2021届东北三省东、、高考数学第二次联考试卷（理科）（2021.04） （解析版）

2021 年东北三省三校（、东、辽宁省实 验中学）高考数学第二次联考试卷（理科）（4 月份） 一、选择题（每小题 5 分）. 1．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x ∈ A，y ∈ B}，设 A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合 A*B 的所有元素之和为（ ） A．16 B．18 C．14 D．8 2．设复数 z＝ （其中 i 为虚数单位），则 z• ＝（ ） A．1 B．3 C．5 D．6 3．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余 补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．如图，揭示了刘微推导三角形积公式的方 法，在三角形 ABC 内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（ ） A． B． C． D． 4．已知 a＝ ，b＝log52，c＝ ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 5．已知下列四个命题，其中真命题的个数为（ ） ① 空间三条互相平行的直线 a，b，c，都与直线 d 相交，则 a，b，c 三条直线共面； ② 若直线 m⊥平面 α ，直线 n∥平面 α ，则 m⊥n； ③ 平面 α ∩平面 β ＝直线 m，直线 a∥平面 α ，直线 a∥平面 β ，则 a∥m； ④ 垂直于同一个平面的两个平面互相平行． A．1 B．2 C．3 D．4 6．双曲线 C： ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是双曲线 C 上一 点，PF2⊥x 轴，tan∠PF1F2＝ ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．x±2y＝0 B．2x±y＝0 C． D． 7．如图所示，流程图所给的程序运行结果为 S＝840，那么判断框中所填入的关于 k 的条件 是（ ） A．k＜5？ B．k＜4？ C．k＜3？ D．k＜2？ 8．已知 f（x）是定义域为 R 的奇函数，f（1+x）＝f（1﹣x），当 0≤x≤1 时，f（x）＝ex ﹣1，则 2≤x≤3 时，f（x）的解析式为（ ） A．f（x）＝1﹣ex﹣2 B．f（x）＝ex﹣2﹣1 C．f（x）＝1﹣ex﹣1 D．f（x）＝ex﹣1﹣1 9．若函数 的图象向右平移 个长度单位后关于点 对称，则 f（x）在 上的最小值为（ ） A．﹣1 B． C． D． 10．已知直线 x+y＝a 与圆 x2+y2＝4 交于 A、B 两点，O 为坐标原点， ， 则实数 a 的值为（ ） A．±2 B． C． D． 11．已知 A、B 是球 O 的球面上两点，AB＝2，过 AB 作互相垂直的两个平面截球得到圆 O1 和圆 O2，若∠AO1B＝90°，∠AO2B＝60°，则球的表面积为（ ） A．5 π B．10 π C．15 π D．20 π12．已知函数 f（x）＝ex﹣3，g（x）＝ +ln ，f（m）＝g（n）成立，则 n﹣m 的最小值为 （ ） A．1+ln2 B．ln2 C．2ln2 D．ln2﹣1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝ ． 14．在一次跳绳比赛中，35 名运动员在一分钟内跳绳个数的茎叶图，如图所示，若将运动 员按跳绳个数由少到多编为 1～35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，把 7 人跳绳个 数由少到多排成一列，第一个人跳绳个数是 133，则第 5 个人跳绳个数是 ． 15．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 ，b ﹣c＝2，cosA＝﹣ ，则 a 的值为 ． 16．在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程 C1： ＝1；C2：x4+y4＝1， 老师问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回答： 甲：曲线 C1 关于 y＝x 对称； 乙：曲线 C2 关于原点对称； 丙：曲线 C1 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 S1＜ ； 丁：曲线 C2 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 S2＜ ． 