专题 15 立体几何与空间向量
五、解答题
54．（2021·山东淄博市·高三一模）已知在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1 4AB BC BB ， 120ABC ，
侧棱与底面垂直，点M ， N 分别是棱 1CC ， 1 1A B 的中点.
（1）求三棱柱 1 1 1ABC ABC 外接球的表面积；
（2）设平面 ABC截三棱柱 1 1 1ABC ABC 的外接球面所得小圆的圆心为O，求直线 1OB 与平面 BMN 所成
角的正弦值.
【答案】（1）80 ；（2）
7
8
.
【解析】
（1）建立空间直角坐标系，设出外接球球心坐标，利用球心到球面的距离等于半径列方程组，解方程组求
得圆心坐标，由此求得外接球的半径，进而计算出外接球的表面积.
（2）利用直线 1OB 的方向向量和平面 BMN 的法向量，求得线面角的正弦值.
【详解】
（1）据已知条件，取 AC的中点H ，以CA所在的直线为 x轴，以 BH 所在的直线为 y轴，以过点H 且
和 1AA 平行的直线为 z轴，建立空间直角坐标系如图所示：
由已知可得 2 3,0,0A ， 0, 2,0B ， 2 3,0,0C ， 1 2 3,0,4A ， 1 2 3,0,4C ， 1 0, 2,4B ，
设球心G的坐标为 , ,a b c ，则 1GA GC GB ，且 2c
所以
2 22 2
2 22 2
2 3 4 2 3 4
2 3 4 2 4
a b a b
a b a b
，
解得： 0a ， 2b ，所以 0,2,2G ，
所以 2 220 2 2 2 4 2 5r ，
所以外接球的表面积 224 2 80S r r .
（2）由（1）可知：所以 2 3,2,0BC
， 1 0,0,4CC
，
因为 1
1
2
CM CC
uuur uuur
，所以 1
1 2 3,2,2
2
BM BC CM BC CC
uuur uuur uuur uuur uuur
，
同理 1 1 1 1 1
1 3,1,4
2
BN BB B N BB B A
uuur uuur uuur uuur uuuur
，
设平面BMN 的法向量 , ,m x y z
，
则
0
0
m BM
m BN
，
即
3 0
3 4 0
x y z
x y z
，取 3x ，则 2z ， 5y ，
所以 3,5, 2m
ur
，
由（1）可知，截面圆的圆心O在 BH 的延长线上，且 2HO ，
所以 1 0, 4,4OB
uuur
，
设直线 1OB 与平面 BMN 所成的角大小为，
所以
1
1
20 8 7sin
832 32
m OB
m OB
ur uuur
ur uuur ，
所以直线 1OB 与平面BMN 所成角的正弦值为
7
8
.
55．（2021·全国高三专题练习（理））在边长为 2 的菱形 ABCD中， 60BAD ，点 E是边 AB的中点（如
图 1），将 ADE 沿DE折起到 1ADE△ 的位置，连接 1 1,A B AC ，得到四棱锥 1A BCDE （如图 2）
（1）证明：平面 1A BE 平面 BCDE；
（2）若 1A E BE ，连接CE，求直线CE与平面 1ACD所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析，（2） 21
14
.
【解析】
（1）连接图 1 中的 BD，证明DE AB ，然后证明 DE 平面 1A BE 即可；
（2）证明 1A E 平面 BCDE，然后以 E为原点建立如图空间直角坐标系，然后利用向量求解即可.
【详解】
（1）连接图 1 中的 BD，
因为四边形 ABCD为菱形，且 60BAD
所以 ABD△ 为等边三角形，所以DE AB
所以在图 2 中有 1,DE BE DE AE ，因为 1BE A E E
所以 DE 平面 1A BE ，因为DE BCDE ，所以平面 1A BE 平面 BCDE
（2）因为平面 1A BE 平面 BCDE，平面 1A BE Ç平面 BCDE BE= ， 1A E BE ， 1 1A E A BE
所以 1A E 平面 BCDE
以E为原点建立如图空间直角坐标系
所以 1 0,0,1 , 2, 3,0 , 0, 3,0 , 0,0,0A C D E
所以 1 10, 3, 1 , 2, 3, 1 , 2, 3,0AD AC EC
设平面 1ACD的法向量为 , ,n x y z
，则
1
1
3 0
2 3 0
n AD y z
n AC x y z
，
令 1y ，则 0,1, 3n
，所以
3 21cos ,
142 7
n ECn EC
n EC
所以直线CE与平面 1ACD所成角的正弦值
21
14
56．（2021·河南高三月考（理））如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，底面 ABC是等边三角形，D是 AC
的中点．
（1）证明： 1AB //平面 1BC D．
（2）若 1 2AA AB ，求二面角 1 1B AC C 的余弦值
【答案】（1）证明见解析；（2） 4 19
19
．
【解析】
（1） 1 1BC BC E ，连接DE，由三角形的中位线可得 1/ /DE AB ，进而可得 1AB //平面 1BC D .
（2）故以 D为原点，分别以 , ,DB DC DF
的方向为 x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
D xyz ．平面 1ABC的法向量为 ( , , )n x y z
，平面 1ACC 的一个法向量为 (1,0,0)m
,进而可得结果.
【详解】
（1）记 1 1BC BC E ，连接DE．
由直棱柱的性质可知四边形 1 1BCC B 是矩形，则 E为 1BC的中点．
因为 D是 AC的中点，所以 1/ /DE AB ．
因为 1AB 平面 1 ,BC D DE 平面 1BC D，所以 1AB //平面 1BC D．
（2）因为底面 ABC是等边三角形，D是 AC的中点，所以 BD AC ，
由直棱柱的性质可知平面 ABC 平面 1 1ACC A ，则 BD 平面 1 1ACC A ．
取 1 1AC 的中点 F，连接DF，则 , ,DB DC DF两两垂直，故以 D为原点，分别以 , ,DB DC DF
的方向为 x，
y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ．
设 2AB ，则 1(0, 1,0), (0,1,0), ( 3,0,4)A C B ，从而 1(0,2,0), ( 3,1,4)AC AB
．
设平面 1ABC的法向量为 ( , , )n x y z
，
则
1
2 0,
3 4 0,
n AC y
n AB x y z
令 4x ，得 (4,0, 3)n
．
平面 1ACC 的一个法向量为 (1,0,0)m
，
则
4 4 19cos ,
19| || | 19
m nm n
m n
．
设二面角 1 1B AC C 为，由图可知为锐角，则
4 19cos | cos , |
19
m n
．
57．（2021·湖南衡阳市·高三一模）如图，直四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D ，底面 ABCD是边长为 2 的菱形，
1 2AA ，
2
3
ADC
，点 E在平面 1 1AC D上，且BE平面 1 1AC D .
（1）求 BE 的长；
（2）若 F 为 1A A的中点，求 BE与平面 1FC B所成角的正弦值.
【答案】（1） 4 5
5
；（2） 6
5
.
【解析】
（1）建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离的向量公式求解；
（2）利用向量法求线面角的正弦即可.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，
则 1(0,0,0), ( 3,1,0), (0, 2,0), ( 3, 1,0) ( 3, 1,2)D B C A A , 1(0, 2, 2)C 1(0,0,2), ( 3, 1,1)D F .
（1）设平面 1 1DAC 的法向量为 , ,m x y z
，
1 (0, 2, 2)DC
,
1 ( 3, 1,2)DA
,
则
1
1
2 2 00
3 2 00
y zm DA
x y zm DC
，取 1y ， 1z ， 3x ，
∴m
可为 3,1, 1
4 4 5
55
m BD
BE
m
.
（2）由（1）知平面 1 1DAC 的法向量为 3,1, 1m
，且m BE
∥ ，
设平面 1FC B的法向量为 , ,n x y z
,
1 ( 3,3,1), (0, 2, 1)FC FB
，
1
1
2 00
3 3 00
y zn FC
x y zn FC
，取 1y ， 2z ，
5 3
3
x ，
∴
5 3( ,1,2)
3
n
，
4 6sin cos ,
5200
3
m n
.
58．（2021·全国高三专题练习）如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABEF为正方形，平面 ABEF 平
面CDFE， / /CD EF ，DF EF^ ， 2 2EF CD .
（1）若 2DF ，求二面角 A CE F 的正弦值；
（2）若平面 ACF 平面 BCE，求DF的长.
【答案】（1） 5
3
；（2）1.
【解析】
（1）根据题中条件，先证明 , ,DF AF FE两两垂直，再以 , ,FA FE FD
uur uur uuur
为正交基底，建立空间直角坐标
系F xyz ，分别求出平面 ACE和平面CEF的一个法向量，计算向量夹角余弦值，进而可求出正弦值；
（2）设 0DF t t ，用 t分别表示出两平面 ACF 和 BCE的一个法向量，由面面垂直，得到法向量垂
直，列出等量关系，求出 t，即可得出结果.
【详解】
（1）因为平面 ABEF 平面CDFE，平面 ABEF 平面CDFE EF ，DF EF^ ，DF 平面CDFE，
所以DF 平面 ABEF，
所以DF AF ，DF FE ，
又四边形 ABEF为正方形，则 AF EF ，所以，以 , ,FA FE FD
uur uur uuur
为正交基底，建立如图所示空间直角坐
标系 F xyz .
则 0,0,0F ， 2,0,0A ， 0, 2,0E ， 0,1,2C ，
则 (2, 2,0)EA
uur
， (0, 1,2)EC
uuur
，
设平面 ACE的一个法向量为 , ,m x y z
，
则m EA
ur uur
，m EC
ur uuur
，
所以
0
0
m EA
m EC
，即
2 2 0
2 0
x y
y z
，
不妨取 1z ，则 2x y ，所以 2, 2,1m
；
又 (2,0,0)FA
， (0, 2,0)FE
， (0,1,2)FC
uuur
所以 0FA FE
uur uur
， 0FA FC
uur uuur
，
所以 FA FE
uur uur
，FA FC
，又 FE FC F ，FE 平面CEF， FC 平面CEF，
所以 (2,0,0)FA
为平面CEF的一个法向量，
所以
2cos ,
3| | | |
m FAm FA
m FA
.
所以二面角 A CE F 的正弦值为
22 51
3 3
.
