第 6 讲 与球有关的问题
考点 1 球体中截面相关问题
例 1.(1)我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．意
思是夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相
等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是夹在两个平行平面间的几何体，被平行于
这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为 k ，则两个几何体的体积比也为 k ．已知
线段 AB 长为 4，直线l 过点 A 且与 AB 垂直，以 B 为圆心，以 1 为半径的圆绕l 旋转一周，
得到环体 M ；以 A ， B 分别为上下底面的圆心，以 1 为上下底面半径的圆柱体 N ；过 AB
且与l 垂直的平面为 ，平面 / / ，且距离为 h ，若平面 截圆柱体 N 所得截面面积为 1S ，
平面 截环体 M 所得截面面积为 2S ，则 1
2
S
S
________，环体 M 体积为_________．
【答案】 1
2
28
【解析】画出示意图，可得 2 2
1 2 1 4 8 1S h h ， 2 2
2S r r 外 内 ，
其中 2
22 4 1 hr 外 ， 2
2 24 1r h 内 ，故 2
2 116 1 2S h S ，即 1
2
1
2
S
S ，
环体 M 体积为 22 2 4 8V 柱 ．
(2)在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC ， AB BC ， 1 PA AB ， 2AC ．三
棱锥 P ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为________；若点 M 是 ABC
的重心，则过点 M 的平面截球O 所得截面的面积的最小值为________．
【答案】 3
2
4π
9
【解析】（1） PA 平面 ABC ， BC 平面 ABC ， PA BC ，又 AB BC ，且
PA AB A ， BC 平面 PAB ，PB 平面 PAB ， BC PB ，所以 PC 是两个直角
三角形 PAC 和 PBC 的斜边，取 PC 的中点O ，点O 到四点 , , ,P A B C 的距离相等，即点O
是三棱锥 P ABC 的外接球的球心， 221 2 3PC ， 3
2R
（2）当点 M 是截面圆的圆心时，此时圆心到截面的距离最大，那么截面圆的半径最小，即
此时的面积最小，点 N 是 AC 的中点，M 是 ABC 的重心， 1 1 2
3 6 6MN BN AC ，
1 1
2 2ON PA ，所以 2 2 11
6OM ON MN ，截面圆的半径 22 2
3r R OM ，
所以 2 4
9minS r . 故答案为： 3
2
； 4
9
.
【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）
当 三 棱 锥 的 三 条 侧 棱 两 两 垂 直 时 ， 并 且 侧 棱 长 为 , ,a b c ， 那 么 外 接 球 的 直 径
2 2 22R a b c ，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做
底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立 R 的方程．（3）而本题类型，需要过两个平
面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心．
【跟踪演练】1.
(1)某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心．．工艺品（如图所示）．该工艺品可
以看成一是个球体被一个棱长为8 的正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中
心重合）．若其中一个截面圆的周长为 6 ，则该球的半径为___；现给出定义：球面被平面
所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球
冠的高．如果球面的半径是 R ，球冠的高是 h ，那么球冠的表面积计算公式是 2S Rh ．由
此可知，该实心．．工艺品的表面积是________．
【答案】5 94
【解析】设截面圆半径为 r ，球的半径为 R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半
即此距离为 4 ，根据截面圆的周长可得 6 2 r ，得 3r ，故 2 2 23 4 25R ，得 5R ，
所 以 球 的 表 面 积 100S ． 如 图 ， 5OA OB R ， 且 1 4OO ， 则 球 冠 的 高
1 1h R OO ，得所截的一个球冠表面积 2 2 5 1 10S Rh ，且截面圆面积为
23 9 ，所以工艺品的表面积 24 6 9 100 6 94S R S ．
故答案为：5；94 ．
(2)如图，在三棱锥 A BCD 中， BCD△ 是边长为1的等边三角形，
2 3
3AB AC AD ，点 , ,M N P 分别在棱 , ,AB AC AD 上，平面 / /MNP 平面 BCD，
若 1
2
AM
MB
，则三棱锥 A BCD 的外接球被平面 MNP 所截的截面面积为___________.
【答案】
3
【解析】如图所示，
设外接球球心为O ，球半径为 R BCD△ 外心为 1O ，直线 1AO 与平面 MNP 的交点为 2O .
