专题 16 概率统计
解答题
43．（2021·山东枣庄市·高三二模）天问一号火星探测器于 2021 年 2 月 10 日成功被火星捕获，实现了中国
在深空探测领域的技术跨越.为提升探测器健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行
探测器遥控技能知识竞赛，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对 A ， B ，C 三道题目
的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.
题目 A B C
做对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的奖金/元 1000 2000 3000
规则如下：按照 A ， B ，C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.
（1）求甲获得的奖金 X 的分布列及均值；
（2）如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得奖金的均值最大？
（不需要具体计算过程，只需给出判断）
【答案】（1）分布列见解析， 2336E X ；（2）按照题目 A ， B ，C 的顺序做题，得到奖金的期望值最
大.
【解析】
（1）由题意， X 的可能取值为 0，1000，3000，6000，计算每个取值的概率，写出分布列，最后计算均值
即可；
（2）根据均值的性质以及概率的性质进行判断即可.
【详解】
（1）解：分别用 A ， B ，C 表示做对题目 A ， B ，C 的事件，则 A ， B ，C 相互独立.
由题意， X 的可能取值为 0，1000，3000，6000.
0 0.2P X P A ； 1000 0.8 0.4 0.32P X P AB ；
3000 0.8 0.6 0.6 0.288P X P ABC ；
6000 0.8 0.6 0.4 0.192P X P ABC .
所以甲获得的奖金 X 的分布列为：
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
0 0.2 1000 0.32 3000 0.288 6000 0.192 2336E X .
（2）改变做题的顺序，获得奖金的均值互不相同.
决策的原则是选择期望值 E X 大的做题顺序，这称为期望值原则.做对的概率大表示题目比较容易，做对
的概率小表示题目比较难.
猜想：按照由易到难的顺序做题，即按照题目 A ， B ，C 的顺序做题，得到奖金的期望值最大.
44．（2021·辽宁高三二模（理））新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，
为总结工作中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分 100 分，随机发给 100 名男性居民和 100 名女性
居民，分数统计如下：
100 位男性居民评分频数分布表
分组 频数
[50,60) 3
[60,70) 12
[70,80) 72
[80,90) 8
[90,100] 5
合计 100
100 位女性居民评分频数分布表
分组 频数
[50,60) 5
[60,70) 15
[70,80) 64
[80,90) 7
[90,100] 9
合计 100
（Ⅰ）求这 100 位男性居民评分的均值 x 和方差 2S ；
（Ⅱ）已知男性居民评分 X 服从正态分布 2,N ， 用 x 表示， 2 用 2S 表示，求 (67.8 89.4)P X ；
（Ⅲ）若规定评分小于 70 分为不满意，评分大于等于 70 分为满意，能否有 99%的把握认为居民是否满意
与性别有关?
附： 52 7.2 ， ( ) 0.6827P X ， ( 2 2 ) 0.9545P X ，
( 3 3 ) 0.9973P X .
参考公式
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
， n a b c d .
2
0p K k 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.706 3.841 5.204 6.635 7.879 10.828
【答案】（Ⅰ）75，52；（Ⅱ）0.8186；（Ⅲ）没有.
【解析】
（Ⅰ）根据频率分布表数据，直接计算求均值 x 和方差 2S 即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ~ (75,52)X N ，即可求 ，又 (67.8 89.4) ( 2 )P X P X ，结合正
态分布的对称性及已知信息求值即可；
（Ⅲ）根据频率分布表得到列联表，应用卡方检验公式求 k 值，比照参考值确定是否有 99%的把握认为居
民是否满意与性别有关.
【详解】
（Ⅰ）由频率分布表可知：
55 3 65 12 75 72 85 8 95 5 7500 75100 100x ，
2 2 2 2 2
2 (55 75) 3 (65 75) 12 (75 75) 72 (85 75) 8 (95 75) 5 52100S .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ~ (75,52)X N ，则 2 2 52 7.2S ，
(67.8 89.4) ( 2 )P X P X 1 ( )2 P X
1 ( 2 2 )2 P X 1 10.6827 0.9545 0.81862 2
.
(67.8 89.4)P X 为 0.8186
（Ⅲ）由已知条件可得： 2 2 列联表如下：
满意 不满意 合计
男性 85 15 100
女性 80 20 100
合计 165 35 200
2200 (85 20 80 15) 200 0.866100 100 165 35 231k
，
0.866 6.635k ，
没有 99%的把握认为是否满意与性别有关.
45．（2021·山东烟台市·高三一模）某品牌餐饮企业为满足人们餐饮需求､丰富产品花色､提高企业竞争力，
研发了一款新产品.该产品每份成本 60 元，售价80 元，产品保质期为两天，若两天内未售出，则产品过期
报废.由于烹制工艺复杂，该产品在最初推广阶段由企业每两天统一生产､集中配送一次.该企业为决策每两
天的产量，选取旗下的直营连锁店进行试销，统计并整理连续30 天的日销量(单位：百份)，假定该款新产
品每日销量相互独立，得到右侧的柱状图：
（1）记两天中销售该新产品的总份数为 (单位：百份)，求 的分布列和数学期望；
（2）以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送 27 百份､ 28 百份两种方案中应选择
哪种？
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望： 27.4 ；（2）选择每两天生产配送 27 百份.
【解析】
（1）根据相互独立事件概率计算公式，计算出 的分布列并求得数学期望.
（2）分别计算出配送 27 百份、配送 28 百份所获利润，由此作出决策.
【详解】
（1）根据题意可得， 的所有可能取值为 24,25,26,27,28,29,30 .
1 1 124 10 10 100P
1 3 325 210 10 50P
1 2 3 3 1726 210 5 10 10 100P
1 2 3 3 727 2 210 5 10 10 25P
3 1 2 2 728 210 5 5 5 25P
2 1 429 25 5 25P
1 1 130 5 5 25P
的分布列如下：
24 25 26 27 28 29 30
P 1
100
3
50
17
100
7
25
7
25
4
25
1
25
1 3 17 7 7 4 124 25 26 27 28 29 30 27.4100 50 100 25 25 25 25E
（2）当每两天生产配送 27 百份时，利润为
1 3 1724 20 3 60 25 20 2 60 26 20 1 60100 50 100
1 1727 20 1 514.4100( )100
百元.
当每两天生产配送 28 百份时，利润为
1 3 1724 20 4 60 25 20 3 60 26 20 2 60100 50 ) 10( ) ( 0
.
7 1227 20 1 60 28 20 492.825 5( ) 2
百元.
由于 514.4 492.8,
所以选择每两天生产配送 27 百份.
46．（2021·聊城市·山东聊城一中高三一模）已知某班有 50 位学生，现对该班关于“举办辩论赛”的态度进行
调查，，他们综合评价成绩的频数分布以及对“举办辩论赛”的赞成人数如下表：
综合评价成绩
（单位：分）
[40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100)
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 4 8 12 4 3 1
（1）请根据以上统计数据填写下面 2×2 列联表，并回答：是否有 95%的把握认为“综合评价成绩以 80 分位
分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异？
综合评价成绩小于
80 分的人数
综合评价成绩不小于
80 分的人数
合计
赞成
不赞成
合计
（2）若采用分层抽样在综合评价成绩在[60，70)，[70，80)的学生中随机抽取 10 人进行追踪调查，并选其
中 3 人担任辩论赛主持人，求担任主持人的 3 人中至少有 1 人在[60，70)的概率．
参考公式：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d ．
参考数据：
P 2
0K k 0.10 0.05 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】（1）表格见解析，不能；（2） 29
30 .
【解析】
（1）由已知完成列联表，结合公式计算 2K 根据参考数据即可判断结果；
（2）由分层抽样得在 60,70 里面抽 6 个， 70,80 里面抽 4 个，再用对立事件求解概率即可.
【详解】
（1）
综合评价成绩小于
80 分的人数
综合评价成绩不小于
80 分的人数
合计
赞成 28 4 32
不赞成 12 6 18
合计 40 10 50
做个皮尔逊卡方检验的话，有
2
2 50 28 6 4 12 3.125 3.84132 18 40 10K
故此不能推翻零假设，不能认定成绩和态度有关.
（2）这样分层抽样，会在 60,70 里面抽 6 个， 70,80 里面抽 4 个，
设 A 为没有人在[60，70)内的事件，则概率即为
1P P A
3
4
3
10
291 30
C
C
47．（2021·河南高三月考（理））为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的
修复，某市在其辖区内某一个县的 27 个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、锦、铭等
重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、
重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图
（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取 6 个，求在轻度、中度、重度污
染的行政村中分别抽取的个数；
（2）规定：轻度污染记污染度为 1，中度污染记污染度为 2，重度污染记污染度为 3．从（1）中抽取的 6
个行政村中任选 3 个，污染度的得分之和记为 X，求 X 的数学期望．
【答案】（1）从轻度污染的行政村中抽取 3 个，从中度污染的行政村中抽取 2 个，从重度污染的行政村中抽
取1个；（2）5．
【解析】
（1）根据题意，轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村共 9 6 3 18 个，再根据分层抽样分别算出所
抽取的轻度污染、中度污染、重度污染行政村的个数即可；
（2）X 的所有可能取值为 3，4，5，6，7，写出每算出一个数据的概率，得出分布列，再根据期望公式即
可得解.