（2）设 0DF t t ，则 0,1,C t ，
所以 (2,0,0)EB
， (0, 1, )EC t
uuur
， (2,0,0)FA
， (0,1, )FC t
uuur
，
设平面BCE的一个法向量为 , ,n a b c
，则 n EB
， n EC
，
所以
0
0
n EB
n EC
，即
2 0
0
a
b ct
，
不妨令 1c ，则b t ，所以 0, ,1n t
.
设平面 ACF 的一个法向量为 , ,s p q r
，
则由 s FA
r uur
， s FC
r uuur
，得
0
0
s FA
s FC
，即
2 0
0
p
q rt
，
不妨取 1r ，则 q t ，得 0, ,1s t
，
因为平面 ACF 平面 BCE，
所以 0n s
，即 2 1 0t ，得 1t ，
即 1DF .
59．（2021·全国高三专题练习）如图 1，四边形 ABCD为直角梯形， / /AD BC ， AD AB ， 2 3AB ，
60BCD .E为线段CD上的点，且 3CE CB .将 BCE 沿 BE 折起，得到四棱锥 1C ABED (如图
2)，使得 1 1C A C B .
（1）求证：平面 1AC D 平面 1ABC ；
（2）求二面角 1C DE A 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 3
3
；
【解析】
（1）在图 1 中过点D作DF BC 交 BC于点 F ，在图 2 中取G为 AB的中点，连接GE和 1GC ，可得
1GC AB ， 1C G GE ，即可得到 1CG 平面 ABED，即可得到 1CG AD ，再由 AD AB ，则 AD
平面 1ABC ，从而得证；
（2）连接GD交 AE于 P，过点G作GQ//AE交 BE 于点Q，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出
二面角的余弦值；
【详解】
解：（1）在图 1 中过点D作DF BC 交 BC于点 F ，在图 2 中取G为 AB的中点，连接GE和 1GC ，则
2 3DF AB ，因为 3CE CB 且 60BCD ，所以 BCE 为等边三角形，所以 3EB ，在 CDF
中，
3 2
3
CF DF ， 2 4CD CF
因为 3CE ，所以 1DE ， 1BF AD ，在图 2 中 1 1 3C A C B ，所以 1AC B△ 为等腰三角形，所以
1GC AB ，在 ABE△ 中， 30ABE 且 2 3AB ， 3BE ， 3AE ，所以 AE BE ，所以
1 3
2
EG AB ，所以 1 1GEC GBC ≌ ，所以 1C G GE ，又GE AB G ， ,AB GE 平面 ABED，
所以 1CG 平面 ABED， AD平面 ABED，所以 1CG AD ，又 AD AB ， 1AB C G G ，
1,AB C G 平面 1ABC ，所以 AD平面 1ABC ， AD平面 1AC D，所以平面 1AC D 平面 1ABC ；
（2）连接GD交 AE于 P，过点G作GQ//AE交 BE 于点Q，由（1）知 1CG 平面 ABED，所以 1C G PG
且 1CG QG ，因为 AE BE ，所以 PG QG ，如图建立空间直角坐标系，所以 1 0,0, 6C ，
3 3, ,0
2 2
E
，
3 3, ,0
2 2
A
， 0, 2,0D ，所以 1 0,2, 6C D
， 1
3 3, , 6
2 2
C A
，
1
3 3, , 6
2 2
C E
，设平面 1C DE的法向量为 , ,m x y z
，所以
1
1
· 2 6 0
3 3· 6 0
2 2
mC D y z
mC E x y z
，
令 3y ，则 3,3, 6m
，取面 ADE的法向量 0,0,1n
，
所以 2 2
2
6 3cos ,
31 3 3 6
m nm n
m n
，由图可知二面角为锐二面角，故其余弦值为
3
3
60．（2021·全国高三专题练习）在如图所示的圆柱 1 2OO 中，AB为圆 1O 的直径，C，D是AB的两个三等
分点，EA， FC，GB都是圆柱 1 2OO 的母线.
（1）求证： 1 / /FO 平面 ADE；
（2）若 2BC FC ，求二面角 B AF C 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 21
7
.
【解析】
（1）连接 1OC ， 1O D，易证 1 / /CO AD， / /EA FC，根据面面平行的判定定理可得平面 1 / /FCO 平面 ADE，
再根据面面平行的定义即可证得 1 / /FO 平面 ADE；
（2）因为直线CA，CB，CF 两两垂直，所以以C为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面 ABF ，平
面 ACF 的一个法向量，根据二面角的向量坐标公式即可求出.
【详解】
（1）连接 1OC， 1O D，因为C，D是半圆AB的两个三等分点，
所以 1 1 1 60AO D DOC CO B ，又 1 1 1 1O A O B OC OD ，
所以 1AO D ， 1CO D△ ， 1BOC△ 均为等边三角形，
所以 1 1O A AD DC OC ，所以四边形 1ADCO 是平行四边形，所以 1 / /CO AD，
又因为 1 1O A AD DC OC ， 1CO 平面 ADE ， AD平面 ADE，
所以 1 / /CO 平面 ADE .因为 EA， FC都是圆柱 1 2OO 的母线，所以 / /EA FC，
又因为 FC 平面 ADE， EA平面 ADE，
所以 / /FC 平面 ADE .
又 1,CO FC 平面 1FCO ， 1CO FC C ，
所以平面 1 / /FCO 平面 ADE ，又 1FO 平面 1FCO ，所以 1 / /FO 平面 ADE .
（2）连接 AC，因为 FC是圆柱 1 2OO 的母线，所以 FC 圆柱 1 2OO 的底面，
因为 AB为圆 1O 的直径，所以 90ACB ，
所以直线CA，CB，CF两两垂直，以C为原点建立空间直角坐标系如图：
因为 2BC FC ，所以 0 0 0C , , ， 2 3,0,0A ， 0,2,0B ， 0,0,2F ，
2 3,2,0AB
， 2 3,0, 2AF
，
由题知平面 ACF 的一个法向量为 0, 2,0CB
uur
，
设平面 ABF 的一个法向量为 , ,n x y z
，则：
2 3 2 0
2 3 2 0
n AB x y
n AF x z
，令 1x ， 3y ， 3z .∴ 1, 3, 3n
.
所以
2 3 21cos ,
72 7
CB nCB n
CB n
.由图可知，二面角 B AF C 的平面角为锐角，所以二面角
B AF C 的余弦值为
21
7
.
61．（2021·广东韶关市·高三一模）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为正方形，PA 平面CDP，
已知 3PA ， 4PD .
（1）若 E为 PD中点，求证： //PB 平面 ACE；
（2）求直线 PB与平面 ABCD所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 6 34
85
.
【解析】
（1）连接 BD交 AC于点M ，连接ME，利用中位线的性质可得出 //PB ME，利用线面平行的判定定理
可证得结论成立；
（2）过 P作 PH AD ，垂足为H ，连接 BH ，证明出 PH 平面 ABCD，可得出直线 PB与平面 ABCD
所成角为 PBH ，计算出PH、 PB，可求得 sin PBH ，即为所求.
【详解】
（1）证明：连接 BD交 AC于点M ，连接ME .
因为四边形 ABCD为正方形，所以M 为 BD中点，
又E为DP中点，所以 //ME PB .
因为ME 平面 ACE， PB 平面 ACE，所以 //PB 平面 ACE；
（2）如图，过 P作 PH AD ，垂足为H ，连接 BH .
因为四边形 ABCD为正方形，所以CD AD .
因为，PA 平面CDP，CD 平面CDP，所以，CD AP .
因为， AD AP A ， AD、 AP 平面 ADP，所以，CD 平面 ADP .
因为，CD 平面 ABCD，所以平面 PAD 平面 ABCD .
因为，平面PAD平面 ABCD AD ，PH AD ，PH 平面 PAD，
所以， PH 平面 ABCD，则 BH 为斜线PH在平面 ABCD内的射影.
所以， PBH 为直线 PB与平面 ABCD所成的角.
在Rt PADV 中， 2 2 5AD PA PD ，
有 AD PH AP PD ，得
12
5
AP PDPH
AD
.
因为 //AB CD，所以 AB 平面 ADP，在 Rt PAB 中，有 2 2 34PB PA AB .
所以
6 34sin
85
PHPBH
PB
.
所以直线 PB与平面 ABCD所成角的正弦值为
6 34
85
.
62．（2021·河北张家口市·高三一模）如图，四边形 ABCD是正方形，PA 平面 , / /ABCD PA EB，且
3PA AB ．
（1）求证： / /CE 平面 PAD；
（2）若
1
3
BE PA ，求直线 PD与平面PCE所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 7
7
．
【解析】
（1）先由线面平行判定定理证明 / /BC 平面 PAD， / /EB 平面 PAD，再由面面平行判定定理证明平面
/ /EBC 平面 PAD，最后由面面平行的性质得出 / /CE 平面 PAD；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.
【详解】
（1）证明：因为四边形 ABCD是正方形，所以 / /BC AD．
又 AD平面 ,PAD BC 平面 PAD
所以 / /BC 平面 PAD．
因为 / /PA EB，同理，可证 / /EB 平面 PAD
又BC EB BI ，所以平面 / /EBC 平面 PAD
又因为CE 平面 EBC，所以 / /CE 平面 PAD．
（2）
解：分别以 , ,AD AB AP为 , ,x y z轴建立如下图所示的空间直角坐标系．
因为 3PA AB ，所以
1 1
3
BE PA ，则 (0,0,3), (3,0,0), (3,3,0), (0,3,1)P D C E
则 (3,0, 3), (3,3, 3), (0,3, 2)PD PC PE
设平面PCE的法向量为 ( , , )m x y z
则由
3 3 3 0
3 2 0
m PC x y z
m PE y z
得
3
2
3
zx
zy
令 3z ，得平面 PCE的一个法向量为 (1, 2,3)m
设直线 PD与平面 PCE所成角为，则
(3,0, 3) (1,2,3) 7sin
73 2 14
PD m
PD m
所以直线 PD与平面 PCE所成角的正弦值为
7
7
．
63．（2021·全国高三专题练习）如图，四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD是等腰梯形，
// , ,AB CD PD AD 2 2 2PD AD CD AB PB .
（1）证明：平面 PAD 平面 ABCD；
（2）过 PD的平面交 AB于点 ,E 若平面 PDE把四棱锥 P ABCD 分成体积相等的两部分，求平面PAD与
平面 PCE所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 6
4
.
【解析】
（1）取 AB的中点M ，连结DM DB、 ，证明四边形BCDM 为平行四边形，得到DM BC ，在 PBD△
中证明PD BD ，由 PD AD 可得答案.