在 BCD△ 中， 1
3 ,3BO 所以 2 2
1 1 1AO AB BO ，
在 1BOO 中， 2 2 2
1 1OB OO BO ，则
2
2 2 3(1 ) 3R R
， 2
3R ，所以 1
1
3OO .
又因为 2
1
1
3
AO AM
AO AB
,得 2
1
3OO ,
所以O 到平面 MNP 的距离等于O 到平面 BCD的距离，
则所求截面的面积等于 BCD△ 外接圆的面积
3
. 故答案为：
3
.
考点 2 球体的内接问题
例 2.(1)《九章算术》是我国古代的一部数学书记，通过“牟合方盖”解决了球体体积计算
的难题，其中一段记载：“今有方锥，下方八尺，高八尺，问：积几何？术曰：下方自乘，以
高乘之，三而一，若以立圆外接，问积几何？”意思是“假设有一个正四棱锥（底面是正方
形，并且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥），下底边长是 8 尺，高 8 尺，则它的体积
是多少？方法是下底边长自乘，以高乘之，再除以 3．若这个正四棱锥的所有顶点都在球O 的
球面上，则球O 的体积是__________立方尺．”
【答案】 288
【解析】设这个正四棱锥为 P ABCD ，如图：
则 8AB ， 1 8PO ，设球O 的半径为 R ，则OC OP R ，
在直角三角形 1OO C 中， 1 4 2OC ，所以 2 2 2
1 1OO O C OC ，
所以 2 2 2(8 ) (4 2)R R ，解得 6R ，
所以球O 的体积是 3 34 4 6 2883 3R 立方尺．故答案为： 288 ．
【点睛】本题考查了正四棱锥与球的组合体，考查了球的体积公式．
(2)在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 2AB CC ， 1BC ，点 M 在正方形 1 1CDD C 内，
1C M 平面 1ACM ，则三棱锥 1 1M ACC 的外接球表面积为（ ）
A． 11 π2
B． 7π
C．11π D．14π
【答案】C
【解析】长方体 1AC 中， 1 1A D 平面 1 1CDD C ， 1C M 平面 1 1CDD C ，所以 1 1 1C M A D ，
又 1C M 平面 1ACM ， 1AC 平面 1ACM ，所以 1 1C M AC ，
因为 1 1 1 1AC A D A ，所以 1C M 平面 1 1ACD ，而 1CD 平面 1 1ACD ，所以 1 1C M CD ，
1 1CDD C 是正方形，所以 M 是 1CD 与 1C D 交点，即为 1CD 的中点，也是 1C D 的中点．
1C MC△ 是直角三角形，设 E 是 1CC 中点， F 是 1BB 中点，则由 / /EF BC 可得 EF 平面
1MCC （长方体中棱与相交面垂直）， E 是 1C MC△ 的外心，三棱锥 1 1A MCC 的外接球球
心O 在直线 EF 上（线段 EF 或 EF 的延长线上）．
设OE h ，则
2 2
2 2 22 2( 2) (1 )2 2h h
，解得 3
2h ，
所以外接球半径为
223 2 11
2 2 2r
，表面积为 2 114 4 114S r ．
故选：C．
【跟踪演练】2.