四位同学回答正确的有 （选填“甲、乙、丙、丁”）． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（一）必考题：共 60 分 17．已知公比大于 1 的等比数列{an}的前 6 项和为 126，且 4a2，3a3，2a4 成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式 an； （Ⅱ）若数列{bn}满足 bn＝bn﹣1+log2an（n≥2 且 n ∈ N*），且 b1＝1，证明：数列{ }的 前 n 项和 Tn＜2． 18．新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作 中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分 100 分，随机发给 100 名男性居民和 100 名女性居民，分数统计如表： 100 位男性居民评分频数分布表 分组 频数 [50，60） 3 [60，70） 12 [70，80） 72 [80，90） 8 [90，100] 5 合计 100 100 位女性居民评分频数分布表 分组 频数 [50，60） 5 [60，70） 15 [70，80） 64 [80，90） 7 [90，100] 9 合计 100 （Ⅰ）求这 100 位男性居民评分的均值 和方差 S2； （Ⅱ）已知男性居民评分 X 服从正态分布 N（ μ ，σ2）， μ 用 表示，σ2 用 S2 表示，求 P （67.8＜X＜89.4）； （Ⅲ）若规定评分小于 70 分为不满意，评分大于等于 70 分为满意，能否有 99%的把握 认为居民是否满意与性别有关？ 附： ≈7.2P（ μ ﹣σ＜X＜ μ +σ）＝0.6827，P（ μ ﹣σ＜X＜ μ +σ）＝0.9545，P（ μ﹣σ＜X＜ μ +σ）＝0.9973． 参考公式 K2＝ ，n＝a+b+c+d． p（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.204 6.635 7.879 10.828 19．已知等腰直角△SAB，SA＝AB＝4，点 c，d 分别为边 SB，SA 的中点，沿 CD 将△SCD 折起，得到四棱锥 S﹣ABCD，平面 SCD⊥平面 ABCD． （Ⅰ）过点 D 的平面 α ∥平面 SBC，平面 α 与棱锥 S﹣ABCD 的面相交，在图中画出交线； 设平面 α 与棱 SA 交于点 M，写出 的值（不必说出画法和求值理由）； （Ⅱ）求证：平面 SBA⊥平面 SBC． 20．已知点 M（1， ），N（﹣1，﹣ ），直线 PM，PN 的斜率乘积为﹣ ，P 点的轨迹 为曲线 C． （Ⅰ）求曲线 C 的方程； （Ⅱ）设斜率为 k 的直线交 x 轴于 T，交曲线 C 于 A，B 两点，是否存在 k 使得|AT|2+|BT|2 为定值，若存在，求出的 k 值；若不存在，请说明理由． 21．已知函数 f（x）＝ex+e﹣x﹣ （a ∈ R） （Ⅰ）当 a＝2 时，求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若 f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个极小值点，求 a 的取值范围． （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分 10 分.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），曲线 C1 的参数方 程为 （ θ 为极角），以该直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）分别求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线 l 交曲线 C1 于 O，A 两点，交曲线 C2 于 O，B 两点，求|AB|的长． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知 f（x）＝|x+2|﹣|x﹣1|． （Ⅰ）解不等式 f（x）≤x； （Ⅱ）设 f（x）的最大值为 t，如果正实数 m，n 满足 m+2n＝t，求 的最小值． 