝（0，1）．
故选：C．
2．已知 i 为虚数单位，（1+i）z＝|1+i|2，则复数 z 的虚部为（ ）
A．0 B．1 C．﹣i D．﹣1
解：因为，（1+i）z＝|1+i|2＝2，
所以 ，
所以复数 z 的虚部为﹣1．
故选：D．
3．已知 a＝0.30.2，b＝ ，c＝log5 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
解：∵a＝0.30.2
∈
（0，1），b＝ ＝log57＞1，c＝log5 ＜0，
∴b＞a＞c，
故选：C．
4．设双曲线 ＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y＝ x，则该双曲线的离心率
为（ ）
A． B．2 C． D．
解：由已知条件知： ；
∴ ；
∴ ；
∴ ．
故选：C．
5．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a5+a6＝a2+5，则 S17＝（ ）
A．5 B．17 C．85 D．170
解：因为等差数列{an}中，a5+a6＝a2+5，
所以 a2+a9＝a2+5，
即 a9＝5，
则 S17＝ ＝17a9＝85．
故选：C．
6．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著
名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．十部书的名称是：
《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五
经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》、《算经十书》标
志着中国古代数学的高峰．《算经十书》这 10 部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了
解我国古代数学的重要文献．这 10 部专著中据说有 6 部成书于魏晋南北朝时期．其中《张
丘建算经》、《夏侯阳算经》就成书于魏晋南北朝时期．某中学拟从《算经十书》专著
中的魏晋南北朝时期的 6 部算经中任选 2 部作为“数学文化”进行推广学习，则所选 2
部专著中至少有一部是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：从 6 部算经中任选 2 部的选法有 ＝15 种，
其中所选 2 部专著中没有《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的选法 ＝6 种，
所选 2 部专著中至少有一部是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的选法 9 种，
故其概率 P＝ ＝ ．
故选：B．
7．已知向量 ＝（1，0），| |＝ ，且 ⊥（ ﹣ ），则| +2 |＝（ ）
A．2 B． C． D．5
解：向量 ＝（1，0），| |＝ ，且 ⊥（ ﹣ ），
∴ •（ ﹣ ）＝ ﹣ ＝1﹣ • ＝0，即 ＝1．
则| +2 |＝ ＝ ＝ ＝5，
故选：D．
8．函数 f（x）＝ 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵f（﹣x）＝ ＝ ，
∴函数 f（x）为非奇非偶函数，排除选项 A 和 B，
又 f（ ）＝ ＜0，∴排除选项 C，
故选：D．
9．某几何体的三视图如图，俯视图中圆的半径为 1．且其内接四边形为正方形，则该几何
体的体积为（ ）
A． B． C． D．
解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为半径为 1 的半球挖去一个四棱锥，
半球的体积为 ，四棱锥的体积为 ，
则几何体的体积为 ．
故选：B．
10．已知函数 f（x）＝sin
ω
x（sin
ω
x+cos
ω
x）﹣ （
ω
＞0）在区间（0，
π
）上恰有 1 个最
大值点和 1 个最小值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：f（x）＝sin2
ω
x+sin
ω
xcos
ω
x﹣
＝ + ﹣
＝ ＝ （
ω
＞0）
∵x
∈
（0．
π
），∴0＜2
ω
x＜2
ωπ
，﹣ ＜2
ω
x﹣ ＜2
ωπ
﹣ ，
在（0，
π
）上恰有 1 个最大值点和一个最小值点，
， ，
故选：B．
11．在四面体 ABCD 中，△BCD 是边长为 2 的等边三角形，△ABD 是以 BD 为斜边的等腰
直角三角形，平面 ABD⊥平面 ABC，则四面体 ABCD 的外接球的表面积为（ ）
A．8
π
B．
π
C．6
π
D．2
π解：在四面体 ABCD 中，△BCD 是边长为 2 的等边三角形，△ABD 是以 BD 为斜边的等
腰直角三角形，AB＝AD＝ ，
平面 ABD⊥平面 ABC，如图，可知 AD⊥平面 ABC，可得 AD⊥AC，所以△BAC 是等腰