(1)世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复
兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔
为正四棱锥，且该正四棱锥的高为 21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的．若
玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为____________米．
【答案】 297
14
【解析】如下图所示：
在正四棱锥 P ABCD 中，设 M 为底面正方形 ABCD 的对角线的交点，则 PM 底面
ABCD ，由题意可得 21PM ， 30AB ， 2 30 2BD AB ，则 15 2BM ，
设该球的半径为 R ，设球心为O ，则O PM ，
由勾股定理可得 2 2 2OB OM BM ，即 222 21 15 2R R ，解得 297
14R ．
故答案为 297
14
．
【点睛】本题考查了求空间多面体的外接球半径，常用的方法有：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方
体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，
找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可．
(2)已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的所有顶点都在球 O 的表面上，若球O 的体积为36 ，则
正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的体积为（ ）
A． 2 3 B．3 3
C．12 3 D． 24 3
【答案】D
【解析】 球O 的体积为 36 ，即 34 363 R ，解得 3R ，
设正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 a ，由题意知 2 2 22R a a a ，即 6 3a ，
解得 2 3a ，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的体积 3
2 3 24 3V ．故选：D．
考点 3 球体的外切问题
例 3.(1)已知圆维的 底面半径为 1 ，母线长为 3 ，则该圆锥 内半径最大的球的体积
为 ．
【答案】 2
3
【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中 2, 3BC AB AC ，且点 M 为 BC 边上的中点，设内切圆的圆心为 O ，
由于 2 23 1 2 2AM ，故 1 2 2 2 2 22S △ABC ，设内切圆半径为 r ，则：
ABC AOB BOC AOCS S S S △ △ △ △
1 1 1
2 2 2AB r BC r AC r
1 3 3 2 2 22 r ，
解得： 2
2r = ，其体积： 34 2
3 3V r ．故答案为： 2
3
．
(2)已知在圆柱 1 2O O 内有一个球 O，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切．过直线 1 2O O 的
平面截圆柱得到四边形 ABCD ，其面积为 8．若 P 为圆柱底面圆弧 CD 的中点，则平面 PAB
与球 O 的交线长为___________．
【答案】 4 10
5
【解析】设球的半径为 r，则 2AB BC r ，而 24 8ABCDS AB BC r ，∴ 2r ．
作 2OH O P⊥ 于 H，∵ 1 2O O ⊥底面，∴ 1 2O O ⊥AB，∵P 为圆柱底面圆弧 CD 的中点，∴AP=BP，
又 2O 为 AB 中点，∴ 2O P ⊥AB，又 1 2 2 2O O PO O ，∴ 1 2AB O O P⊥ ，∴ AB OH⊥ ，
又 2OH O P⊥ 且 2 2AB PO O ，∴ OH ABP⊥ ，∵ 1 2 2 2 2OO r ， 1 2O P ，
1 2 1O O O P⊥ ，
∴ 2 2
2 1 2 1= = 8 = 10O P OO O P+ +2 ，∴ 1
1 2
2
2 5
5si
10
n O PO O P O P
，
∴ 12 2
5 102 5 5sinO O O OH O P ．
平面 PAB 与球 O 的交线为一个圆，其半径 2 2
2
10 2 102 25 5r r OH ，
圆周长为 2
2 10 4 102 2 5 5l r ．故答案为： 4 10
5
．
【点睛】（1）多面体的外接球（内切球）问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：
①公式法；②多面体几何性质法；③补形法；④寻求轴截面圆半径法；⑤确定球心位置法；
（2）一个平面与球相交，所得的截面为一个圆．
【跟踪演练】3.
(1)阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，
他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就
是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之
二”．他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，
该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π 的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的
体积为（ ）
A． 4π B．16π C．36π D．
64π
3
【答案】C
【解析】设球的半径为 R ，
根据题意圆柱的表面积为 22π 2π 2 54πS R R R ，解得 3R ，
所以该球的体积为 3 34 4π π 3 36π3 3V R ．故选：C