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x ∈ A，y ∈ B}，设 A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合 A*B 的所有元素之和为（ ） A．16 B．18 C．14 D．8 解：由 x ∈ A＝{1，2}，y ∈ B＝{1，2，3}， 可得：z＝xy＝1，2，3，4，6， ∴集合 A*B＝{1，2，3，4，6}， 可得：所有元素之和＝1+2+3+4+6＝16， 故选：A． 2．设复数 z＝ （其中 i 为虚数单位），则 z• ＝（ ） A．1 B．3 C．5 D．6 解：复数 z＝ ＝ ＝ ＝2+i， 则 z• ＝（2+i）（2﹣i）＝5， 故选：C． 3．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余 补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．如图，揭示了刘微推导三角形积公式的方 法，在三角形 ABC 内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（ ） A． B． C． D． 解：根据题意可得长方形的长为三角形的底，长方形的宽为三角形的高的一半， 故该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一， 故该点落在标记“盈”的区域的概率为 ， 故选：A． 4．已知 a＝ ，b＝log52，c＝ ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 解：∵ ，∴1＜a＜2， ∵0＝log51＜log52＜log55＝1，∴0＜b＜1， ∵c＝ ＝log25＞log24＝2，∴c＞2， ∴c＞a＞b， 故选：C． 5．已知下列四个命题，其中真命题的个数为（ ） ① 空间三条互相平行的直线 a，b，c，都与直线 d 相交，则 a，b，c 三条直线共面； ② 若直线 m⊥平面 α ，直线 n∥平面 α ，则 m⊥n； ③ 平面 α ∩平面 β ＝直线 m，直线 a∥平面 α ，直线 a∥平面 β ，则 a∥m； ④ 垂直于同一个平面的两个平面互相平行． A．1 B．2 C．3 D．4 解：对于 ① ，空间三条互相平行的直线 a，b，c，都与直线 d 相交， 则 a，b 共面，由 d 与 a，b 都相交，得到 d 在 a，b 确定的平面内， ∵c，d 相交，且 c 与 a．b 都平行，∴c 在 a，b 确定的平面内， ∴a，b，c 三条直线共面，故 ① 正确； 对于 ② ，若直线 m⊥平面 α ，直线 n∥平面 α ，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得 m⊥n，故 ② 正确； 对于 ③ ，平面 α ∩平面 β ＝直线 m，直线 a∥平面 α ，直线 a∥平面 β ，则由线面平行的性 质得 a∥m，故 ③ 正确； 对于 ④ ，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故 ④ 错误． 故选：C． 6．双曲线 C： ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是双曲线 C 上一 点，PF2⊥x 轴，tan∠PF1F2＝ ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．x±2y＝0 B．2x±y＝0 C． D． 解：双曲线 C： ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是双曲线 C 上一点，PF2⊥x 轴，tan∠PF1F2＝ ， 可得 ＝ ＝ ，即 2b2＝3ac，4b4＝9a2（a2+b2）， 可得 4b4＝9a4+9a2b2， 4 ﹣9 ﹣9＝0，解得 ＝ ，（负值舍去）， 双曲线的渐近线方程为： ±y＝0． 故选：C． 7．如图所示，流程图所给的程序运行结果为 S＝840，那么判断框中所填入的关于 k 的条件 是（ ） A．k＜5？ B．k＜4？ C．k＜3？ D．k＜2？ 解：模拟程序的运行，可得 S＝1，k＝7； 不满足退出循环的条件，执行循环体后：S＝7，k＝6； 不满足退出循环的条件，执行循环体后：S＝42，k＝5； 不满足退出循环的条件，执行循环体后：S＝210，k＝4； 不满足退出循环的条件，执行循环体后：S＝840，k＝3； 由题意可得，此时应当满足退出循环的条件，退出循环，输出 S 的值为 840， 故判断框中应填入的关于 k 的条件是 k＜4？． 