（2）以 , ,AD BD PD分别为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，设 1PD ，由
1 1
3 3ADC DCBES PD S PD 梯形 ，得 ADE DCBES S 梯形 ，设梯形 ABCD的高 ,h AE x ，则
1 1 2 1
2 2
xh x h ，解得
3
2
x ，求出平面PAD和平面PCE的法向量，由数量积公式可得答案.
【详解】
（1）如图，取 AB的中点 ,M 连结 ,DM DB，
1
2
CD AB ，
CD MB ，
//CD MB ，
四边形BCDM 为平行四边形，
DM BC ，
四边形 ABCD是等腰梯形， //AB CD，
DM BC AD ，
又
1
2
AD CD AB AM ，
AMD△ 为等边三角形，
60DAM DMA ，
在等腰 MBD 中， 30MBD ，
在 ADB△ 中， 90ADB o，
不妨设2 2 2 2PD AD CD AB PB ，
则 3BD ，
在 PBD△ 中， 3, 1, 2BD PD PB ，
2 2 2PD BD PB ，
PD BD ，
又 ,PD AD AD 平面 ,ABCD BD 平面 ,ABCD AD BD D ，
PD 平面 ABCD，
又PD 平面 PAD，
平面 PAD 平面 ABCD .
（2） , ,PD AD PD BD AD BD ，
以 , ,AD BD PD分别为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，如图：
设 1PD ，
平面 PDE把四棱锥 P ABCD 分成体积相等的两部分，
三棱锥P ADE 的体积等于四棱锥 P BCDE，
1 1
3 3ADC DCBES PD S PD 梯形 ，
ADE DCBES S 梯形
设梯形 ABCD的高为 ,h AE x
则 1 1 2 1
2 2
xh x h ，
解得
3
2
x ，
则 0,0,0 1,0,0 , 0, 3,0, , 0,0,1D A B P ， ,1 3 3 1 3, ,0 , ,0
4 4 2 2
CE
1 3 1 3 3, , 1 , , , 1
2 2 4 4
PN PE
，
y 轴平面 ,PAD
平面 PAD的一个法向量为 0,1,0n
设平面PCE的一个法向量为 , ,m x y z
，
则
0
0
m PC
m PE
即
1 3 0
2 2
1 3 3 0
4 4
x y z
x y z
取 3,x 则 3, 2 3y z ，
3,3,2 3m
，
3 6cos ,
42 6
m nm n
m n
，
平面 PAD与平面 PCE所成锐二面角的余弦值为
6
4
.
64．（2021·山东高三专题练习）如图，三棱锥 P ABC 中，侧棱 PA 底面 ,ABC C点在以 AB为直径的圆
上.
（1）若 PA AC ，且 E为 PC的中点，证明: AE PB ;
（2）若 ,PA AC BC 求二面角C BP A 的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）60 .
【解析】
几何法
（1）先证明 BC⊥面PAC，进而得 ,BC AE 再证明 AE⊥面 PBC即可得答案；
（2）过点 E作 EF PB 交 PB于点 ,F 故 AFE 为二面角C BP A 的平面角，再结合几何关系求解即
可.
坐标法
（1）在平面 ABC内过A 作垂直 AC的直线为 x轴， ,AC AP所在的直线为 y轴， z轴建立空间直角坐标
系，设 ,PA a 故证 0AE PB
即可；
（2）由（1）利用坐标法求法向量，进而利用法向量求解即可.
【详解】
几何法:
（1）证明:易知当 ,PA AC E 为 PC的中点时， AE PC ;
且由C点在以 AB为直径的圆上，可得 ,AC BC
另外，PA 底面 ,ABC 且 BC 面 ,ABC
则 ,PA BC
而PA面 ,PAC AC 面 , ,PAC PA AC A
可知 BC⊥面 ,PAC
因为 AE 面 ,PAC
所以 ,BC AE
又PC 面 ,PBC BC 面 ,PBC
且 ,PC BC C
可知 AE⊥面 ,PBC
又PB 平面 ,PBC
故 AE PB .
2 如图 1，过点 E作EF PB 交 PB于点 ,F
由 ,AE PB EF PB 可知 AFE 为二面角C BP A 的平面角，
若设 ,PA a 则可求得
6 2 6, ,
3 2 6
AF a AE a EF a
由余弦定理知
2 2 2 1cos
2 2
AF EF AEAFE
AF EF
则二面角C BP A 的大小为60
注:若利用 1 中 AE⊥面 PBC所得 ,AE EF
即 RT AEF 中
6 2,
3 2
AF a AE a
也可求得
3sin
2
AFE
空间向量法:
由 , ,BC AC BC PA 知 BC⊥面 ,PAC
在平面 ABC内过 A 作垂直 AC的直线为 x轴， ,AC AP所在的直线为 y轴， z轴;
即以 A 为坐标原点，建立如图 2 的空间直角坐标系，
可设 ,PA a
1 若设 ,BC b 则 0,0,0 , , ,0 , 0, ,0 , 0,0,A B b a C a P a ，
因此 0, ,
2 2
a aE
，
其中 , ,
2
,
2
, ,0 aAE aa PB b a
，
故 0AE PB
;
故 AE PB .
2 当 ,PA AC E 为 PC的中点时， ,AE PC 则由 1 知 AE⊥面 ,PBC
故可取面 PBC的一个法向量为 0, ,
2 2
a aAE
;
当PA AC BC a 时， 0,0, , , ,0AP a AB a a
，
若设面 PAB的法向量为 , ,u x y z
，
则
0,
{
0,
AP
AB
，即
0,
0,
a z
ax ay
，可取 1, 1,0u
则
1cos ,
2
AE uAE u
AE u
由图可知二面角C BP A 为锐角，
所以二面角C BP A 的大小为60
65．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）如左图，平面四边形 ,ABCE 点D在边CE上，CD DE ，且 ABCD是
边长为2 的正方形.沿着直线 AD将 ADE 折起，使平面 ADE 平面 ABCD (如右图)，已知 ,F H 分别是棱
,EA EC的中点，G是棱 BC上一点.
（1）求证:平面DFG 平面 ABE ;
（2）若直线GH与平面 ABCD所成的角的正切值为
2
2
时，求锐二面角F DG H 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 6
6
.
【解析】
（1）由平面 ADE 平面 ABCD，证得 AB DF ，再由DE DA ，得到DF AE ，进而证得DF 平
面 ABE，即可证得平面DFG 平面 ABE；
2 取CD中点M ，连结MG，证得MH 平面 ABCD，得到 HGM 即是直线GH与平面 ABCD做成
的角，根据题意，求得 2, 1GM GC ，以D为原点， , ,DA DC DE所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建
立空间直角坐标系，分别求得平面 FDG和DGH 的一个法向量为 1 2,n n
，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）因为平面 ADE 平面 ABCD， AB AD ，且 ADE ABCD AD
所以 AB 平面 ADE，又由DF 平面 ADE ，所以 AB DF ，
因为DE DA ，其中F 为 AE的中点，所以DF AE ，
所以DF 平面 ABE，又因为DF 平面 DFG，所以平面DFG 平面 ABE .
2 取CD中点M ，连结MG，可得 / /MH DE且
1 1
2
MH DE
因为平面 ADE 平面 ABCD，且DE AD ，可得 DE 平面 ABCD，
所以MH 平面 ABCD，所以 HGM 即是直线GH与平面 ABCD做成的角，
则
1 2
2
tan HGM
GM
，可得 2, 1GM GC ，
以D为空间坐标原点， , ,DA DC DE所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则
1,0,1 0,1,1 0, 2, 1, ,GF H ，
可得 1,2,0 , 1,0,1 , 0,1,1DG DF DH
设平面 FDG的法向量为 1 , ,n a b c
，可得
1
1
0
0
DG n
DF n
，即
2 0
0
a b
a c
，
不妨令 2a ，可得 1 ( )2,1,2n
，
设平面DGH 的法向量为 2 , ,n x y z
，可得
2
2
0
0
DG n
DH n
，即
2 0
0
x y
y z
，
不妨令 2x ，可得 2 2,1, 1n
，
则
1 2
1 2
1 2
3, 6
63 6
n ncos n n
n n
，
又由二面角F DG H 为锐二面角，二面角 F DG H 的余弦值为
6
6
.
66．（2021·全国高三专题练习（理））如图，平面 ABCD⊥平面 ABE，AD//BC，BC⊥AB，AB=BC=2AE=2，
F为 CE上一点，且 BF⊥平面 ACE.
（1）证明：AE⊥平面 BCE；
（2）若平面 ABE与平面 CDE所成锐二面角为 60°，求 AD.
【答案】（1）见解析；（2） 15
3
【解析】
（1）由平面 ABCD⊥平面 ABE证明 BC⊥面 ABE，得到 BC⊥AE，由 BF⊥平面 ACE，得到 BF⊥AE，从而
证明 AE⊥平面 BCE.
（2）过 A作 Ax垂直 AB,以 Ax
为 x 轴正方向，以 AB
为 y轴正方向，以 AD
为 z轴正方向，建立直角坐标
系，用向量法计算可得.
【详解】
（1）∵平面 ABCD⊥平面 ABE，AB为平面 ABCD和平面 ABE的交线，BC⊥AB，
∴BC⊥面 ABE，∴BC⊥AE.
又 BF⊥平面 ACE，∴BF⊥AE.
又BC BF B ,∴AE⊥平面 BCE.
（2）
如图示，过 A作 Ax垂直 AB,以 Ax
为 x 轴正方向，以 AB
为 y轴正方向，以 AD
为 z轴正方向，建立空间直
角坐标系，则 3 10,0,0 , 0,2,0 , , ,0 , 0, 2, 2 , 0,0, ,
2 2
A B E C D m
∴ 3 3, , 2 , 0, 2, 2
2 2
CE CD m
设 , ,m x y z
为平面 CDE的一个法向量，则
· 0
· 0
mCE
mCD
，即
3 3 2 0
2 2
0 2 2 0
x y z
x y m z
，
不妨取 z=2,则
2 33 , 2,2
3
m m m
显然平面 ABE的一个法向量 0,0,2n BC
∴
2
2
4cos , cos 60
2 33 2 4 2
3
m nm n
m n
m m
，
解得：m= 15
3
.
故 AD长为
15
3
.