(2)如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为 R 的大球放置在底面半径和高均为
R 的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干
大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最
多可放入（ ）个小球．
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【解析】如图，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，
设球的半径为 R ，实心小球的半径为 r ，
由题意可得 2 2r r R R ，解得 (3 2 2)R r ，
因为小球球心在以 E 为圆心， EF 为半径的圆上，
2
R rEF ，周长为 2πEF ，
所以 2 2πrn EF ，
即
2π2π 2π( ) 2π[(3 2 2) ]2 (2 2 2)π 15.162 2 2 2
R r
EF R r r rn r r r r
，
故该工艺品最多可放入 15 个小球．故选：B
考点 4 与球有关的综合问题
例 3.(1)已知三棱锥 S ABC 的所有棱长都相等，点 M 是线段 SB 上的动点，点 N 是线段
SC 上靠近 S 的三等分点，若 AM MN 的最小值为 2 13 ，则三棱锥 S ABC 外接球的表
面积为（ ）
A． 27 B．81
C． 54 D．108
【答案】C
【解析】如下图所示：将平面 SAB ，平面 SBC 展开至同一平面，连接 AN 交 SB 于点 M ，
故 AM MN 的值最小为 2 13AN ，设三棱锥 S ABC 的棱长为3a ，
则在 SAN△ 中， 120ASN ， 3SA a ， SN a ，
由余弦定理可知
2 2 2 1cos 2 2
SA SN ANASN SA SN
，解得 2a ，
所以三棱锥 S ABC 的棱长为 6，将该四面体置于正方体中，可得正方体的外接球即为四面
体的外接球，如下图所示：
所以正方体的棱长为 6 3 2
2
，所以正方体的外接球半径为 1 3 63 2 32 2
，
故四面体的外接球半径为 3 6
2
，外接球表面积 24 54S R ．故选：C．
【点睛】本题考查了正四面体可以看成是正方体的三组对棱所构成的三棱锥，此时正四面体
的棱长是正方体棱长的 2 倍．
(2)已知三棱锥 B PAC 的侧棱都相等，侧棱的中点分别为 D ，E ，F ，棱 AC 的中点为G ，
PB 平面 ABC ．且 4AB ， 120ABC ．若四面体 DEFG 的每个顶点都在球O 的球
面上，则该球面与三棱锥 B PAC 侧面的交线总长为（ ）
A． 7
3
B． 8
3
C．10
3
D．11
3
【答案】C
【解析】如图所示：
连结 BG ，
∵ 4AB BC BP ， D ， E ， F ，G 分别为各棱的中点， 120ABC ，
∴ 2BD BE BF BG ，
∴点 B 即为球O 的球心，
∵ PB 平面 ABC ，
∴球面与三棱锥 B PAC 侧面的交线总长为 2120 90 90 102360 3
，故选：C．
【点睛】本题考查了与球有关的综合问题，①涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过
球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻
找几何体中元素间的关系；②求与球有关的“切”或者“接”球半径时，往往用到的方法有
构造法或者直接确定球心．③球体中常常用到以下结论：设球的半径为 R ，球的截面圆的半
径为 r ，则球心到截面的距离为 2 2d R r ④求三棱锥的体积要注意如何选取底面和顶点.
因为三棱锥的每一个面都可以作为底面，每一个顶点都可以作为顶点.
【跟踪演练】3.
(1)已知三棱锥 P ABC 的三条侧棱两两垂直，且 , ,PA PB PC 的长分别为 , ,a b c ，又
2( ) 16 2a b c ，侧面 PAB 与底面 ABC 成 45 角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表
面积为（ ）
A．10 B． 40
C． 20 D．18
【答案】A
【解析】 2
1 1 16 2 1 16 2 2 2
6 6 ( ) 6 4 3V abc ab aba b ab
，当且仅当 a b 时取等号，
因为侧面 PAB 与底面 ABC 成 45 角，则 2
2PC a c ， 21 2 2 2
6 2 3V a a ，
2, 2a b c ，所以 2 2 2 24 10R a b c ，故外接球的表面积为10 ．故选：A．
(2)已知三棱锥 P ABC ，
3BAC ， 3BC ， PA 平面 ABC 且 2 3PA ，则此
三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．16
3
B． 4 3
C．16 D． 32
3
【答案】D
【解析】如图，设球心为O ，三角形 ABC 外接圆心为 1O ，
PA 平面 ABC ， 1
1 32OO PA ，设球半径为 R ，圆 1O 的半径为 r ，
则在三角形 ABC 中，由正弦定理可得
32 2sin 3
2
BCr BAC
，即 1r ，
在直角三角形 1AOO 中， 2 2 2
1 1OO AO OA ，即 2 2 23 r R ，解得 2R ，
则外接球的体积为 34 32
3 3R ．故选：D．
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．用到球心的距离为 1 的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为 8
3
，
则球的表面积为（ ）
A．16 B． 32 C．36 D． 48
【答案】C
【解析】设球的半径为 R ，圆锥的底面半径为 r ，因为球心到截面的距离为 1，
所以有： 2 2 1r R ，
则题中圆锥体积 21 81 13 3V R ，解得 3R ，故球的表面积为 24 36R .