故选：B． 8．已知 f（x）是定义域为 R 的奇函数，f（1+x）＝f（1﹣x），当 0≤x≤1 时，f（x）＝ex ﹣1，则 2≤x≤3 时，f（x）的解析式为（ ） A．f（x）＝1﹣ex﹣2 B．f（x）＝ex﹣2﹣1 C．f（x）＝1﹣ex﹣1 D．f（x）＝ex﹣1﹣1 解：因为 f（x）是定义域为 R 的奇函数，f（1+x）＝f（1﹣x）， 所以 f（2﹣x）＝f（x）， 当 0≤x≤1 时，f（x）＝ex﹣1， 设﹣1≤x≤0，则 0≤﹣x≤1， 所以 f（﹣x）＝e﹣x﹣1＝﹣f（x）， 所以 f（x）＝﹣e﹣x+1， 则 2≤x≤3 时，﹣1≤2﹣x≤0， 所以 f（2﹣x）＝﹣e2﹣x+1＝f（x） 故选：A． 9．若函数 的图象向右平移 个长度单位后关于点 对称，则 f（x）在 上的最小值为（ ） A．﹣1 B． C． D． 解：函数 f（x）＝sin（ ω x+ ）的图象向右平移 个长度单位， 得 y＝f（x﹣ ）＝sin[ ω （x﹣ ）+ ]＝sin（ ω x﹣ ω + ）， 又该函数图象关于点 对称， 所以﹣ ω + ＝ +k π ，k ∈ Z， 解得 ω ＝﹣ ﹣ k，k ∈ Z， 又 0＜ ω ＜3，所以 k＝﹣1，得 ω ＝1， 所以 f（x）＝sin（x+ ）， 当 x ∈ [﹣ ， π ]时，x+ ∈ [﹣ ， ]， 所以 sin（x+ ） ∈ [﹣ ，1]， 所以 f（x）在 上的最小值为﹣ ． 故选：C． 10．已知直线 x+y＝a 与圆 x2+y2＝4 交于 A、B 两点，O 为坐标原点， ， 则实数 a 的值为（ ） A．±2 B． C． D． 解 ： ∵ 直 线 x+y ＝ a 与 圆 x2+y2 ＝ 4 交 于 A 、 B 两 点 ， O 为 坐 标 原 点 ， ， ∴| |＝| |＝2， ∴ +2 ＝3（ ﹣2 ） ⇒ ＝2 ⇒ cos∠AOB＝ ⇒ ∠ AOB＝60° ⇒ △AOB 为等边三角形， 故 O 到直线 AB 的距离为： |OA|＝ ＝ ⇒ a＝± ， 故选：D． 11．已知 A、B 是球 O 的球面上两点，AB＝2，过 AB 作互相垂直的两个平面截球得到圆 O1 和圆 O2，若∠AO1B＝90°，∠AO2B＝60°，则球的表面积为（ ） A．5 π B．10 π C．15 π D．20 π解：A、B 是球 O 的球面上两点，AB＝2， 过 AB 作互相垂直的两个平面截球得到圆 O1 和圆 O2， 若∠AO1B＝90°，∠AO2B＝60°，△ABO2 是正三角形，如图， AB 的中点为 G，O1G⊥AB，O2G⊥AB，OO1⊥圆 O1 和 OO2⊥圆 O2， 可得 O1G＝1，OO2＝ ，OG＝ ＝2， 外接球的半径为：R＝ ＝ ， 则球的表面积为 4 π R2＝20 π ． 故选：D． 12．已知函数 f（x）＝ex﹣3，g（x）＝ +ln ，f（m）＝g（n）成立，则 n﹣m 的最小值为 （ ） A．1+ln2 B．ln2 C．2ln2 D．ln2﹣1 解：不妨设 f（m）＝g（n）＝t， ∴em﹣3＝ +ln ＝t，（t＞0）， ∴m﹣3＝lnt，即 m＝3+lnt，n＝2• ， 故 n﹣m＝2• ﹣3﹣lnt（t＞0）， 令 h（t）＝2• ﹣3﹣lnt（（t＞0）， h′（t）＝2• ﹣ ， 易知 h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且 h′（ ）＝0， 当 t＞ 时，h′（t）＞0， 当 0＜t＜ 时，h′（t）＜0， 即当 t＝ 时，h（t）取得极小值同时也是最小值， 此时 h（ ）＝2﹣（3+ln ）＝ln2﹣1，即 n﹣m 的最小值为 ln2﹣1， 故选：D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝ ． 解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10° ＝sin（20°+10°）＝ ， 故答案为： ． 14．在一次跳绳比赛中，35 名运动员在一分钟内跳绳个数的茎叶图，如图所示，若将运动 员按跳绳个数由少到多编为 1～35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，把 7 人跳绳个 数由少到多排成一列，第一个人跳绳个数是 133，则第 5 个人跳绳个数是 145 ． 