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北京市顺义区 2021 届高三下学期第二次统练数学试题
数 学
考
生
须
知
1.本试卷共 4 页,共两部分.21 道小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.
2.在答题卡上准确填写学恔名称、姓名、班级和教育 ID 号.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡,在试卷上作答无效.
4.在答题卡上选择题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5.考试结束后.请将答题卡上交.
第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合 || | 1 , | 0 2A x x B x x ,则 A B ( )
A. | 2x x B. | 1 2x x C.{ |0 1}x x D. | 1 2x x
2.在复平面内,复数 ( 2)z i i 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.在 6( 2)x 的展开式中, 3x 的系数为( )
A. 40 2 B. 40 2 C. 40 D.40
4.已知 ,a bR ,且 a b ,则下列不等式恒成立的是( )
A. 2 2a b B. 2 2
1 1
1 1a b
C. 3 3a b D. 2 2lg 1 lg 1a b
5.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是( )
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A. 5
2 B.1 C. 2 D.2
6.已知函数 2( ) | | 1 log | |f x x x ,则不等式 ( ) 0f x 的解集是( )
A. (0,1) (2, ) B. ( , 2) ( 1,1) (2, )
C.( , 2) ( 1,0) (0,1) (2, ) D.( 2, 1) (1,2)
7.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是 1 ℃,空气的温度是 0 ℃.那么 mint 后物体的温 (单
位:℃)可由公式 0 1 0 c 求得,其中 k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有 46℃
的物体,放在 10℃的空气中冷却,1min 以后物体的温度是 38℃,则 k 的值约为 (ln3 1.10,ln7 1.95) ( )
A.0.25 B. 0.25 C.0.89 D. 0.89
8.已知圆 2 2( ) ( ) 1x a y b 经过原点,则圆上的点到直线 2y x 距离的最大值为( )
A. 2 2 B. 2 2 C. 2 1 D. 2
9.已知函数 ( ) sin , [ , ]f x x x a b ,则“存在 1 2, [ , ]x x a b 使得 1 2 2f x f x ”是“ b a
”的( )
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
10.设函数
3 3 ,( )
2 ,
x x x af x
x x a
,若 ( )f x 恰有两个零点,则实数 a 的取值范围是( )
A.[ 3, 3] B.( 3, ) C. ( 3, 3] D. ( , 3)
第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.设向量 ( ,3), (1,2), (1, 1)a m b c ,若 ( )a b c ,则实数 m __________.
12.若双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的焦距等于实轴长的 3 倍,则 C 的渐近线方程为________.
13.已知 na 为等差数列, nS 为其前 n 项和,若 1 3 16, 2a S a ,则公差 d _________, nS 的最大值为
_________.
14.已知 是任意角,且满足 cos sin6k
,则常数 k 的一个取值为__________.
15.曲线 C 是平面内与两个定点 1 2(0,1), (0, 1)F F 的距离的积等于 3
2
的点 P 的轨迹,给出下列四个结论:
①曲线 C 关于坐标轴对称;
② 1 2F PF 周长的最小值为 2 6 ;
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③点 P 到 y 轴距离的最大值为 2
2
;
④点 P 到原点距离的最小值为 2
2
.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共 6 小题,共 85 分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.
16.(本小题 14 分)
如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为正方形.且 PA 平面 ABCD ,M,N 分别为 ,PB PD 的中点.
(Ⅰ)求证: / /MN 平面 ABCD ;
(Ⅱ)若 2PA AB ,求 CN 与平面 PBD 所成角的正弦值.
17.(本小题 13 分)
在 ABC 中,已知sin 3sin , 30B C A ,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:
(Ⅰ)c 的值;
(Ⅱ) ABC 的面积.
条件①: 2 3ab ;
条件②: sin 6a B .
注:如果选择条件①和条件②分别作答,按第一个解答计分.
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18.(本小题 14 分)
某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度,从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了 20 人,
得到师生对该菜品的满意度评分如下:
教师:60 63 65 67 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96 96
学生:47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84 95 96
根据师生对该菜品的满意度评分,将满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立,根据所给数据,用事件发生的频率估计相应事件发生的概率.
(Ⅰ)设数据中教师和学生评分的平均值分别为 1 和 2 ,方差分别为 1 和 2 ,试比较 1 和 2 , 1 和 2 的
大小(结论不要求证明);
(Ⅱ)从全校教师中随机抽取 3 人,设 X 为 3 人中对该菜品非常满意的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期
望;
(Ⅲ)求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率.
19.(本小题 14 分)
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yG a ba b
的离心率为 2
2
,且过点 (2, 2).
(Ⅰ)求椭圆 G 的方程;
(Ⅱ)过点 (0,1)M 斜率为 ( 0)k k 的直线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点,在 y 轴上是否存在点 N 使得
ANM BNM (点 N 与点 M 不重合),若你在,求出点 N 的坐标,若不存在,请说明理由.
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20.(本小题 15 分)
已知函数 2( ) ( )xf x e mx m R .
(Ⅰ)已知曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 y ex e ,求 m 的值;
(Ⅱ)若存在 0 [0,1]x ,使得 0 2f x
,求 m 的取值范围.
21.(本小题 15 分)
已知数列 na na N ,记 1 2n nS a a a ,首项 1 0 0a n ,若对任意整数 2k
,有 0 1ka k ,
且 kS 是 k 的正整数倍.
(Ⅰ)若 1 21a ,写出数列 na 的前 10 项;
(Ⅱ)证明:对任意 2n
,数列 na 的第 n 项 na 由 1a 唯一确定;
(Ⅲ)证明:对任意正整数 0n ,数列 nS 从某一项起为等差数列.