【详解】
（1）轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村共 9 6 3 18 个，
所以从轻度污染的行政村中抽取 6 9 318
个，从中度污染的行政村中抽取 6 6 218
个，从重度污染的行
政村中抽取 6 3 118
个．
（2）X 的所有可能取值为 3，4，5，6，7．
3
3
3
6
C 1( 3) C 20P X ，
2 1
3 2
3
6
C C 3( 4) C 10P X ，
2 1 2
3 3 2
3
6
C C C 3( 5) C 10P X ，
1 1
3 2
3
6
C C 3( 6) C 10P X ，
2
2
3
6
C 1( 7) C 20P X ．
所以 X 的分布列为
X 3 4 5 6 7
P 1
20
3
10
3
10
3
10
1
20
所以 1 3 3 3 1( ) 3 4 5 6 7 520 10 10 10 20E X ．
48．（2021·山东滨州市·高三一模）国家发展改革委、住房城乡建设部于 2017 年发布了《生活垃圾分类制度
实施方案》，规定 46 个重点城市在 2020 年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达 35%以上．截
至 2019 年底，这 46 个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近 70%．某市在实施垃圾分类之前，
从本市人口数量在两万人左右的 320 个社区中随机抽取 50 个社区，对这 50 个社区某天产生的垃圾量（单
位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区产生的垃圾数量超过 28（吨
/天）的确定为“超标”社区：
垃
圾
量
X
12.5,15.5 15.5,18.5 18.5,21.5 21.5,24.5 24.5,27.5 27.5,30.5 30.5,33.5
频
数
5 6 9 12 8 6 4
（1）在频数分布表中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，求这 50 个社区这一天产生的垃圾量的平
均值 x （精确到 0.1）；
（2）若该市人口数量在两万人左右的社区一天产生的垃圾量 X 大致服从正态分布 2,N ，其中 ， 2
分别近似为（1）中样本的平均值 x ，方差 2s ，经计算 s 约为 5.2．请利用正态分布知识估计这 320 个社区一
天中“超标”社区的个数；
（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的 50 个社区中这一天共有 8 个“超标”社区，市政府决定对这 8 个“超
标”社区的垃圾来源进行跟踪调查，现计划在这 8 个“超标”社区中随机抽取 5 个进行跟踪调查，设Y 为抽到
的这一天产生的垃圾量 至少为 30.5 吨的社区个数，求Y 的分布列与数学期望．
附：若随机变量 X 服从正态分布 2,N ，则 0.6827P X ，
2 2 0.9545P X , 3 3 0.9974P X ．
【答案】（1）这 50 个社区这一天产生的垃圾量的平均值为 22.8 吨；（2）估计这 320 分社区一天中“超标”社
区的个数为 51；（3）分布列见解析， 5
2 .
【解析】
(1)由频数分布表根据要求计算 x ；
（2）由 28 ，利用正态分布频率公式可计算出概率，从而得“超标”社区的个数；
（3）求得Y 的可能取值为 1，2，3，4，然后计算概率得概率分布列，再由期望公式可得期望．
【详解】
（1）由频数分布表得
14 5 17 6 20 9 23 12 26 8 29 6 32 4
50x
22.76 22.8 ，
所以这 50 个社区这一天产生的垃圾量的平均值为 22.8 吨．
（2）由（1）知 22.8 ．因为 s 约为 5.2，所以取 5.2 ．
所以 28P X P X
1 0.6827 0.158652
．
又320 0.15865 50.768 51 ，
所以估计这 320 分社区一天中“超标”社区的个数为 51．
（3）由频数分布表知：8 个“超标”社区中这一天产生的垃圾量至少为 30.5 吨的社区有 4 个，所以Y 的可能
取值为 1，2，3，4，
1 4
4 4
5
8
11 14
C CP Y C
，
2 3
4 4
5
8
32 7
C CP Y C
，
3 2
4 4
5
8
33 7
C CP Y C
，
4 1
4 4
5
8
14 14
C CP Y C
，
所以Y 的分布列为
Y 1 2 3 4
P 1
14
3
7
3
7
1
14
所以 1 3 3 1 51 2 3 414 7 7 14 2E Y ．
49．（2021·山东德州市·高三一模）2021 年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，
全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模
式．某市随机抽取 200 人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y 表示了解， N 表示不了解，统
计结果如下表所示：
（表一）
了解情况 Y N
人数 140 60
（表二）
男 女 合计
Y 80
N 40
合计
（1）请根据所提供的数据，完成上面的 2 2 列联表（表二），并判断是否有 99％的把握认为对“云课堂”倡
议的了解情况与性别有关系;
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取 4 人，记“4 名男性中恰有 3
人了解云课堂倡议”的概率为 1P ，“4 名女性中恰有 3 人了解云课堂倡议”的概率为 2P ．试求出 1P 与 2P ，并
比较 1P 与 2P 的大小．
附：临界值参考表的参考公式
2
0p K K 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0K 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d ）
【答案】（1）表格见解析，有；（2） 1
256
625P ， 2
216
625P ， 1 2P P .
【解析】
（1）依据题中数据直接填写，然后根据公式计算即可.
（2）先计算男性了解“云课堂”倡议的概率，女性了解“云课堂”倡议的概率，然后可得 1P ， 2P 进行比较即
可.
【详解】
（1）
男 女 合计
Y 80 60 140
N 20 40 60
合计 100 100 200
2
2 200 80 40 60 20 200 9.524 6.635100 100 140 60 21K
．
对照临界值表知，有 99％的把握认为对“云课堂”倡议了解情况与性别有关系．
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，根据 2 2 列联表得出，
男性了解“云课堂”倡议的概率为 80 4
100 5
，
女性了解“云课堂”倡议的概率为： 60 3
100 5
，
故
3 1
3
1 4
4 1 256
5 5 625P C
，
3 1
3
2 4
3 2 216
5 5 625P C
，
显然 1 2P P ．
50．（2021·江苏高三专题练习）为加强进口冷链食品监管，某省于 2020 年底在全省建立进口冷链食品集中
监管专仓制度，在口岸、目的地市或县（区、市）等进口冷链食品第一入境点，设立进口冷链食品集中监
管专仓，集中开展核酸检测和预防性全面消毒工作，为了进一步确定某批进口冷冻食品是否感染病毒，在
入关检疫时需要对其采样进行化验，若结果呈阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒，对于 n ，
（ n N ）份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验 n 次：二是混合检验，将 k 份样本分
别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这 k 份全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳
性，为了明确这 k 份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则 k 份检验的次数共为 1k 次，
若每份样本没有该病毒的概率为 p （ 0 1p ），而且样本之间是否有该病毒是相互独立的.
（1）若 2
3p ，求 2 份样本混合的结果为阳性的概率；
（2）若取得 4 份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组 2
份样本采用混合检验.若检验次数的期望值越小，则方案越“优”，试问方案一、二哪个更“优”？请说明理由.
【答案】（1） 1
3
；（2）当 1
2p 时，方案一更“优”；当 1
2p 时，方案一、二一样；理由见解析.
【解析】
（1）根据相互独立事件的概率求出该混合样本阴性的概率，根据对立事件原理，能求出阳性的概率．
（2）分别求出方案一、二的分布列及数学期望，即可判断；
【详解】
解：（1）该混合样本阴性的概率是 2 2
3p ，
根据对立事件可得，阳性的概率为 2 11 3 3
.
（2）方案一：混在一起检验，方案一的检验次数记为 X ，则 X 的可能取值为 1，5
4 21P X p p ； 25 1P X p .其分布列为：
则 25 4E X p ，
X 1 5
P 2p 21 p
方案二：由题意分析可知.每组 2 份样本混合检验时.若阴性则检测次数为 1，
概率为 2
p p ，若阳性，则检测次数为 3.概率为1 p ，
方案二的检验次数记为Y ，则Y 的可能取值为 2，4，6，
22P Y p ； 1
24 1 2 1P Y C p p p p ； 26 1P Y p ；
其分布列为：
Y 2 4 6
P 2p 22 2p p 21 p
则 22 22 4 2 2 6 1 6 4E Y p p p p p ，
2 26 4 5 4 4 4 1E Y E X p p p p ，
当 1
2p 时，可得 E X E Y ，所以方案一更“优”
当 1
2p 时，可得 E X E Y ，所以方案一、二一样；
51．（2021·山东高三专题练习）某商场每年都会定期答谢会员，允许年度积分超过指定积分的会员参加特价
购物赠券活动．今年活动的主题为“购物三选一，真情暖心里”，符合条件的会员可以特价购买礼包 A （十
斤肉类）礼包 B （十斤蔬菜）和礼包C （十斤鸡蛋）三类特价商品中的任意一类，并且根据购买的礼包不
同可以获赠价值不等的代金券根据以往经验得知，会员购买礼包 A 和礼包 B 的概率均为 2
5
．
（1）预计今年有 400 名符合条件的会员参加活动，求商场为此活动需要准备多少斤鸡蛋合理；
（2）在促销活动中，若有甲、乙、丙三位会员同时参与答谢活动，各人购买礼包相互独立，已知购买礼包
A 或礼包 B 均可以获得 50 元商场代金券，购买礼包C 可以获得 25 元商场代金券，设Y 是三人获得代金券
金额之和．求Y 的分布列和数学期望．
【答案】（1）800 （斤）；（2）分布列见解析；期望为135．
【解析】
（1）计算出买礼包C 的概率，然后简单计算即可.