解：系统抽样间隔为 35÷7＝5， 且第一个人跳绳个数是 133，编号是 3， 所以第 5 个人的编号是 4×5+3＝23，跳绳个数是 145． 故答案为：145． 15．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 ，b ﹣c＝2，cosA＝﹣ ，则 a 的值为 ． 解：由于 cosA＝﹣ ，则 ， 利用 sin2A+cos2A＝1，解得 ， 由于△ABC 的面积为 ，所以 ，解得 bc＝8． 由于 b﹣c＝2，所以（b﹣c）2＝4，整理得 b2+c2＝20， 所以 a2＝b2+c2﹣2bccosA＝ ， 解得 a＝2 ． 故答案为： 16．在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程 C1： ＝1；C2：x4+y4＝1， 老师问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回答： 甲：曲线 C1 关于 y＝x 对称； 乙：曲线 C2 关于原点对称； 丙：曲线 C1 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 S1＜ ； 丁：曲线 C2 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 S2＜ ． 四位同学回答正确的有 甲、乙、丙 （选填“甲、乙、丙、丁”）． 解：甲说法：对曲线 ＝1，交换 x，y 得 ，方程不变，所以 C1 关于 y＝ x 对称， 故甲说法正确， 乙说法：若（x，y）在曲线 C2 上，即 x4+y4＝1，所以（﹣x）4+（﹣y）4＝1，即点（﹣x， ﹣y）在曲线 C2 上，所以曲线 C2 关于原点对称， 故乙说法正确， 丙说法：选择 x+y＝1 作参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为 ， 对 ＝1，第一象限均有 0≤x≤1，0≤y≤1， 此时 ， ，等号不能同时取得，所以 1＝ ＞x+y， 所以 ＝1 时，x+y＜1，且 x+y＝1 时， ， 所以曲线 C1 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 S1＜ ， 故丙说法正确， 丁说法：选择 x2+y2＝1 作为参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为 ， 若 x2+y2≥1，则（x2+y2）2≥1， 即 x4+y4+2x2y2≥1， 所以 x4+y4≤1， 即曲线 C2 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 S2＞ ， 故丁说法错误， 故答案为：甲、乙、丙． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（一）必考题：共 60 分 17．已知公比大于 1 的等比数列{an}的前 6 项和为 126，且 4a2，3a3，2a4 成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式 an； （Ⅱ）若数列{bn}满足 bn＝bn﹣1+log2an（n≥2 且 n ∈ N*），且 b1＝1，证明：数列{ }的 前 n 项和 Tn＜2． 解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为 q，q＞1， 由 4a2，3a3，2a4 成等差数列，可得 6a3＝4a2+2a4， 即为 6a1q2＝4a1q+2a1q3，即有 q2﹣3q+2＝0， 解得 q＝2（1 舍去）， 由前 6 项和为 126，可得 ＝126， 则 a1＝ ＝2， 所以 an＝2•2n﹣1＝2n； （Ⅱ）证明：bn＝bn﹣1+log2an，即 bn﹣bn﹣1＝log2an＝log22n＝n， 则 bn＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）＝1+2+3+…+n＝ n（n+1）， ＝ ＝2（ ﹣ ）， 所以 Tn＝2（1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）＝2（1﹣ ）＜2． 18．