故选：C
2.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，三棱锥 1 1A B CD 的表面积为 4 3 ，则正方体外接球的
体积为（ ）
A． 4 3 B． 6
C．32 3 D．8 6
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为 a ，则 1 1 1 1 1 1 2B D AC AB AD B C D C a ，
由于三棱锥 1 1A B CD 的表面积为 4 3 ，所以 1
21 3 34 4 22 42AB CS S a
，
所以 2a ，所以正方体的外接球的半径为 2 2 2
2 2 2 6
2 2
，
所以正方体的外接球的体积为
3
4 6 63 2
故选：B．
3.如图，在四边形 ABCD 中， 2AB BC ， 90ABC ， DA DC .现沿对角线 AC
折起，使得平面 DAC 平面 ABC ，且三棱锥 D ABC 的体积为 4
3
，此时点 A ， B ，C ，
D 在同一个球面上，则该球的体积是（ ）
A． 9
2
B． 8 2
3
C． 27
2
D．12
【答案】A
【解析】∵ 2AB BC ， 90ABC ，∴ ABC△ 的外接圆半径为 1 22 AC .由题意
知 DA DC ，平面 DAC 平面 ABC ，如图，取 AC 的中点 E ，连结 DE ，则 DE 平面
ABC ，球心O 在 DE 上.因为三棱锥 D ABC 的体积为 4
3
，所以
4 1 1 2 23 3 2V DE ，解得 2DE ，∴球心O 到平面 ABC 的距离为 2 R （ R 为
外接球的半径），由勾股定理可得 222 2 2R R ，∴ 3
2R ，故所求球的体积为
34 9π π3 2R ．故选：A.
4.已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，以 A 为球心， 2 2 为半径的球面与平面
1111 DCBA 的交线长为（ ）
A．
2
B． 2
2
C． 2 D．
【答案】D
【解析】由题意知 2 2
1 1 2 2 2 2AB AD .
如图，
在平面 1111 DCBA 内任取一点 P，使 1 2A P ，
则 2 2
1 1 2 2AP AA A P ，
故以 A 为球心， 2 2 为半径的球面与平面 1111 DCBA 的交线是以 1A 为圆心，以 2 为半径的圆
弧 1 1B PD ，故该交线长为 22
.故选：D.
5.四面体 ABCD 中， , , 2AB BC CD BC BC ，且异面直线 AB 与 CD 所成的角为
60 ．若四面体 ABCD 的外接球半径为 5 ，则四面体 ABCD 的体积的最大值为（ ）
A． 2 3 B． 4 3
C． 3
3
D． 3
6
【答案】A
【解析】构建直三棱柱 ABE FCD ，设 ,G H 分别为 ,ABE CDF△ △ 的外心，连接GH ，
取其中点 O ，则O 为直三棱柱 ABE CDF 的外接球的球心，也为四面体 ABCD 的外接球
的球心，因为异面直线 AB 与 CD 所成的角为 60 ，所以 60ABE ．
设三棱柱底面 ABE△ 的外接圆半径为 r ，则 5 1 2r ， 2 sin 60 2 3AE r ，再由
余弦定理， 2 2 2 2 22 cos60 12AE AB BE AB BE AB BE AB BE ，
所以 2 212 2AB BE AB BE AB BE AB BE AB BE ，
即 12AB BE ，当且仅当 2 3AB BE 时，等号成立，
所以 1 1 3sin60 2 33 2 6A BCD A DBE D ABEV V V AB BE DE AB BE ，
故四面体 ABCD 的体积的最大值为 2 3 ．故选：A．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求,全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
6.已知 A ， B ，C 三点均在球O 的表面上， 2AB BC CA ，且球心O 到平面 ABC 的
距离等于球半径的 1
3
，则下列结论正确的是（ ）
A．球 O 的半径为 3
2
B．球O 的表面积为 6π
C．球 O 的内接正方体的棱长为 6 D．球O 的外切正方体的棱长为 6
【答案】BD
【解析】设球O 的半径为 r ， ABC△ 的外接圆圆心为O ，半径为 R ，
可得 2 3
3R ，
因为球心O 到平面 ABC 的距离等于球 O 半径的 1
3
，
所以 2 21 4
9 3r r ，得 2 3
2r ，所以 A 不正确；