67．（2021·全国高三专题练习（理））如图所示多面体 ABCDEF 中，平面 ADE 平面 ABCD，CF 平面
ABCD， ADE 是正三角形，四边形 ABCD是菱形， 2AB ， 3CF ，
π
3
BAD ．
（1）求证： //EF 平面 ABCD；
（2）求二面角 E AF C 的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 10
8
．
【解析】
（1）要证明线面平行，需线证明信线线平行，过点 E作 EO AD交 AD于点O，连接OC，可证明四边
形 EOCF 是平行四边形，即可证明线面平行；（2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分
别求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值，再求正弦值.
【详解】
证明：（1）过点E作 EO AD交 AD于点O，连接OB，OC， BD
∵平面 ADE 平面 ABCD
平面 ADE 平面 ABCD AD
EO 平面 ADE
∴EO 平面 ABCD
又 ADE 是正三角形， 2AD
所以 3EO
∵CF 平面 ABCD， 3CF
∴ //CF OE，CF OE
∴四边形OCFE为平行四边形
∴ //OC EF
又∵OC 平面 ABCD， EF 平面 ABCD
∴ //EF 平面 ABCD
（2）因为四边形 ABCD是菱形， 2AB ，
π
3
BAD ，OB AD
故，以O为坐标原点，分别以OA
，OB
，OE
的方向为 x轴， y轴， z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系．
∴ 1,0,0A ， 0, 3,0B ， 2, 3,0C ， 1,0,0D ， 0,0, 3E ， 2, 3, 3F ．
∴ 1,0, 3AE
， 2, 3,0EF
uuur
， 1, 3,0DB
设平面 AEF 的一个法向量为 , ,n x y z
r
由
0
0
n AE
n EF
得
3 0
2 3 0
x z
x y
，令 3x ，得
2
1
y
z
∴ 3,2,1n r
∵CF 平面 ABCD∴CF BD
在菱形 ABCD中， BD AC 又CF AC C ∴ BD 平面 ACF
∴DB
是平面 ACF 的一个法向量
设二面角 E AF C 的大小为
则
3 2 3 3 6cos cos ,
82 2 2
DB n
n DB
DB n
uuur r
uuurr
uuur r
∴ 2 10sin 1 cos
8
．
68．（2021·全国高三专题练习）如图，在四棱锥 S ABCD 中， 13SA SB SC SD ， AC CD ，
6AB ， 8BD .
（1）求证：平面 SAD 平面 ABCD；
（2）求二面角 A SB D 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 170
170
【解析】
（1）取 AD的中点O，连接 SO，OC，可得 SO AD ，利用直角三角形的性质可得OC OD ，即可证
明 SOC SOD ，进而可得 SO OC ，利用线面垂直的判定定理可证 SO 平面 ABCD，利用面面垂直
的判定定理即可求证；
（2）先证明 Rt SOA Rt SOB ，OA OB OC OD ，可得 AD为四边形 ABCD外接圆的直径，进
而可得 SO和 AD的长，以 B为原点， ,BD BA所在的直线为 ,x y轴，过点 B与 SO平行的直线为 z轴建立
空间直角坐标系，求出平面 ABS 的一个法向量和平面 SBD的一个法向量，利用空间向量夹角的坐标运算即
可求解.
【详解】
取 AD的中点O，连接 SO，OC，
因为 SA SD ，所以 SO AD ，
因为 AC CD ，O为 AD的中点，
所以
1
2
OC AD OD ，
因为 SO SO ， SC SD ，
所以 SOC SOD ，
所以 90SOC SOD ，
所以 SO OC ，
因为OC OD O ，OC 平面 ABCD，OD 平面 ABCD，
所以 SO 平面 ABCD，
因为 SO 平面 SAD，
所以平面 SAD 平面 ABCD；
（2）由（1）知： SO 平面 ABCD，所以 SO BO ，在 Rt SOA 和 Rt SOB 中，由
SO SO ， SA SB 可得 Rt SOA Rt SOB ，所以OA OB ，即OA OB OC OD ，
所以 , , ,A B C D在以O为圆心的圆上，
由 AC CD 可得 AD为四边形 ABCD外接圆的直径，
2 26 8 10AD ， 5AO ， 2 213 5 12SO ，
以 B为原点， ,BD BA所在的直线为 ,x y轴，过点 B与 SO平行的直线为 z轴建立空间直角坐标系，则
0,6,0A ， 0,0,0B ， 8,0,0D ， 4,3,0O ， 4,3,12S ， 0,6,0BA
， 8,0,0BD
，
4,3.12BS
，
设平面 ABS 的一个法向量 1 1 1, ,m x y z
，
则
1
1 1 1
6 0
4 3 12 0
m BA y
m BS x y z
令 1 3x ，可得 1 1z ， 1 0y ，
所以 3,0, 1m
，
设平面 SBD的一个法向量为 2 2 2, ,n x y z
，
则
2 2 2
2
4 3 12 0
8 0
n BS x y z
n BD x
，令 2 4y ，则 2 1z ， 2 0x ，
所以 0,4, 1n
，
所以
1 170cos , = =
17010 17
m nm n
m n
，
因为二面角 A SB D 的平面角为钝角，
所以二面角 A SB D 的余弦值为
170
170
.
69．（2021·全国高三专题练习）在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD， //AD BC， BC CD ，
2PA AD ， 1CD ， 3BC ，点M ，N 在线段 BC上， 2 1BM MN ， AN MD E ，Q为
线段 PB上的一点．
（1）求证：MD 平面 PAN ；
（2）若平面MQA与平面 PAN 所成锐二面角的余弦值为
4
5
，求直线MQ与平面 ABCD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 6
3
．
【解析】
（1）根据 AMN DAM∽△ △ 可证MD AN ，再结合 PA MD 即可证明MD 平面 PAN ；
（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，设 , ,Q x y z ，分别求得平面MQA与平面 PAN 的法向量，结合
二面角的余弦值为
4
5
得Q坐标，再求MQ
与平面 ABCD的法向量结合公式求得所成角的正弦值．
【详解】
解：（1）证明：∵ 3BC ， 1BM ，∴ 2CM ， AD CM ，
又∵ //AD CM ，∴ //AD CM ，∴四边形 AMCD为平行四边形．
又∵ BC CD ，∴四边形 AMCD为矩形．
∵
1
2
MN AM
AM AD
，∴ AMN DAM∽△ △
∴ 90AED MAN AME ADM AME
∴MD AN ，又∵ PA 平面 ABCD，∴ PA MD ， AN PA A ，
∴MD 平面 PAN ．
（2）如图建立空间直角坐标系
则 1,0,0M ， 0,0,0A ， 0 0 2P , , ，
11, ,0
2
N
， 1, 1,0B ， , ,Q x y z
设
1
1, 1, 1,1,2 1
2
x
BQ BP x y z y
z
，
∴ 1 , 1, 2Q
, 1,2MQ
uuur
， 1,0,0AM
uuur
， 0,0,2AP
，
11, ,0
2
AN
uuur
设平面MQA与平面 PAN 的一个法向量分别为 11 1 1, ,xn y z
， 2 2 2 2, ,n x y z
∴
1 1 11
1
11
1 2 00
0, 2 ,1
00
x y zn MQ
n
xn AM
1
2
2
2 22
2 00
1, 2,01 00
2
zn AP
n
x yn AN
设平面MQA与平面 PAN 所成锐二面角为，
∴
1 2
22
1 2
4 4 1cos
5 24 1 5
n n
n n
ur uur
ur uur
此时
1 1, ,1
2 2
MQ
uuur
，平面 ABCD的一个法向量 3 0,0,1n
，
∴
3
3
6sin
3
n MQ
n MQ
ur uuur
ur uuur ．
所以直线MQ与平面 ABCD所成角的正弦值为
6
3
．
70．（2021·江苏省高三二模）如图所示的几何体由等高的
1
2
个圆柱和
1
4
个圆柱拼接而成，点G为
弧CD的中点，且C、 E、D、G四点共面．
（1）证明： BF 平面 BCG．
（2）若直线DF与平面 AFB所成角为 45，求平面 BDF 与平面 ABG所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 15
5
．
【解析】
（1）取弧 AB的中点H ，连结 BH ，GH，可证 BF GC ， BC BF ，即可得到线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；
【详解】
解：（1）取弧 AB的中点H ，连结 BH ，GH，则 45ABF ABH ，所以 BF BH ，因为 //BC GH
且BC GH ，所以四边形 BCGH 为平行四边形，所以 //BH GC，所以BF GC ，
又因为 BC⊥平面 ABF ， BF 平面 ABF ，所以BC BF ，
又 ,BC GC 平面 BCG， BC GC C ．
所以 BF 平面 BCG．
（2）以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设 2AB ，因为直线DF与平面 AFB所成角为
45，则 0,2,0AB
， 1,1,2AG
， 2,2,0FB
， 2,0,2FD
，设平面 BDF 的法向量为
, ,n x y z
，由
0
0
n FB
n FD
可得：
0
0
x y
x z
，令 1x ，则 1,1,1n
，同理可得：平面 ABG的法向
量为 2,0,1m
，则
3 15cos ,
53 5
m nm n
m n
，故平面 BDF 与平面 ABG所成锐二面角的余
弦值为
15
5
．
71．（2021·山东滨州市·高三一模）如图 1 所示，在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，底面 ABCD是边长
为 4 的正方形．过点 A 的平面与棱 1BB ， 1CC ， 1DD 分别相交于E，F ，G三点，且 3CF ， 2DG ．
（1）求 BE 的长；
（2）若平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 是侧棱长为 5 的直四棱柱（如图 2），求平面 ABCD与平面 1AED 所
成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）1；（2） 4 53
53
．
【解析】
（1）过点G作GH平行于DC，与棱 1CC 相交于点H ，通过平行四边形GHCD，平行四边形 ABHG，
平行四边形BEFH 可求得结论；
（2）以D为原点，DA，DC， 1DD 所在直线分别为 x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由
（1）得 BE ，从而可得各点坐标，然后求得二面角两个面的法向量，由法向量夹角余弦值得结论．
【详解】
（1）过点G作GH平行于DC，与棱 1CC 相交于点H ，则四边形GHCD为平行四边形，
所以 2CH ，GH DC ， //GH DC，
又 AB DC ， //AB DC，所以GH AB ， //GH AB，
则四边形 ABHG为平行四边形，所以 //AG BH ．
又因为平面 1 1 //BCC B 平面 1 1ADD A，
平面 AEFG 平面 1 1BCC B EF ，
平面 AEFG 平面 1 1ADD A AG ，
所以 //AG EF，
所以 //BH EF ，
又 //BE HF ，
所以四边形BEFH 为平行四边形，
则 1BE HF ．
（2）以D为原点，DA，DC， 1DD 所在直线分别为 x轴、 y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得， 4,0,0A ， 4,4,1E ， 1 0,0,6D ．
则 0,4,1AE
， 1 4,0,6AD
．
设平面 1AED 的法向量为 , ,n x y z
，
所以
1
0,
0,
n AE
n AD
即
4 0,
4 6 0,
y z
x z
令 1z ，解得
3
2
x ，
1
4
y ，所以平面 1AED 的一个法向量为
3 1, ,1
2 4
n
．
因为平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 是直四棱柱，
所以 1DD 平面 ABCD，则平面 ABCD的一个法向量为 0,0,1m
．
设平面 ABCD与平面 1AED 所成的锐二面角为，
则
1 4 53cos cos ,
53531
4
m nm n
m n
．
故平面 ABCD与平面 1AED 所成锐二面角的余弦值为
4 53
53
．
72．（2021·山东德州市·高三一模）如图，四边形 ABCD为梯形， //AD BC，BM AD 于M ，CN AD
于N ， 45A ， 4 4AD BC ， 2AB ，现沿CN 将 CDN△ 折起，使 ADN△ 为正三角形，且平
面 ADN 平面 ABCN ，过 BM 的平面与线段DN 、DC分别交于 E、F ．
（1）求证： EF DA ；
（2）在棱DN 上（不含端点）是否存在点E，使得直线DB与平面 BMEF 所成角的正弦值为
3
4
，若存在，
请确定E点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， E为棱DN 上靠近 N 点的四等分点.
