2021届高考数学复习-五年高考真题复数分类汇编（含解析）

1 2021 届高考数学-真题汇编：复数 一、选择题 1.2020 年高考真题（北京卷）数学试题 在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是(1,2)，则 i z  （ ）． A. 1 2i B. 2 i  C. 1 2i D. 2 i  2.2020 年高考真题（新高考全国卷Ⅰ适用地区：山东）数学试题 2 i 1 2i   （ ） A. 1 B. −1 C. i D. −i 3.2020 年高考真题（浙江卷）数学试题 已知 a∈R，若 a–1+(a–2)i(i 为虚数单位)是实数，则 a=（ ） A. 1 B. –1 C. 2 D. –2 4.2020 年高考真题（全国卷Ⅲ）数学（理）试题 复数 1 1 3i 的虚部是（ ） A. 3 10  B. 1 10  C. 1 10 D. 3 10 5.2019 年高考真题——文科数学（北京卷） 已知复数 z=2+i，则 z z  A. 3 B. 5 C. 3 D. 5 6.2019 年高考真题——理科数学（北京卷） 已知复数 z=2+i，则 z z  A. 3 B. 5 C. 3 D. 5 7.2019 年高考真题——文科数学（全国卷Ⅱ） 设 z=i(2+i)，则 z = A．1+2i B．–1+2i C．1–2i D．–1–2i 8.2019 年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ） 设 z=－3+2i，则在复平面内 z 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9.2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ） (1+i)(2－i)= 2 A．－3－i B．－3+i C．3－i D．3+i 10.2018 年高考真题——文科数学（北京卷） 在复平面内，复数 1 1 i 的共轭复数对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.2018 年高考真题——理科数学（北京卷） 在复平面内，复数 1 1 i 的共轭复数对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.2018 年高考真题——文科数学（全国卷Ⅲ） (1+i)(2－i)= A．－3－i B．－3+i C．3－i D．3+i 13.2017 年高考真题——理科数学（北京卷） 若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 A.（–∞，1） B.（–∞，–1） C.（1，+∞） D.（–1，+∞） 14.2017 年高考真题——数学（文）（山东卷） 已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi=1+i,则 z2= A.-2i B.2i C.-2 D.2 15.2017 年高考真题——数学（理）（山东卷） 已知 a∈R，i 是虚数单位，若 z=a+ 3 i ， 4 zz ，则 a= A.1 或-1 B. 7 或- 7 C.- 3 D. 3 16.2017 年高考真题——文科数学（全国 II 卷） （1+i）（2+i）= A.1-i B. 1+3i C. 3+i D.3+3i 17.2016 年高考真题——文科数学（新课标Ⅰ卷） 设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a= A.−3 B.−2 C.2 D.3 18.2016 年高考真题——理科数学（新课标Ⅰ卷） 设(1+i)x=1+yi，其中 x，y 是实数，则|x+yi|= 3 A.1 B. 2 C. 3 D.2 19.2016 年高考真题——理科数学（新课标Ⅱ卷） 已知 z=(m+3)+(m－1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是 A. (－3,1) B.(－1,3) C.(1,+∞) D.(－∞, －3) 20.2016 年高考真题——文科数学（全国卷Ⅱ） 设复数 z 满足 z+i=3-i，则 z = A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i 4 二、填空题 21.2017 年高考真题——数学（浙江卷） 已知 a，b∈R，(a+bi)2=3+4i（i 是虚数单位）则 a2+b2= ，ab= ． 22.2018 年高考真题——文科数学（天津卷） i 是虚数单位，复数 i i 21 76   =__________． 23.2019 年高考真题——数学（浙江卷） 复数 1 1z i   （i 为虚数单位），则| |z  ________. 24.2020 年高考真题（江苏卷）数学试题 已知 i 是虚数单位，则复数 (1 i)(2 i)z    的实部是_____. 25.2016 年高考真题——理科数学（天津卷） 已知 ,a b  R ，i 是虚数单位，若 (1 )(1 )i bi a   ，则 a b 的值为_______. 三、解答题 26.2011 年上海高考数学试卷（理） 已知复数 1z 满足 1( 2)(1 ) 1z i i    （ i 为虚数单位），复数 2z 的虚部为 2 ， 1 2z z 是实 数，求 2z 。 27.2011 年高考数学文（上海） 已知复数 1z 满足 1( 2)(1 ) 1z i i    （ i 为虚数单位），复数 2z 的虚部为 2 ， 1 2z z 是实 数，求 2z 。 28. 证明：在复数范围内，方程 （ 为虚数单位）无解． 29. 已知复数 z1 满足(1+i)z1=－1+5i, z2=a－2－i, 其中 i 为虚数单位,a∈R, 若 < ,求 a 的取值范围. 30. （03 年上海卷） 已知复数 z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值. 5 试卷答案 1.B 【解析】 先根据复数几何意义得 z ，再根据复数乘法法则得结果. 