所以球O 的表面积 2 34π 4π 6π2S r ，选项 B 正确；
球O 的内接正方体的棱长 a 满足 3 2a r ，显然选项 C 不正确；
球O 的外切正方体的棱长b 满足 2b r ，显然选项 D 正确． 故选：BD
7.已知在棱长为 4 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 为棱 BC 的中点，以点 E 为球心，以 10
为半径的球的球面记为Γ，则下列结论正确的是（ ）
A．Γ与面 1 1ABB A 的交线长为 6
2
B．直线 1BD 被Γ截得的线段长为 2 66
3
C．若点 H 为Γ上的一个动点，则 1HD 的最小值为8 10
D．Γ与截面 1 1BDD B 的交线长为 4 2
3
【答案】ABD
【解析】因为 BE 平面 1 1ABB A ，所以平面 1 1ABB A 截Γ所得小圆的半径 10 4 6r ，
圆心为点 B，所以Γ与面 1 1ABB A 的交线长为 662 2
，故 A 项正确；
点 E 到直线 1BD 的距离为点 C 到直线 1BD 的距离的 1
2
，
设点 C 到直线 1BD 的距离为 h ，由 1 1
1 1
2 2BD h BC CD ，
即 1 14 3 4 4 22 2h ，解得 4 6
3h .
即 E 到直线 1BD 的距离为 4 6 1 2 6
3 2 3
，
所以直线 1BD 被Γ截得的线段长为 8 2 662 10 =3 3
，故 B 项正确；
因为 1 16 16 4 6 10D E ，所以点 1D 在该球外，
所以 1HD 的最小值为 6 10 ，故 C 项错误；
过 E 作 1EO BD 于 1O ，连接 1 1O B ，
则 2BE ， 1 2O E ， 1 2O B ， 1 1 3 2B O ，
连接 ED ，在 BD 上取 2DF ，则 9 1 10EF ，
所以点 F 在该球上，在 1BB 上取 6BG ，
则 1 6 2 2 2GO ， 10GE ，所以点 G 在该球上，
所以以点 E 为球心，以 10 为半径的球面与对角面 1 1BDD B 的交点为 F，G，
又因为 1 1
1
2O B GO ，所以 1 60GO B ， 1 120FO G ，
所以该交线的长为 2 4 22 23 2
，故 D 项正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 15 分．
8.在三棱锥 P ABC 中，侧棱 PA 底面 , 120 , 1ABC BAC AB AC 且 2 ,PA BC
则该三棱锥的外接球的体积为________．
【答案】 32
3
【解析】在 ABC 中，由余弦定理可知
2 2 2 cos 1 1 2 1 1 cos120 3,BC AB AC AB BC BAC
因为 120 , 1BAC AB AC ，所以 ABC 是顶角为钝角的等腰三角形，
设 ABC 的外接圆的直径为 AD ，由正弦定理可知 3 2sin sin120
BCAD BAC
，
因为侧棱 PA 底面 ABC ， 2 2 3PA BC ，所以三棱锥 P ABC 的外接球的直径为
PD ，由勾股定理可知 2 2 2 22 (2 3) 4P D PAAD ，
所以三棱锥 P ABC 的外接球的半径为 1 4 22R ，
所以三棱锥 P ABC 的外接球的体积为 3 34 4 322 .3 3 3V R 故答案为： 32
3
.
9.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各地
风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均
为8cm 的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________ 2cm ，现在需要在粽子内部放入一颗咸
蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比
值为________．
【答案】 64 3 64 3 1
2
【解析】每个侧面三角形的面积均为 23 64 16 3cm4
，底面正方形的面积为 264cm ，
所以四棱锥的表面积为 264 3 64 cm ；球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥五个面
都相切，正四棱锥的高为 2 24 3 4 4 c2 mh ，设球的半径为 r ，
所以四棱锥的体积 31 164 3 64 64 4 2 cm3 3V r
，故 2 2 3 1 cmr ，
3 1
2
r
h
．故答案为 64 3 64 ； 3 1
2
.