（2）写出Y 的所有可能取值并计算出相对应的概率，然后列出分布列，最后根据期望公式计算即可.
【详解】
（1）会员购买礼包C 的概率为 2 11 25 5
，
∴准备鸡蛋： 1400 10 8005
（斤）
（2）Y 的所有可能取值为：150，125，100，75
34 64150 5 125P Y
，
2
1
3
1 4 48125 5 5 125P Y C
2
2
3
1 4 12100 5 5 125P Y C
，
31 175 5 125P Y
∴Y 的分布列如下
Y 150 125 100 75
P 64
125
48
125
12
125
1
125
∴ 64 48 12 1 384 48 3150 125 100 75 48 135125 125 125 125 5 5 5E Y ．
52．（2021·全国高三专题练习）某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排
表如下：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
活动项目 篮球 国画 排球 声乐 书法
要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项.
（1）求甲选排球且乙未选排球的概率；
（2）用 X 表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求 X 的分布列和数学期望．
【答案】（1） 4
15
；（2）分布列见解析， 28
15
【解析】
（1）设事件，分别求出甲、乙同学选排球的概率，由相互独立事件同时发生的概率，即可得出结果.
（2）求出丙同学选排球的概率，X 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出概率，进而可得结果.
【详解】
（1）设 A 表示事件“甲同学选排球” B 表示事件“乙同学选排球”
则
1 2
2 4
2 3
3 5
2 3( ) , ( )3 5
C CP A P BC C
因为事件 A，B 相互独立，所以甲同学选排球且乙同学未选排球的概率为：
2 3 4( ) ( ) ( ) (1 )3 5 15
P AB P A P B
（2）设 C 表示事件“丙同学选排球”，则
2
4
3
5
3( ) 5
CP C C
X 的可能取值为 0，1，2，3 则
2 3 3 4( 0) (1 ) (1 ) (1 )3 5 5 75
p X ；
2 3 3 2 3 3 2 3 3 4( 1) (1 ) (1 )+(1 ) (1 )+(1 ) (1 )3 5 5 3 5 5 3 5 5 15
p X
2 3 3 2 3 3 2 3 3 11( 2) (1 )+(1 ) + (1 )3 5 5 3 5 5 3 5 5 25
p X
2 3 3 6( 3) 3 5 5 25
p X
X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 4
75
4
15
11
25
6
25
数学期望为 4 4 11 6 28( ) 0 1 2 375 25 25 25 15
E X
53．（2021·全国高三专题练习）为快速控制新冠病毒的传播，全球多家公司进行新冠疫苗的研发.某生物技
术公司研制出一种新冠灭活疫苗，为了检测其质量指标，从中抽取了 100 支该疫苗样本，经统计质量指标
得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求所抽取的样本平均数 x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）将频率视为概率，若某家庭购买 4 支该疫苗，记这 4 支疫苗的质量指标值位于 10,30 内的支数为 X ，
求 X 的分布列和数学期望.
【答案】（1） 26.5x ；（2）分布列答案见解析，数学期望： 2 .
【解析】
（1）根据频率分布直方图求出平均数；
（2）首先求出每支灭活疫苗的质量指标值位于 10,30 内的概率，可得 1~ 4, 2X B
，即可求出随机变量
X 的分布列和数学期望；
【详解】
解：（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：
0,10 的频率为： 0.010 10 0.1 ； 0,20 的频率为： 0.020 10 0.2 ；
20,30 的频率为： 0.030 10 0.3 ； 30,40 的频率： 0.025 10 0.25 ；
40,50 的频率为： 0.015 10 0.15 ，
∴ 5 0.1 15 0.2 25 0.3 35 0.25 45 0.15 26.5x .
（2）根据题意得每支灭活疫苗的质量指标值位于 10,30 内的概率为 0.2 0.3 0.5 ，
所以 1~ 4, 2X B
， X 的可能取值为：0，1，2，3，4，
4
0
4
1 1( 0) 2 16P X C
，
4
1
4
1 1( 1) 2 4P X C
，
4
2
4
1 3( 2) 2 8P X C
，
4
3
4
1 1( 3) 2 4P X C
，
4
4
4
1 1( 4) 2 16P X C
，
∴ X 的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 1
16
1
4
3
8
1
4
1
16
∴ 1 1 3 1 1( ) 0 1 2 3 4 216 4 8 4 16E X .
54．（2021·河北唐山市·高三二模）改革开放是我国发展的最大“红利”，自 1978 年以来，随着我国社会经济
的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延
长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．下表数据反应了我国改革开放三十余年的人口平均预期寿命变
化．
人口平均预期寿命变化表单位：岁
年份 年份代码 人口平均预期寿命
1981 4 67.77
1990 13 68.55
2000 23 71.4
2010 33 74.83
（1）散点图如上图所示，可用线性回归模型拟合 y 与t 的关系，已知回归方程 ˆˆ ˆy a bt 中的斜率 ˆ 0.25b ，
且 70.6375y ，求 ˆa ；
（2）关于 2020 年我国人口平均预期寿命的统计数据 M 迄今暂未公布，依据线性回归方程，对 M 进行预
测并给出预测值 1M （结果保留两位小数），结合散点图的发展趋势，估计 1M 与 M 的大小关系，并说明理
由．
【答案】（1） 66.075；（2） 1 76.83M ； 1M M ；答案见解析．
【解析】
（1）先求出t ，再把样本中心点的坐标代入回归方程即得解；
（2）2020 年对应的年份代码 43t ，求出 1M 即得解.
【详解】
解：（1） 4 13 23 33 18.25
4
t ，
ˆˆ 70.6375 0.25 18.25a y bt 70.6375 4.5625 66.075 ．
（2）2020 年对应的年份代码 43t ，
1
ˆˆ 66.075 0.25 43M a bt 66.075 10.75 76.825 76.83 ．
从散点图的发展趋势可以得出：随着年份代码增加，人口平均预期寿命提高的越快．
因此，估计 1M M ．
55．（2021·山东高三专题练习）某公司对项目进 A 行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：
项目 A 投资金额 x （单位：百万元） 1 2 3 4 5
所获利润 y （单位：百万元） 0.3 0.3 0.5 0.9 1
（1）请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，并用相关系数加以说明；
（2）该公司计划用 7 百万元对 A 、 B 两个项目进行投资．若公司对项目 B 投资 1 6x x 百万元所获得
的利润 y 近似满足： 0.490.16 0.491y x x
，求 A 、 B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润
最大？
附：①对于一组数据 1 1,x y 、 2 2,x y 、、 ,n nx y ，其回归直线方程 y bx a $ $ $ 的斜率和截距的最
小二乘法估计公式分别为： 1
22
1
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
， ˆa y bx ．
②线性相关系数 1
2 22 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x y nx y
r
x nx y ny
．一般地，相关系数 r 的绝对值在 0.95以上（含 0.95）
认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
参考数据：对项目 A 投资的统计数据表中
1
11
n
i i
i
x y
， 2
1
2.24
n
i
i
y
， 4.4 2.1 ．
【答案】（1） 0.2y x ；答案见解析；（2）对 A 、 B 项目分别投资 4.5 百万元， 2.5 百万元时，获得总利
润最大．
【解析】
（1）计算出 x 、 y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出 b 、 a 的值，可得出回归直线方程，
并计算出相关系数 r 的值，可得出结论；
（2）求得 0.491.93 0.04 11y xx
，利用基本不等式可求得 y 的最大值，利用等号成立求得 x 的值，
即可得出结论.
【详解】
解：（1）对项目 A 投资的统计数据进行计算，有 3x ， 0.6y ，
5
2
1
55i
i
x
，
所以
5
1
5 222
1
5 11 9 0.255 5 35
i i
i
i
i
x y x y
b
x x
， 0.6 0.2 3 0a y bx ，
所以回归直线方程为： 0.2y x .