新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作 中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分 100 分，随机发给 100 名男性居民和 100 名女性居民，分数统计如表： 100 位男性居民评分频数分布表 分组 频数 [50，60） 3 [60，70） 12 [70，80） 72 [80，90） 8 [90，100] 5 合计 100 100 位女性居民评分频数分布表 分组 频数 [50，60） 5 [60，70） 15 [70，80） 64 [80，90） 7 [90，100] 9 合计 100 （Ⅰ）求这 100 位男性居民评分的均值 和方差 S2； （Ⅱ）已知男性居民评分 X 服从正态分布 N（ μ ，σ2）， μ 用 表示，σ2 用 S2 表示，求 P （67.8＜X＜89.4）； （Ⅲ）若规定评分小于 70 分为不满意，评分大于等于 70 分为满意，能否有 99%的把握 认为居民是否满意与性别有关？ 附： ≈7.2P（ μ ﹣σ＜X＜ μ +σ）＝0.6827，P（ μ ﹣σ＜X＜ μ +σ）＝0.9545，P（ μ﹣σ＜X＜ μ +σ）＝0.9973． 参考公式 K2＝ ，n＝a+b+c+d． p（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.204 6.635 7.879 10.828 解：（1）由频率分布表可知 ＝ ＝ ＝75， S2 ＝ ＝ 52． （2）由已知和（1）可知 X～N（75，52）， 因为σ＝ ＝ ＝ ≈7.2， 所以 P（67.8＜X＜89.4）＝P（ μ ﹣σ＜X＜ μ +2σ） ＝ P（ μ ﹣σ＜X＜ μ +σ）+ P（ μ ﹣2σ＜X＜ μ +2σ） ＝ ×0.6827+ ×0.9545＝0.8186． （3）由已知条件可得 2×2 列联表如下： 满意 不满意 总计 男性 85 15 100 女性 80 20 100 总计 165 35 200 所以 K2 的观测值 k＝ ＝ ≈0.866， 因为 k≈0.866＜6.635， 所以没有 99%的把握认为居民是否满意与性别有关． 19．已知等腰直角△SAB，SA＝AB＝4，点 c，d 分别为边 SB，SA 的中点，沿 CD 将△SCD 折起，得到四棱锥 S﹣ABCD，平面 SCD⊥平面 ABCD． （Ⅰ）过点 D 的平面 α ∥平面 SBC，平面 α 与棱锥 S﹣ABCD 的面相交，在图中画出交线； 设平面 α 与棱 SA 交于点 M，写出 的值（不必说出画法和求值理由）； （Ⅱ）求证：平面 SBA⊥平面 SBC． 解：（Ⅰ）平面 α 与棱锥 S﹣ABCD 的交线如图所示， ＝1． （Ⅱ）证明：未折起时，在等腰直角△SAB 中，CD 是△SAB 的中位线， 所以 CD∥AB，且 CD＝ AB＝2， 所以∠CDA＝∠DAB＝90°，即 CD⊥SA， 折起后仍满足 CD⊥SD，CD⊥AD， 折起后，因为平面 SCD∩平面 ABCD＝CD，且 CD⊥SD，所以 SD⊥平面 ABCD， 又 AD ⊂ 平面 ABCD，所以 SD⊥AD，综上所述，直线 AD，SD，CD 两两垂直， 故可建立以点 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DS 为 z 轴的空间直角坐标系，如图， 由题意可得 D（0，0，0），A（2，0，0），S（0，0，2），C（0，2，0），B（2，4， 0）， 则 ＝（2，4，﹣2）， ＝（0，4，0）， ＝（2，2，0）， 设平面 SAB 的法向量为 ＝（x1，y1，z1），平面 SBC 的法向量为 （x2，y2，z2）， 则 ，可得 ，令 x1＝1，可得 ＝（1，0，1）， ，可得 ，令 x1＝1，可得 ＝（1，﹣1，﹣1）． 因为 • ＝1+0﹣1＝0， 所以 ， 所以平面 SBA⊥平面 SBC． 20．已知点 M（1， ），N（﹣1，﹣ ），直线 PM，PN 的斜率乘积为﹣ ，P 点的轨迹 为曲线 C． （Ⅰ）求曲线 C 的方程； （Ⅱ）设斜率为 k 的直线交 x 轴于 T，交曲线 C 于 A，B 两点，是否存在 k 使得|AT|2+|BT|2 为定值，若存在，求出的 k 值；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）设点 P（x，y），由已知可得 k ， 即 ，化简可得 ， 即所求曲线方程为 ； （Ⅱ）设 T（t，0），则斜率为 k 的直线为 y＝k（x﹣t），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立方程 ，消去 y 整理可得：（3+4k2）x2﹣8k2tx+4k2t2﹣12＝0， 则 x ， 所 以 |AT|2+|BT|2 ＝ （ 1+k2 ） [ （ x1 ﹣ t ） ＝ ， 若要使|AT|2+|BT|2 为定值，则需与 t 无关，即 18﹣24k2＝0，解得 k＝ ， 此时|AT|2+|BT|2＝7 满足题意， 故 k＝ ． 