直角三角形，所以三棱锥 A﹣BCD 是正方体的一个角，如图：
外接球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以 2r＝ ，r＝ ，
四面体 ABCD 的外接球的表面积为：4
π
r2＝6
π
．
故选：C．
12 ． 已 知 数 列 {an} 满 足 an ＞ 0 ， 其 前 n 项 和 ， 数 列 {bn} 满 足
，其前 n 项和为 Tn.若 对任意 n
∈
N*恒成立，则实数
λ的取值池围是（ ）
A． B． C． D．
解：前 n 项和 ，
可得 n＝1 时，a1＝S1＝ ，解得 a1＝3；
当 n≥2 时，4Sn﹣1＝an﹣12+2an﹣1﹣3，又 4Sn＝an2+2an﹣3，
两式相减可得 4an＝4Sn﹣4Sn﹣1＝an2+2an﹣3﹣an﹣12﹣2an﹣1+3，
化为 2（an+an﹣1）＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），
由于 an＞0，可得 an﹣an﹣1＝2，
则 an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，
＝（﹣1）n+1• ＝（﹣1）n+1• （ + ），
所以 T2n＝ （[ + ）﹣（ + ）+（ + ）﹣…+（ + ）﹣（ + ）]
＝ （ ﹣ ）＝ ，
对任意 n
∈
N*恒成立，即为
λ
＜nT2n＝ ，
即有 3
λ
＜ ＝ ，
由 + 在 n
∈
N*时递减，可得 + 的最大值为 7，
所以 3
λ
＜ ，则
λ
＜ ．
故选：A．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 z＝x﹣2y 的最大值为 2 ．
解：由约束条件作出可行域如图，
A（2，0），
化目标函数 z＝x﹣2y 为 y＝ ，由图可知，当直线 y＝ 过 A 时，
z 有最大值为 2．
故答案为：2．
14．已知函数 f（x）＝x2lnx+x，则 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 2x﹣y﹣1＝0 ．
解：函数 f（x）＝x2lnx+x，可得 f′（x）＝2xlnx+x+1，
所以 f′（1）＝2，f（1）＝1，
所以 f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即 2x﹣y﹣1＝0．
故答案为：2x﹣y﹣1＝0．
15．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，点 A 在抛物线 C 上，且满足|AF|＝3，则以点 A 为
圆心，AF 为半径的圆截 y 轴所得弦长为 4 ．
解：抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，点 A 在抛物线 C 上，且满足|AF|＝3，则以点 A（2，
±2 ），
∴圆 A 的标准方程为（x﹣2）2+（y±2 ）2＝9．
AF 为半径的圆截 y 轴交点为： ，
所得弦长：4 ．
故答案为：4 ．
16．已知函数 f（x）＝ ，若函数 g（x）＝f（f（x））﹣af（x）+a+1 恰有 5
个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 （ ，0） ．
解：当 x＞1 时，由 f（x）＝ ，得 f′（x）＝ ，
当 x
∈
（1，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当 x
∈
（e，+∞）时，f′（x）＜0，f
（x）单调递减，
又当 x→+∞时，f（x）＞0 且 f（x）→0，
作出 f（x）的图象如图：
设 f（x）＝t，则由 g（x）＝f（f（x））﹣af（x）+a+1＝0，得 f（t）﹣at+a+1＝0，
可得 f（t）＝a（t﹣1）﹣1，
若函数 g（x）＝f（f（x））﹣af（x）+a+1 恰有 5 个不同的零点，
则关于 x 的方程 g（x）＝f（f（x））﹣af（x）+a+1＝0 有 5 个不同的实根，
结合函数 y＝f（x）的图象及直线 y＝a（x﹣1）﹣1 得 f（t）＝a（t﹣1）﹣1 恰有 2 个不
等的实根，
得 t＝t1＝f（x）
∈
（﹣1，0），t＝t2＝f（x）
∈
（0，1），
t＝t1＝f（x）
∈
（﹣1，0）有 2 个不等实根，t＝t2＝f（x）
∈
（0，1）有 3 个不等实根，
∴ ＜a＜0．
故答案为：（ ，0）．
三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共
60 分
17．如图，在平面四边形 ABCD 中，AD＝1，BD＝ ，∠BAD＝ ．
（Ⅰ）求边 AB 的长；
（Ⅱ）若∠CBD＝ ，BC＝BD，求△ABC 的面积．
解：（Ⅰ）在△ABD 中，AD＝1，BD＝ ，∠BAD＝ ，