线性相关系数
5
1
5 5 2 22 22 2
1 1
5 11 9
55 5 3 2.24 5 .65 5
i i
i
i i
i i
x y x y
r
x x y y
2 0.9534 0.95
4.4
，
这说明投资金额 x 与所获利润 y 之间的线性相关关系较强，
用线性回归方程 0.2y x 对该组数据进行拟合合理；
（2）设对 B 项目投资 1 6x x 百万元，则对 A 项目投资 7 x 百万元．
所获总利润 0.49 0.490.49 0.2 7 1.93 0.6 04 11 1 10. x xy x x x
0.491.93 2 0.04 1 1.651 xx
，
当且仅当 10 0.0 41 94 .x x
，即 2.5x 时取等号，
所以对 A 、 B 项目分别投资 4.5 百万元， 2.5 百万元时，获得总利润最大．
56．（2021·江苏常州市·高三一模）某地发现 6 名疑似病人中有 1 人感染病毒，需要通过血清检测确定该感
染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测：方案甲：将这 6
名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这 6 名疑似病人随机分成 2 组，每组 3
人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血
清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感
染人员为止，
（1）求这两种方案检测次数相同的概率；
（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由.
【答案】（1） 1
6
；（2）乙方案，理由见解析.
【解析】
设甲方案检测的次数 {1,2,3,4,5}X ，记乙方案检测的次数 {2,3}Y ，
（1）记两种方案检测的次数相同为事件 A，根据独立事件的概率的乘法公式，即可求解；
（2）分别求得随机变量 X 和Y 的期望，结合期望的大小，即可求解.
【详解】
由题意可设甲方案检测的次数是 X，
则 {1,2,3,4,5}X ，记乙方案检测的次数是Y ，则 {2,3}Y ，
（1）记两种方案检测的次数相同为事件 A，
则 1 1 1 2 12, 2 3, 3 6 3 6 3 6P A P X Y P X Y ，
所以两种方案检测的次数相同的概率为 1
6 .
（2）由 1 1( 1) ( 2) ( 3) ( 4) , ( 5)6 3P X P X P X P X P X ，
所以 1 1 1 1 1 10( ) 1 2 3 4 56 6 6 6 3 3E X ，
1 2 2( 2) , ( 3) 13 3 3P Y P Y ，则 1 2 8( ) 2 33 3 3E Y ，
因为 E X E Y ，所以采用乙方案.
57．（2021·山东临沂市·高三其他模拟）下围棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大
脑并让其得到充分休息.现某学校象棋社团为丰富学生的课余生活，举行象棋大赛，要求每班选派一名象棋
爱好者参赛.现某班有12 位象棋爱好者，经商议决定采取单循环方式进行比赛，(规则采用“中国数目法”，没
有和棋.)即每人进行11轮比赛，最后靠积分选出第一名去参加校级比赛.积分规则如下(每轮比赛采取 5 局 3
胜制，比赛结束时，取胜者可能会出现3:0,3:1,3: 2.三种赛式).
3:0 或 3:1 3:2
胜者积分 3 分 2 分
负者积分 0 分 1分
9轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分 26 分，乙累计积分 22 分.第10轮甲和丙比赛，设
每局比赛甲取胜的概率均为 2
3
，丙获胜的概率为 1
3
，各局比赛结果相互独立.
（1）①在第10轮比赛中，甲所得积分为 X ，求 X 的分布列;
②求第10轮结束后，甲的累计积分Y 的期望;
（2）已知第10轮乙得3 分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛.(“提前一轮”即比赛进行10
轮就结束，最后一轮即第11轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多)?若能，求出相应的概率;若不能，请
说明理由.
【答案】（1）①分布列见解析，② 2290
81
；（2） 16
27 .
【解析】
（1）①求得随机变量 X 的可能取值，利用独立重复试验的公式，求得相应的概率，即可得出分布列，②求
得随机变量Y 的可能取值，利用公式，即可求得积分Y 的期望；
2 由 3X ，得到甲10轮后的总积分和第10轮和第11轮都得 3 分，进而求得提前一轮结束比赛的概率.
【详解】
（1）①由题意，随机变量 X 的可能取值为 3,2,1,0，
则
3 2
2
3
2 2 2 2 163 13 3 3 3 27P X C
，
2 2
2
4
2 2 2 162 13 3 3 81P X C
，
2 3
2
4
2 2 81 13 3 81P X C
，
3 3
1
3
2 2 2 10 1 13 3 3 9P X C
，
所以 X 的分布列为
X 3 2 1 0
P 16
27
16
81
8
81
1
9
②随机变量Y 的可能取值为 29,28,27,26 ，
则 16 16 8 1 229029 28 27 2627 81 81 9 81E Y
2 若 3X ，则甲10轮后的总积分为 29 分，乙即便第10轮和第11轮都得3 分，
则11轮过后的总积分是 28 分， 29 28 ，
所以甲如果第10轮积 3 分，则可提前一轮结束比赛，其概率为 163 27P X .
58．（2021·全国高三专题练习）某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产
品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶 1A ， 2A ， 3A 中的一个，每个乙系列盲盒可以开出
玩偶 1B ， 2B 中的一个．
（1）记事件 nE ：一次性购买 n 个甲系列盲盒后集齐 1A ， 2A ， 3A 玩偶；事件 nF ：一次性购买 n 个乙系列盲
盒后集齐 1B ， 2B 玩偶；求概率 6P E 及 5P F ；
（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其
中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为 1
5
，购买乙系列的
概率为 4
5
；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 1
4
，购买乙系列的概率为 3
4
；前一次
购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 1
2
，购买乙系列的概率为 1
2
；如此往复，记某人第 n 次购
买甲系列的概率为 nQ ．
① nQ ；
②若每天购买盲盒的人数约为 100，且这 100 人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天
应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．
【答案】（1） 6
20
27P E ， 5
15
16P F ；（2）①
11
5
1 2
4 5
n
nQ
；②应准备甲系列盲盒 40 个，乙
系列盲盒 60 个．
【解析】
（1）根据题意，集齐 1A ， 2A ， 3A 玩偶的个数可以分三类情况： 1A ， 2A ， 3A 玩偶中，每个均有出现两次、
1A ， 2A ， 3A 玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次、 1A ， 2A ， 3A 玩偶中，两个出现一
次，另一个出现四次讨论计算，并根据古典概率计算即可；对于 5P F ，先考虑一次性购买 n 个乙系列盲
盒没有集齐 1B ， 2B 玩偶的概率再求解.
（2）①根据题意， 1
1
5Q ，当 2n 时， 1 1
1 112 4n n nQ Q Q ，再根据数列知识计算 nQ 即可；
②由①得购买甲系列的概率近似于 2
5
，故用 表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则 2100, 5B
，再
根据二项分布的期望计算即可.
【详解】
解：（1）由题意基本事件共有： 63 种情况，
其中集齐 1A ， 2A ， 3A 玩偶的个数可以分三类情况，
1A ， 2A ， 3A 玩偶中，每个均有出现两次，共 2 2 2
6 4 2C C C 种；
1A ， 2A ， 3A 玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共 3 2 1 3
6 3 1 3C C C A 种；
1A ， 2A ， 3A 玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共 1 4 2
3 6 2C C A 种；
故
2 2 2 3 2 1 3 4 2
6 4 2 6 3 1 3 6 2
6 6
3 20
3 27
C C C C C C A C AP E .
根据题意，先考虑一次性购买 n 个乙系列盲盒没有集齐 1B ， 2B 玩偶的概率，即 5
1 1
2P ，
所以 5 5
1 1 151 2 16P F .
