化归与转化的思想 教案-2020-2021学年高三数学复习

化归与转化的思想 一．教学内容解析 化归与转化的思想方法，一般是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化，归 结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答的一种方法.化归与转化 思想的实质是揭示联系，实现转化，用框图可以直观地表示为： 化归与转化思想在数学中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转 化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、 实际问题向数学问题的转化等，各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方 法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 该内容计划分三课时，本节课是第一课时，主 要通过特殊与一般、正与反，主与次，数与形的转化来谈谈化归与转化思想在解题中的应 用. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为： 教学重点：通过实例探究，让学生认识和了解化归与转化思想方法的重要性和对解题 的指导作用，增强学生运用该思想方法解题的意识. 二．学生学情诊断 化归与转化的数学思想是一种隐性的知识内容，虽然在以前的数学知识的探讨中有所 渗透，但思想方法常常是蕴含于表层知识之内而处于潜形态，学生在平时学习时只注重公 式、定理、性质、法则的运用，小结复习时只注重知识的整理，忽视了思想方法的提炼和 归纳。另外，数学思想从学生的个性差异来看，比理解知识和形成技能更加参差不齐，更 加不同步. 根据以上分析，本节课的教学难点确定为 教学难点：体会用化归与转化思想解决数学问题时所体现的灵活性、多样性、开放性， 如何利用动态思维，通过观察、分析、类 比、联想去寻找有利于问题解决的变换途径与方 法。 三．教学目标 1、知识与技能：通过实例的分析、探究，让学生感受一般与特殊，数与形之间的转化 规律，逐步培养运用化归与转化思想的意识. 2、过程与方法：让学生在“自主、合作、探究”中灵活运用化归与转化的思想去观察 问题，分析问题，解决问题，从而提高运用化归与转化思想的能力. 3、情感态度与价值观：体会运用化归与转化是解决问题的有效方法，增强克服困 难的勇气，获得成功的体验 .四．教学方法 数学思想方法的教学应遵循化隐为显，螺旋上升的原则. 本节课采用的是“交流探究式”， 即通过问题设置，引导学生积极参与问题的探索、交流、归 纳的过程. 五、教学流程 1、直接引入 解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想 等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说， 对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称 之为“化归与转化的思想方法”。 2、探究一、特殊与一般的转化 3 例 1.已知函数 f(x)＝(a－3)x－ax3 在[－1，1]上的最小值为－3，则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(－∞，－1] B.[12，＋∞) C.[－1，12] D. －3 2 ，12 答案 D 解析 当 a＝0 时，函数 f(x)＝－3x，x∈[－1，1]，显然满足条件，故排除 A，B； 当 a＝－3 2 时，函数 f(x)＝3 2x3－9 2x， f′(x)＝9 2x2－9 2 ＝9 2(x2－1)， 当－1≤x≤1 时，f′(x)≤0，所以 f(x)在[－1，1]上为减函数， 所以 f(x)min＝f(1)＝3 2 －9 2 ＝－3，满足条件，故排除 C. 综上，选 D. 练一 .在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差数列， 则 cos A＋cos C 1＋cos Acos C ＝________. 答案 4 5 解析 令 a＝b＝c，则△ABC 为等边三角形，且 cos A＝cos C＝1 2 ， 代入所求式子，得 cos A＋cos C 1＋cos Acos C ＝ 1 2 ＋1 2 1＋1 2 ×1 2 ＝4 5. 探究提高：用特殊化方法实现划归与转化是在解决问题过程中将某些特殊问题进行一 般化的方法，常用的特例有特殊数值，特殊数列，特殊图形，特殊角，特殊位置。提醒学 生注意一般与特殊的转化只限选择题填空题中使用，在大题中可用该种方法猜想结论，找 到解题的突破口。 3、探究二、正与反的相互转化 例 2 若对于任意 t∈[1，2]，函数 g(x)＝x3＋ m 2 ＋2 x2－2x 在区间(t，3)上总不为单 调函数，则实数 m 的取值范围是________. 解 g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若 g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0 在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0 在(t，3)上恒成立. 由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥2 x －3x 在 x∈(t，3)上恒成立，∴m＋4≥2 t －3t 恒成立，则 m＋4≥－1， 即 m≥－5；由②得 m＋4≤2 x －3x 在 x∈(t，3)上恒成立， 则 m＋4≤2 3 －9，即 m≤－37 3 . ∴函数 g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为－37 3 ＜m＜－5. .练习 2 由命题“存在 x0∈R，使 0| 1|e x  －m≤0”是假命题，得 m 的取值范围是(－∞，a)，则实 数 a 的值是( ) A.(－∞，1) B.(－∞，2) C.1 D.2 解 命题“存在 x0∈R，使 0| 1|e x  －m≤0”是假命题， 可知它的否定形式“任意 x∈R，e|x－1|－m>0”是真命题， 可得 m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故 a＝1. 探究提高 否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集 即可，一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简 单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中. 4、探究三、主与次的转化 ．若不等式 2 4 3x px x p    对一切0 4p  均成立，试求实数 x 的取值范围。 解： 2 4 3x px x p     2( 1) 4 3 0x p x x     学科网 令 ( )g p  2( 1) 4 3x p x x    ，则要使它对0 4p  均有 ( ) 0g p  ，只要有学科网 (0) 0 (4) 0 g g    3x  或 1x   。 探究提高 在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元， 由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下 是正确的。但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中 的地位，就能使问题迎刃而解。本题中，若视 x 为主元来处理，既繁且易出错，实行主元 的转化，使问题变成关于 p 的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易 行。 练 3 已知函数 f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中 f′(x)是 f(x)的导函数.对 满足－1≤a≤1 的一切 a 的值，都有 g(x)