21．已知函数 f（x）＝ex+e﹣x﹣ （a ∈ R） （Ⅰ）当 a＝2 时，求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若 f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个极小值点，求 a 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题意知，a＝2 时，f（x）＝ex+e﹣x﹣x2， f（﹣x）＝e﹣x+ex﹣（﹣x）2＝f（x）， 所以 f（x）为偶函数， 当 x＞0 时，f′（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x， f″（x）＝ex+e﹣x+2≥2 ﹣2≥0， 当且仅当 ex＝e﹣x，即 x＝0 时，取等号， 所以 f′（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以 f′（x）＞f′（0）＝0， 所以 f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）为偶函数， 当 x ∈ （0，+∞）时，f′（x）＝ex﹣e﹣x﹣ax， f″（x）＝ex+e﹣x﹣a， 因为 f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个极小值点， 所以 f′（x）＝0 在（0，+∞）上有且只有 1 个解， 所以 ex+e﹣x﹣ax＝0 在（0，+∞）上有且只有一个解， 所以 ex+e﹣x＝ax， 所以 y1＝ex﹣e﹣x 与 y2＝ax 有且只有 1 个交点， y′＝ex+e﹣x≥2 ＝2， 当且仅当 x＝0 时，等号成立， y2′＝a， 所以 a＞2， 所以 a 的取值范围为（2，+∞）． （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分 10 分.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），曲线 C1 的参数方 程为 （ θ 为极角），以该直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）分别求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线 l 交曲线 C1 于 O，A 两点，交曲线 C2 于 O，B 两点，求|AB|的长． 解：（Ⅰ）直线 l 的参数方程为 （t 为参数）， 转换为直角坐标方程为： ， 所以直线的倾斜角为 ． 所以： ， 曲线 C1 的参数方程为 （ θ 为参数）， 转换为直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2＝4． 转换为极坐标方程为： ρ ＝4cos θ ， 曲线 C2 的极坐标方程为 ， 转换为直角坐标的方程为： ， 整理得： ， 线 l 交曲线 C1 于 O，A 两点， 则： ， 解得：A（﹣2 ， ）， 直线 和曲线 C2 于 O，B 两点 则： ， 解得：B（﹣4， ）， 所以：|AB|＝| ρ 1﹣ ρ 2|＝4﹣2 ． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知 f（x）＝|x+2|﹣|x﹣1|． （Ⅰ）解不等式 f（x）≤x； （Ⅱ）设 f（x）的最大值为 t，如果正实数 m，n 满足 m+2n＝t，求 的最小值． 解：（Ⅰ） ① 当 x≤﹣2 时，f（x）＝﹣（x+2）+（x﹣1）＝﹣3≤x，∴﹣3≤x≤﹣2， ② 当﹣2＜x＜1 时，f（x）＝（x+2）+（x﹣1）＝2x+1≤x，∴﹣2＜x≤﹣1， ③ 当 x≥1 时，f（x）＝（x+2）﹣（x﹣1）＝3≤x，∴x≥3， ∴不等式 f（x）≤x 的解集为[﹣3，﹣1]∪[3，+∞） （Ⅱ）由（Ⅰ）得，当 x≤﹣2 时，f（x）＝﹣3 当﹣2＜x＜1 时，f（x）＝2x+1 ∈ （﹣3，3）， 当 x≥1 时，f（x）＝3， ∴f（x）的最大值为 3，即 t＝3，∴m+2n＝3， ∴ + ＝（ + ）（m+2n）× ＝（ + +4）× ≥（2 +4）× ＝ ， 当且仅当 ＝ ，即 m＝2n 时取等号， ∴ + 的最小值为 ．