（2）①由题意可知： 1
1
5Q ，当 2n 时， 1 1
1 112 4n n nQ Q Q ，
∴ 1
2 21
5 4 5n nQ Q
，
所以 2
5nQ
是以 1
5
为首项， 1
4
为公比的等比数列，
∴
11
5
1 2
4 5
n
nQ
，
②因为每天购买盲盒的 100 人都已购买过很多次，
所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作 n 趋向无穷大，
所以购买甲系列的概率近似于 2
5
，假设用 表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则 2100, 5B
，
所以 2100 405E ，即购买甲系列的人数的期望为 40，
所以礼品店应准备甲系列盲盒 40 个，乙系列盲盒 60 个．
59．（2021·全国高三专题练习）某学校共有 1000 名学生参加知识竞赛，其中男生 400 人，为了解该校学生
在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了 100 名学生进行调查，分数分布在 450 950 分之间，根据
调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于 750 分的学生称为“高分选手”．
（1）求 a 的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数落在 550,650 ， 750,850 内的两组学生中抽取 10 人，再从这 10 人
中随机抽取 3 人，记被抽取的 3 名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量 X ，求 X 的分布列及数学
期望；
（3）若样本中属于“高分选手”的女生有 10 人，完成下列 2 2 列联表，并判断是否有97.5％的把握认为该
校学生属于“高分选手”与“性别”有关？
属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计
男生
女生
合计
（参考公式：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，期中 n a b c d ）
2P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1） 0.0035a ，中位数 650，众数 600；（2）分布列见解析；期望为 9
10
；（3）填表见解析；有．
【解析】
（1）由频率分布直方图中频率和为 1 可求得 a ,每组数据用该组区间的中点值乘以频率相加得均值；
（2）由频率分布直方图知从[550 ， 650) 中抽取 7 人，从[750 ，850) 中抽取 3 人，随机变量 X 的所有可
能取值有 0，1，2，3，求出各概率得分布列，然后由期望公式得期望；
（3）样本中男生 40 人，女生 60 人属于“高消费群”的 25 人，其中女生 10 人，由频率分布直方图求出高消
费群人数，可得高消费群中男生人数，从而可填写列联表，并计算出 2K 后可得结论．
【详解】
（1）由题意知 100 0.0015 0.0025 0.0015 0.001 1a ，
解得 0.0035a ，
样本平均数为 500 0.15 600 0.35 700 0.25 800 0.15 900 0.10 670x ，
中位数 650，众数 600．
（2）由题意，从 550,650 中抽取 7 人，从 750,850 中抽取 3 人，
随机变量 x 的所有可能取值有 0，1，2，3．
3
3 7
3
10
0,1,2,3
k kC CP x k kC
，
所以随机变量 X 的分布列为：
P 0 1 2 3
X 35
120
63
120
21
120
1
120
随机变量 X 的数学期望 63 21 1 92 3120 120 120 10E X ．
（3）由题可知，样本中男生 40 人，女姓 60 人，属于“高分选手”的 25 人，其中女姓 10 人；得出以下 2 2
列联表；
属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计
男生 15 25 40
女生 10 50 60
合计 25 75 100
2 2
2 100 10 25 15 50 50 5.556 5.02425 75 40 60 9
n ad bcK a b c d a c b d
，
所以有97.5％的把握认为该校学生属于“高分选手”与性别有关．
60．（2021·山东高三专题练习）为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的
基础．在产业扶贫政策的大力支持下，某玩具厂对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对比升级前和
升级后的效果，其中甲生产线继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式．质检部门随机抽检了
甲、乙两条生产线的各 100 件玩具，在抽取的 200 件玩具中，根据检测结果将它们分为“A”、“B”、“C”三个
等级， ,A B 等级都是合格品，C 等级是次品，统计结果如表所示：
等级 A B C
频数 100 75 25
（表二）
合格品 次品 合计
甲 80
乙 5
合计
在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由厂家自行销毁．
（1）请根据所提供的数据，完成上面的 2 2 列联表（表二），并判断是否有 99.5% 的把握认为产品的合格
率与技术升级有关？
（2）每件玩具的生产成本为 20 元， ,A B 等级产品的出厂单价分别为 m 元、40 元．若甲生产线抽检的玩具
中有 35 件为 A 等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件玩具比技术升级前多盈利
12 元，则 A 等级产品的出产单价为多少元？
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d ．
2
0P K k 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）列联表见解析；有 99.5% 的把握认为产品的合格率与技术升级有关；（2）60 元.
【解析】
（1）由已知数据完成列联表，根据卡方检验公式计算卡方值，结合对照表即可判断产品的合格率与技术升
级的相关程度；
（2）法一：由甲乙生产线的数据确定它们取得不同利润的分布列，根据分布列求各自利润的期望值
( ), ( )E X E Y ，由 ( ) ( ) 12E Y E X 求参数 m 即可；法二：根据甲乙生产线的数据，结合均值的求法求它
们的平均值 21 ,x x ，结合 12 12x x 求参数 m 即可；
【详解】
解：（1）根据所提供的数据，可得 2 2 列联表：
合格品 次品 合计
甲 80 20 100
乙 95 5 100
合计 175 25 200
设 0 :H 产品的合格率与技术升级无关．
由
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，
可得
2
2 200 (80 5 95 20) 72 10.3 7.879175 25 100 100 7K
．
2
0 0.005P K k ，故有99.5% 的把握认为产品的合格率与技术升级有关．
（2）法一：甲生产线抽检的产品中有 35 件 A 等级，45 件 B 等级，20 件C 等级，
对于甲生产线，单件产品利润 X 的取值可能为 20,20, 20m ，
X 的分布列如下：
X 20m 20 20
P 7
20
9
20
1
5
则 7 9 1 7( ) ( 20) 20 20 220 20 5 20E X m m ，
乙生产线抽检的产品中有 65 件 A 等级，30 件 B 等级，5 件C 等级；
对于乙生产线，单位产品利润Y 的取值可能为 20,20, 20m ，
Y 的分布列如下：
Y 20m 20 20
P 13
20
3
10
1
20
则 13 3 1 13( ) ( 20) 20 20 820 10 20 20E Y m m ，
依题意． 13 7 6( ) ( ) 8 2 6 1220 20 20
mE Y E X m m
，
60m ，所以， A 等级产品的出产单价为 60 元．
法二：甲生产线抽检的产品中有 35 件 A 等级，45 件 B 等级，20 件C 等级，
乙生产线抽检的产品中有 65 件 A 等级，30 件 B 等级，5 件C 等级；
因为用样本的频率估计概率
所以对于甲生产线，单件产品的利润 1
35 45 40 100 20 7 2100 20
mx m
对于乙生产线，单件产品的利润 2
65 30 40 100 20 13 8100 20
mx m
依题意． 1 2
13 7 68 2 6 1220 20 20
mx x m m
，
60m ，所以， A 等级产品的出产单价为 60 元．
61．（2021·广东广州市·高三一模）某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投 5 个球，
每一个球可以选择在 A 区投篮也可以选择在 B 区投篮，在 A 区每投进一球得 2 分，投不进球得 0 分；在 B 区
每投进一球得 3 分，投不进球得 0 分，得分高的选手胜出.已知参赛选手甲在 A 区和 B 区每次投篮进球的概
率分别为 2
3
和 1
2
，且各次投篮的结果互不影响.
（1）若甲投篮得分的期望值不低于 7 分，则甲选择在 A 区投篮的球数最多是多少个？
（2）若甲在 A 区投 3 个球且在 B 区投 2 个球，求甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率.
【答案】（1）3；（2） 11
18
【解析】
（1）先求出甲在 A 区和在 B 区投一次得分的期望，设在 A 区投 x 次，计算出总的期望，列出不等式可求；
（2）可得甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的情况有 5 种情况，分别求出概率，相加即可得出.
【详解】
（1）甲在 A 区进球的概率为 2
3
，投进一球得 2 分，则在 A 区投一次得分的期望为 2 1 42 03 3 3
，
同理在 B 区投一次得分的期望为 1 1 33 02 2 2
，
设在 A 区投 x 次，在 B 区投 5 x 次，
则总的期望值 4 3 5 73 2x x ，解得 3x ，
则甲选择在 A 区投篮的球数最多是 3 个；
（2）由题可得甲在 A 区投 3 个球，得分可能是 0，2，4，6，在 B 区投 2 个球，得分可能是 0，3，6，
则甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的情况有：
A 区 2 分 B 区 0 分，概率为
2 2
1
3
2 1 1 1
3 3 2 18C
，
A 区 4 分 B 区 0 分，概率为
2 2
2
3
2 1 1 1
3 3 2 9C
，
A 区 4 分 B 区 3 分，概率为
2
2 1
3 2
2 1 1 1 2
3 3 2 2 9C C
，
A 区 6 分 B 区 0 分，概率为
3 22 1 2
3 2 27
，
A 区 6 分 B 区 3 分，概率为
3
1
2
2 1 1 4
3 2 2 27C
，
则甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率为 1 1 2 2 4 11
18 9 9 27 27 18
.
62．（2021·全国高三专题练习）垃圾分类收集处理是一项利国利民的社会工程和环保工程．搞好垃圾分类收
集处理，可为政府节省开支，为国家节约能源，减少环境污染，是建设资源节约型社会的一个重要内容．为
推进垃圾分类收集处理工作，A 市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育，为了解市民
能否正确进行垃圾分类处理，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了 200 人进
行抽样分析，得到如下列联表（单位：人）：
能正确进行垃圾分类 不能正确进行垃圾分类 总计
55 岁及以下 90 30 120
55 岁以上 50 30 80
总计 140 60 200
（1）根据以上数据，判断是否有 90%的把握认为 A 市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关？
（2）将频率视为概率，现从 A 市 55 岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取 1 人，共抽取 3 次．记
被抽取的 3 人中“不能正确进行垃圾分类”的人数为 X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量 X 的
分布列和均值 E X ．
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d ．
2
0P K k 0.15 0.10 0.05 0.025
0k 2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】（1）有 90%的把握认为 A 市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关；（2）答案见解析.
【解析】
（1）根据列联表计算 2K ，再根据临界值参考数据比较大小，即得结论；（2）由条件可知 13, 4X B
，根
据二项分布计算分布列和数学期望.