【解析】
（1）根据题意得到 //BM CN ，然后可得 //BM 平面CDN，依据线面平行性质定义以及面面垂直性质定理
可得 EF 平面 ADN，最后可得结果.
（2）建立空间直角坐标系，假设 0 1NE ND
，求得平面 BMEF 的一个法向量，以及DB
，然后
使用公式计算即可.
【详解】
（1）证明：因为 BM AD ，CN AD ，所以 //BM CN，
在四棱锥 D ABCN 中，CN 平面CDN， BM 平面CDN，
所以 //BM 平面CDN．
又平面 BMEF 平面CDN EF ，所以 //BM EF．
因为平面 ADN 平面 ABCN 且交于 AN，BM AN ，
所以 BM 平面 ADN，即 EF 平面 ADN ，
又DA平面 ADN，所以 EF DA ．
（2）解：存在， E为棱DN 上靠近 N 点的四等分点．
因为DA DN ， 1AM MN ，
连接DM ，所以DM AN ，
又平面 ADN 平面 ABCN 且交于 AN，故DM 平面 ABCN ，
如图建立空间直角坐标系 ; , ,M MA MB MD
，
0,0, 3D ， 0,1,0B ， 0,0,0M ， 1,0,0N ，
0,1, 3DB
， 0, 1,0BM
， 1,0, 3ND
，
设 0 1NE ND
，则 1,0, 3E ， 1,0, 3ME
，
设平面BMEF 的一个法向量 , ,n x y z
r
，
则
0
0
BM n
ME n
，即
0
1 3 0
y
x z
，
不妨令 3x ，则 1z ， 3 ,0,1n
，
设直线DB与平面BMEF 所成的角为 ，则有
22
3 1 3sin cos ,
42 3 1
n DBn DB
n DB
，
解得
1
4
或
1
2
（舍），
所以
1
4
NE ND
，即在棱DN 上存在点 E，使得直线DB与平面 BMEF 所成角的正弦值为
3
4
，E为棱DN
上靠近N 点的四等分点．
73．（2020·湖南高三月考）如图，菱形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点 E， 8BD ， 6AC ，将 ACD△
沿 AC折到 PAC△ 的位置使得 4PD ．
（1）证明： PB AC ．
（2）求平面 PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 4 91
91
．
【解析】
（1）根据 ABCD是菱形，得到 AC BD ，即BE AC ，PE AC ．再利用线面垂直的判定定理证明.
（2）取DE的中点O，连接OP，取CD的中点 F ，连接OF ,结合 AC 平面 PBE，得到PO 平面
ABCD，然后以O为坐标原点，OF
，OD
uuur
，OP
的方向分别为 x， y， z轴的正方向，建立空间直角坐
标系．分别求得平面 PAB的一个法向量为 1 1 1, ,m x y z
和平面PCD的一个法向量为 2 2 2, ,n x y z
，设
平面 PAB与平面 PCD所成的锐二面角为，由 cos m n
m n
求解.
【详解】
（1）因为 ABCD是菱形，
所以 AC BD ，
则BE AC ， PE AC ．
因为 BE 平面 PBE， PE 平面 PBE，且 BE PE E ，
所以 AC 平面 PBE．
因为 PB 平面 PBE，
所以 PB AC ．
（2）取DE的中点O，连接OP，取CD的中点 F ，连接OF ．
因为 8BD ，所以 4DE PE ．
因为 4PD ，所以 PD PE ，所以 PO DE ．
由（1）可知 AC 平面 PBE，
所以平面 PBD 平面 ABCD，
则PO 平面 ABCD．
故以O为坐标原点，OF
，OD
uuur
，OP
的方向分别为 x， y， z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标
系O xyz ．
由得 3, 2,0A ， 0, 6,0B ， 3, 2, 0C ， 0,2,0D ， 0,0,2 3P ，
则 3, 4,0AB DC
， 0,6,2 3BP
， 0, 2, 2 3DP
．
设平面 PAB的一个法向量为 1 1 1, ,m x y z
，
则
1 1
1 1
3 4 0
6 2 3 0
m AB x y
m BP y z
，
令 4x ，得 4,3, 3 3m
．
设平面PCD的一个法向量为 2 2 2, ,n x y z
，
则
2 2
2 2
3 4 0
2 2 3 0
n DC x y
n DP y z
，
令 4x ，得 4,3, 3n
．
设平面 PAB与平面PCD所成的锐二面角为，
则
2 2
2 2 2 2
4 4 3 3 3 3 3 4 91cos
914 3 3 3 4 3 3
m n
m n
．
74．（2021·全国高三专题练习）如图，四棱锥P ABCD 中，PA 平面 ABCD， //AD BC， 120BAD ，
2AB AD ，点M 在线段 PD上，且 2DM MP ， //PB 平面MAC .
（1）求证：平面MAC 平面 PAD；
（2）若 3PA ，求平面 PAB和平面MAC所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 3 30
20
.
【解析】
（1）由线面平行的性质有 //PB MN ，根据平行分线段等比例及构成相似三角形，可求 BC，进而应用余弦
定理及勾股逆定理证 AC BC ，进而有 AC AD ，再由线面垂直的性质及判定、面面垂直的判定即可证
平面MAC 平面 PAD；
（2）构建空间直角坐标系，确定相关点的坐标，进而得到相应线段的向量坐标，求二面角各半平面的法向
量，根据法向量与二面角的关系，求二面角余弦值.
【详解】
（1）如图，连接 BD交 AC于点 N ，连接MN，
∵ //PB 平面MAC，MN 平面MAC，平面 PBD平面MAC MN ，
∴ //PB MN ，
由 2DM MP ，知 2DN NB ，又 //AD BC，即
1 1
2
BC AD ，
在 ABC 中， 60ABC ，由余弦定理： 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC ，得 3AC ，
即 2 2 2AC BC AB ，故 AC BC ，则 AC AD ，
∵PA 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，
∴PA AC ，又 PA AD A ，
∴ AC 平面 PAD，又 AC 平面MAC，
∴平面MAC 平面 PAD .
（2）由（1）知 AC AD ， AC AP ， AP AD ，如图建立空间直角坐标系O xyz ，
由题意，有
2(0,0,0), ( 3, 1,0), ( 3,0,0), (0, ,2), (0,0,3)
3
A B C M P ，
∴ 0,0,3AP
， 3, 1,0AB
uuur
，
20, , 2
3
AM
uuur
， 3,0,0AC
uuur
，
设平面 PAB的法向量为 1 1 1 1, ,n x y z
，则
1
1
0
{
0
n AP
n AB
，即
1
1 1
3 0
3 0
z
x y
，令 1 1x ，得 1 3y ， 1 0z ，
则 1 1, 3,0n
，
设平面MAC的法向量为 2 2 2 2, ,n x y z
uur
，则
2
2
0
0
n AC
n AM
，即
2
2 2
0
3 0
x
y z
，令 2 1z ，得 2 3y ，
2 0x ，则 2 0,3, 1n
，
设平面 PAB和平面MAC所成二面角的大小为，则
2 2
1 2
3 3 3 30cos
202 10
n n
n n
uur uur
ur uur ，
∴由平面 PAB和平面MAC所成锐二面角，故其余弦值为
3 30
20
.
75．（2021·广东汕头市·高三一模）如图，在圆柱 1OO 中，四边形 ABCD是其轴截面，EF 为⊙ 1O 的直径，
且EF CD ， 2AB ， 0BC a a ．
（1）求证： BE BF ；
（2）若直线 AE与平面 BEF所成角的正弦值为
6
3
，求二面角 A BE F 平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
1
3
.