10.在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 是 CD 的中点，F 是 1CC 上的动点，则三
棱锥 A DEF 外接球表面积的最小值为________．
【答案】13
【解析】如图 1 所示，设圆柱的底面半径为 r ，母线长为 h ，圆柱的外接球半径为 R ，
取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点O 到圆柱底面圆上每个点的距离都
等于 R ，则O 为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得 2 222 2r h R ．
本题中， AD 平面 DEF ，设 DEF 的外接圆为圆 1O ，可将三棱锥 A DEF 内接于圆
柱 1 2O O ，如图 2 所示：
图 1 图 2 图 3
设 DEF 的 外 接 圆 直 径 为 2r ， AD h ， 该 三 棱 锥 的 外 接 球 直 径 为 2R ， 则
2 2 22 2R r h ．
如图 3 所示：设CF x ，则 0 2x ， tan CEF x ， tan 2
xCDF ，
2
tan tantan tan 1 tan tan 2
CEF CDF xDFE CEF CDF CEF CDF x
1 1 1 2
2 42 2 22x xx x
，
当且仅当 2x 时， tanDFE 取得最大值 2
4
，
由 2 2
sin 2tan cos 4
sin cos 1
sin 0
DFEDFE DFE
DFE DFE
DFE
，可得 1sin 3DFE ， 2 2cos 3DFE ，
所以，sin DFE 的最大值为 1
3
，由正弦定理得 2 3sin
DEr DFE
，即 2r 的最小值为3，
因此， 2 2 2 2 22 2 3 2 13R r h ，所以，三棱锥 A DEF 外接球的表面积为
24 13S R ．故三棱锥 A DEF 外接球的表面积的最小值为13 ．故答案为：13 ．
四、解答题：本题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.三棱锥 A BCD 的顶点都在同一个球面上，满足 BD 过球心O ，且 2 2BD ，则
（1）求三棱锥 A BCD 体积的最大值；
（2）当三棱锥 A BCD 体积最大时，求平面 ABC 截球所得的截面圆的面积．
【答案】（1） 2 2
3
；（2） 4π
3
【解析】依题意可知， BD 是球的直径，所以当OC BD ，OA BD ，
即 2OC OA 时，三棱锥 A BCD 体积取得最大值为
1 1 1 2 22 2 2 23 3 2 3BCDS OA △ ，此时 2BC AC AB ，
即三角形 ABC 是等边三角形，
设其外接圆半径为 r ，由正弦定理得 2 12π 3sin 3
r r ，
所以等边三角形 ABC 的外接圆的面积，
也即平面 ABC 截球所得的截面圆的面积为 2 21 4π4π 4π ( ) 33
r ．
12.已知等边三角形 ABC 的边长为 2 3 ，M ， N 分别为 AB ， AC 的中点，将 AMN△ 沿
MN 折起得到四棱锥 A MNCB ．点 P 为四棱锥 A MNCB 的外接球球面上任意一点，当
四棱锥 A MNCB 的体积最大时，求四棱锥 A MNCB 外接球的半径以及点 P 到平面
MNCB 距离的最大值为______．
【答案】 13
2
， 13 1
2
【解析】如图所示，设 MN 的中点为Q ，
1O ， 2O 分别为等边三角形 AMN 和梯形 MNCB 的外接圆圆心．
在 ABC△ 中， N 为 AC 的中点，所以 BN CN ，
则 BC 为梯形 MNCB 外接圆的直径．连接 1O Q ， 2O Q ．
由题意，当四棱锥 A MNCB 的体积最大时，平面 AMN 平面 MNCB ，
过 1O 作平面 AMN 的垂线，过 2O 作平面 MNCB 的垂线，两条垂线交于点O ，
则点O 即为四棱锥 A MNCB 外接球的球心．
四边形 1 2OO QO 为矩形，则 2 1OO O Q ．
在等边三角形 AMN 中， 3MN ，则 3
2AQ ， 1
1
2O Q ，
即 2
1
2OO ．
又 2 3O B ，所以四棱锥 A MNCB 外接球的半径
2 2 2 2
2 2
1 13( 3)2 2( )R OB OO O B ，
所以点 P 到平面 MNCB 距离的最大值 2 2
13 1
2O P R OO ．
微信/支付宝扫码支付