【详解】
解：（1）由列联表可知 2
2 200 90 30 50 30 3.571140 60 80 120K
，
因为 3.571 2.706 ，
所以有 90%的把握认为 A 市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关．
（2）由题意可知，从该市 55 岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取 1 人，
不能正确进行垃圾分类的频率为 1
4
，
所以 13, 4X B
， X 的所有可能取值为 0，1，2，3，
3
0
3
3 270 4 64P X C
，
2
1
3
1 3 271 4 4 64P X C
，
2
2
3
1 3 92 4 4 64P X C
，
3
3
3
1 13 4 64P X C
，
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 27
64
27
64
9
64
1
64
所以 1 33 4 4E X ．
63．（2021·湖北荆门市·高三月考）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示
精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记 2 分，失败方记
0 分，没有平局，谁先获得 10 分就获胜，比赛结束.假设每局比赛小明获胜的概率都是 2
3 .
（1）求比赛结束时恰好打了 7 局的概率；
（2）若现在是小明 6：2 的比分领先，记 X 表示结束比赛还需打的局数，求 X 的分布列及期望.
【答案】（1） 20
81
；（2）分布列见解析， 236
81E X .
【解析】
（1）利用事件的独立性，分两种情况，恰 好打了 7 局小明获胜和恰好打了 7 局小亮获胜，再概率相加即
可.
（2） X 的可能取值为 2，3，4，5，利用二项分布，分别求出其相应的概率，列出分布列即可.
【详解】
（1）恰 好打了 7 局小明获胜的概率是
5 2 5
4
1 6 7
2 1 15 2C 3 3 3P
，
恰好打了 7 局小亮获胜的概率为
2 5 2
4
2 6 7
2 1 15 2
3 3 3P C
，
∴比赛结束时恰好打了 7 局的概率为
5 2
1 2 7
15 2 15 2 20
3 81P P P .
（2） X 的可能取值为 2，3，4，5，
22 42 3 9P X
，
2 3
1
2 3
2 1 2 83 C 3 3 3 27P X
，
2 2 4
1 4
3 4 4
2 1 1 13 134 C C3 3 3 3 81P X
，
2 3 4
1 3
4 4 5
2 1 2 1 24 85 C C3 3 3 3 3 81P X
或
3
3
4 4
2 1 8 85 C 3 3 3 81P X
.
∴ X 的分布列如下：
X 2 3 4 5
P 4
9
8
27
13
81
8
81
4 8 13 8 2362 3 4 59 27 81 81 81E X .
64．（2021·全国高三专题练习）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投 3 次，先在 M 处投一
次三分球，投进得 3 分，未投进不得分，以后均在 N 处投两分球，每投进一次得 2 分，未投进不得分.测试
者累计得分高于3 分即通过测试，并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人
每轮在 M 处和 N 处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表：
若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
（1）求甲同学通过测试的概率；
（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.
【答案】（1） 0.3；（2） 1
8 .
【解析】
（1）记甲同学累计得分为 X ，计算出甲同学两分球和三分球投篮命中的概率，进而可计算得出 4P X ，
即为所求；
（2）设“甲得分比乙得分高”为事件 A ，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件 B ，计算出 P AB 、 P B ，
利用条件概率公式可求得 P A B ，即为所求.
【详解】
（1）甲同学两分球投篮命中的概率为
5 4 3 6 7
10 10 10 10 10 0.55
，
甲同学三分球投篮命中的概率为
1 1 2 1010 10 10 10 0.15
，
设甲同学累计得分为 X ，
则 4 4 5 0.9 0.5 0.5 0.1 0.5 0.1 0.5 0.5 0.3P X P X P X ，
所以，甲同学通过测试的概率为 0.3；
（2）乙同学两分球投篮命中率为
2 4 3 5 6
10 10 10 10 10 0.45
，
乙同学三分球投篮命中率为
1 2 3 1 3
10 10 10 10 10 0.25
.
设乙同学累计得分为Y ，则 4 0.8 0.4 0.4 0.128P Y ，
5 0.2 0.4 0.2 0.6 0.4 0.128P Y ，
设“甲得分比乙得分高”为事件 A ，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件 B ，
则 5 4 0.075 0.128 0.0096P AB P X P Y ，
4 5 4 5 0.0768P B P X P X P Y P Y ，
由条件概率公式可得
0.0096 1
0.0768 8
P ABP A B P B
.
65．（2021·山东菏泽市·高三一模）随着生活质量的提升，家庭轿车保有量逐年递增.方便之余却加剧了交通
拥堵和环保问题.绿色出行引领时尚，共享单车进驻城市黄泽市有统计数据显示.2020 年该市共享单车用户年
龄等级分布如图 1 所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图 2 所示.若将共享单车用户按照年齡分
为“年轻人”( 20 岁 ~ 391岁)和“非年轻人”( 19 岁及以下或者 40 岁及以上)两类，将一周内使用的次数为 6次
或6次以上的经常使用共享单车的称为“单车族”.使用次数为5 次或不足 5 次的称为“非单车族”.已知在“单车
族”中有 5
6
是“年轻人”.
（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为 400
的样本，请你根据图表中的数据，补全下列 2 2 列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用共享单车
与年龄有关?
使用共享单车情况与年龄列联表
年轻人 非年轻人 合计
单车族
非单车族
合计
（2）若将（1）中的频率视为概率，从该市市民中随机任取 3 人，设其中既是“单车族”又是“非年轻人”的人
数为随机变量 ,X 求 X 的分布列与期望.
参考数据:独立性检验界值表
2
0( )P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
其中，
2
2
, n ad bcn a b c d K a b c d a c b d
(注:保留三位小数).
【答案】（1）表格见解析，有；（2）分布列见解析，0.3.
【解析】
（1）补全的列联表，利用公式求得 2 4.167 3.841K ，即可得到结论；
（2）由（1）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量 X 取
每个数值的概率，列出分布列，求解数学期望.
【详解】
（1）补全的列联表如下:
年轻人 非年轻人 合计
单车族 200 40 240
非单车族 120 40 160
合计 320 80 400
2
2 400 200 40 120 40 4.167 3.841240 160 320 80K
，
（ 2K 要求保留三位小数，否则扣一分）
即有95%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.
（2）由（1）的列联表可知，
既是“单车族”又是“非年轻人”占样本总数的频率为 40 100% 10%400
，
即在抽取的用户中既是“单车族”又是“非年轻人”的概率为 0.1,
随机变量 X 可取 0,1,2,3
3
300 1 0. 1 0.729,P X C
21 1
31 0.1 1 0.1 0.243P X C
12
32 0.12 1 0.1 0.027,P X C
3 3
33 0.13 0.001,P X C
则 ~ 3,0.1 ,X B
X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.729 0.243 0.027 0.001
X 的数学期望 3 0.1 0.3E X .
66．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）习近平总书记曾提出，“没有全民健康，就没有全面小康”.为响应总书记
的号召，某社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动.运动分为徒手运动和器械运动两大类.该社区对
参与活动的1200人进行了调查，其中男性 650 人，女性550 人，所得统计数据如下表所示:(单位:人)
性别 器械类 徒手类 合计
男性 590
女性 240
合计 900
（1）请将题中表格补充完整，并判断能否有 99%把握认为“是否选择器械类与性别有关”?
（2）为了检验活动效果，该社区组织了一次竞赛活动.竞赛包括三个项目，一个是器械类，两个是徒手类，
规定参与者必需三个项日都参加.据以往经验，参赛者通过器械类竞赛的概率是 4
5
，通过徒手类竞赛的概率
都是 3
4
，且各项目是否通过相互独立.用 表示某居民在这次竞赛中通过的项目个数，求随机变量 的分布
列和数学期望.
(参考数据: 21230 1512900,65 55 9 32175,1512900 32175 47 )
附:
2
2 n ad bcX a b c d a c b d
2( )P X k 0.050 0.025 0.010 0.005
k 3.841 5.024 7.879 6.635
【答案】（1）表格见解析，有；（2）答案见解析， 23
10E .
【解析】
（1）根据男性 650 人，女性550 人和表中已有的数据完成表格即可；利用
2
2 n ad bcX a b c d a c b d
求得 2X 的值，再与临界值标对照下结论.
（2）易知随机变量 的所有可能取值有 0,1,2,3，再分别求得相应的概率，列出分布列，根据分布列再去
期望.
【详解】
（1）根据器械类总人数900人，其中男性 590人，可得女性为310人，
根据总人数1200人，得到徒手类总人数300 人，其中女性 240 人，可得男性 60 人.
完成表格如下:
性别 器械类 徒手类 合计
男性 590 60 650
女性 310 240 550
合计 900 300 1200
所以 2 2
2 1200 590 240 60 310 12 1230 4 1512900 188 6.635900 300 650 550 3 9 65 55 32175X
，
所以，有99% 把握认为“是否选择物理类与性别有关”.
（2）随机变量 的所有可能取值有 0,1,2,3.
因为
21 1 10 5 4 80P
2
1
2
4 1 1 1 3 11 5 4 5 4 4 8P C
2
1
2
4 1 3 1 3 332 5 4 4 5 4 80P C
24 3 93 5 4 20P
所以 的分布列为
0 1 2 3
P 1
80
1
8
33
80
9
20
所以数学期望 1 1 33 9 230 1 2 380 8 80 20 10E .