【解析】
（1）连接 1BO ，证明出 EF 平面 ABCD，可得出 1EF BO ，利用等腰三角形三线合一可证得结论成立；
（2）以点O为坐标原点，OB、 1OO 所在直线分别为 y、 z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合
直线 AE与平面 BEF所成角的正弦值为
6
3
求出 a的值，再利用空间向量法可求得二面角 A BE F 平
面角的余弦值．
【详解】
（1）证明：连接 1BO ，在圆柱中 1OO 中， BC⊥平面CEDF，
EF 平面CEDF， EF BC ，
EF CD ， BC CD C ， EF 平面 ABCD，
又 1BO 平面 ABCD， 1EF BO ，
在 BEF 中， 1O 为 EF 的中点， BE BF ；
（2）连接 1OO ，则 1OO 与该圆柱的底面垂直，
以点O为坐标原点，OB、 1OO 所在直线分别为 y、 z轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz ，
则 0, 1,0A 、 0,1,0B 、 1,0,E a 、 1,0,F a ，
1,1,AE a
， 1, 1,BE a
， 1, 1,BF a
，
设平面BEF的法向量分别是 11 1 1, ,xn y z
，
由
1
1
0
0
n BE
n BF
，得
1 1 1
1 1 1
0
0
x y az
x y az
，取 1 1z ，得 1 0, ,1n a
，
设直线 AE与平面BEF所成角为，
由
2 2 3
s 2 6in cos ,
2 1
AE n
a a
a
，化简得 2 22 1 0a a ，
1a Q ，解得 2a ， 1 0, 2,1n
，
设平面 ABE的法向量分别是 2 2 2 2, ,n x y z
， 0,2,0AB
，
由
2
2
0
0
n AB
n AE
，得
2
2 2 2
2 0
2 0
y
x y z
，取 2 1z ，得 2 2,0,1n
uur
，
1 2
1 2
1 2
1cos ,
3
n nn n
n n
，
由图象可知，二面角 A BE F 为锐角，因此，二面角 A BE F 的余弦值为
1
3
.
76．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）如图所示的多面体中，EA 平面 ABC，DB 平面 ABC，AC BC ，
且 6AC BD ， 3 5BC ， 3AE ， 4AM ．
（1）求直线CE与平面 ABC所成角的正弦值；
（2）求证：CM 平面 ABDE；
（3）求二面角M EC B 的余弦值．
【答案】（1） 5
5
；（2）证明见解析；（3） 2 5
5
．
【解析】
（1）根据二面角定义，结合已知有 ACE 为直线CE与平面 ABC所成角的平面角，可求 tan ACE ，进
而求 sin ACE 即可.
（2）由勾股逆定理、比例关系得△ ACB∽△ AMC，即知CM AB ，根据线面垂直的性质及判定即可证
CM 面 ABDE；
（3）构建以M 为原点，分别以MB
，MC
，MF
为 x， y， z轴正方向空间直角坐标系M xyz ，确定
相关点的坐标，求 EC
，MC
，BC
，以及面 EMC、面 EBC的法向量，由二面角与其法向量夹角的关系，
结合空间向量的坐标表示求其余弦值.
【详解】
（1）由 EA 平面 ABC，知： ACE 为直线CE与平面 ABC所成角的平面角，
∴
1tan
2
AEACE
AC
，即可得：
5sin
5
ACE ．
（2）在 Rt△ ACB中， 2 2 9AB AC BC ，即
AB AC
AC AM
，
∴△ ACB∽△ AMC，则 90AMC ACB ，所以CM AB ，
又∵ EA 平面 ABC，CM 平面 ABC，
∴CM EA ，又 AB EA A ，
∴CM 面 ABDE．
（3）由（2），以M 为原点，分别以MB
，MC
，MF
为 x， y， z轴正方向，建立如下图所示空间直角
坐标系M xyz ，
在△ ABC中，知 2 5AC BCMC
AB
，则 0,0,0M ， 0,2 5,0C ， 5,0,0B ， 5,0,6D ，
4,0,3E ，即 4,2 5, 3EC
， 0,2 5,0MC
， 5,2 5,0BC
，
设面 EMC的一个法向量 1 1 1, ,m x y z
，
0
0
m EC
m MC
，则
1 1 1
1
4 2 5 3 0
2 5 0
x y z
y
，取 1 3x ，得 3,0,4m
，
设面 EBC的一个法向量 2 2 2, ,n x y z
，
0
0
n EC
n BC
，则
2 2 2
2 2
4 2 5 3 0
5 2 5 0
x y z
x y
，取 2 2x ，得 2, 5,6n ，
30 2 5cos ,
55 3 5
m nm n
m n
，又二面角M EC B 为锐角，
∴二面角M EC B 的余弦值为
2 5
5
．
77．（2021·江苏高三专题练习）如图，四边形 ABCD是边长为 2的正方形， ,AP PD 将三角形 PAD沿 AD
折起使平面PAD 平面 ABCD .
（1）若M 为PC上一点，且满足 BM PD ，求证： PD AM ；
（2）若二面角 B PC D 的余弦值为
10
5
，求 AP的长.
【答案】（1）证明见解析；（2） 2 .
【解析】
（1）先由面面垂直得到 ,PD AB 然后证明 PD 面 ,ABM 从而得到 PD AM ；
（2）取 AD中点О，以О为坐标原点，分别以 , ,OA AB OP
方向为 , ,x y z轴正方向，建立如图所示的空间
直角坐标系，用向量法求 AP.
【详解】
解： 1 证明：因为面 PAD 面 ,ABCD 面 PAD面 ,ABCD AD AB 面 ,ABCD
,AB AD 所以 AB 面 ,PAD
又PD 面 ,PAD
所以 ,PD AB
又 ,PD BM AB BM B ，
所以 PD 面 ,ABM
又 AM 面 ,ABM
所以 PD AM ；
2 取 AD中点О，连结 OP,因为 ,AP PD 所以OP AD .
又平面PAD 平面 ABCD，所以OP 平面 ABCD .
以О为坐标原点，分别以 , ,OA AB OP
方向为 , ,x y z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ,OP a 则有 ( )1,2,0 , 1,2,0 , 1,0,0 , 0,0,B C D P a ，
可得 2,0,0 , 0, 2,0 , ,, 1 2CB CD CP a
，
设 1 1 1, ,m x y z
为平面PBC的一个法向量
则有
0
0
m CB
m CP
即
1
1 1 1
2 0
2 0
x
x y az
不妨令 1y a ，则 0, ,2m a
ur
，
设 2 2 2, ,n x y z
为平面PCD的一个法向量，
则有
0
0
n CD
n CP
即
2
2 2 2
2 0
2 0
y
x y az
不妨令 2x a ，则 ,0, 1n a
，
因为
10
5
m n
m n
可得
2 2
2 10
54 1a a
解得 1a ，
所以 1 1 2AP .
78．（2021·江苏常州市·高三一模）如图四棱锥 P ABCD 中， PAD△ 是以 AD为斜边的等腰直角三角形，
/ /BC AD， AB AD ， 2 2 2AD AB BC ， 2PC ，E为 PD的中点.
（1）求直线 PB与平面 PAC所成角的正弦值；
（2）设 F是 BE的中点，判断点 F是否在平面 PAC内，并证明结论.
【答案】（1）
1
3
；（2） F 在平面 PAC内．证明见解析．
【解析】
（1）计算出 2PA PD ，证明 AC CD ，然后取取 AD中点O，连接 ,OC OP，可证明OP 平面
ABCD，这样可建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值；
（2） F 在平面PAC内．只要证明 AF
与 ,AC AP
共面即可得．
【详解】
直角梯形 ABCD中，由已知可得 2AC ， 2CD ，∴ 2 2 2AC CD AB ，即 AC CD ，
又 APD△ 是以 AB为斜边的等腰直角三角形，∴ 2PA PD ，
取 AD中点O，连接 ,OC OP，则 1OC OA OD ， 1OP ，
则 OAP OCP ODP △ △ △ ，∴ POA POC POD ，
又 180POA POD ，∴ 90POA POC POD ，
∴OP AD ，OP OC ，而OC AD O ， ,OC AD平面 ABCD，
∴OP 平面 ABCD，
因此可以 ,AB AD为 ,x y轴，过A 平行于OP的直线为 z轴建立空间直角坐标系 A xyz ，如图，
则 (0,0,0)A ， (1,0,0)B ， (1,1,0)C ， (0,2,0)D ， (0,1,1)P ，
(0,1,1)
AP ， (1,1,0)AC
，
设平面PAC的一个法向量为 ( , , )n x y z
，
则
0
0
n AP y z
n AC x y
，取 1y ，则 1x z ，即 (1, 1,1)n
，
又 ( 1,1,1)BP
，
1 1 1 1cos ,
33 3
BP nBP n
BP n
，
直线 PB与平面 PAC所成角为，则
1sin cos ,
3
BP n
．
（2）由（1）
3 1(0, , )
2 2
E ，
1 3 1( , , )
2 4 4
F ，
1 3 1( , , )
2 4 4
AF
，
设 AF xAC yAP
，则
1 3 1( , , ) (1,1,0) (0,1,1)
2 4 4
x y ，
1
2
3
4
1
4
x
x y
y
，解得
1
2
1
4
x
y
，
∴
1 1
2 4
AF AC AP
，∴ AF
与 ,AC AP
共面，∴ F 在平面 PAC内．
79．（2021·山东临沂市·高三其他模拟）如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是边长为 4的正方形，
//EF BC， 2EF ，CE DE ，CE DE ，平面CDE 平面 ABCD .
（1）求证： DE 平面 EFBC；
（2）求二面角 A BF C 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
1
2
.
【解析】
（1）由面面垂直性质可得 BC⊥平面CDE，得到BC DE ；由线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）取 ,CD AB中点 ,O P，由面面垂直性质可知 EO 平面 ABCD，则以O为坐标原点可建立空间直角
坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.
【详解】
（1）四边形 ABCD为正方形， BC CD ，
平面CDE 平面 ABCD，平面CDE平面 ABCD CD ，BC 平面 ABCD，
BC 平面CDE，又DE 平面CDE， BC DE ；
又CE DE ， ,BC CE 平面 EFBC， BC CE C ， DE 平面 EFBC .
（2）取 ,CD AB中点 ,O P，连结 ,EO OP，
CDE 为等腰直角三角形，平面CDE平面 ABCD CD ，EO 平面CDE， EO 平面 ABCD，
知 , ,OP OC OE 两两互相垂直，
以O为坐标原点， , ,OP OC OE 为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系.
则 4, 2,0A ， 4, 2,0B ， 0, 2,0C ， 0, 2,0D ， 0,0,2E ， 2,0,2F 0,4,0AB
，
2,2, 2FB
，
设平面 ABF 的法向量为 , ,n x y z
，
则
4 0
2 2 2 0
n AB y
n FB x y z
，令 1x ，解得： 0y ， 1z ， 1,0,1n
；
由（1）知： DE 平面 EFBC，平面 BFC的一个法向量为 0,2,2DE
，
2 1cos ,
22 2 2
n DEn DE
n DE
，
由图形可知：二面角 A BF C 为钝二面角，
二面角 A BF C 的余弦值为
1
2
.