由余弦定理 BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cos∠BAD，可得 7＝1+AB2﹣2×1×AB×（﹣ ），
整理可得 AB2+AB﹣6＝0，
解得 AB＝2，（负值舍去）．
（Ⅱ）因为∠CBD＝ ，BC＝BD，
所以在△ABD 中，由正弦定理 ，所以 sin∠ABD＝ •sin∠BAD
＝ × ＝ ，
因为∠ABD
∈
（0， ），
所以 cos∠ABD＝ ＝ ＝ ，
所 以 sin ∠ ABC ＝ sin （ ∠ ABD+ ∠ DBC ） ＝ sin ∠ ABDcos +cos ∠ ABDsin ＝
＝ ，
所以 S△ABC＝ AB•BC•sin∠ABC＝ ＝ ．
18．有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁．中国高铁经过十几年的发展，取得了
举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变．中国的高铁技术
不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁．高铁可以说是中国一张
行走的名片．截至到 2020 年，中国高铁运营里程已经达到 3.9 万公里．如表是 2013 年至
2020 年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展：
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码 x 1 2 3 4 5 6 7 8
运营里程 y（万
公里）
1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.9 3.5 3.9
根据以上数据，回答下面问题．
（Ⅰ）甲同学用曲线 y＝bx+a 来拟合，并算得相关系数 r1＝0.97，乙同学用曲线 y＝cedx
来拟合，并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数 r2＝0.99，试问哪一个更适合作为
y 关于 x 的回归方程类型，并说明理由；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程（系数精确到 0.01）．
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式： ，
．
参考数据： ＝42.00，
令 w＝lny， ＝
1.15．
解：（Ⅰ）∵0＜r1＜r2＜1，
∴y＝cedx 更适合作为 y 关于 x 的回归方程类型；
（Ⅱ） ，
由 y＝cedx，得 lny＝lnc＝dx，即 w＝lnc+dx，
d＝ ≈0.15．
lnc＝
y＝cedx＝e0.14+0.15x＝e0.14•e0.15x＝1.15e0.15x．
19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA＝BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝ ，
AC 与 BD 交于点 O，点 M 在线段 PA 上，且 PM＝3MA．
（Ⅰ）证明：OM∥平面 PBC；
（Ⅱ）求三棱锥 P﹣MCD 的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：由已知可知，△ABC≌△ADC，
所以 AC⊥BD 且 O 为 BD 的中点，
由 BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝ ，
可得 ，
所以 ，
所以 OM∥PC，
又 OM
⊄
平面 PBC，PC
⊂
平面 PBC，
所以 OM∥平面 PBC；
（Ⅱ）解：因为 PM＝3MA，
所以 ，
在△ADC 中，∠ADB＝30°，∠CDB＝60°，
所以∠CDA＝90°，
所以 ，
故 ＝ ，
所以三棱锥 P﹣MCD 的体积为 ．
20．在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 分别为椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的右顶点和
上顶点，△OAB 的面积为 ，且椭圆 C 的离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设斜率不为 0 的直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F，且与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，
过 M 作直线 x＝4 的垂线，垂足为 Q．试问：直线 QN 是否过定点？若过定点，请求出定
点的坐标；若不过定点，请说明理由．
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c（c＞0），
由题意可得 ，
解得 a＝2，b＝ ，c＝1，