67．（2021·全国高三专题练习）某市会展公司计划在未来一周组织 5 天广场会展.若会展期间有风雨天气，
则暂停该天会展.根据该市气象台预报得知，未来一周从周一到周五的 5 天时间内出现风雨天气情况的概率
是：前 3 天均为 1
2
，后 2 天均为 4
5 (假设每一天出现风雨天气与否是相互独立的).
（1）求未来一周从周一到周五 5 天中至少有一天暂停会展的概率；
（2）求这次会展活动展出的平均天数.(结果精确到 0.1)
【答案】（1） 199
200
；（2）平均天数是 1.9 天.
【解析】
(1)先求出未来一周 5 天都举行会展的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一天暂停会展的
概率；
(2)由题意 X 的取值是 0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出会展的天数 X 的分布列，再求
期望即可.
【详解】
（1）记“未来一周从周一到周五 5 天中至少有一天暂停会展”为事件 A ，则事件 A 表示未来一周 5 天展出会
展，于是
3 21 4 11 12 5 200P A
，
1 1991 1 200 200P A P A ，
所以，未来一周从周一到周五 5 天中至少有一天暂停会展的概率是 199
200 .
（2）设随机变量 x 表示会展展出的天数，则 0x ，1，2，3，4，5
于是，
3 21 4 20 2 5 25P x
，
3 2 3
1 2 3 1
3 2 3 2
1 4 1 4 1 7( 1) 2 5 2 5 5 25P x C C C C
，
3 2 3 3 2
2 2 1 1 3 2
3 2 3 2 3 2
1 4 1 4 1 1 1 732 2 5 2 5 5 2 5 200P x C C C C C C
，
3 2 3 3 2
3 2 2 1 1 2
3 2 3 2 3 2
1 4 1 4 1 1 1 433 2 5 2 5 5 2 5 200P x C C C C C C
，
3 3 2
3 1 2 2
3 2 3 2
1 4 1 1 1 114 2 5 5 2 5 200P x C C C C
，
由（1）知， 15 200P x P A ，
所以
5
0
7 73 43 11 11 2 3 4 5 1.925 200 200 200 200i
E x iP x i
，
即这次会展活动展出的平均天数是 1.9 天.
68．（2021·全国高三专题练习）党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感
染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，
疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 0 1p p .现有 4 例疑似病例，分别对其取样､检测，既可以逐个化验，
也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则
需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有
以下三种方案：方案一：4 个样本逐个化验；方案二：4 个样本混合在一起化验；方案三：4 个样本均分为
两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.
（1）若 1
3p ，按方案一，求 4 例疑似病例中恰有 2 例呈阳性的概率；
（2）若 1
10p ，现将该 4 例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优”，并说明理由.
【答案】（1） 8
27
；（2）方案二最优，理由见解析.
【解析】
（1）由题意可知， 1~ 4, 3X B
，再根据二项分布的概率公式即可求出；
（2）分别计算方案二，方案三需要化验的期望数，比较即可得出.
【详解】
1 用 X 表示 4 例疑似病例中化验呈阳性的人数，则随机变量 1~ 4, 3X B
由题意可知：
2
2
2
4
1 1 82 13 3 27P x C
.
2 方案一：若逐个检验，则检验次数为 4 .
方案二：混合一起检验，记检验次数为 ,X 则 1,5X .
41 81 81 65611 1 10 10000 10000P X
34395 1 1 10000P X P X
6561 3439 237561 510000 10000 10000E X
方案三：每组的两个样本混合在一起化验，若结果呈阴性，则检测次数为1，
其概率为
2 81
10
1
1001
,
若结果呈阳性，则检测次数为3, 其概率为 81 191 100 100
设方案三检测次数为随机变量 ,Y 则 2,4,6Y
81 81 65612 10000 1000
81 81
10 0100 0P Y
19 2 81 19 30784 2100 10000 10
81
100 000P Y
19 19 3616 100 100 10000P Y
则 81 81 2 81 19 19 19 276002 410000 10000 10000 10000E Y
由 4E X E Y ，
知方案二最优.
69．（2021·全国高三专题练习）某电器企业统计了近10年的年利润额 y（千万元）与投入的年广告费用 x（十
万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令 lni iu x ， lni iv y ，得到相关数据如表所示：
10
1
i i
i
u v
10
1
i
i
u
10
1
i
i
v
10
2
1
i
i
u
30.5 15 15 46.5
（1）从① y bx a ；② 0, 0ky m x m k ；③ 2y cx dx e 三个函数中选择一个作为年广告费
用 x 和年利润额 y 的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；
（2）根据（1）中选择的回归类型，求出 y 与 x 的回归方程；
（3）预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）
参考数据：10 3.6788e
， 33.6788 49.787 .
参考公式：回归方程 ˆy a bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
1
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b
t t
，
a y bt $ $ .
【答案】（1）选择回归类型 ky m x 更好；（2） 1
3y e x ；（3）下一年应至少投入 498 万元广告费用．
【解析】
（1）根据散点图的形状可选择合适的函数模型；
（2）作变换 lnv y ， lnu x ，将表格中数据代入最小二乘法公式，求出 k 、ln m 的值，进而可得出 y 关
于 x 的回归方程；
（3）令 1
3 10y e x ，结合参考数据解出 x 的范围，由此可得出结论.
【详解】
解：（1）由散点图知，年广告费用 x 和年利润额 y 的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，且 y 与 x 呈
正相关.
所以选择回归类型 ky m x 更好；
（2）对 ky m x 两边取自然对数，得 ln ln lny m k x ，
lnv y ， lnu x ，则 lnv m ku ，
由表中数据得，
10
1
10 22
1
10 30.5 10 1.5 1.5 1
46.5 10 1.5 1.5 310
i i
i
i
i
u v uv
k
u u
，
所以 1ˆln 1.5 1.5 13m v ku ，所以 m e ，
所以年广告费用 x 和年利润额 y 的回归方程为 1
3y e x ；
（3）由（2），知 1
3y e x ，令 1
3 10y e x ，得
1
3 10x e
，得 1
3 3.6788x ，
所以 33.6788 49.787x ， 所以 49.8x （十万元）．
故下一年应至少投入 498 万元广告费用．
70．（2021·全国高三专题练习）在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的
100 人的得分统计结果如下表所示：
得分 30,40 40,50 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100
频数 2 13 21 25 24 11 4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ,196N ， 近似为这 100 人得分的平均值
(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表).
①求 的值；
②若 2 5 3P a P a ，求 a 的值；
（2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额(单位：元) 20 50
概率 3
4
1
4
现有市民甲参加此次问卷调查，记 X (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X 的分布列与数学
期望.
【答案】（1）① 60.5 ；② 41a ；（2）分布列答案见解析，数学期望为 41.25 元.
【解析】
（1）根据题意直接计算平均值 即可，再结合正态分布的对称性得到 2 5 3 60.5
2
a a ，即得 a
值；
（2）先根据正态分布知获赠 1 次和 2 次随机话费的概率均为 1
2 ,再结合获得随机话费的金额和概率情况写
分布列，并计算期望即可.
【详解】
解：（1）①由题意得： 30 2 40 13 50 21 60 25 70 24 80 11 90 4 60.5100
，
60.5 ，
② 2 5 3P a P a ，
由正态分布曲线的对称性得， 2 5 3 60.5
2
a a ，
解得 41a ；
（2）由题意得， 1
2P Z P Z ，即获赠 1 次和 2 次随机话费的概率均为 1
2 ,
故获赠话费的 X 的所有可能取值为 20，40，50，70，100
1 3 320 2 4 8P X ，
1 3 3 940 2 4 4 32P X ，
1 1 150 2 4 8P X ，
1 1 3 1 3 1 6 370 2 4 4 2 4 4 32 16P X ，
1 1 1 1100 2 4 4 32F X .
X 的分布列为：
X 20 40 50 70 100
P 3
8
9
32
1
8
3
16
1
32
3 9 1 3 120 40 50 70 1008 32 8 16 32E X 330 41.258
元.
所以 X 的数学期望为 41.25 元.
71．（2021·全国高三专题练习）某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市
民均有且只有一次参赛机会，满分为 100 分，得分大于等于 80 分的为优秀.竞赛结束后，随机抽取了参赛中
100 人的得分为样本，统计得到样本平均数为 71，方差为 81.假设该市有 10 万人参加了该竞赛活动，得分 Z
服从正态分布 71,81N .
（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人?
（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽
奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一
个两位数（10，11， ，99），若产生的两位数的数字相同，则可奖励 40 元电话费，否则奖励 10 元电话费.
假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元?
参考数据：若 2,Z N ，则 ( ) 0.68P Z .
【答案】（1）1.6（万人）；（2）150.8 万元.