80．（2021·江苏盐城市·高三二模）如图，三棱柱 1 1 1ABC ABC 的所有棱长都为 112, 6, .CC AB BB ＝
（1）求证：平面 1 1ABB A 平面 ABC；
（2）若点 P在棱 1BB 上且直线CP与平面 1 1ACC A 所成角的正弦值为
4
5
，求 BP的长
【答案】（1）证明见解析；（2）
1
2
BP ．
【解析】
（1）取 AB中点 ,D 连接 1,CD B D．证明 AB 平面 1BCD．得 1AB B D ，计算出 1B D后由勾股定理逆定
理得 1CD B D ，从而可得 1B D 平面 ABC，得证面面垂直．
（2）以 1, ,DC DA DB 所在直线为 , ,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 1BP BB
＝ 用空间向量法求二
面角的余弦，从而可得 ．
【详解】
（1）证明：取 AB中点 ,D 连接 1,CD B D．
因为三棱柱 1 1 1ABC ABC－ 的所有棱长都为 2,
所以 3, 1AB CD CD BD ＝ ＝ ．
又因为 1 ,AB BC 且 1 1, ,CD BC C CD BC ＝ 平面 1BCD，
所以 AB 平面 1BCD．
又因为 1B D 平面 1 ,BCD
所以 1AB B D ．
在直角三角形 1B BD中， 11, 2,BD B B＝ ＝
所以 1 3B D＝ ．
在三角形 1BCD中， 1 13, 3, 6CD B D BC ，
所以
2 2 2
1 1CD B D BC＋ ＝ ，
所以 1 ,CD B D
又因为 1 , , ,AB B D AB CD D AB CD ＝ 平面 ,ABC
所以 1B D 平面 ABC．
又因为 1B D 平面 1 1ABB A ，
所以平面 1 1ABB A 平面 ABC．
（2）解：以 1, ,DC DA DB 所在直线为 , ,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,1,0 , 0, 1 ),0 ,A B － 1( 3,0,0), (0,0, 3)C B ，
因此 1=(0 1 3)BB
， =( 3 1 0)AC
， 1 1 0,1, 3AA BB
．
因为点 P在棱 1BB 上，
则设 1 (0 3)= 1BBBP
＝ ，其中 0 1≤ ≤ ．
则 1 3, 1 , 3CP CB BP CB BB
设平面 1 1ACC A 的法向量为 , ,n x y z
＝ ，
由
1
0
0
n AC
n AA
得
3 0
3 0
x y
y z
取 1, 3, 1,x y z＝ ＝ ＝－
所以平面 1 1ACC A 的一个法向量为 1)=(1 3n
．
因为直线CP与平面 1 1ACC A 所成角的正弦值为
4
5
，
所以
2
2 3 4cos
55 3 1 3
, n CPn CP
n CP
化简得 216 8 1 0, － ＋＝
解得
1
4
＝ ，
所以 1
1
2
BP BB ．
81．（2021·辽宁高三二模）如图，三棱锥 P ABC 的底面 ABC和侧面 PAB都是边长为 4 的等边三角形，
且平面PAB 平面 ABC，点 E为线段 PA中点，点 F 为 AB上的动点.
（1）若平面CEF 平面 ABC，求线段 AF 的长；
（2）求直线CE与平面 PBC所成角的正弦值.
【答案】（1）1；（2） 15
10
.
【解析】
（1）方法一通过建空间直角坐标系来利用面面垂直，从而求出线段长度；方法二通过线面、面面关系的性
质求得 EF 平面 ABC，进而解得长度.
（2）建系后，通过直线与面的法向量的夹角来求得线面夹角.
【详解】
解（1）(法一)取 AB中点O，连接PO，CO .
∵ ABC 与 PAB△ 都是正三角形，
∴PO AB ，CO AB
又已知平面 ABC 平面 PAB，
∴PO 平面 ABC .
如图所示，以O为坐标原点，分别以OA ，OC，OP为 x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系.
∵ PAB△ ， ABC 边长为 4， E为 AP中点，
2,0,0A ， 0, 2 3,0C ， 1,0, 3E ， 2,0,0B
设 AF t ，则 2 ,0,0F t ， 2 , 2 3,0CF t
， 1 ,0, 3EF t
.
设平面CEF的法向 1 1 1 1, ,n x y z
.
由
1 1
1 1
2 2 3 0
1 3 0
t x y
t x z
，令 1 3x ，得
1
1
1
2
1
ty
z t
，
∴ 1 3,1 ,1
2
tn t
.
设平面 ABC的法向量 0,0,1n .
∵平面CEF 平面 ABC，∴ 1 0n n
，即1 0t ，解得 1t ，
故线段 AF 的长为 1 时，则平面CEF 平面 ABC .
(法二：同一法)取 AB中点O， AO中点G，连接 EG， PO .
∵ PAB△ 为正三角形， E为 PA的中点，
∴PO AB .
∵ //EG PO，∴ EG AB .
又平面PAB 平面 ABC，∴ EG 平面 ABC .
在平面EFC中，作 EF FC 于点F .
∵平面 EFC 平面 ABC，平面 EFC平面 ABC FC ，
∴EF 平面 ABC .
∵过平面外一点有且仅有一条直线垂直于已知平面，
∴点F 与G重合，即为所求点 F
即当 1AF 时，平面CEF 平面 ABC .
（2）由（1）图所示，
则易知： 0,0,0O ， 0, 2 3,0C ， 1,0, 3E ， 0,0, 2 3P ， 2,0,0B ，
∴ 1, 2 3, 3CE
，
设平面PBC的法向量 1 1 1, ,m x y z
，又 2,0,2 3BP
， 2,2 3,0BC
则
1 1
1 1
2 2 3 0
2 2 3 0
x z
x y
，令 1 3x ，可得 3, 1, 1m
.
设直线CE与平面 PBC所成的角为 ，
则
3 2 3 3 15sin cos ,
104 5
CE mCE m
CE m
.
故直线CE与平面 PBC所成角的正弦值为
15
10
.
82．（2021·辽宁高三二模（理））已知等腰直角 SAB ， 4SA AB ，点C，D分别为边 SB，SA的中点，
沿CD将 SCD 折起，得到四棱锥 S ABCD ，平面 SCD 平面 ABCD .
（Ⅰ）过点D的平面 // 平面 SBC，平面 与棱锥 S ABCD 的面相交，在图中画出交线；设平面 与棱SA
交于点M ，写出
SM
MA
的值（不必说出画法和求值理由）；
（Ⅱ）求证：平面 SBA平面 SBC .
【答案】（Ⅰ）图形见解析，1；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）过D作 //DE BC交 AB于 E，由中位线性质证 BCDE为平行四边形即可知E为 AB的中点，由平
面 // 平面 SBC，过 E作 / /EM SB交SA于M ，即知M 为SA的中点，即可得
SM
MA
.
（Ⅱ）由题设易证DA，DC，DS 两两互相垂直，构建以D为原点，分别以射线DA，DC、DS 的方
向为 x， y， z轴正方向，建立空间直角坐标系，并确定 SB
uur
， AB
，CB
，进而求面 SAB，面 SBC的法向
量，根据法向量的夹角即可证面 SBA面 SBC .
【详解】
（Ⅰ）过D作 //DE BC交 AB于 E，由C，D分别为边 SB，SA的中点，即 / /CD AB，
∴BCDE为平行四边形，则 E为 AB的中点，再过 E作 / /EM SB交SA于M ，
∴在△ ABS 中， EM 为中位线，即M 为SA的中点，所得平面 即为平面DEM ，如下图示，
∴由上，知： 1MS
MA
.
（Ⅱ）由题设知： //CD AB，CD SD
面 SCD 面 ABCD，面 SCD面 ABCD CD ， SD CD ， SD面 SCD，
SD 面 ABCD，又CD， AD面 ABCD，
SD CD ， SD AD ，又CD AD ，
DA ，DC，DS 三条棱两两互相垂直.
以D为原点，分别以射线DA，DC、DS 的方向为 x， y， z轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz ，
则 (2,0,0)A ， (0, 2,0)C ， (0,0, 2)S ， (2, 4,0)B ，
(2,4, 2)SB
， (0,4,0)AB
， (2,2,0)CB
，
设平面 SAB，平面 SBC的法向量分别为 1 1 1, ,u x y z
， 2 2 2, ,v x y z
，
0
0
u AB
u SB
，即
1
1 1 1
0
2 0
y
x y z
，取 1 1x ，则 (1,0,1)u
，
0
0
v SB
v CB
，即
2 2 2
2 2
2 0
0
x y z
x y
，取 2 1x ，则 (1, 1, 1)v
，
cos , 0
2
1 1 1 ( 1)
3
u vu v
u v
，
平面 SBA平面 SBC .
83．（2021·河北唐山市·高三二模）如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD为正方形， //EF AD，平面
ADEF 平面 ABCD， 2 4 4AD EF DE ， 3AF ．
（1）判断平面 ABF 与平面CDE的交线 l与 AB的位置关系，并说明理由；
（2）求平面 ABF 与平面CDE所成二面角的大小．
【答案】（1） //l AB；答案见解析；（2）90．
【解析】
（1） //l AB，证明见解析；
（2）先证明 90APD ，再利用向量法求解即可.
【详解】
解：（1）由 //EF AD， 2AD EF ，可知延长 AF ，DE交于一点设为 P．过 P点作 AB的平行线即为 l，
//l AB，理由如下：
由题意可知 //AB CD， AB 平面CDE，CD 平面CDE，则 //AB 平面CDE．
又 ABÌ平面 ABF ，平面 ABF 平面CDE l ，则 //l AB．
（2）由 //EF AD， 2AD EF ， 1DE ， 3AF ，得 2DP ， 2 3AP ，又 4AD ，则
2 2 2AD DP AP ，所以 90APD ，
由题意可知， P点向平面 ABCD引垂线，垂足落在 AD上，设为O，则 1OD ．
以O为原点，以OD
，OP
的方向分别为 y轴， z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ．
(0, 3,0)A ， (4, 3,0)B ， (0,0, 3)P ，则 (4,0,0)AB
， (0,3, 3)AP
，
设平面 PAB的法向量为 ( , , )m x y z
，
由 0AB m
， 0AP m
得
4 0,
3 3 0
x
y z
，
可取 (0,1, 3)m
，
(0,1, 0)D ， (4,1,0)C ，则 (4,0,0)DC
， (0, 1, 3)DP
，
设平面PCD的法向量为 n (x, y, z)
，同理可得 (0, 3,1)n
，
因为 0m n
g ，所以平面 PAB 平面 PCD，即平面 ABF 平面CDE，
所以，平面 ABF 与平面CDE所成二面角的大小为90．
84．（2021·山东枣庄市·高三二模）如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 1，点 F 在棱 1CC 上，过 B，
1D ，F 三点的正方体的截面 与直线 1AA 交于点 E .