所以椭圆 C 的方程为 + ＝1．
（Ⅱ）设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 Q（4，y1），
设直线 l 的方程为 x＝my+1，
联立 ，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
所以 y1+y2＝ ，y1y2＝ ，
所以 my1y2＝ （y1+y2）
①
，
直线 QN 的方程为：y＝ （x﹣4）+y1，
假设直线 QN 过定点，则由对称性知定点在 x 轴上，
设直线 QN 与 x 轴的交点为（x0，0），
则 （x0﹣4）+y1＝0，
所以 x0＝ +4＝ +4＝ +4，
将
①
式代入上式，可得
x0＝ +4＝ +4＝ +4＝﹣ +4＝ ，
所以直线 QN 过定点（ ，0）．
21．已知函数（x）＝ax+sinx，x
∈
（0，+∞）．
（Ⅰ）当 a＝﹣ 时，函数 f（x）的极大值点从小到大次记为 x1，x2，x3，…，xn，…，
求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）若 f（x）≤xex 恒成立，求实数 a 的取值范围．
解：（Ⅰ）当 a＝﹣ 时，f（x）＝﹣ x+sinx，
所以 f′（x）＝﹣ +cosx，
由 f′（x）＝﹣ +cosx＞0，得 cosx＞ ，
所以 2k
π
﹣ ＜x＜2k
π
+ ，（k
∈
Z），
由 f′（x）＝﹣ +cosx＜0，得 cosx＜ ，
所以 2k
π
+ ＜x＜2k
π
+ ，（k
∈
Z），
所以 f（x）的单调递增区间为（2k
π
﹣ ，2k
π
+ ），
f（x）的单调递减区间为（2k
π
+ ，2k
π
+ ），（k
∈
Z），
因为 f（x）的定义域为（0，+∞），
所以 xn＝ +2（n﹣1）
π
．
（Ⅱ）f（x）≤xex
⇔
ax+sinx≤xex
⇔
xex﹣sinx﹣ax≥0，
设 g（x）＝xex﹣sinx﹣ax，
则 g′（x）＝（x+1）ex﹣cosx﹣a，
设 h（x）＝g′（x）＝（x+1）ex﹣cosx﹣a，
则 h′（x）＝（x+2）ex+sinx，
因为 f（x）的定义域为（0，+∞），
所以 x+2＞2，ex＞1，
所以（x+2）ex＞2，
又﹣1≤sinx≤1，
所以 h′（x）＝（x+2）ex+sinx＞0，
所以 h（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以 h（x）＞h（0）＝1﹣1﹣a＝﹣a，
①
当﹣a≥0，即 a≤0 时，h（x）＞﹣a≥0，即 x
∈
（0，+∞）时，g′（x）＞0，
所以 g（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以 g（x）＞g（0）＝0 在（0，+∞）上恒成立，
所以 a≤0 符合题意．
②
当﹣a＜0，即 a＞0 时，
∃
x0
∈
（0，+∞），使得 g′（x0）＝0，
则 x
∈
（0，x0）时，g′（x）＜0，
x
∈
（x0，+∞）时，g′（x）＞0，
所以 x
∈
（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以 x
∈
（0，x0）时，g（x）＜g（0）＝0，不合题意，
综上所述，a 的取值范围为 a≤0，
所以 a 的取值范围为（﹣∞，0]．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原
点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线 C1 与曲线 C2 交于两点 A，B，求 的值．
解：（Ⅰ）曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），转换为 t＝ ，代入 x＝4t2﹣
1，得到直角坐标方程为 y2＝4x+4．
根据 ，转换为极坐标方程为
ρ
2sin2
θ
＝4
ρ
cos
θ
+4．
曲线 C2 的极坐标方程为 ，转换为直角坐标方程为 ．
（Ⅱ ）把 曲线 C2 的极 坐标 方程 为 ，代 入
ρ
2sin2
θ
＝4
ρ
cos
θ
+4 得到
，
所以 ，
ρ
1
ρ
2＝﹣16，
所以 ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．设函数 f（x）＝|2x+1|+|x+ |．
（Ⅰ）求函数 f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数 f（x）的最小值为 m，且正实数 a，b，c 满足 a+b+c＝m，证明： ．
解：（Ⅰ）
当 x≤﹣ ，f（x）单调递减；当﹣ ＜x，f（x）单调递增；
所以函数 f（x）的最小值为 1．
（Ⅱ）证明：由于 a+b+c＝1，
所以 ，
即 ，当且仅当 a＝ ，b＝c＝ 时取等号．
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