由题意得 1 2z i  ， 2iz i   . 故选：B. 本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 2.D 【解析】 根据复数除法法则进行计算. 2 (2 )(1 2 ) 5 1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 i i i i ii i i          故选：D 本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.C 【解析】 根据复数为实数列式求解即可. 因为 ( 1) ( 2)a a i   为实数，所以 2 0 2a a   ， ， 故选：C 本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 4.D 【解析】 利用复数的除法运算求出 z 即可. 因为 1 1 3 1 3 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 10 iz ii i i       ， 所以复数 1 1 3z i   的虚部为 3 10 . 故选：D. 本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 5. 【解析】 题先求得 z ，然后根据复数的乘法运算法则即得. ∵ z 2 i,z z (2 i)(2 i) 5       故选 D. 6 6. 【解析】 题先求得 z ，然后根据复数的乘法运算法则即得. ∵ z 2 i,z z (2 i)(2 i) 5       故选 D. 7. 因为 (2 ) 1 2z i i i     ，所以 1 2z i   . 8. i23z  ，对应的点坐标为 ），（ 2-3- ,故选 C. 9. 10. 分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所 在象限. 详解： 的共轭复数为 对应点为 ，在第四象限，故选 D. 11. 分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所 在象限. 的共轭复数为 对应点为 ，在第四象限，故选 D. 12. 解答： 2(1 )(2 ) 2 3i i i i i       ，选 D. 13.       1 1 1z i a i a a i       ，因为对应的点在第二象限，所以 1 0 1 0 a a      ，解 得： 1a   ，故选 B. 14. 由 1zi i  得 2 2( ) (1 )zi i  ，即 2 2z i  ，故 2 2z i  ，选 A. 15. 由 3 , 4   z a i z z 得 2 3 4 a ，所以 1 a ，故选 A. 7 16. 17.A 试题分析： i)a21(2a)ia)(i21(  ，由已知，得 a212a  ，解得 3a  ，选 A. 18.B 试题分析：因为 (1 ) =1+ ,i x yi 所以 =1+ , =1, 1, | | =|1+ | 2,x xi yi x y x x yi i    所以 故 故选 B. 19.A ∴m+3＞0，m－1＜0，∴－3＜m＜1，故选 A． 20.C 由 z+i=3-i 得，z=3-2i，故选 C. 21. 5，2 试题分析：由题意可得 a2－b2+2abi=3+4i，则      2 322 ab ba ，解得      1 4 2 2 b a ，则 a2+b2=5， ab=2. 本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要 切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi) (c+di)=(ac－bd)+(ad+bc)i(a，b，c， d∈R)．其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 a+bi(a，b∈R)的实部为 a、虚部为 b、模 为 22 ba  、对应点为（a，b）、共轭为 a－bi 等． 22. 4–i 分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则得： . 23. 2 2 【解析】 本题先计算 z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解 能力的考查. 1 1 2| | |1 | 22 z i    . 本题考查了复数模的运算，属于简单题. 24.3 8 【解析】 根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. ∵复数   1 2z i i   ∴ 22 2 3z i i i i      ∴复数的实部为 3. 故答案为：3. 本题考查复数的基本概念，是基础题． 25. 试题分析： (1 )(1 ) 1 (1 )i bi b b i a       ，则 1 1 0 b a b      ，所以 2 1 a b    ， 2a b  ，故答 案为 2． 26.解： 1( 2)(1 ) 1z i i     1 2z i  ……………… 设 2 2 ,z a i a R   ，则 1 2 (2 )( 2 ) (2 2) (4 )z z i a i a a i       ，……………… ∵ 1 2z z R ，∴ 2 4 2z i  ……………… 27.．解： 1( 2)(1 ) 1z i i     1 2z i  ……………… 设 2 2 ,z a i a R   ，则 1 2 (2 )( 2 ) (2 2) (4 )z z i a i a a i       ，…………… ∵ 1 2z z R ，∴ 2 4 2z i  ……………… 28.解析：[证明]原方程化简为 设 、 ，代入上述方程得 将（2）代入（1），整理得 无实数解，∴原方程在复数范围内无解. 29.解析：由题意得 z1= =2+3i, 于是 = = , = . < ,得 a2－8a+7