【解析】
（1）由 ~ 71,81Z N 得标准差 9s ，所以优秀者得分 Z m s ，由 0.68( )P m s Z m s 及正
态分布的对称性可得 ( )P Z m s 答案；
（2）设抽奖一次获得的话费为 X 元可得 X 的取值及概率，计算出抽奖一次获得电话费的期望值，再算出抽
奖总次数可得答案.
【详解】
（1）因得分 ~ 71,81Z N ，所以标准差 9s ，所以优秀者得分 Z m s ，
由 0.68( )P m s Z m s 得， .( ) 0 16P Z m s ，
因此，估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为10 0.16 1.6 （万人）.
（2）设抽奖一次获得的话费为 X 元，
则 9 1 9( 40) , ( 10)90 10 10P X P X ，
所以抽奖一次获得电话费的期望值为 1 9( ) 40 10 1310 10E X ，
又由于 10 万人均参加抽奖，且优秀者参加两次，
所以抽奖总次数为10 10 0.16 11.6 万次，
因此，估计这次活动所需电话费为11.6 13 150.8 万元.
72．（2021·全国高三专题练习）射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击，以命中精
确度计算成绩的一项体育运动.射击运动不仅能锻炼身体，而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质，有
益于身心健康.为了度过愉快的假期，感受体育运动的美好，法外狂徒张三来到私人靶场体验射击运动.
（1）已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有 k k N 发子弹，假设张三每次打靶的命中率均为
0 1p p ，靶场主规定：一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击.记标靶上的子弹
数量为随机变量 X ，求 X 的分布列和数学期望.
（2）张三在休息之余用手机逛 B 站刷到了著名电视剧《津门飞鹰》中的经典桥段：中国队长燕双鹰和三合
会何五姑玩起了俄罗斯轮盘.这让张三不由得想起了半人半鬼，神枪第一的那句家喻户晓的神话“我赌你的枪
里没有子弹”.由此，在接下来的射击体验中，张三利用自己的人脉关系想办法找人更换了一把型号为 M1917，
弹容为 6 发的左轮手枪，弹巢中有 m 发实弹，其余均为空包弹.现规定：每次射击后，都需要在下一次射击
之前填充一发空包弹.假设每次射击相互独立且均随机.在进行 n n N 次射击后，记弹巢中空包弹的发数
nX .
（ⅰ）当 n N 时，探究数学期望 nE X 和 1nE X 之间的关系；
（ⅱ）若无论 m 取何值，当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹（以弹巢中实弹的发数的
数学期望为决策依据，当弹巢中实弹的发数的数学期望 1 时可近似认为枪中没有实弹），求该种情况下最
小的射击次数 0n .（参考数据： lg 2 0.301 、 lg3 0.477 ）
【答案】（1）分布列见详解；数学期望为
1
1
kp p
p
；（2）（ⅰ） 1
5 16 nn E XE X n N ；（ii）10.
【解析】
（1）根据题中条件，得到 X 的所有可能取值，分别求出对应的概率，即可得出分布列，再由离散型随机变
量的期望公式，结合错位相减法，即可求出期望；
（2）（ⅰ）讨论第 n 次射出空包弹或第 n 次射出实弹，分别求出对应的概率，以及射击后对应的空包弹数量，
即可得出 nE X 和 1nE X 之间的关系；
（ⅱ）根据题中条件，先得到 0 6E X m ，由（ⅰ）的结果，通过构造法，结合等比数列的通项公式，
求出 5
66n
n
E mX
n N ，进而得到弹巢中实弹的发数的期望，结合题中条件，列出不等式
5 16
n
m
，进而可求出结果.
【详解】
（1）由题意， X 的所有可能取值为： 0 ，1， 2 ，…， 1k ， k ，
因为张三每次打靶的命中率均为 0 1p p ，
则 1 0,1,2,..., 1mP X m p p m k ， kP X k p ，
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 ... 1k k
P 1 p (1 )p p 2 (1 )p p ... 1(1 )kp p kp
所以 X 的数学期望为 2 3 11 2 1 3 1 ... 1 1k kE X p p p p p p k p p kp ，
令 2 3 12 3 ... 1 kM p p p k p ①，
则 2 3 42 3 ... 1 kpM p p p k p ②，
所以① ②可得，
1
2 3 1 1
1 ... 1 11
k
k k kp p
p M p p p p k p k pp
，
则
1
1 11 1
k k
k k kp p p pE X M p kp k p kpp p
；
（2）（ⅰ）第 n 次射击后，可能包含两种情况：第 n 次射出空包弹或第 n 次射出实弹；
因为第 n 次射击前，剩余空包弹的期望为 1nE X ，
若第 n 次射出空包弹，则此时对应的概率为 1
6
nE X ，因为射击后要填充一发空包弹，所以此时空包弹的
数量为 1 11 1n nE X E X ；
若第 n 次射出实弹，则此时对应的概率为 11 6
nE X ，所以此时空包弹的数量为 1 1nE X ；
综上， 1 1
1 1 1
51 1 16 6 6
n n
n n n n
E X E XE X E X E XE X
；
（ⅱ）因为当 0n 时，弹夹中有 6 m 发空包弹，则 0 6E X m ；
由（i）可知： 1
5 16 nn E XE X *n N ，则 1
56 66n nE X XE n N ，所以
6nE X n N 是首项为 m ，公比为 5
6
的等比数列，
则 5
66n
n
E X m
，即 5
66n
n
E mX
n N ，
因此弹巢中实弹的发数的期望为 5
66
n
nX mE
，
为使弹巢中实弹的发数的数学期望小于1，只需 5 16
n
m
，则 6
5
n
m
，所以 6
5
log m n ，
为使 6
5
log m n 恒成立，只需 6
5 max
log m n
，
而
6 6
5 5max
lg6 lg6 lg 2 lg3 lg 2 lg3log log 6 6 lg6 lg5 lg 2 lg3 l lg 2 2lg 2 lg3 llg 5
m
0.301 0.477 9.8480.602 0.477 1
，
又 n N ，所以最小的射击次数 0 10n .
73．（2021·全国高三专题练习）某市场研究人员为了了解共享单车运营公司 M 的经营状况，对该公司近六
个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图.
（1）月市场占有率 y 与月份代码 x 符合线性回归模型拟合的关系，求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 M
公司 2021 年 3 月份(即 10x 时)的市场占有率；
（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为 1000 元/辆和 1200 元/辆的 ,A B 两款
车型可供选择，按规定每辆单车最多使用 4 年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相
同.考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各 100 辆进行科学模拟测试，得到两款单
车使用寿命频数表如下：
报废年限 1 年 2 年 3 年 4 年
A 型车(辆) 20 35 35 10
B 型车(辆) 10 30 40 20
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入 500 元.不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用
寿命都是整年，且以每辆单车使用寿命的频率作为每辆单车使用寿命的概率.如果你是 M 公司的负责人，以
每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
参考公式及数据：回归直线方程为 ˆˆ ˆy bx a ，其中 1
2
1
( )( )
ˆ
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
， ˆˆa y bx ，
6
1
371i i
i
x y
，
6
2
1
91i
i
x
【答案】（1） ˆ 2 9y x ， 29% ；（2）采购 A 款单车．
【解析】
（1）由题中折线图所给的数据，根据公式求得 ˆ ˆ, , ,x y b a 的值，求得回归直线方程，令 10x ，求得 ˆy 的
值，即可得到结论；
（2）由频率估计概率，分别求得每辆 A 款车和 B 款车可产生的利润期望值，即可得到结论.
【详解】
（1）由折线图所给的数据，可得 1 2 3 4 5 6 3.56x ， 11 13 16 15 20 21 166y ，
所以 2 2 2 2 2 2
2.5 ( 5) ( 1.5) ( 3) ( 0.5) 0 0.5 ( 1) 1.5 4 2.5 5 35ˆ 2( 2.5) ( 1.5) ( 0.5) 0.5 1.5 2.5 17.5b ，
可得 ˆ 16 2 3.5 9a ．
所以月度市场占有率 y 与月份代码 x 之间的线性回归方程为 ˆ 2 9y x ，
当 10x 时，可得 ˆ 2 10 9 29y ．
故 M 公司 2021 年 3 月份(即 10x 时)的市场占有率预计为 29% ．
（2）由频率估计概率，可得每辆 A 款车可使用 1 年、2 年、3 年和 4 年的概率分别为 0.2、0.35、0.35 和 0.1，
所以每辆 A 款车可产生的利润期望值
1 500 1000 0.2 1000 1000 0.35 1500 1000 0.35 2000 1000 0.1 175E （元）．
由频率估计概率，可得每辆 B 款车可使用 1 年、2 年、3 年和 4 年的概率分别为 0.1、0.3、0.4 和 0.2，
所以每辆 B 款车可产生的利润期望值
2 500 1200 0.1 1000 1200 0.3 1500 1200 0.4 2000 1200 0.2 150E （元）．
因为 1 2E E ，所以应该采购 A 款单车．
微信/支付宝扫码支付