（1）找到点 E的位置，作出截面 （保留作图痕迹），并说明理由；
（2）已知CF a ，求 将正方体分割所成的上半部分的体积 1V 与下半部分的体积 2V 之比.
【答案】（1）答案见解析；（2） 1 2: 1V V .
【解析】
（1）过 F 作 //FG DC，且交棱 1DD 于点G，在正方形 1 1ADD A内过 1D 作 1 //D E AG，且交棱 1AA 于点 E，
连接 EB， 1ED ，则四边形 1BED F 就是要作的截面 ，
再证明 1BED F 是平行四边形；
（2） 0 1CF a a .由（1）的证明过程，可得 1A E a ，连接 1 1D B ，则平面 将正方体分割所成的
上半部分的几何体，计算四棱锥 1 1 1D AEBB 与四棱锥 1 1 1D B BFC 的体积，再计算正方体的体积可得答案.
【详解】
（1）在正方形 1 1CDDC 中，过F 作 //FG DC，且交棱 1DD 于点G，
连接 AG，在正方形 1 1ADD A内过 1D 作 1 //D E AG，且交棱 1AA 于点 E，
连接 EB， 1ED ，则四边形 1BED F 就是要作的截面 .
理由：由题意，平面 平面 1 1AD D E ，
平面 1BC BF ，平面 1 //AD 平面 1BC ，
应有 1 //D E BF ，
同理， 1//BE FD ，所以四边形 1BED F 应是平行四边形，
由作图过程， //FG DC，FG DC ，又 //AB DC， AB DC ，
所以 //AB FG， AB FG ，所以四边形 ABFG是平行四边形，
所以 //AG BF， AG BF ，
由作图过程， 1 //D E AG .又 1//EA DG，
所以四边形 1EAGD 是平行四边形，所以 1 //D E AG， 1D E AG ，
又 //AG BF， AG BF ，所以 1 //D E BF ，且 1D E BF ，
所以 1BED F 是平行四边形，四边形 1BED F 就是要作的截面.
（2）由题意， 0 1CF a a ，
由（1）的证明过程，可得 1A E a ，
连接 1 1D B ，则平面 将正方体分割所成的上半部分的几何体可视为四棱锥 1 1 1D AEBB 与四棱锥
1 1 1D B BFC 的组合体，
1 1 1 1 1 11 D A EBB D B BFCV V V 1 1 11 11 11 1
3 2 3 2
aa
1
2
，
而该正方体的体积 1V ， 2 1
1 11
2 2
V V V .所以 1 2: 1V V .
85．（2021·全国高三专题练习）如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面
ABCD， / /AD BC ，AB AD ， 2 4AB BC ，E是棱 PD上的动点（除端点外），F ，M 分别为 AB，
CE的中点．
（1）求证： / /FM 平面 PAD；
（2）若直线 EF 与平面 PAD所成的最大角为 30°，求平面CEF与平面 PAD所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 93
31
．
【解析】
（1）取CD的中点 N ，连结 FN ，MN，证明平面 / /MFN 平面 PAD，再用面面平行的性质定理证明即
可；
（2）作出直线 EF 与平面 PAD所成角的平面角，通过最大角为 30°，确定 AD长度，建立空间直角坐标系，
用向量法计算二面角余弦值.
【详解】
（1）证明：取CD的中点N ，连结 FN ，MN，
因为 F ， N 分别为 AB，CD的中点，
所以 / /FN AD，
又因为FN 平面 PAD， AD平面 PAD，
所以 / /FN 平面 PAD，
同理， / /MN 平面 PAD，
又因为FN MN N ，
所以平面 / /MFN 平面 PAD，
又因为FM 平面MFN ，
所以 / /FM 平面 PAD．
（2）因为平面 PAD 平面 ABCD， AB AD ，
所以 AB 平面 PAD，
所以 AEF 即为直线 EF 与平面 PAD所成的角，
且
2tan AFAEF
AE AE
，
当 AE最小，即 E为 PD中点时， AE PD ，
此时 AEF 最大为30°，
又因为 2AF ，
所以 2 3AE ，所以 4AD ．
取 AD的中点O，连结PO，OC，
易知 PO 平面 ABCD，
因为 / /AO BC且 AO BC ，
所以四边形 ABCO为平行四边形，
所以 AO OC ，
以O为坐标原点，OC
的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ．
则 (0,0,0)O ， (4,0,0)C ， (0,2,0)D ， (0,0, 2 3)P ， (0,1, 3)E ， (2, 2,0)F ， ( 4,1, 3)CE
，
(2, 2,0)FC
，
设 1 ( , , )n x y z
为平面CEF的法向量，
则
1
1
0
0C
FC
n E
n
，
即
2 2 0,
4 3 0,
x y
x y z
可取 1 ( 3, 3,5)n
．
设平面PAD的法向量为 2 1,0,0n
，
所以 1 2
1 2
1 2
3 93cos ,
3131
n nn n
n n
，
所以平面CEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为
93
31
．
86．（2021·全国高三专题练习）如图，在四边形 PDCB中， / /PD BC，BA PD ， 1PA AB BC ，
1
2
AD .沿 BA将 PAB△ 翻折到 SBA 的位置，使得
5
2
SD .
（1）作出平面 SCD与平面 SBA的交线 l，并证明 l 平面CSB；
（2）点Q是棱 SC 于异于S，C的一点，连接QD，当二面角Q BD C 的余弦值为
6
6
，求此时三棱
锥Q BCD 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
1
12
.
【解析】
（1）延长 BA，CD相交于 E，连接 SE，则 SE为平面 SCD与平面 SBA的交线 l，由勾股定理可得
SA AD ，结合 AD AB 可得 AD平面 SAB，在判断出 SE 平面CSB即可证明；
（2）以点 A为坐标原点建立空间直角坐标系，设 SQ SC
，由二面角Q BD C 的余弦值为
6
6
建立
向量关系，求出 即可求出体积.
【详解】
（1）如图，延长 BA，CD相交于 E，连接 SE，则 SE为平面 SCD与平面 SBA的交线 l .
证明：在 SAD 中， 1SA ，
1
2
AD ，
5
2
SD ，则 2 2 2SA AD SD ，所以 SA AD .
由 SA AD ， AD AB ， SA AB A ，得 AD平面 SAB .
又BC AD∥ ，所以 BC⊥平面 SAB，所以 BC SE .
由 PD BC ， 1AB BC ，
1
2
AD ，得 1AE .
所以 AE AB SA ，所以 SE SB .
又因为BC SB B ，所以 SE 平面CSB，即 l 平面CSB .
（2）由（1）知，SA AB ， AD AB ， AD SA .以点 A为坐标原点， AD， AB， AS所在直线分别
为 x轴、 y轴、 z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
易得 0,0,0A ，
1 ,0,0
2
D
， 0,1,0B ， 0,0,1S ， 1,1,0C ，则
1 , 1,0
2
BD
.
设 SQ SC
（0 1 ），则 , ,1Q ，则 , 1,1BQ
.
设 , ,n x y z
是平面QBD的一个法向量，
则
1 1 0
1 0
2
x y z
x y
，
令 2x ，则
1 32,1,
1
n
.
0,0,1m
是平面CBD的一个法向量.
由 2
1 3
cos , 61
61 35
1
n m
n m
n m
，解得
1
2
.
所以点Q是 SC 的中点.
所以
1 1 1 1 1 11 1
3 2 3 2 2 12Q BDC BDCV S SA
.
87．（2020·广东高三其他模拟）如图所示的几何体中，
, , 2, 2 2,BE BC EA AC BC AC 45 , / / , 2ACB AD BC BC AD ．
(1)求证： AE⊥平面 ABCD；
(2)若 60ABE ，点 F在 EC上，且满足 EF=2FC，求二面角 F—AD—C的余弦值．
【答案】（1）详见解析（2） 2 7
7
【解析】
（1）在 ABC 中，根据已知的边、角条件运用余弦定理可得出 AB BC ，再由
,BE BC AB BE B ，
得出 BC⊥平面 ABE.，由线面垂直的性质得BC AE ，再根据线面垂直的判定定理得证；
（2）在以 B为原点，建立空间直角坐标系B xyz ，得出点 , , ,F A D C 的坐标，求出面 FAD的法向量，由
（1）得 EA 平面 ABCD，所以EA
为平面 ABCD的一个法向量，再根据向量的夹角公式求得二面角的余
弦值.
【详解】
（1）在 ABC 中， 2, 2 2, 45 ,BC AC ACB
由余弦定理可得 2 2 2 2 cos 45 4AB BC AC BC AC ，
所以 2AB ，所以 2 2 2 ,AC AB BC 所以 ABC 是直角三角形， AB BC .
又 ,BE BC AB BE B ，所以 BC⊥平面 ABE.
因为 AE 平面 ABE，所以BC AE ，因为 ,EA AC AC BC C ,
所以 AE⊥平面 ABCD.
（2）由（1）知， BC⊥平面 ABE，所以平面 BEC 平面 AEB，在平面 ABE中，过点 B作 Bz BE ，则
Bz 平面 BEC，如图，以 B为原点，BE,BC所在直线分别为 ,x y轴建立空间直角坐标系 B xyz ，
则 0,0,0 , 0,2,0 , 4,0,0 , 1,0, 3 ,B C E A 1,1, 3D ,
因为 2EF FC ，所以
4 4, ,0
3 3
F
，易知 1 40,1,0 , , , 3
3 3
AD AF
,
设平面 ADF的法向量为 , ,n x y z
，
则
0,
0,
AD n
AF n
即
0,
1 4 3 0,
3 3
y
x y z
令 3,z 则 0, 9y x ，
所以 9,0, 3n
为平面 ADF的一个法向量，
由（1）知 EA 平面 ABCD，所以 3,0, 3EA
为平面 ABCD的一个法向量.
设二面角 F AD C 的平面角为 ，
由图知 为锐角，则
24 2 7cos
72 3 2 21
EA n
EA n
，
所以二面角F AD C 的余弦值为
2 7
7
.
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